Методичні рекоМендації щодо забезпечення практичних і лабораторних занять

МІЖРЕГІОНАЛЬНА
АКАДЕМІЯ УПРАВЛІННЯ ПЕРСОНАЛОМ
Методичні рекоМендації
щодо забезпечення практичних і лабораторних занять
з дисципліни
“еконоМетрія”
(для бакалаврів)
Київ
ДП «Видавничий дім Персонал

Підготовлено кандидатом фіз.-мат. наук, професором кафедри математики
І. І. Юртиним і кандидатом фіз.-мат. наук, доцентом кафедри математики
О. О. Юньковою
Затверджено на засіданні кафедри математики (протокол № 2 від 26.10.07)
Схвалено Вченою радою Міжрегіональної Академії управління персоналом
Юртин і. і, Юнькова о. о. Методичні рекомендації щодо забезпечення практичних і лабораторних занять з дисципліни “Економетрія” (для бака- лаврів). — К ДП Вид. дім Персонал, 2009. — 31 с.
Методичні рекомендації містять пояснювальну записку, тематичний план дисципліни, зміст практичних завдань, вказівки до виконання лабораторних робіт та зразки розв’язування деяких завдань, а також список літератури.
© Міжрегіональна Академія управління персоналом (МАУП), 2009
© ДП «Видавничий дім Персонал, 2009

3
Пояснювальна заПиска
Мета викладання дисципліни — дати студентам знання і сформу- вати такі навички: 1) створення математичних моделей, які описують кількісні залежності між економічними показниками; 2) оцінювання параметрів таких моделей на основі статистичних даних щодо зна- чень відповідних показників; 3) перевірки адекватності розроблених моделей реальним економічним явищам та процесам; 4) застосуван- ня цих моделей для аналізу і прогнозування розвитку досліджуваних явищ.
основні завдання викладання дисципліни — дати студентам сис- тематизовані знання:
• суті й етапів економетричного дослідження;
• основних принципів та прийомів математичного моделювання залежностей між економічними показниками;
• методів оцінювання параметрів регресійних рівнянь та про- грамного забезпечення обчислень.
А також сформувати уміння:
• постановки та формалізації задач економетричного моделю- вання;
• класифікації моделей оцінювання параметрів парної лінійної регресії та її аналізу;
• оцінювання параметрів парної нелінійної регресії та її аналізу;
• побудови моделі лінійної множинної регресії та оцінювання параметрів методом найменших квадратів;
• перетворення нелінійних залежностей між показниками до лінійного вигляду й оцінювання їх параметрів методом най- менших квадратів;
• побудови динамічних моделей на основі часових рядів;
• оцінювання параметрів систем одночасних рівнянь;
• використання програмного забезпечення Excel на ПЕОМ при проведенні розрахунків та аналізу результатів;
• проведення аналізу побудованих моделей та розробки прак- тичних рекомендацій з їх застосування.

4
ТемаТичний План
дисципліни
“економеТрія”
№
пор.
Назва змістового модуля і теми
Лекції
Практ.
Самост.
роб.
студ.
Разом
(годин)
змістовий модуль і. парна і багатофакторна лінійна регресія
1
Вступ. Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів
2 0
5 7
2
Побудова та дослідження парної лінійної регресійної моделі
4 4
4 12 3
Загальна лінійна економетрична модель. Багатофакторна регресія
4 2
4 10
змістовий модуль іі. особливості
застосування Мнк для багатофакторних моделей
4
Мультиколінеарність
2 2
6 10 5
Автокореляція в економетричних моделях динаміки
2 2
6 10 6
Гомо- та гетероскедастичність
2 2
6 10
змістовий модуль ііі. динамічні
моделі
7
Моделювання часових рядів
2 0
2 4
8
Лагові моделі в економіці
2 0
8 8
змістовий модуль і. Системи
одночасних рівнянь
9
Одночасні рівняння
2 0
8 Разом годин: 81 22 12 49 81

5
змісТ ПракТичних заняТь
На практичних заняттях, загальний обсяг яких складає 12 год, не- обхідно виконати лабораторні роботи з таких тем 1. Побудова та дослідження парної регресії.
2. Побудова та дослідження багатофакторної регресії.
3. Перевірка даних на наявність мультиколінеарності.
Перша лабораторна робота виконується на трьох практичних за- няттях, друга — на двох практичних занять, третя — на одному практичному занятті.
Рекомендації щодо виконання лабораторних робіт наведені у кон- кретних задачах.
лабораторна робота 1. парна регресія
Тема: парна лінійна регресія
1. Побудова системи нормальних рівнянь.
2. Оцінювання параметрів регресії.
3. Побудова графіків залежностей.
4. Коефіцієнти кореляції та детермінації. Значущість коефіцієнта кореляції.
5. Перевірка моделі на адекватність за F-критерієм Фішера.
6. Коефіцієнт еластичності.
7. Прогнозування за моделлю.
8. Побудова та дослідження нелінійної моделі.
Література [1–4; 8; 11; задача 1.Нехай задано обсяги споживання Х (у. о) домогоспо- дарства протягом року на підставі вибірки n
= 12 спостережень (що- місячно впродовж року, які наведені в табл. 1.
Таблиця і 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12
х
і
107 109 110 113 120 122 123 128 136 140 145 На основі цих статистичних даних:
1) побудувати графік парної лінійної регресії
x t
t
( ) 
;
2) оцінити всі її параметри;
3) визначити довірчі інтервали для параметрів регресії
a a
0 1
,
при рівні значущості
α
= 0,05;
ˆа
0
ˆа
1

6 4) знайти коефіцієнти детермінації R
2
та кореляції R;
5) обчислити прогнозні значення показника X для наступних трьох місяців (х, х, х) побудувати графік парної лінійної регресії
y x
а
а x
 


0 1
;
7) виконати попередні пункти 2–5 для моделі
y t
b
b t
 
 
0 1
розв’язання
Виконувати завдання будемо засобами Excel. Часу цій задачі є незалежною змінною, а витрати на споживання x — залежною змін- ною.
Початкову інформацію запишемо у таблиці Excel: заголовки ро- бочої таблиці будемо писати у першому рядку, числові дані — почи- наючи з другого рядка. Уперших двох стовпцях запишемо початкові дані: значення незалежної змінної — у стовпці А (діапазон А : А, значення залежної — у стовпці В (діапазон В : В13).
Для обчислення оцінок параметрів лінійної моделі
0 1
ˆ
ˆ
x t
a
a t

використаємо формули:
1 2
2
ˆ
,
( )
tx t x
a
t
t

0 1
ˆ
ˆ .
a
x a t
Для цього виконаємо додаткові розрахунки.
Обчислимо для всіх спостережень квадрати незалежної змінної
t
i
n
i
2 1 2
,
, ,..., ,

і попарні добутки значень залежної і незалежної змін- них
t x i
n
i
i
,
, ,...,
1 2
. Для цього у комірках С і D3 набрати відповідно формули: “
=А2*А2” і “=А2*В2”. Після отримання результату продов- жити формули у діапазонах С : С D4 : D13 (курсору правому нижньому кутку у вигляді знака “+”).
Середні значення
t x t tx
, , ,
2
визначаємо за допомогою функції
СРЗНАЧ програми с і, підставляючи їх у наведені формули, от- римаємо: а
= 3,78, а
= 96,08.
Отже, рівняння парної лінійної регресії має вигляд:
x t
t
( )
,
,


96 08 3 У стовпці Е запишемо розрахункові (модельні) значення
ˆ
i
x
, які обчислюємо за формулою 3,78 .
x
t
i
i

Рис. 1
Застосовуючи майстер діаграм Excel, графічно зобразимо почат- кові статистичні дані (t
i
, x
i
) — кореляційне полета модельні значення
(t
i
, х) — графік тренду.
Залишки моделі u
i
= x
i
– ˆx
i
, і = 1,..., n, та їх квадрати обчисли- мо у стовпцях F i G, набираючи формули в F2 (“=В2-Е2”) та в G2
(“=F2*F2”) і продовжуючи їх для всіх спостережень. Суму квадратів усіх залишків
u
i
i
n
2 1


обчислимо за допомогою функції СУММ, асе- реднє цих же значень дає вибіркову дисперсію залишків S
n
u
u
i
i
n
2 2
1 1



(функція СРЗНАЧ).
Далі обчислюємо коефіцієнти детермінації R
2
та кореляції R:
R
S
S
u
x
2 2
2 1
 де S
x
x
x
2 2
2

( ) ; R
R

2
Маємо: R
R
2 0 97 0 99


, ,
, .
Обчислене значення коефіцієнта кореляції дає змогу зробити вис- новок про сильну (пряму) лінійну залежність між змінними t та x. Це також підтверджується розташуванням точок (t
i
, x
i
) і графіка тренду на кореляційному полі.
Прогнозоване споживання для наступних трьох місяців та- кож визначається за формулою регресії, тобто Х)
= 96,08+3,78*t, де t
= 13,14,15. Значення легко отримати, задаючи прогнозні значен- ня незалежної змінної у першому стовпці і продовжуючи формулу у стовпці модельних значень.
Побудоване рівняння регресії у будь-якому разі потребує певної
інтерпретації та аналізу.

У нашому прикладі коефіцієнт а може розглядатися як гранична схильність до споживання. Фактично він показує, на яку величину зміниться обсяг споживання у наступному місяці, якщо тенденції ми- нулого періоду залишаться незмінними.
Вільний члена рівняння регресії визначає прогнозне значення x при змінній t, що дорівнює нулю (тобто автономне споживання). У нашому випадку значення ау. о. Цей параметр може визнача- ти накопичені або позичені кошти.
Необхідно пам’ятати, що емпіричні коефіцієнти регресії а та а є лише оцінками теоретичних коефіцієнтів a
0
та a
1 а власне рівняння відображає лише загальну тенденцію у поведінці розглянутих змін- них.
При змінюванні статистичної бази (початкових даних) результа- ти оцінювання, очевидно, відрізнятимуться від попередніх, але з ви- сокою ймовірністю можуть опинитися в певних межах — у межах довірчого інтервалу параметрів регресії. Цей інтервал визначається для кожного параметра за формулами:
для а а
- ∆
0
, а
+ для а а
- ∆
1
, аде табл табл для парної регресії


u
i
i
n
n
u
2 2
1 1
2



— незміщена дисперсія залишків;
c
t
n
c
n
t
t
t
t
t
00 2
2 11 2
2 2
2 1



 




,
,
; табл ( ,
)


2 2
— табличне значення розподілу Стьюдента. Його визначають із стандартної таб- лиці розподілу Стьюдента [3, дод. 2] або за допомогою статистичної функції СТЬЮДРАСПОБР, параметри якої вводять з клавіатури: у запиті Вероятность — 0,05/2; у запиті Степени свободы — Для аналізу щільності лінійної залежності обчислимо коефіцієнт кореляції:
r
tx x
t
x
x
tx


 

 



t
t
2 2
2 2

9
Таблиця розрахунків набуває вигляду:
A
B
C
D
E
F
G
H
T
x
t
2
tx
ˆх
u
u
2
x
2 1
102 1
102 99,85 2,14 4,58 10404 2
105 4
210 103,64 1,35 1,84 11025 3
108 9
324 107,42 0,57 0,33 11664 4
110 16 440 111,20
-1,20 1,460 12100 5
115 25 575 114,99 0,008 0
13225 6
117 36 702 118,77
-1,778 3,150 13689 7
119 49 833 122,55
-3,55 12,66 14161 8
125 64 1000 126,34
-1,34 1,80 15625 9
132 81 1188 130,12 1,87 3,51 17424 10 130 100 1300 133,90
-3,91 15,27 16900 11 141 121 1551 137,69 3,31 10,95 19881 12 144 144 1728 141,47 2,52 6,38 20736
t 
x 
t
2

tx 
u
2


x
2

6,5 120,66 54,166 829,41 61,94 14736,16
a
1
=
3,78
Sa1=
0,21
Su
2
=
5,16
a
0
=
96,07
Sa0=
1,53
Sigma u
2
=
6,19
a
0

(93,30 98,85)
Ttabl=
1,81
a
1

(3,41 задача 2. Парна нелінійна регресія
Є такі статистичні дані, які відображають залежність між двома показниками Х та Y:
X
1 1,5 2
3 3,5 4,5 6
7 8
9 11 12
Y
48 45 27 10 11 5
1 9
8 13 30 25

За наведеними статистичними даними:
• оцінити параметри парної лінійної моделі y
= a
0
+ a
1
x
(викона- ти пункти 1–5 завдання 1);
• підібрати іншу форму регресійного рівняння, обчислити пара- метри моделі (виконати пункти 1–5 завдання 1);
• визначити довірчі інтервали для статистичних даних y
i
розв’язання
Здійснивши побудову парної лінійної моделі y a
a x


0 1
за алгоритмом пунктів 1–5 завдання 1, дістанемо такі результати:
y
x
26 2 1 2
,
,

, R
R
2 0 083 0 288


,
,
,
Очевидно, що побудована модель не передає залежності між показника- ми. Розташування точок на (рис. 2) наводить на думку про існування
іншої форми залежності. Такою залежністю може бути параболічна:
y a
a x x





0 1
0 2
, де a a
0 1
,
— невідомі параметри моделі, а
x
0
— відомий параметр, який визначається експериментально.
Згідно із графіком такою величиною може бути вершина параболи, тобто величина x
0 6
 . Надалі її можна уточнювати таким чином, щоб відобразити сильнішу залежність між x та y. Для цього застосувується значення коефіцієнта кореляції R Для знаходження параметрів a a
0 1
,
здійснюється лінеаризація мо- делі шляхом заміни t
x x




0 2
, яка приводить до лінійної моделі:
y
t
 
b
b
0 1
Статистичні дані при цьому набувають вигляду:
T 33,87 28,30 23,23 14,59 11,02 5,38 0,67 0,03 1,39 4,75 17,47 26,83
Y
48 45 27 10 11 5
1 9
8 13 30 25
Здійснивши побудову парної лінійної моделі y
t
 
b
b
0 1
за алгоритмом пунктів 1–5 завдання 1, дістанемо такі результати:
y
t


5 79 1 06
,
,
, R
R
2 0 62 0 78


, ,
, Рис. 2

11
x
0 6
 , R 0 78
,
x
0 6 82
 ,
, R 0 Рис. 3 Величину R можна збільшити, змінюючи параметр х. Напри- клад, для x
0 6 82
 ,
маємо R 0 908
,
, що є кращим, ніж у поперед- ньому випадку. Кореляційне поле і графіки трендів для різних зна- чень х зображено на рис. 3.
Довірчі, або надійні інтервали для у
і
визначаються за формулою де табл 2
2
(
)
;


табл t( / ,
)


2 2 — табличне зна- чення розподілу Стьюдента; S — стандартне відхилення залишків
u
y
y
i
i
i
 
 ; 

x
t
t
2 2
2

( ) — дисперсія статистичної вибірки t
i
Обчислимо довірчі інтервали, графічно їх зобразимо на рис. Рис. 4

12
лабораторна робота 2. багатофакторна регресія
Тема: багатофакторна регресія
1. Оцінювання параметрів рівнянь.
2. Застосування вбудованих функцій Е 3. Коефіцієнти кореляції та детермінації. Значущість коефіцієнта кореляції.
4. Перевірка моделі на адекватність за F-критерієм Фішера.
5. Коефіцієнт еластичності.
6. Прогнозування за моделлю.
Література [1–4; 8; 11; задача На основі n
= 15 статистичних даних певного регіону:
1) визначити параметри лінійної моделі залежності прибутку під- приємства (Y) від рівня інвестицій (І, витрат на рекламу (Cr) та заробітної плати (L);
2) оцінити коефіцієнт детермінації
R
2
i
Y
X
1
(I)
X
2
(Cr)
X
3
(L)
1 15,70 17,37 5,28 1,42 2
17,34 18,24 6,47 1,58 3
21,57 22,47 6,98 1,98 4
33,50 18,47 7,05 2,04 5
32,30 16,82 7,94 2,38 6
37,90 17,60 8,12 3,48 7
40,78 17,12 8,69 3,07 8
48,02 19,81 9,31 3,84 9
43,30 18,67 10,45 4,28 10 49,57 20,83 10,47 4,67 11 52,14 22,84 13,48 5,98 12 55,17 28,85 15,78 6,51 13 59,18 29,61 17,65 7,82 14 62,22 35,67 18,47 8,58 15 77,58 47,87 19,64 9,47

13
розв’язання
1-й крок. оцінювання параметрів
Загальна лінійна модель має вигляд:
y
= а+ а+ а + аде у — результативна (залежна) змінна; Y — прибуток підприємс- тва;
x x x
1 2
3
,
,
— незалежні, факторні змінні (І, С i L відповідно); а, а, а — параметри моделі;
u
— випадкова складова регресійно- го рівняння.
1.1. Оцінювання параметрів моделі а, а,
..., а виконаємо методом найменших квадратів, матричний запис якого має вигляд:
A
X X
X Y
T
T

















(
) (де вектор невідомих п 1
2 3
А
a
a
a
a

аараметрів.
Складемо вектор-стовпець і матрицю спостережень у вигляді:
15,7 1
17,37 5,28 1,42 17,34 1
18,24 6,47 1,58 21,57 1
22,47 6,98 1,98 33,5 1
18,47 7,05 2,04 32,3 1
16,82 7,94 2,38 37,9 1
17,6 8,12 3,48
Y
= 40,78 ;
X
= 1 17,12 8,69 3,07 .
48,02 1
19,81 9,31 3,84 43,3 1
18,67 10,45 4,28 49,57 1
20,83 10,47 4,67 52,14 1
22,84 13,48 5,98 55,17 1
28,85 15,78 6,51 59,18 1
29,61 17,65 7,82 62,22 1
35,67 18,47 8,58 77,58 1
47,87 19,64 9,47
Стовпчик одиниць у матриці Х відповідає коефіцієнту 1 при па- раметрі
a
0

14
Виконувати розрахунки будемо за допомогою вбудованих функ- цій Excel:
1) X
′ — функція ТРАНСП(массив) (ТРАНСПонована матриця) із категорії ссылки и массивы) Х, X′Y, A — функція МУМНОЖ(массив1, массив) (Матричное УМНОЖение) із категорії математические) (Х — функція МОБР(массив) (Матрица ОБРатная) також
із категорії “математические”.
Для роботи із вказаними функціями потрібно:
1) виділити місце під результат (діапазон комірок);
2) викликати функцію (натиснути кнопку
f
x
на панелі інстру- ментів, вказати категорію, вибрати функцію);
3) вказати аргументи функції (у тому порядку, як вони записані у формулі);
4) після виходу з діалогового вікна функції у рядку формул на- тиснути ліву клавішу мишки (аргументи виділяться рамками, а потім одночасно натиснути на клавіатурі три клавіші
(Ctrl+Shift+Enter).
Врешті отримаємо такі результати:
X
′
=
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 17,37 18,24 22,47 18,47 16,82 17,6 17,12 19,81 18,67 20,83 22,84 28,85 29,61 35,67 47,87 5,28 6,47 6,98 7,05 7,94 8,12 8,69 9,31 10,45 10,47 13,48 15,78 17,65 18,47 19,64 1,42 1,58 1,98 2,04 2,38 3,48 3,07 3,84 4,28 4,67 5,98 6,51 7,82 8,58 9,47
X'X
=
15 352,24 165,78 67,1 352,24 9335,74 4404,383 1858,071 165,78 4404,38 2147,268 914,9516 67,1 1858,07 914,9516 397,2576
;
;

15
(X'X)
-1
=
2,14866
-0,0276
-0,51745 0,958316
-0,0276 0,00428
-0,0056
-0,00245
-0,5174
-0,0056 0,18797
-0,31932 0,95831
-0,0024
-0,31932 0,58755
X'Y А