1   2   3
Ім'я файлу: числові методи-курсак.docx
Розширення: docx
Розмір: 657кб.
Дата: 10.06.2021

Дослідження точності
Дослідження точності отриманих виразів при чисельних розрахунках зручно робити за допомогою апостеріорної оцінки, по швидкості спадання членів відповідного ряду Тейлора. Якщо крок сітки досить малий, то похибка близька до першого відкинутого члена.

У такий спосіб порядок точності результату стосовно кроку сітки дорівнює числу залишених членів ряду, чи іншими словами, він дорівнює числу вузлів інтерполяції мінус порядок похідної. тому мінімальне число вузлів необхідне для обчислення m-ої похідної, дорівнює m+1, воно забезпечує перший порядок точності.

Ці висновки відповідають принципу: при почленному диференціюванні ряду швидкість його збіжності зменшується.

Якщо врахувати погіршення збіжності ряду при диференціюванні, то можна зробити висновок: навіть якщо функція задана добре складеною таблицею на досить докладній сітці, то практично чисельним диференціюванням можна визначити першу і другу похідні, а третю і четверту – лише з великою похибкою. Похідні більш високого порядку рідко вдається обчислити з задовільною точністю.

Одним з найбільш простих і досить ефективних методів оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді
.
За формулою Рунге

Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:

де yi – наближене значення, отримане в точці з кроком h; y2i – із кроком h/2; p - порядок методу; y(x2i) - точний розв’язок задачі.

Формула Рунге:
.
Збіжність різницевої схеми
Постановка задачі

Універсальним методом наближеного розв’язання, є метод скінченних різниць. Як задачі представлені у вигляді систем нелінійних рівнянь у часткових, які розглядаються у області

Розв’язок задачі в має додаткові умови:

  1. умови при називають початковими умовами;

  2. умови на границі області крайовими або граничними умовами.

Задача з початковими умовами – називається задачею Коші.

Нехай . Тоді для функції маємо задачу:
(1)

(2)
де и - диференціальні оператори задачі і крайових умов. Припустимо ,що відповідно задачі (1-2) поставлені коректно, тобто оператори А и R; область D и її границі Г такі, що при виборі відповідних класів функцій і правих частин у рівняннях (1) и (2) розв’язок існує, і залежить від початкових даних.

Різницева схема

Введемо у області сітку , яка складається з множини внутрішніх вузлів і множини граничних вузлів :

Далі розглянемо сіткові функції і з їх допомогою побудуємо наближений розв’язок задачі (1-2). Для цього відносно сформулюємо "різницеву задачу", заміняючи оператори задачі і і їх сітковим аналогами и . Тоді на сітковому шаблоні маємо
(3)

(4)
Задачу (3)-(4) назвемо різницевою схемою для задачі (1)-(2). Звичайно це алгебраїчна система рівнянь відносно .

При переході від початкової задачі (1)-(2) до її різницевого аналогу (3)-(4) особливо важливі 3 групи питань:

- існування, єдиність і алгоритм побудови різницевого розв’язку ;

- при яких умовах різницевий розв’язок збігається до точного розв’язку і яка при цьому швидкість збіжності;

- як конкретно вибирати сітку і побудувати різницеву схему і у задачі (3)-(4).

Нев’язка різницевої схеми

При побудові різницевого рівняння задачі

ми отримали задачу, якої точний розв’язок , як правило, не задовольняє. Сіткову функцію

називають нев’язкою сіткового рівняння (3). Її зручно представити на розв’язку и(х) у вигляді:
на (5)
Аналогічно знаходяться нев’язки граничних умов
на (5')
Як правило нев’язки і оцінюють по параметру через розклад у ряд Тейлора в припущені гладкості відповідного розв’язку для отримання представлення нев’язки з залишковим членом виду .

Апроксимація різницевої схеми

Різницева схема (3)-(4) апроксимує задачу (1)-(2), якщо має місце:
(6)
Тобто відповідні нев’язки 0 к нулю при .

Апроксимація задачі (1)-(2) має порядок , якщо
(6')
У цих випадках норми рахуються для сіткових функцій на і але у своїх функціональних просторах.

Зауваження:

Сам розв’язок задачі (1)-(2) ,як правило невідомий і використовувати його для отримання нев’язок і не можна. Тому беруть широкий клас функцій і вимагають апроксимації порядку к задачі (1)-(2) , тобто
.
При цьому на розв’язку задачі (1)-(2) апроксимація буде не гірше, ніж порядок

Як правило схема (3)-(4) по різним змінним має різний порядок апроксимації , наприклад, нев’язка рівняння

Така апроксимація називається абсолютною на відміну від умовної апроксимації у випадку, коли, наприклад

При умовній апроксимації різницеве рівняння може апроксимувати різні диференціальні задачі.

Стійкість різницевої схеми

Відсутність стійкості різницевої схеми характеризується тим, що малі помилки, допущені на якому-небудь етапі обчислення, надалі сильно зростають і роблять непридатним результат розрахунку (чи взагалі неможливим сам розрахунок). Звичайно стійкість різницевої схеми оцінюють по погрішності вхідних даних, оскільки погрішність апроксимації, у силу визначення (6), при до нуля. Виділимо в структурі погрішності ці доданки:

Типовий графік залежності погрішності сіткового рішення від величини кроку такий:

I - При зменшенні кроку спочатку погрішність усіх схем убуває, тому що істотно зменшується погрішність апроксимації.

П - Для стійких схем погрішність сіткового рішення буде прагнути до скінченої величини, зв'язаної з помилкою вхідних даних. Якщо при помилка вхідних даних зникає, те - це випадок III. Тобто стійка схема в цьому випадку дозволяє одержати як завгодно високу точність розрахунку.

Якщо ж схема не стійка (IV), то при похибка зростає(чи зростає об’єм не стійких обчислень). Похибка буде мати ненульовий мінімум і вже неможливо одержати як завгодно високу точність розрахунку.

Як правило похибка вхідних даних і апроксимації мають степеневий характер залежності від ; а не стійкість приводить до зростання похибки розв’язку по експоненціальному закону і при розрахунки втрачають сенс. Нагадаємо

Різницева схема (3-4)стійка по вхідним даним і , якщо розв’язок різницевої схеми неперервно залежить від вхідних даних і ця залежність рівномірна відносно кроку сітки , тобто є ( не залежить від ) таке, що
(7)
Для лінійних схем різницеве рішення лінійно залежить від вхідних даних (у силу лінійності зворотного оператора)і . Тоді

Зауваження:

На стійкість різницевої схеми впливає не тільки апроксимація рівнянь (1) (тобто оператора А), але, і особливо, крайових умов (2).

Якщо змінних у задачі мало, то розглядають безумовну й умовну стійкість;

Збіжність різницевої схеми

Розв’язуючи сіткову задачу (3)-(4) нас цікавить близькість сіткового розв’язку у(х) до розв’язку и(х) задачі (1)-(2). Різницевий розв’язок у(х) збігається до розв’язку и(х), якщо
(10)

Різницевий розв’язок має порядок точності , якщо
(10')
Нагадаємо ще раз, що ми розглядаємо лише коректні різницеві схеми (3)-(4), тобто рішення різницевої схеми існує і єдино при будь-яких вхідних даних и з заданих класів функцій і схема стійка по вхідним даної (її рішення неперервно них залежить).

Теорема: Якщо розв’язок задачі (1)-(2) існує, різницева схема (3)-(4) коректна и апроксимує задачу (1)-(2), то різницевий розв’язок збігається до точного:

("Апроксимація + Стійкість =>Збіжність").

Доведення: Запишемо нев’язку різницевої схеми (3)-(4).
(*)
Функція u(x) задовольняє задачі (*) — збуреній задачі (3)-(4). Так як схема стійка, то :

В силу апроксимації має місце

Таким чином: маємо

тобто іпри

Зауваження:

Якщо яка-небудь дана нам умова апроксимується точно, то стійкість по ній можна не вимагати, тому що вона не вносить похибки у розв’язок (окрім помилок округлення, тоді стійкість по цим даним потрібна).

Для умовної апроксимації (чи стійкості) збіжність теж носить умовний характер.
Програмна реалізація(представлена на мові Delphi)
Розв’язати диференційне рівняння:

З крайовими умовами:



Розв’язання з використанням методу Гауса:
unit Unit1;
interface
uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Buttons;
type

TForm1 = class(TForm)

Panel1: TPanel;

Label1: TLabel;

Image1: TImage;

Image2: TImage;

Label2: TLabel;

LabeledEdit1: TLabeledEdit;

LabeledEdit2: TLabeledEdit;

LabeledEdit3: TLabeledEdit;

LabeledEdit4: TLabeledEdit;

LabeledEdit5: TLabeledEdit;

LabeledEdit6: TLabeledEdit;

LabeledEdit7: TLabeledEdit;

LabeledEdit8: TLabeledEdit;

LabeledEdit9: TLabeledEdit;

LabeledEdit10: TLabeledEdit;

LabeledEdit11: TLabeledEdit;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

SpeedButton1: TSpeedButton;

LabeledEdit12: TLabeledEdit;

Label5: TLabel;

Image3: TImage;

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure SpeedButton1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;
var

Form1: TForm1;
type Dynmas=array of array of real;

dynvec=array of real;
var a,b,pi,qi,fi,a1,a2,b1,b2,AA,BB:real;

eps,h:real;

c:dynmas;

st,m,i:integer;

x,d,y,memory:dynvec;

t_all,tx,ty,k_i:textfile;

g:boolean;
str:string;
implementation
uses Unit2;
{$R *.dfm}

function Gauss(n:Integer; a:dynmas; b:dynVec; var x:dynVec):Boolean;

Var i,j,k,l:Integer;

q,m,t:real;

Begin

for k:=0 to n-2 do

begin

l:=-1;

m:=0;

for i:=k to n-1 do

if Abs(a[i, k])>m then

begin

m:=Abs(a[i, k]);

l:=i;

end;

if l=-1 then

begin

Gauss:=false;

Exit;

end;

if l<>k then

begin

For j:=0 to n-1 do

begin

t:=a[k,j];

a[k,j]:=a[l,j];

a[l,j]:=t;

end;

t:=b[k];

b[k]:=b[l];

b[l]:=t;

end;

for i:=k+1 to n-1 do

begin

q:=a[i,k]/a[k,k];

for j:=0 to n-1 do

If j=k then

a[i,j]:= 0

else

a[i,j]:= a[i,j]-q*a[k,j];

b[i]:=b[i]-q*b[k];

end;

end;
if a[n-1,n-1]<>0 then

x[n-1]:=b[n-1]/a[n-1,n-1]

else

begin

Gauss:=false;

Exit;

end;
for i:=n-2 downto 0 do

begin

t:=0;

for j:=1 to n-i do

t:=t+a[i,i+j]*x[i+j];

x[i]:=(1/a[i,i])*(b[i]-t);

end;

Gauss := true;

end;
procedure Koef(var s:dynmas; k:integer; h:real; v:dynvec; var z:dynvec);

var i:integer;

begin

s[0,0]:=h*a1-a2; s[0,1]:=a2;

z[0]:=h*AA;

for i:=0 to 2*(k-1) do

begin

s[i+1,i]:=1-(h*pi*ln(v[i]))/2;

s[i+1,i+1]:=h*h*qi-2;

s[i+1,i+2]:=1+(h*pi*ln(v[i]))/2;

z[i+1]:=h*h*fi;

end;

s[2*k,2*k-1]:=-b2; s[2*k,2*k]:=h*b1+b2;

z[2*k]:=h*BB;

end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

getdir(0,str);

str:=str+'\otv\';

end;
procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);

begin

if (form1.LabeledEdit1.Text='') and

(form1.LabeledEdit9.Text='') and

(form1.LabeledEdit12.Text='') then

begin

showmessage('так як ви не ввели коефіцієнти, то программа буде задіяна зі стандартним набором данних');

pi:=-1;

qi:=-2;

fi:=1;

a1:=1;

a2:=-1;

a:=0.5;

AA:=1;

b1:=1;

b2:=1;

b:=1.5;

BB:=0;

eps:=0.0001;

end

else

begin

pi:=strtofloat(form1.LabeledEdit1.Text);

qi:=strtofloat(form1.LabeledEdit2.Text);

fi:=strtofloat(form1.LabeledEdit3.Text);

a1:=strtofloat(form1.LabeledEdit4.Text);

a2:=strtofloat(form1.LabeledEdit5.Text);

a:=strtofloat(form1.LabeledEdit6.Text);

AA:=strtofloat(form1.LabeledEdit7.Text);

b1:=strtofloat(form1.LabeledEdit8.Text);

b2:=strtofloat(form1.LabeledEdit9.Text);

b:=strtofloat(form1.LabeledEdit10.Text);

BB:=strtofloat(form1.LabeledEdit11.Text);

eps:=strtofloat(form1.LabeledEdit12.Text);

end;
form2.Series1.Clear;

AssignFile(t_all,str+'otv.txt');

AssignFile(tx,str+'otv_x.txt');

AssignFile(ty,str+'otv_y.txt');

AssignFile(k_i,str+'otv_krok_vuzl.txt');

Rewrite(t_all);

m:=1;

g:=false;

While not g do

begin

h:=(b-a)/(2*m);

SetLength(y,2*m+1);

SetLength(x,2*m+1);

SetLength(d,2*m+1);

for i:=0 to 2*m do

x[i]:=a+i*h;

Setlength(c,2*m+1);

for i:=0 to 2*m do

Setlength(c[i],2*m+1);
Koef(c,m,h,x,d);
if gauss(2*m+1,c,d,y)<>true then

break;

if m<>1 then

for i:=0 to m do

if abs(memory[i]-y[2*i])/15>eps then

begin

g:=false;

break;

end

else

g:=true;

SetLength(memory,2*m+1);

memory:=Copy(y);

if g then

writeln(t_all,'Крайова задача розвязана з точністю eps =',eps:0:4);

for i:=0 to 2*m do

begin

write(t_all,y[i]:0:10);

write(t_all,' ');

writeln(t_all,x[i]:0:10);

end;

Writeln(t_all,'Кількість вузлів - ',2*m+1);

Writeln(t_all,'Крок сітки - ',h:0:10);

Writeln(t_all);

st:=m;

m:=m*2;

end;

rewrite(ty);

rewrite(tx);

rewrite(k_i);

writeln(k_i,h:0:10);

writeln(k_i,2*m+1);

form2.StringGrid1.ColCount:=2*st+2;

for i:=0 to (2*st+1) do

begin

form2.StringGrid1.Cells[i+1,0]:=inttostr(i+1);

form2.StringGrid1.Cells[i+1,1]:=floattostr(x[i]);

form2.StringGrid1.Cells[i+1,2]:=floattostr(y[i]);

writeln(ty,y[i]:0:10);

writeln(tx,x[i]:0:10);

end;

for i:=0 to (2*st) do

form2.Series1.AddXY(x[i],y[i]);

form2.Label1.Caption:='Крок сітки - '+floattostr(h);

form2.Label2.Caption:='Кількість вузлів - '+floattostr(2*st+1);

CloseFile(t_all);

CloseFile(tx);

CloseFile(ty);

CloseFile(k_i);

form2.Show;

end;
end.
Результати записуємо у файл.

Графік отриманий програмою:

Розв’язання з використанням методу прогонки:
unit Unit1;
interface
uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Buttons;
type

TForm1 = class(TForm)

Panel1: TPanel;

Label1: TLabel;

Image1: TImage;

Image2: TImage;

Label2: TLabel;

LabeledEdit1: TLabeledEdit;

LabeledEdit2: TLabeledEdit;

LabeledEdit3: TLabeledEdit;

LabeledEdit4: TLabeledEdit;

LabeledEdit5: TLabeledEdit;

LabeledEdit6: TLabeledEdit;

LabeledEdit7: TLabeledEdit;

LabeledEdit8: TLabeledEdit;

LabeledEdit9: TLabeledEdit;

LabeledEdit10: TLabeledEdit;

LabeledEdit11: TLabeledEdit;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

SpeedButton1: TSpeedButton;

LabeledEdit12: TLabeledEdit;

Label5: TLabel;

Image3: TImage;

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure SpeedButton1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;
var

Form1: TForm1;
type Dynmas=array of array of real;

dynvec=array of real;
var a,b,pi,qi,fi,a1,a2,b1,b2,AA,BB:real;

eps,h:real;

c:dynmas;

st,m,i:integer;

w_,v_,x,d,y,memory:dynvec;

t_all,tx,ty,k_i:textfile;

g:boolean;

time1,time2,vremja:longint;

str:string;
implementation
uses Unit2;
{$R *.dfm}
Function Timer:longint;

const c60:longint=60;

var h,m,s,s100:word;

begin

decodetime(now,h,m,s,s100);

timer:=((h*c60+m)*c60+s)*100+s100;

end;
function progonka(n:Integer; a:dynmas; b:dynVec; var x:dynVec):boolean;

Var i,j,k,l:Integer;

q,m,t:real;

ls:integer;

Begin

{прямой ход}

w_[0]:=(-a[0,1]/a[0,0]);

v_[0]:=(d[0]/a[0,0]);

for i:=1 to n-1 do

begin

w_[i]:=-(a[i,i+1]/(a[i,i-1]*w_[i-1]+a[i,i]));

v_[i]:=(d[i]-a[i,i-1]*v_[i-1])/(a[i,i-1]*w_[i-1]+a[i,i]);

end;

{w_[n]:= ;

v_[n]:= ;}
for i:=0 to n-1 do

begin

x[i]:=v_[i]+w_[i]*x[i+1];

end;

x[n-1]:=v_[n-1];
{обратный ход}

x[n-1]:=v_[n-1];

for i:=n-1 downto 0 do

begin

x[i]:=w_[i]*x[i+1]+v_[i];

end;
{for k:=0 to n-2 do

begin

l:=-1;

m:=0;

for i:=k to n-1 do

if Abs(a[i, k])>m then

begin

m:=Abs(a[i, k]);

l:=i;

end;

if l=-1 then

begin

progonka:=false;

Exit;

end;

if l<>k then

begin

For j:=0 to n-1 do

begin

t:=a[k,j];

a[k,j]:=a[l,j];

a[l,j]:=t;

end;

t:=b[k];

b[k]:=b[l];

b[l]:=t;

end;
for i:=k+1 to n-1 do

begin

q:=a[i,k]/a[k,k];

for j:=0 to n-1 do

If j=k then

a[i,j]:= 0

else

a[i,j]:= a[i,j]-q*a[k,j];

b[i]:=b[i]-q*b[k];

end;

end;
if a[n-1,n-1]<>0 then

x[n-1]:=b[n-1]/a[n-1,n-1]

else

begin

progonka:=false;

Exit;

end;
for i:=n-2 downto 0 do

begin

t:=0;

for j:=1 to n-i do

t:=t+a[i,i+j]*x[i+j];

x[i]:=(1/a[i,i])*(b[i]-t);

end;}
progonka := true;
end;
procedure Koef(var s:dynmas; k:integer; h:real; v:dynvec; var z:dynvec);

var i:integer;

begin

s[0,0]:=h*a1-a2; s[0,1]:=a2;

z[0]:=h*AA;

for i:=0 to 2*(k-1) do

begin

s[i+1,i]:=1-(h*pi*ln(v[i]))/2;

s[i+1,i+1]:=h*h*qi-2;

s[i+1,i+2]:=1+(h*pi*ln(v[i]))/2;

z[i+1]:=h*h*fi;

end;

s[2*k,2*k-1]:=-b2; s[2*k,2*k]:=h*b1+b2;

z[2*k]:=h*BB;

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

getdir(0,str);

str:=str+'\otv\';

vremja:=0;

end;
procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);

begin

if (form1.LabeledEdit1.Text='') and

(form1.LabeledEdit9.Text='') and

(form1.LabeledEdit12.Text='') then

begin

showmessage('так як ви не ввели коефіцієнти, то программа буде задіяна зі стандартним набором данних');

pi:=-1;

qi:=-2;

fi:=1;

a1:=1;

a2:=-1;

a:=0.5;

AA:=1;

b1:=1;

b2:=1;

b:=1.5;

BB:=0;

eps:=0.0001;

end

else

begin

pi:=strtofloat(form1.LabeledEdit1.Text);

qi:=strtofloat(form1.LabeledEdit2.Text);

fi:=strtofloat(form1.LabeledEdit3.Text);

a1:=strtofloat(form1.LabeledEdit4.Text);

a2:=strtofloat(form1.LabeledEdit5.Text);

a:=strtofloat(form1.LabeledEdit6.Text);

AA:=strtofloat(form1.LabeledEdit7.Text);

b1:=strtofloat(form1.LabeledEdit8.Text);

b2:=strtofloat(form1.LabeledEdit9.Text);

b:=strtofloat(form1.LabeledEdit10.Text);

BB:=strtofloat(form1.LabeledEdit11.Text);

eps:=strtofloat(form1.LabeledEdit12.Text);

end;

time2:=timer;
form2.Series1.Clear;

AssignFile(t_all,str+'otv.txt');

AssignFile(tx,str+'otv_x.txt');

AssignFile(ty,str+'otv_y.txt');

AssignFile(k_i,str+'otv_krok_vuzl.txt');

Rewrite(t_all);

m:=1;

g:=false;
While not g do

begin

h:=(b-a)/(2*m);
SetLength(y,2*m+1);

SetLength(x,2*m+1);

SetLength(d,2*m+1);

SetLength(w_,2*m+1);

SetLength(v_,2*m+1);

for i:=0 to 2*m do

x[i]:=a+i*h;

Setlength(c,2*m+1);

for i:=0 to 2*m do

Setlength(c[i],2*m+1);
Koef(c,m,h,x,d);
if progonka(2*m+1,c,d,y)<>true then

break;
if m<>1 then

for i:=0 to m do

if abs(memory[i]-y[2*i])/15>eps then

begin

g:=false;

break;

end

else

g:=true;

SetLength(memory,2*m+1);

memory:=Copy(y);

if g then

writeln(t_all,'Крайова задача розвязана з точністю eps =',eps:0:4);

for i:=0 to 2*m do

begin

write(t_all,y[i]:0:10);

write(t_all,' ');

writeln(t_all,x[i]:0:10);

end;

Writeln(t_all,'Кількість вузлів - ',2*m+1);

Writeln(t_all,'Крок сітки - ',h:0:10);

Writeln(t_all);

st:=m;

m:=m*2;

end;

rewrite(ty);

rewrite(tx);

rewrite(k_i);

writeln(k_i,h:0:10);

writeln(k_i,2*m+1);

form2.StringGrid1.ColCount:=2*st+2;

for i:=0 to (2*st+1) do

begin

form2.StringGrid1.Cells[i+1,0]:=inttostr(i+1);

form2.StringGrid1.Cells[i+1,1]:=floattostr(x[i]);

form2.StringGrid1.Cells[i+1,2]:=floattostr(y[i]);

writeln(ty,y[i]:0:10);

writeln(tx,x[i]:0:10);

end;

for i:=0 to (2*st) do

form2.Series1.AddXY(x[i],y[i]);

form2.Label1.Caption:='Крок сітки - '+floattostr(h);

form2.Label2.Caption:='Кількість вузлів - '+floattostr(2*st+1);

time1:=timer;

vremja:=abs(time2-time1);

form2.Label3.Caption:='час роботи: '+floattostr(vremja*0.01)+' секунд(и)';

writeln(k_i,vremja*0.01:0:5);

CloseFile(t_all);

CloseFile(tx);

CloseFile(ty);

CloseFile(k_i);

form2.Show;

end;
end
Результати записуємо у файл.

Графік отриманий програмою:

Якщо проаналізувати ці два приклади програми:

1)з використанням методу Гауса для розв’язання тридіагональної матриці;

2)з використанням методу прогонки для розв’язання тридіагональної матриці.

Ми можемо сказати, що для однієї і тієї ж задачі час розв’язання з використанням 1ого методу складає 2,99 сек., а для 2ого 0.1 сек. Така розбіжність у часі випливає з того, що метод прогону є модифікацією методу Гауса і призначений спеціально для розв’язку матриць з 3и і 5и діагональними структурами.

Розв’язуємо задачу за допомогою пакету Mathematica:

100

0.01

-0.123705



MultipleListPlot[{{0.5,0.154796},{0.51,0.146438},{0.52,0.138265},{0.53,0.130272},{0.54,0.122456},{0.55,0.114812},{0.56,0.107336},{0.57,0.100024},{0.58,0.0928731},{0.59,0.0858792},{0.6,0.079039},{0.61,0.0723491},{0.62,0.0658064},{0.63,0.0594079},{0.64,0.0531504},{0.65,0.0470312},{0.66,0.0410475},{0.67,0.0351966},{0.68,0.0294758},{0.69,0.0238829},{0.7,0.0184152},{0.71,0.0130705},{0.72,0.00784647},{0.73,0.00274101},{0.74,-0.002248},{0.75,-0.00712262},{0.76,-0.0118848},{0.77,-0.0165364},{0.78,-0.0210793},{0.79,-0.0255153},{0.8,-0.029846},{0.81,-0.0340732},{0.82,-0.0381983},{0.83,-0.0422231},{0.84,-0.0461488},{0.85,-0.049977},{0.86,-0.0537091},{0.87,-0.0573463},{0.88,-0.06089},{0.89,-0.0643414},{0.9,-0.0677017},{0.91,-0.0709721},{0.92,-0.0741536},{0.93,-0.0772473},{0.94,-0.0802542},{0.95,-0.0831754},{0.96,-0.0860117},{0.97,-0.0887641},{0.98,-0.0914334},{0.99,-0.0940204},{1.,-0.096526},{1.01,-0.0989509},{1.02,-0.101296},{1.03,-0.103561},{1.04,-0.105748},{1.05,-0.107857},{1.06,-0.109889},{1.07,-0.111844},{1.08,-0.113722},{1.09,-0.115525},{1.1,-0.117252},{1.11,-0.118904},{1.12,-0.120482},{1.13,-0.121985},{1.14,-0.123415},{1.15,-0.124771},{1.16,-0.126054},{1.17,-0.127264},{1.18,-0.128401},{1.19,-0.129466},{1.2,-0.130459},{1.21,-0.131379},{1.22,-0.132228},{1.23,-0.133004},{1.24,-0.133708},{1.25,-0.134341},{1.26,-0.134902},{1.27,-0.135391},{1.28,-0.135808},{1.29,-0.136154},{1.3,-0.136427},{1.31,-0.136628},{1.32,-0.136757},{1.33,-0.136814},{1.34,-0.136798},{1.35,-0.136709},{1.36,-0.136547},{1.37,-0.136312},{1.38,-0.136004},{1.39,-0.135621},{1.4,-0.135164},{1.41,-0.134633},{1.42,-0.134026},{1.43,-0.133344},{1.44,-0.132586},{1.45,-0.131752},{1.46,-0.130841},{1.47,-0.129852},{1.48,-0.128786},{1.49,-0.127641},{1.5,-0.126416}},{{0.5,0.159038},{0.51,0.150628},{0.52,0.142405},{0.53,0.134363},{0.54,0.126498},{0.55,0.118807},{0.56,0.111285},{0.57,0.103929},{0.58,0.0967336},{0.59,0.0896968},{0.6,0.0828146},{0.61,0.0760838},{0.62,0.0695011},{0.63,0.0630634},{0.64,0.0567678},{0.65,0.0506112},{0.66,0.0445911},{0.67,0.0387046},{0.68,0.0329491},{0.69,0.0273222},{0.7,0.0218214},{0.71,0.0164443},{0.72,0.0111888},{0.73,0.00605251},{0.74,0.00103346},{0.75,-0.00387045},{0.76,-0.00866119},{0.77,-0.0133407},{0.78,-0.0179107},{0.79,-0.0223731},{0.8,-0.0267296},{0.81,-0.0309819},{0.82,-0.0351315},{0.83,-0.0391799},{0.84,-0.0431288},{0.85,-0.0469795},{0.86,-0.0507334},{0.87,-0.0543918},{0.88,-0.0579562},{0.89,-0.0614276},{0.9,-0.0648073},{0.91,-0.0680964},{0.92,-0.0712961},{0.93,-0.0744074},{0.94,-0.0774314},{0.95,-0.0803691},{0.96,-0.0832213},{0.97,-0.085989},{0.98,-0.0886731},{0.99,-0.0912744},{1.,-0.0937936},{1.01,-0.0962317},{1.02,-0.0985892},{1.03,-0.100867},{1.04,-0.103065},{1.05,-0.105185},{1.06,-0.107227},{1.07,-0.109192},{1.08,-0.11108},{1.09,-0.112891},{1.1,-0.114627},{1.11,-0.116287},{1.12,-0.117872},{1.13,-0.119382},{1.14,-0.120819},{1.15,-0.122181},{1.16,-0.123469},{1.17,-0.124684},{1.18,-0.125825},{1.19,-0.126894},{1.2,-0.12789},{1.21,-0.128813},{1.22,-0.129664},{1.23,-0.130442},{1.24,-0.131148},{1.25,-0.131781},{1.26,-0.132342},{1.27,-0.132831},{1.28,-0.133248},{1.29,-0.133592},{1.3,-0.133863},{1.31,-0.134062},{1.32,-0.134189},{1.33,-0.134242},{1.34,-0.134222},{1.35,-0.134129},{1.36,-0.133962},{1.37,-0.133722},{1.38,-0.133407},{1.39,-0.133018},{1.4,-0.132554},{1.41,-0.132015},{1.42,-0.1314},{1.43,-0.13071},{1.44,-0.129943},{1.45,-0.129098},{1.46,-0.128177},{1.47,-0.127177},{1.48,-0.126099},{1.49,-0.124942},{1.5,-0.123705}},PlotLegend{Mathematica,Rizn method},PlotJoined{False,True},PlotPosition{0.3,-0.5}]

Отримуємо графіки:



де червона – метод скінченних різниць.

синя – стандартний метод пакету Mathematica

Висновки
Крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь є набагато складнішою, ніж задача Коші. Одним із підходів до розв'язання цієї задачі є зведення її до задачі Коші зі змінними початковими умовами. Розв'язок задачі отримують багаторазовим розв'язанням задачі Коші.

У загальному випадку для розв'язання двоточкової крайової задачі (одно- чи багатовимірної, лінійної чи нелінійної) доцільно застосовувати метод прицілювання, а для розв'язання окремих лінійних одновимірних задач — метод композиції двох розв'язків задачі Коші з різними початковими умовами.

Ефективним методом розв'язання лінійної крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку є метод скінченних різниць, у якому використовуються різницеві схеми апроксимації для похідних першого і другого порядків. У результаті крайова задача перетворюється на задачу розв'язання системи лінійних рівнянь із тридіагональною матрицею. Цю систему можна розв'язати методом прогону.

Метод скінченних різниць дозволяє також обчислювати власні значення і власні функції крайової задачі, які визначають нетривіальні розв'язки однорідної крайової задачі.

Метод скінченних різниць можна застосовувати і для розв'язання нелінійних крайових задач, але в цьому випадку необхідно лінеаризовувати нелінійні функції, що входять в умову задачі.

Розв'язок крайової задачі у вигляді апроксимуючого аналітичного виразу отримують методами колокацій, Гальоркіна і найменших квадратів введенням базисних функцій, які враховують граничні умови.

Коефіцієнти для базисних функцій та їх композиції, які апроксимують розв'язок крайової задачі, у методі колокацій вибирають з умови нульової нев'язки в обраних вузлах інтервалу розв'язку, у методі найменших квадратів — з умови мінімуму квадрату нев'язки, а в методі Гальоркіна — з умови ортогональності нев'язки до обраних базисних функцій.

У сучасних математичних пакетах розв'язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними конкуренцію розглянутим методам складає метод скінчених елементів, що базується на концепціях метода Гальоркіна за умови спеціального вибору базисних функцій.
Література
1.Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков «Численные методы»

2.В.А.Буслов, С.Л.Яковлев «Численные методы ІІ.Решение уравнений».-Курс лекций,- СПб, 2001.

3.Н.Н.Калиткин «Численные методы»

4.А.А.Самарский, А.В.Гулин «Численные методы»,- Москва,- «Наука»,-1989г.

5.Б.П.Демидович, И.А.Марон, Э.Э.Шувалов «Численные методы анализа»,-ред. Б.П.Демидовича,- Москва,- «Наука»,- 1967г.
1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас