1   2   3   4
Ім'я файлу: курсова.doc
Розширення: doc
Розмір: 994кб.
Дата: 23.04.2020
скачати
Пов'язані файли:
нім.docx
РЕФЕРАТ.docx

ЖИТОМИРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені ІВАНА ФРАНКА

(фізико-математичний факультет)

КУРСОВА РОБОТА
НА ТЕМУ:
«МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ВИЩИХ СТЕПЕНІВ»

Виконала студентка:

Житомир 2019

ЗМІСТ

ВСТУП………………………………………………………………… 3

РОЗДЛ І Методи розв’язування рівнянь вищих степенів……………………………………………………… 5

1.1

1.2

РОЗДІЛ 2

2.1Теорема Безу та її наслідки

2.2 Властивості рівнянь вищих степенів

ВИСНОВКИ…………………………………………………………..

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ…………………….

Вступ

     Поняття рівняння являється одним із фундаментальних понять алгебри, адже рівняння є своєрідною формою аналітичного методу мислення. Безліч задач з курсу геометрії, хімії , фізики можна звести до створення математичної моделі, яка часто являє собою рівняння, яке ми повинні вміти розв'язати. Тобто рівняння можна розглядати як символічний запис для пізнання реальної дійсності.

Саме розв'язуючи рівняння ми розвиваємо уміння розмірковувати, спів- ставляти і протиставляти факти, порівнювати рівняння з розв'язаними раніше, знаходити в них спільне й відмінне.

Розв'язування рівнянь вищих степенів дає нам можливість застосовувати в комплексі всі методи, знайомі нам з перетворень многочленів, а також - необхідність розширення множини дійсних чисел і утворення поля комплексних чисел. Кількість коренів рівнянь, розгляданих в роботі, ще раз переконує нас в тому, що рівняння n-го степеня має не більш як n розв'язків.

Алгебра – частина математики, напевно, одна із стародавніх наук. Багато алгебраїчних понять, якими ми користуємося, вперше згадуються ще у вавілонських клинописних таблицях і єгипетських папірусах, які відносяться до III тисячоліття до н.е.. Ця наука дедуктивна, чітко обґрунтована, яка виросла із набору корисних правил, спостережень. Майже все нове в алгебрі зберігає відбиток минулих часів. В початковому розумінні – це наука про розв’язування рівнянь.

Розв’язуванню рівнянь надається важливе значення. Це пояснюється тим, що багато геометричних задач, задач по фізиці, хімії, біології розв’язується з їх допомогою. Вони складаються і сьогодні – як  у шкільній програмі, так і для конкурсних екзаменів у вузи,  для олімпіад. Той хто зможе складати і розв’язувати  різні алгебраїчні рівняння, які можуть служити математичними моделями до різних процесів життя на Землі і в космосі, той, напевно, буде генієм Всесвіту та розумно ним керувати. Роз’язуваня рівнянь вищих степенів є дорогою до цього.       

Розглянути теоретичне підґрунтя  понять, визначень та теорем, що лежать в основі алгебраїчних рівнянь вищих степенів з однією змінною. Показати їх застосування при практичному розв’язанні деяких рівнянь, дослідити шляхи розв’язувань рівнянь вищих степенів з однією змінною на основі теореми Безу та можливість чи неможливість її застосування для нецілих коренів.

Об’єкти та предмет дослідження:

Означення та властивості рівнянь вищих степенів, їх різновиди, теорема Безу, специфіка застосування властивостей та наслідків теорії рівнянь для повноти їх розв’язання.

Методологічною основою дослідження є теоретичні поняття і визначення, практичний та теоретичний досвід вчених по проблемі розв’язуваності чи нерозв’язуваності рівнянь вищих степенів.

Методи дослідження:

Теоретичний: аналіз теорії рівнянь вищих степенів.

Порівняльний: аналіз невідомого, співставлення, порівняння.

Практичний: розв’язування рівнянь вищих степенів.

Практична значимість самого дослідження полягає в тому, що теорія і практика розв’язування призводить до поглиблення практичних знань, умінь і навичок розв’язуваності рівнянь вищих степенів, розширення знань, пов’язаних з загальною темою «Рівняння».

Перші дослідники алгебраїчних рівнянь вищих степенів.

Алгебраїчні рівняння першого степеня з одним невідомим роз’язували вже в Стародавньому Єгипті та Вавілоні. Вавілонські писці вміли розв’язувать і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь та рівнянь другого степеня. За допомогою складених таблиць вони розв’язували деякі рівняння третього степеня, наприклад, х3 + х = а.  В Стародавній Греції квадратні рівняння роз’язували за допомогою геометричних побудов. Користуючись геометричними методами математики Середньовіччя досліджували кубічні рівняння, але їм не вдалося вивести формулу для їх розв’язку. Першим значним відкриттям західноєвропейської математики було отримання в XVI ст. формули для розв’язування кубічного рівняння. Як відомо, це відкриття належить математику-самоучці Н. Тартальї :

х3 + px + q = 0;

В цей же час Л. Феррарі знайшов розв’язування рівнянь четвертого степеня, ми їх знаємо як біквадратні рівняння. Однією з важливих завдань  теорії алгебраїчних рівнянь в XVII – XVIII ст. було знаходження формул для розв’язування рівнянь п’ятого степеня. Після безрезультатних пошуків багатьох алгебраїстів, зусиллями французького вченого Ж. Лагранжа ( 1736 – 1813 р.р.),  італійського вченого П. Руффіні ( 1765 – 1822 р.р.)  та норвежського вченого   Н. Абеля (1802 – 1829 р. р. ) було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння п’ятого степеня через коефіцієнти рівняння, використовуючи дії добування коренів. Ці дослідження продожив К. Гаусс ( 1777 – 1855 р.р. ), а завершив Е. Галуа ( 1802 – 1829 ).

В теперішній час теорія систем алгебраїчних рівнянь перетворилася в самостійну галузь математики, яка називається – алгебраїчна геометрія.

Розділ I Методи розв'язування рівнянь вищих СПЕПЕНІВ

Для алгебраїчних рівнянь вищих степенів не існує єдиного загального методу розв'язування. Методи, які можна застосувати, базуються на загальному підході, коли дане рівняння поступово замінюється простішим. Для побудови ланцюжка рівносильних рівнянь суттєвою є транзитивна властивість відношення рівносильності: якщо рівняння (1) рівносильне рівнянню (2), а рівняння (2) рівносильне рівнянню (3), то рівняння (3) рівносильне рівнянню (1).

Одним з найбільш доступних та доречних методів розв'язування рівнянь є метод розкладання на множники.

  1. Метод розкладання на множники

Застосування цього методу ґрунтується на такій теоремі:

Теорема. Якщо f(x) з областю визначення І можна подати як f(x) = f1(x)· f2(x)·… fn(x) , де f1(x), f2(x), …,fn(x) мають область визначення І, тоді множиною розв'язків рівняння f(x) = 0 є об'єднання множин розв'язків рівнянь f1(x) = 0; f2(x) = 0;… fn(x) = 0.

Доведення: нехай x = a - корінь рівняння (1). Тоді знаючи, що f(x) = f1(x)· f2(x)·… fn(x), маємо f(а) = f1(а)· f2(а)·… fn(а) = 0. Це можливо, за умови рівності добутку нулеві, коли один із множників дорівнює нулю. А тому один з коренів рівняння f(x) = 0 є коренем одного з рівнянь f1(x) = 0; f2(x) = 0; … fn(x) = 0.

І навпаки. Якщо х = а1 – корінь одного з рівнянь f1(x) = 0; f2(x) = 0; … fn(x) = 0, то f(а1) = f11)· f21)·… fn1) = 0, тобто корінь довільного рівняння f11) = 0… fn1) = 0 є однозначно і коренем рівняння f(x) =0.

Використовуючи цю теорему при розв'язування складних рівнянь, необхідно стежити, щоб при розкладанні на множники не змінювалася область визначення рівняння. Контроль за виконанням цієї вимоги передбачає находження області визначення рівняння, але часто це виявляється складнішим за саме розв'язання. Тому доцільно перш за все виписати всі застереження і, діставши розв'язки, звірити їх з накладеними умовами. Ці умови, разом з початковим рівнянням, доречно об'єднати у систему.

Приклад 1. Розв'язати рівняння : х6 – 1 = 0.

Розв'язання. Скористаймося формулою різниці квадратів і запишемо рівняння як (х3 )2 - 1 = 0,

( х3 - 1 )( х3 + 1) = 0.

За формулою суми та різниці кубів маємо: (х-1)(х2+х+1)(х+1)(х2 - х+1) = 0, тоді х – 1 = 0 або х2 + х+1= 0 або х+1= 0 або х2 - х+1= 0, тоді

х1 = 1 D =1 - 4= -3 = 3і2 х4 = -1 D = 1 - 4= -3 = 3і2

х2 =   х5 =  

х3 =   х6 =  

Відповідь: х1,2 = ± 1, х3,4 =  , х5,6 =  

Якщо ліву частину рівняння не можна розкласти на множники відомими способами шкільного курсу, то знаючи, що ліва частина рівняння многочлен, скористуємося теоремою Безу з наступним застосуванням схеми Горнера або діленням многочлена «кутом».

Якщо для многочленів Pn(x), Qm(x) i Ke(x), де (n,m,e) N – степені многочленів, виконується рівність Pn (x) = Qm (x) · Ke(x); n = m + e, то говорять, що кожен із многочленів Qm (x) i Ke(x) є дільником Pn (x). Як і на множині цілих чисел, так і на множині многочленів, операція ділення націло не завжди виконується. Тому і для многочленів визначена операція ділення з остачею.

Поділити з остачею многочлен Pn (x) на Qm (x) – означає знайти такі єдині многочлени Ke(x) і Re(x), що Pn (x) = Qm (x) · Ke(x) + Rк(x).

а) ділення многочлена «кутом».

Якщо в многочленах відсутні одночлени з деяким степенем х, то перед тим як ділити їх, слід ввести відповідні одночлени з нульовими коефіцієнтами

Приклад 2. Поділити х3 + 5х? + 10х + 15 на (х + 2).

РðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 1 озв'язання. х3 + 5х? + 10х + 15 = (х2 + 3х + 4)(х + 2) + 7.

хðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 2 ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 3 3 + 5х? + 10х + 15 х + 2

хðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 6 3 + 2х? х2 + 3х + 4

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 42 + 10х

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 72 + 6х

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 5 4х + 15

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 8 4х + 8

7

Приклад 3. (х3 +х – 2) / (х - 1) = х? + х + 2.

хðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 9 ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 10 3 + 0х? + х – 2 х – 1

хðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 14 3 - х? х? + х + 2

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 11 ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 15 х? + х

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 12 х? - х

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 16 2х – 2

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 13 2х – 2

0

б) Метод невизначених коефіцієнтів.

Нехай дано многочлени

Pn (x) = p0 xn + p1 xn-1 + … pn-1 x + pn (1) і

Qm (x) = q0 xm + q1 xm-1 + … qm-1 x + q (2); m ≤ n, тоді

Kn-m (x) =  xn-m + c1xn-m-1 + … + cn-m і остача

Rm-1 (x) = d0 xm-1 + d1xm-2 + …+ dm-1,

де c1 ,c2 ,cn-m ,d0 ,d1 ,dm-1 - невідомі коефіцієнти.

Запишемо тотожну рівність Pn (x) = Qm (x)· Kn-m (x) + Rm-1 (x) (3)

  1. Перемножимо многочлени Qm (x) і Kn-m (x).

  2. Зведемо подібні доданки в правій частині рівності (3)

  3. Запишемо отриманий многочлен в канонічному вигляді.

  4. Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х цього многочлена і многочлена Pn (x).

  5. Утворимо систему n рівнянь відносно n невідомих c1 , c2 ,…,cn-m і d0 ,d1, dm-1.

  6. Якщо d0 = d1 = …= dm-1 = 0, то Pn (x) ділиться на Qm (x) без остачі.

  7. Якщо хоч один з (d0 ,d1 ,…, dm-1) ≠ 0, то утворюється остача, в якій степінь дорівнює максимальному степеню одночлена з (2), при якому коефіцієнт не дорівнює нулю.

Приклад 4. Поділити многочлен 2х5 + 8х4 - 3х3 + 11х2 – х + 3 на (х - 2).

Алгоритмічний запис

Реалізація алгоритмічного запису

1.Записати многочлен-частку з відомим старшим коефіцієнтом

4 + с1х3 + с2х2 + с3х + с4

2. Записати остачу

d0

3. Записати тотожну рівність

5 + 8х4 - 3х3 +11х2 – х + 3 = (х - 2)  

 (2х4 + с1х3 + с2х2 + с3х + с4) + d0

4.Звести подібні доданки в правій частині рівності

5+(с1+4)х4 + (с2+2с1) х3 + (с3 +2с2)    х2+( 2с3 + с4)х + 2с4 + d0

5.Прирівняти коефіцієнти при однакових степенях х в лівій і правій частинах рівності

ð›ðµð²ð°ñ ñ„ð¸ð³ñƒñ€ð½ð°ñ ñðºð¾ð±ðºð° 17 8 = с1 + 4,

-3 = с2 + 2с1,

11 = с3 + 2с2,

-1 = с4 + 2с3,

3 = 2с4 + d0.

6.Розв'язати систему

с1 = 4; с2 = -11; с3 = 33; с4 = - 67;

d0 =137

7.Записати частку

4 + 4х3-11х2 +33х - 67

8.Записати остачу

137



Отже, 2х5 + 8х4 - 3х3 + 11х2 – х + 3=(х - 2)( 2х4 + 4х3 - 11х2 + 33х - 67) + 137.

в) схема Горнера.

При діленні многочлена Аn (x) =а0 xn + а1 xn-1 + … + аn-1 x + аn на двочлен (х-α) для визначення коефіцієнтів частки застосовується схема, запропонована відомим англійським математиком Горнером. Спосіб обчислення за цією схемою ґрунтується на методі невизначених коефіцієнтів.

Нехай при діленні многочлена степеня n

Аn (x) = а0 xn + а1 xn-1 + … аn-1 x +аn на двочлен (х - α) дістали многочлен -частку Bn-1 (x) = а0 xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1 степеня n - 1, а в остачі число. За методом невизначених коефіцієнтів маємо:

а0 хn + а1х n-1 + а2 хn-2 + …+ аn-2 х2 + аn-1 х + аn = (а0 хn-1 + b1хn-2 + … + bn-2х + bn-1)( х - - α) + r , тобто

а0 хn + а1х n-1 + а2 хn-2 + … + аn-2 х2 + аn-1 х + аn = а0 хn + b1хn-1 + b2 хn-2 + … + bn-1х - - а0 αхn-1 - b1 αхn-2 - … - bn-2αх - bn-1α + r.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х у лівій і правій частинах рівності, знаходимо:

а1 = b1 - αа0,

а2 = b2 - αb1,

…………,

an-1 = bn-1 - αbn-2

an = r - αbn-1, звідки дістанемо

b1 = а1 + αа0,

b2 = а2 + αb1,

…………….

bn-1 = an-1 + αbn-2,

r = an + αbn-1.

Відповідний алгоритм обчислення коефіцієнтів частки Bn-1 (x) і остачі r зручно записати у вигляді схеми:

аðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 18 0 а1 а2 … an-1 an

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 19 ↓ αа0 αb1 … αbn-2 αbn-1

α а0 b1 b2 … bn-1 r

Приклад 5. Знайдемо частку та остачу від ділення многочлена

3 - 12х? + 7х - 2 на двочлен (х - 3).

РðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 20 озв'язання. а0 а1 а2 а3

6 -12 7 -2

↓ 18 18 75

ðŸñ€ñð¼ð°ñ ñð¾ðµð´ð¸ð½ð¸ñ‚ðµð»ñŒð½ð°ñ ð»ð¸ð½ð¸ñ 21 α = 3 6 6 25 73

Отже, часткою є многочлен 6х? + 6х + 25, а остача 73. Тоді 6х3 - 12х? + 7х - 2 = = (6х? + 6х + 25)(х - 3) + 73. Знайдемо значення многочлена при х = 3, тоді

6·33 - 12·33 + 7·3 – 2 = 73.

Кожного разу, поділивши многочлен Pn (x) на двочлен (х - α) і знайшовши остачу r, ми можемо скласти рівність Pn (x) = (х - α)· Kn-1 (x) + r, яка є правильною і якщо х = α, тобто Pn (α) = r.

Цим самим ми показуємо істинність твердження, що відоме в математиці як теорема Безу.

  1   2   3   4

скачати

© Усі права захищені
написати до нас