1 2 3 МІЖРЕГІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ УПРАВЛІННЯ ПЕРСОНАЛОМ Методичні рекоМендації щодо забезпечення практичних і лабораторних занять з дисципліни “еконоМетрія” (для бакалаврів) Київ ДП «Видавничий дім Персонал Підготовлено кандидатом фіз.-мат. наук, професором кафедри математики І. І. Юртиним і кандидатом фіз.-мат. наук, доцентом кафедри математики О. О. Юньковою Затверджено на засіданні кафедри математики (протокол № 2 від 26.10.07) Схвалено Вченою радою Міжрегіональної Академії управління персоналом Юртин і. і, Юнькова о. о. Методичні рекомендації щодо забезпечення практичних і лабораторних занять з дисципліни “Економетрія” (для бака- лаврів). — К ДП Вид. дім Персонал, 2009. — 31 с. Методичні рекомендації містять пояснювальну записку, тематичний план дисципліни, зміст практичних завдань, вказівки до виконання лабораторних робіт та зразки розв’язування деяких завдань, а також список літератури. © Міжрегіональна Академія управління персоналом (МАУП), 2009 © ДП «Видавничий дім Персонал, 2009 3 Пояснювальна заПиска Мета викладання дисципліни — дати студентам знання і сформу- вати такі навички: 1) створення математичних моделей, які описують кількісні залежності між економічними показниками; 2) оцінювання параметрів таких моделей на основі статистичних даних щодо зна- чень відповідних показників; 3) перевірки адекватності розроблених моделей реальним економічним явищам та процесам; 4) застосуван- ня цих моделей для аналізу і прогнозування розвитку досліджуваних явищ. основні завдання викладання дисципліни — дати студентам сис- тематизовані знання: • суті й етапів економетричного дослідження; • основних принципів та прийомів математичного моделювання залежностей між економічними показниками; • методів оцінювання параметрів регресійних рівнянь та про- грамного забезпечення обчислень. А також сформувати уміння: • постановки та формалізації задач економетричного моделю- вання; • класифікації моделей оцінювання параметрів парної лінійної регресії та її аналізу; • оцінювання параметрів парної нелінійної регресії та її аналізу; • побудови моделі лінійної множинної регресії та оцінювання параметрів методом найменших квадратів; • перетворення нелінійних залежностей між показниками до лінійного вигляду й оцінювання їх параметрів методом най- менших квадратів; • побудови динамічних моделей на основі часових рядів; • оцінювання параметрів систем одночасних рівнянь; • використання програмного забезпечення Excel на ПЕОМ при проведенні розрахунків та аналізу результатів; • проведення аналізу побудованих моделей та розробки прак- тичних рекомендацій з їх застосування. 4 ТемаТичний План дисципліни “економеТрія” № пор. Назва змістового модуля і теми Лекції Практ. Самост. роб. студ. Разом (годин) змістовий модуль і. парна і багатофакторна лінійна регресія 1 Вступ. Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів 2 0 5 7 2 Побудова та дослідження парної лінійної регресійної моделі 4 4 4 12 3 Загальна лінійна економетрична модель. Багатофакторна регресія 4 2 4 10 змістовий модуль іі. особливості застосування Мнк для багатофакторних моделей 4 Мультиколінеарність 2 2 6 10 5 Автокореляція в економетричних моделях динаміки 2 2 6 10 6 Гомо- та гетероскедастичність 2 2 6 10 змістовий модуль ііі. динамічні моделі 7 Моделювання часових рядів 2 0 2 4 8 Лагові моделі в економіці 2 0 8 8 змістовий модуль і. Системи одночасних рівнянь 9 Одночасні рівняння 2 0 8 Разом годин: 81 22 12 49 81 5 змісТ ПракТичних заняТь На практичних заняттях, загальний обсяг яких складає 12 год, не- обхідно виконати лабораторні роботи з таких тем 1. Побудова та дослідження парної регресії. 2. Побудова та дослідження багатофакторної регресії. 3. Перевірка даних на наявність мультиколінеарності. Перша лабораторна робота виконується на трьох практичних за- няттях, друга — на двох практичних занять, третя — на одному практичному занятті. Рекомендації щодо виконання лабораторних робіт наведені у кон- кретних задачах. лабораторна робота 1. парна регресія Тема: парна лінійна регресія 1. Побудова системи нормальних рівнянь. 2. Оцінювання параметрів регресії. 3. Побудова графіків залежностей. 4. Коефіцієнти кореляції та детермінації. Значущість коефіцієнта кореляції. 5. Перевірка моделі на адекватність за F-критерієм Фішера. 6. Коефіцієнт еластичності. 7. Прогнозування за моделлю. 8. Побудова та дослідження нелінійної моделі. Література [1–4; 8; 11; задача 1.Нехай задано обсяги споживання Х (у. о) домогоспо- дарства протягом року на підставі вибірки n = 12 спостережень (що- місячно впродовж року, які наведені в табл. 1. Таблиця і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х і 107 109 110 113 120 122 123 128 136 140 145 На основі цих статистичних даних: 1) побудувати графік парної лінійної регресії x t t ( ) ; 2) оцінити всі її параметри; 3) визначити довірчі інтервали для параметрів регресії a a 0 1 , при рівні значущості α = 0,05; ˆа 0 ˆа 1 6 4) знайти коефіцієнти детермінації R 2 та кореляції R; 5) обчислити прогнозні значення показника X для наступних трьох місяців (х, х, х) побудувати графік парної лінійної регресії y x а а x 0 1 ; 7) виконати попередні пункти 2–5 для моделі y t b b t 0 1 розв’язання Виконувати завдання будемо засобами Excel. Часу цій задачі є незалежною змінною, а витрати на споживання x — залежною змін- ною. Початкову інформацію запишемо у таблиці Excel: заголовки ро- бочої таблиці будемо писати у першому рядку, числові дані — почи- наючи з другого рядка. Уперших двох стовпцях запишемо початкові дані: значення незалежної змінної — у стовпці А (діапазон А : А, значення залежної — у стовпці В (діапазон В : В13). Для обчислення оцінок параметрів лінійної моделі 0 1 ˆ ˆ x t a a t використаємо формули: 1 2 2 ˆ , ( ) tx t x a t t 0 1 ˆ ˆ . a x a t Для цього виконаємо додаткові розрахунки. Обчислимо для всіх спостережень квадрати незалежної змінної t i n i 2 1 2 , , ,..., , і попарні добутки значень залежної і незалежної змін- них t x i n i i , , ,..., 1 2 . Для цього у комірках С і D3 набрати відповідно формули: “ =А2*А2” і “=А2*В2”. Після отримання результату продов- жити формули у діапазонах С : С D4 : D13 (курсору правому нижньому кутку у вигляді знака “+”). Середні значення t x t tx , , , 2 визначаємо за допомогою функції СРЗНАЧ програми с і, підставляючи їх у наведені формули, от- римаємо: а = 3,78, а = 96,08. Отже, рівняння парної лінійної регресії має вигляд: x t t ( ) , , 96 08 3 У стовпці Е запишемо розрахункові (модельні) значення ˆ i x , які обчислюємо за формулою 3,78 . x t i i Рис. 1 Застосовуючи майстер діаграм Excel, графічно зобразимо почат- кові статистичні дані (t i , x i ) — кореляційне полета модельні значення (t i , х) — графік тренду. Залишки моделі u i = x i – ˆx i , і = 1,..., n, та їх квадрати обчисли- мо у стовпцях F i G, набираючи формули в F2 (“=В2-Е2”) та в G2 (“=F2*F2”) і продовжуючи їх для всіх спостережень. Суму квадратів усіх залишків u i i n 2 1 обчислимо за допомогою функції СУММ, асе- реднє цих же значень дає вибіркову дисперсію залишків S n u u i i n 2 2 1 1 (функція СРЗНАЧ). Далі обчислюємо коефіцієнти детермінації R 2 та кореляції R: R S S u x 2 2 2 1 де S x x x 2 2 2 ( ) ; R R 2 Маємо: R R 2 0 97 0 99 , , , . Обчислене значення коефіцієнта кореляції дає змогу зробити вис- новок про сильну (пряму) лінійну залежність між змінними t та x. Це також підтверджується розташуванням точок (t i , x i ) і графіка тренду на кореляційному полі. Прогнозоване споживання для наступних трьох місяців та- кож визначається за формулою регресії, тобто Х) = 96,08+3,78*t, де t = 13,14,15. Значення легко отримати, задаючи прогнозні значен- ня незалежної змінної у першому стовпці і продовжуючи формулу у стовпці модельних значень. Побудоване рівняння регресії у будь-якому разі потребує певної інтерпретації та аналізу. У нашому прикладі коефіцієнт а може розглядатися як гранична схильність до споживання. Фактично він показує, на яку величину зміниться обсяг споживання у наступному місяці, якщо тенденції ми- нулого періоду залишаться незмінними. Вільний члена рівняння регресії визначає прогнозне значення x при змінній t, що дорівнює нулю (тобто автономне споживання). У нашому випадку значення ау. о. Цей параметр може визнача- ти накопичені або позичені кошти. Необхідно пам’ятати, що емпіричні коефіцієнти регресії а та а є лише оцінками теоретичних коефіцієнтів a 0 та a 1 а власне рівняння відображає лише загальну тенденцію у поведінці розглянутих змін- них. При змінюванні статистичної бази (початкових даних) результа- ти оцінювання, очевидно, відрізнятимуться від попередніх, але з ви- сокою ймовірністю можуть опинитися в певних межах — у межах довірчого інтервалу параметрів регресії. Цей інтервал визначається для кожного параметра за формулами: для а а - ∆ 0 , а + для а а - ∆ 1 , аде табл табл для парної регресії u i i n n u 2 2 1 1 2 — незміщена дисперсія залишків; c t n c n t t t t t 00 2 2 11 2 2 2 2 1 , , ; табл ( , ) 2 2 — табличне значення розподілу Стьюдента. Його визначають із стандартної таб- лиці розподілу Стьюдента [3, дод. 2] або за допомогою статистичної функції СТЬЮДРАСПОБР, параметри якої вводять з клавіатури: у запиті Вероятность — 0,05/2; у запиті Степени свободы — Для аналізу щільності лінійної залежності обчислимо коефіцієнт кореляції: r tx x t x x tx t t 2 2 2 2 9 Таблиця розрахунків набуває вигляду: A B C D E F G H T x t 2 tx ˆх u u 2 x 2 1 102 1 102 99,85 2,14 4,58 10404 2 105 4 210 103,64 1,35 1,84 11025 3 108 9 324 107,42 0,57 0,33 11664 4 110 16 440 111,20 -1,20 1,460 12100 5 115 25 575 114,99 0,008 0 13225 6 117 36 702 118,77 -1,778 3,150 13689 7 119 49 833 122,55 -3,55 12,66 14161 8 125 64 1000 126,34 -1,34 1,80 15625 9 132 81 1188 130,12 1,87 3,51 17424 10 130 100 1300 133,90 -3,91 15,27 16900 11 141 121 1551 137,69 3,31 10,95 19881 12 144 144 1728 141,47 2,52 6,38 20736 t x t 2 tx u 2 x 2 6,5 120,66 54,166 829,41 61,94 14736,16 a 1 = 3,78 Sa1= 0,21 Su 2 = 5,16 a 0 = 96,07 Sa0= 1,53 Sigma u 2 = 6,19 a 0 (93,30 98,85) Ttabl= 1,81 a 1 (3,41 задача 2. Парна нелінійна регресія Є такі статистичні дані, які відображають залежність між двома показниками Х та Y: X 1 1,5 2 3 3,5 4,5 6 7 8 9 11 12 Y 48 45 27 10 11 5 1 9 8 13 30 25 За наведеними статистичними даними: • оцінити параметри парної лінійної моделі y = a 0 + a 1 x (викона- ти пункти 1–5 завдання 1); • підібрати іншу форму регресійного рівняння, обчислити пара- метри моделі (виконати пункти 1–5 завдання 1); • визначити довірчі інтервали для статистичних даних y i розв’язання Здійснивши побудову парної лінійної моделі y a a x 0 1 за алгоритмом пунктів 1–5 завдання 1, дістанемо такі результати: y x 26 2 1 2 , , , R R 2 0 083 0 288 , , , Очевидно, що побудована модель не передає залежності між показника- ми. Розташування точок на (рис. 2) наводить на думку про існування іншої форми залежності. Такою залежністю може бути параболічна: y a a x x 0 1 0 2 , де a a 0 1 , — невідомі параметри моделі, а x 0 — відомий параметр, який визначається експериментально. Згідно із графіком такою величиною може бути вершина параболи, тобто величина x 0 6 . Надалі її можна уточнювати таким чином, щоб відобразити сильнішу залежність між x та y. Для цього застосувується значення коефіцієнта кореляції R Для знаходження параметрів a a 0 1 , здійснюється лінеаризація мо- делі шляхом заміни t x x 0 2 , яка приводить до лінійної моделі: y t b b 0 1 Статистичні дані при цьому набувають вигляду: T 33,87 28,30 23,23 14,59 11,02 5,38 0,67 0,03 1,39 4,75 17,47 26,83 Y 48 45 27 10 11 5 1 9 8 13 30 25 Здійснивши побудову парної лінійної моделі y t b b 0 1 за алгоритмом пунктів 1–5 завдання 1, дістанемо такі результати: y t 5 79 1 06 , , , R R 2 0 62 0 78 , , , Рис. 2 11 x 0 6 , R 0 78 , x 0 6 82 , , R 0 Рис. 3 Величину R можна збільшити, змінюючи параметр х. Напри- клад, для x 0 6 82 , маємо R 0 908 , , що є кращим, ніж у поперед- ньому випадку. Кореляційне поле і графіки трендів для різних зна- чень х зображено на рис. 3. Довірчі, або надійні інтервали для у і визначаються за формулою де табл 2 2 ( ) ; табл t( / , ) 2 2 — табличне зна- чення розподілу Стьюдента; S — стандартне відхилення залишків u y y i i i ; x t t 2 2 2 ( ) — дисперсія статистичної вибірки t i Обчислимо довірчі інтервали, графічно їх зобразимо на рис. Рис. 4 12 лабораторна робота 2. багатофакторна регресія Тема: багатофакторна регресія 1. Оцінювання параметрів рівнянь. 2. Застосування вбудованих функцій Е 3. Коефіцієнти кореляції та детермінації. Значущість коефіцієнта кореляції. 4. Перевірка моделі на адекватність за F-критерієм Фішера. 5. Коефіцієнт еластичності. 6. Прогнозування за моделлю. Література [1–4; 8; 11; задача На основі n = 15 статистичних даних певного регіону: 1) визначити параметри лінійної моделі залежності прибутку під- приємства (Y) від рівня інвестицій (І, витрат на рекламу (Cr) та заробітної плати (L); 2) оцінити коефіцієнт детермінації R 2 i Y X 1 (I) X 2 (Cr) X 3 (L) 1 15,70 17,37 5,28 1,42 2 17,34 18,24 6,47 1,58 3 21,57 22,47 6,98 1,98 4 33,50 18,47 7,05 2,04 5 32,30 16,82 7,94 2,38 6 37,90 17,60 8,12 3,48 7 40,78 17,12 8,69 3,07 8 48,02 19,81 9,31 3,84 9 43,30 18,67 10,45 4,28 10 49,57 20,83 10,47 4,67 11 52,14 22,84 13,48 5,98 12 55,17 28,85 15,78 6,51 13 59,18 29,61 17,65 7,82 14 62,22 35,67 18,47 8,58 15 77,58 47,87 19,64 9,47 13 розв’язання 1-й крок. оцінювання параметрів Загальна лінійна модель має вигляд: y = а+ а+ а + аде у — результативна (залежна) змінна; Y — прибуток підприємс- тва; x x x 1 2 3 , , — незалежні, факторні змінні (І, С i L відповідно); а, а, а — параметри моделі; u — випадкова складова регресійно- го рівняння. 1.1. Оцінювання параметрів моделі а, а, ..., а виконаємо методом найменших квадратів, матричний запис якого має вигляд: A X X X Y T T ( ) (де вектор невідомих п 1 2 3 А a a a a аараметрів. Складемо вектор-стовпець і матрицю спостережень у вигляді: 15,7 1 17,37 5,28 1,42 17,34 1 18,24 6,47 1,58 21,57 1 22,47 6,98 1,98 33,5 1 18,47 7,05 2,04 32,3 1 16,82 7,94 2,38 37,9 1 17,6 8,12 3,48 Y = 40,78 ; X = 1 17,12 8,69 3,07 . 48,02 1 19,81 9,31 3,84 43,3 1 18,67 10,45 4,28 49,57 1 20,83 10,47 4,67 52,14 1 22,84 13,48 5,98 55,17 1 28,85 15,78 6,51 59,18 1 29,61 17,65 7,82 62,22 1 35,67 18,47 8,58 77,58 1 47,87 19,64 9,47 Стовпчик одиниць у матриці Х відповідає коефіцієнту 1 при па- раметрі a 0 14 Виконувати розрахунки будемо за допомогою вбудованих функ- цій Excel: 1) X ′ — функція ТРАНСП(массив) (ТРАНСПонована матриця) із категорії ссылки и массивы) Х, X′Y, A — функція МУМНОЖ(массив1, массив) (Матричное УМНОЖение) із категорії математические) (Х — функція МОБР(массив) (Матрица ОБРатная) також із категорії “математические”. Для роботи із вказаними функціями потрібно: 1) виділити місце під результат (діапазон комірок); 2) викликати функцію (натиснути кнопку f x на панелі інстру- ментів, вказати категорію, вибрати функцію); 3) вказати аргументи функції (у тому порядку, як вони записані у формулі); 4) після виходу з діалогового вікна функції у рядку формул на- тиснути ліву клавішу мишки (аргументи виділяться рамками, а потім одночасно натиснути на клавіатурі три клавіші (Ctrl+Shift+Enter). Врешті отримаємо такі результати: X ′ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17,37 18,24 22,47 18,47 16,82 17,6 17,12 19,81 18,67 20,83 22,84 28,85 29,61 35,67 47,87 5,28 6,47 6,98 7,05 7,94 8,12 8,69 9,31 10,45 10,47 13,48 15,78 17,65 18,47 19,64 1,42 1,58 1,98 2,04 2,38 3,48 3,07 3,84 4,28 4,67 5,98 6,51 7,82 8,58 9,47 X'X = 15 352,24 165,78 67,1 352,24 9335,74 4404,383 1858,071 165,78 4404,38 2147,268 914,9516 67,1 1858,07 914,9516 397,2576 ; ; 15 (X'X) -1 = 2,14866 -0,0276 -0,51745 0,958316 -0,0276 0,00428 -0,0056 -0,00245 -0,5174 -0,0056 0,18797 -0,31932 0,95831 -0,0024 -0,31932 0,58755 X'Y А 1 2 3 |