Міністерство освіти і науки України
Рівненський державний гуманітарний університет
Кафедра математики з методикою викладання математики
Реферат
з методики навчання математики
на тему:
Методика формування математичних понять
Виконала:
студентка групи МЕІ-31
Капран Ю. В.
Перевірив:
проф. Павелків О. М.
м.Рівне-2020
Зміст
Вступ 2
1.Психологічні основи формування понять 4
2.Первісні поняття 5
3.Означувані поняття 6
4.Поняття, що вводяться описово 7
5.Психолого-дидактичні передумови застосування понять 9
Висновки 12
Список використаних джерел 13
Вступ
Освіта на сучасному етапі характеризується посиленням уваги до учня, до його саморозвитку і самопізнання. Тому головну мету навчання формулюють так - підготувати людину до життя так, щоб він максимально реалізував свої можливості. У зв'язку з цим змінюється погляд на призначення освіти, метою освітнього процесу є вже не просто засвоєння математики, фізики, хімії і т.д., а розвиток особистості засобами математики, фізики, хімії. На перший план висуваються розвиваючі функції навчання предмету.
Розвиток особистості засобами математики неможливе без оволодіння нею певної системи наукових знань. Однією з головних складових системи наукових знань будь-якого предмета, в тому числі і математики, є поняття. Не оперуючи поняттями, не можна сформулювати жоден закон і, отже, створити наукову теорію. Без засвоєння відповідних понять не може бути ні засвоєння законів, ні засвоєння теорій. Це обумовлює провідну роль понять при формуванні у свідомості учнів системи наукових знань у відповідній науковій галузі. Процес формування системи знань виступає як процес оволодіння поняттями.
Математичні поняття, методика формування понять - це важливий змістовий модуль, освоєння якого разом з педагогічною практикою забезпечує оволодіння окремими типами діяльності, які є важливими у професійної роботі майбутнього вчителя математики. Питання методики формування математичних понять досліджувалось відомими науковцями, серед яких такі: О. М. Астряб, К. С. Барибін, Г. П. Бевз, В. М. Брадіс, Я. І. Груденов, П. М. Ерднієв, Ю. М. Колягін, Н. О. Менчинська, Г. І. Саранцев, З.І. Слєпкань, Н. А. Тарасенкова та ін.
Під концепцією формування понять ми розуміємо певну систему вимог до розглянутого процесу, дотримання якої забезпечить високу якість засвоєння учнями основних понять математики. Необхідно виділити конкретні дії, що становлять цей процес і на цій основі розробити методичні рекомендації.
Тому є всі підстави стверджувати, що завершена методична концепція формування математичних понять в школі з урахуванням умов її реалізації досі не розроблена. Її відсутність тягне появу безлічі суб'єктивних рекомендацій, часом які суперечать один одному, що не сприяє математичному розвитку учнів. Цим пояснюється актуальність вибору теми дослідження.
Психологічні основи формування понять
Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико-синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виділення суттєвих загальних властивостей певного поняття і усвідомлення несуттєвих властивостей , а також на застосування нового поняття до розв’язування задач. У структуру пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять входять як загальні (аналіз, синтез, порівняння , абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії ( дія підведення під поняття і обернена їй дія – виведення наслідків). Коли вивчаються паралельна прямі в планіметрії, то, виділяючи (аналіз) пари прямих, учні порівнюють їх і після з’ясування суттєвого спільного в парах об’єднуюють ( синтез) пари за цими спільними суттєвими властивостями, відволікаючись від несуттєвого в них ( відстань між прямими , їх розташування на площині) (астрагування). На етапі введення терміна і закінчується узагальнення при формуваннні поняття “паралельні прямі”.
Коли використовується абстрактно-дедуктивний метод навчання при формуванні нового поняття, вчитель формулює означення сам, наводить приклади об’єктів, що належать до цього поняття виділяє суттєві спільні властивості і зазначає несуттєві.
Наприклад, вводячи поняття “тотожно рівні вирази” в 7 класі вчитель повинен сам сформулювати означення (два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких значень змінних, називаються тотожно рівними) і навести приклад тотожно рівних виразів і таких, які не є ними. Наприклад, вирази
і 
, 
і 
– тотожно рівні. Вирази 
і 
– не тотожно рівні. Суттєвою спільною властивістю тотожно рівних виразів є рівність їхніх відповідних числових значень за будь-яких однакових значень змінних. Несуттєвим є кількість змінних, що входять до виразу, форма виразів.Труднощі засвоєння понять учнями, які слабко встигають, пояснюються передусім невмінням виділяти суттєві властивості об’єктів і абстрагуватись від несуттєвих. У зв’язку з цим учні роблять неправомірні узагальнення або, іншими словами, надають їм ролі суттєвих. Суттєвими для них стають яскраві властивості, які виступають на перший план саме тоді, коли фігури розміщені на рисунку стандартно. Задля уникнення помилок, треба варіювати наочність, приклади за несуттєвими ознаками, включати в систему вправ на підведення під нове поняття і такі об’єкти, які не належать до поняття, що формується.
Первісні поняття
Перше первісне поняття, з яким учні стикаються ще в початковій школі є поняття “натуральне число”. У відповідних пунктах підручників, де повторюються і розширюються відомості про натуральні числа, учні читають: “ Числа 1,2,3…, що вживаються при лічбі предметів , називаються натуральними числами”. Ц е твердження не є означенням. По-перше, насправді в цьому твердженні йдеться лише про введення терміна, який вживається для назви чисел, що одержуються під час лічби. По-друге, натуральні числа можна дістати і за вимірювання різних величин у випадку, коли одиниця вимірювання вміщується певну кількість разів у вимірюваній величині.
Тому правильно було б сказати, що числа , які використовуються під час лічби предметів, дістали назву натуральних чисел. Взагалі вводячи первісні поняття, вживати слово “називається” не можна, у протилежному разі учні відповідні твердження з цим словом сприйматимуть за означення. Ті відомості про натуральні числа, які подаються у 5 класі (порівняння натуральних чисел, існування найменшого числа 1 , відсутність найбільшого натурального числа…) дають учням уявлення про зміст цього поняття. Проте в повному обсязі зміст поняття “натуральне число” розкривається системою аксіом Пеано.
Інтуїтивні уявлення про первісні поняття геометрії, у тому числі про такі поняття, як точка, пряма, площина, учні також дістають у початковій школі і в курсі математики 5-6 класів. На перших уроках геометрії у 7 класі розкриваються суттєві властивості понять “точка” і “пряма” через систему аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важливими неозначуваними відношеннями “належати” для точок і прямих , “лежати між” для трьох точок прямої.
Доцільно звернути увагу учнів на те, що поняття точки, прямої, площини походять від реально існуючих об’єктів довкілля. Наприклад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уявлення про точку – місце дотику олівця до паперу, крейди до дошки, уявлення про площину – поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури дістають, нехтуючи такими властивостями , як розміри точки, товщина прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється продовженою необмежено, хоча зображається у вигляді відрізка. Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні добре засвоїли термінологію, що стосується цих понять. Наприклад: “точки A і C лежать на прямійa”; “ точки A і C належать на прямійa ”; “прямі a і bперетинаються в точці C”; “точка С є точкою перетину прямих а і b”.
Учні повинні усвідомити, що поняття “лежати між” стосується точок прямої. Доцільно не тільки ввести це поняття і проілюструвати на рисунку, а й розв’язати кілька вправ на підведення під це поняття. Зокрема, можна запропонувати учням указати точки, які лежать між двома іншими точками. В цьому разі доцільно взяти не тільки точки прямої, а й точки довільних ліній, наприклад кола, ламаної .
Означувані поняття
Кілька понять через означення вводяться вже в курсі математики 5-6 класів .Це такі поняття, як розгорнутий кут, квадрат, правильний дріб, неправильний дріб, середнє арифметичне, процент, дільник даного числа, кратне даному числу , найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне, пропорція, паралельні прямі, перпендикулярні прямі тощо. Означаються обернені арифметичні дії.
У систематичних курсах алгебри і геометрії преважна більшість нових понять означається. Наприклад, тотожно рівні вирази, тотожність , тотожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним невідомим, функція, многочлен, степінь многочлена, відрізок, промінь, коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, многогранник тощо.
Вводячи означення математичних понять , треба врахувати , наскільки відомі й зрозумілі учневі певного віку ті суттєві властивості, які розкривають зміст нового поняття. Психолог Дж. Брунер з цього приводу зазначав, що коли основні поняття подано у формальному вигляді як рівняння або точні совесні означення , то вони є недоступними для дитини, якщо вона не засвоїла їх спочатку інтуїтивно.
Це зауваження стосується введення означень на всіх етапах навчання. Чим абстрактніше поняття, тим складніша логічна структура означення, тим гостріша потреба в попередньому введені поняття на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в означення , спочатку на конкретних прикладах з використанням наочних образів. Це стосується насамперед таких понять , як границя числової послідовності , границя функції , неперервність функції, похідна.
Важливо звертати увагу школярів на логічну структуру означень і передусім чітко виділяти спільні суттєві властивості, що входять в означення, характер їх зв’язку. При цьому не обов’язково вводити термінологію логіки, але важливо пояснити роль сполучників.
На уроках стереометрії , коли пояснюється логічна будова геометрії , варто звернути увагу учнів на принципову можливість різних означень того самого поняття залежно від вибору суттєвих властивостей, що входять в означення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема. Треба показати учням приклади обгрунтування доцільності введення саме такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час введення поняття степеня з нульовим і від’ємним показниками доцільність означень, що вводяться , спричинена потребою поширити правила дій над степенями з натуральним показником на степені з нульовим і цілим від’ємним показниками. Зокрема, відомо, що
при 
і 
. У випадку , коли 
, маємо за означенням частки, 
. Якщо ж тут спробуємо застосувати правило дій степенів з однаковими основами, то дістанемо
Тому краще прийняти таке означення степеня з нульовим показником: степінь з показником “нуль” будь-якого числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці. Скорочено :
. Вираз 
не має смислу.Так само вводиться означення степеня з цілим від’ємним показником, якщо тільки
Наведені міркування не є доведення формули
або 
Вони лише обгрунтовують доцільність введення саме таких, а не інших означень.Поняття, що вводяться описово
Переважна більшість математичних понять, що вивчається в курсах математики початкової школи та 5-6 класів, вводиться описово, на прикладах. Наприклад, у 5 класі вводяться поняття числового й буквеного виразів, відрізка, кута , трикутника , площі , звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного паралелепіпеда. У 6 класі так вводяться понятття простого і складеного чисел, кола, кругового сектора, кулі, від’ємного числа, додатного числа, числової прямої , прясокутної системи координат, подібних доданків.
Є ціла низка понять, які вводяться описово, на прикладах і в систематичних курсах алгебри і геометрії. Наприклад, у 7 класі на уроках алгебри вводяться поняття одночлена і його стандартного вигляду на прикладах. При цьому звертається увага на те, що наведені вирази є добутком чисел, змінних і їхніх степенів, тобто фактично розкривається суттєва властивість одночленів.
Вводячи поняття “геометрична фігура” на першому уроці геометрії в 7 класі, недоцільно обмежуватися лише малюнками фігур, запропонованих у підручнику. Варто показати учням моделі різних планіметричних фігур і геометричних тіл . Серед них мають бути , наприклад, трикутники, виготовлені з дроту, і плоскі трикутники виготовлені з паперу або картону, коло , круг, паралелепіпед, куля . Варто звернути увагу на те, що обидва трикутники, коло , круг можуть розміститися в площині всіма своїми точками, а паралелепіпед і куля –ні . Ці перші уявлення про особливості різних геометричних фігур сприятимуть свідомому засвоєнню їхніх властивостей під час наступного вивчення курсу геометрії.
У процесі формування математичних понять учні допускаються помилок при самостійному виділенні суттєвих властивостей, коли поняття формується конкретно-індуктивним методом, і при формулюванні означень, коли їх вже введено. При цьому учні часто випускають деякі суттєві властивості або умови, невдало вибирають або взагалі пропускають родове поняття тощо.
Найефективніше названі помилки виправляються за допомогою контрприкладів, які допомагають не тільки краще усвідомити суттєві властивості понять, а й міцніше запам’ятати їх.
Наведемо приклад застосування контрприкладів у випадку, коли виправляються помилки учнів у разі формулювання вже наведених раніше означень понять.
На уроках геометрії учні вже ознайомились з означенням хорди . Під час повторення вивченого була допущена помилка в означенні. При цьому “діалог” учителя з учнем може бити таким.
Учень. Хорда –це лінія, що з’єднує дві точки кола.
Учитель хвилясту лінію , що з’єднує дві точки.
Учень. Хорда- це пряма лінія , що з’єднує дві точки кола.
Учитель проводить січну, що проходить через центр кола.
Учень. Хордою називається відрізок, що з’єднує дві точки кола.
Психолого-дидактичні передумови застосування понять
Уміння застосувати поняття є показником його засвоєння. На думку Н. О. Менчинської, якщо учень справді засвоїв поняття, то він уміє його і застосувати.
Одним із провідних принципів педагогічної психології є принцип єдності знань і дій. Однак існують два роди знань: знання про предмети і явища навколишнього світу ( а отже, і про поняття), і знання про дії, як із ними потрібно виконувати. Недоліком традиційного і сучасного навчання математики є недостатня увага до знань другого роду. Часто учні, як ідобре знають означення математичних понять, не вміють застосовувати їх до доведення теорем і роз’язування задач, у тому числі і прикладного змісту. Тому дії, адекватні знанням, зокрема поняттям , мають стати не тільки засобом, а й предметом засвоєння.
З погляду застосування понять важливу роль відіграють такі розумові дії, як “дія підведення під поняття” (“дія розпізнавання”) та обернена їй дія –відшукання наслідків. Остання означає, що від факту належності об’єкта до поняття приходять до системи властивостей , які має цей об’єкт . Потрібна спеціальна система вправ на підведення об’єктів під поняття. Для встановлення факту належності об’єкта до певного поняття треба перевірити наявність у об’єкта сукупності необхідних і достатніх властивостей. Якщо при цьому виявиться, що об’єкт не має хоча боднієї з суттєвих властивостей, роблять висновок, що до даного поняття він не належить. При цьому можна використовувати не тільки означення, а й теореми, що виражають властивості понять, які еквівалентні означенням у тому розумінні, що властивості понять, які стверджуються в них, можуть бути покладені в основу означень . Наприклад, для встановлення належності чотирикутника до паралелограмів можна скористатися означенням паралелограма і теоремою про його ознаку. Разом вони являють собою еквівалентні системи необхідних і достатніх ознак.
Перелік операцій , що входять до складу дії підведення під поняття у випадку, коли суттєві властивості пов’язані сполучником “і” або сполучником “або”, можна задати у вигляді такого навчального алгоритму. Щоб встановити, чи належитьx до поняття y , треба:
виділити ознаки y;
з’ясувати, якими сполучниками пов’язані ці ознаки;
якщо:а) сполучником “і”, то перевірити , чи має x всі властивості y . Якщо так, то xналежить до поняття y. Якщо ні, то xне належить до поняття y; б) сполучником “або”, то перевірити , чи має xхоча б одну ознаку y. Якщо так, то xналежить до поняття y. Якщо ні, то xне належить до поняття y.
Наведемо приклад. У курсі геометрії 7 класу учні ознайомлюються з означенням медіани трикутника. Доцільно ще на етапі введення означення чітко виділити дві суттєві властивості, які входять в означення і лише разом дають достатню властивість належності об’єкта до поняття “медіани”: 1) медіана –це відрізок; 2) цей відрізок з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Щоб встановити, чи є AD медіаною трикутника ABC, треба: 1)пригадати означення медіани; 2)переконатися, що суттєві властивості в ньому пов’язані сполучником “і”; 3) перевірити, чи має AD обидві властивості медіани.
Перелік операцій, що входять до складу дії “відшукання наслідків”, можна задати у вигляді такого навчального алгоритму: 1)назвати всі суттєві властивості, які входять в означення поняття; 2) назвати інші суттєві властивості, які вивчались.
Наприклад, результати відшукання наслідків з поняття “рівнобедрений трикутник” можна сформулювати так. Якщо трикутник рівнобедрений, то: 1)дві сторони його рівні; 2) кути при основі рівні; 3) бісектриса кута при вершині є медіаною, проведеною до основи; 4) бісектриса кута при вершині є висотою, проведеною до основи ; 5) пряма, що містить згадану бісектрису кута при вершині , є віссю симетрії цього трикутника.
Щоб забезпечити передумови для формування умінь застосовувати поняття та їхні властивості до розв’язування задач і доведення теорем, доцільно після вивчення кожного з провідних понять і відношень звести їх суттєві властивості, що входять в означення і теореми.
До таких понять варто віднести насамперед основні геометричні фігури та їхні властивості, відношення рівності, паралельності, перпендикулярності, основні види рівнянь , нерівностей , функцій. У міру вивчення курсу з’являються нові можливості щодо доведення відношень рівності , паралельності, перпендикулярності відрізків, подібність фігур. Тому важливо сформулювати правила-орієнтири щодо доведення цих відношень. Наприклад, щоб довести рівність двох відрізків, можна включити їх у трикутники і довести рівність цих трикутників, або скористатися властивістю одного із рухів , або застосувати вектори, або довести, що ці відрізки є бічними сторонами рівнобедреного трикутника чи протилежними сторонами паралелограма.
Основою застосування понять до розв’язування складніших задач і доведення теорем є прийом розумової діяльності, який дістав назву “аналіз чи синтез”, або переосмислення елементів задачі в плані різних понять.
У процесі застосування понять в учнів формується така важлива розумова дія, як конкретизація , оскільки застосування знань в практичних ситуаціях пов’язане з переходом від абстрактного до конкретного. Дослідження педагогічної психології показують , що перехід від оперування абстрактними поняттями до конкретної практичної ситуації досить складний для школярів.
Багатьом учням важко одночасно виділяти абстрактні співвідношення в конкретних даних і абстрагуватися від наочного сприймання об’єктів . Для попередження таких труднощів треба використовувати конкретні практичні ситуації ще в період формування абстрактних понять –розв’язувати задачі практичного змісту . Особливо корисні практичні роботи на місцевості , екскурсії на сільськогосподарські та промислові підприємства.
Висновки
Формування понять є невід’ємною частиною навчального процесу.
Розглядаючи поняття як форму мислення про сукупність суттєвих і несуттєвих властивостей об’єктів реального світу, визначаємо, що сформувати поняття означає, розкрити всі істотні властивості поняття в їх цілісній сукупності. Діяльність учня при цьому спрямовується на вивчення математичного поняття, а продуктом цієї діяльності буде правильне поняття і фіксування його засобами мови або знаковими системами для засвоєння знань.
До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія – виведення наслідків).
При формуванні понять задіяна сукупність педагогічних підходів: діяльнісний, системний, компетентнісний.
При формування математичних понять виявлені психолого-дидактичні закономірності:
1. Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико – синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виявлення істотних загальних властивостей певного поняття;
2. Усвідомлення неістотних властивостей поняття;
3. Застосування нового поняття до розв’язування задач
Сучасні умови дали змогу проаналізувати діяльність учнів та виявити помилки, які допускаються при формуванні математичних понять.
З розвитком науки математичні поняття формуються не лише на базі сприймань і уявлень (як початкові поняття), а на базі вже раніше встановлених понять.
Список використаних джерел
1. Закон України “Про загальну середню освіту ”, Київ, 1999р.
2. Державна національна програма “Освіта/Україна ХХI століття/Заходи щодо реалізації Державної національної програми “Освіта/Україна ХХI століття/Затверджено постановою Кабінету Міністрів України від 03.11.93 №896//Освіта – 1993 - №44-46
3. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К.: Зодіак-ЕКО, 2000р. – 512с.
4. Слєпкань З.І. Психолого-педагогические основі обучения математике. Методическое пособие. – Київ: Рад. шк., 1983г. – 192 с.
5. Бевз Г.П. Методика викладання математики. Навчальний посібник. –Київ: Вища школа, 1989 р. – 367 с.
6. Матяш О., Прус А. Окремі аспекти формування математичних понять / О. Матяш, А. Прус // Вісник Житомирського державного університету. – 2010. – Випуск 53. – 93 с.