1   2   3
Ім'я файлу: числові методи-курсак.docx
Розширення: docx
Розмір: 657кб.
Дата: 10.06.2021

рис. 2. Графік фінітної функції.
Запишемо умову ортогональності (1.50):
, (1.62)

і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих .Праві частини цих рівнянь позначимо через і отримаємо для їх обчислення вираз
(1.63)
Коефіцієнти системи рівнянь (1.62) позначимо через

Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь з невідомими . Підставляючи в останній вираз , отримаємо

Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:

Оскільки за граничних умов (1.60) використовуються , базисних функцій від до і всі вони в точках і дорівнюють 0, то

Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:
(1.64)
Для обчислення треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із цією метою диференціюємо (1.61) і отримуємо:
(1.65)
Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі . Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 3), тобто на інтервалі відмінні від нуля , , , і т. д.


рис. 3. Система фінітних функцій.

У виразі для (1.64) добутки , , можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли . А це означає, що
для , (1.66)
тобто матриця системи (1.62) є тридіагональною матрицею. її ненульові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи у виразі (1.64):
(1.67)
Для , отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці :
, (1.68)
а для - лівої;

Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (1.62) для невідомих коефіцієнтів .

Розглянемо розв’язання задачі (1.59) у випадку неоднорідних граничних умов
, (1.70)
і зведемо її до розв'язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:
, де .
Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (1.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами:
,

, . (1.71)

Постановка задачі
Щоб знайти єдиний розв'язок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рівняння n-ого порядку потрібно п таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розв'язок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї.

Двоточкова крайова задача для рівняння другого порядку має такий вигляд:
(1.1)
із граничними умовами
(1.2)
Перш ніж застосовувати будь-який чисельний метод, варто перевірити умови, що гарантують існування розв'язку цієї задачі. Наведена нижче теорема визначає загальні умови, що забезпечують існування й одиничність розв'язку.

Теорема. Припустимо, що неперервна в області

І що
і
Теж неперервні на . Якщо існує постійна , для якої виконуються умови
для всіх

для всіх (1.3)
то крайова задача (1.1) (1.2) має єдиний розв'язок для .

Найчастіше зустрічаються і найкраще вивчені двоточкові лінійні крайові задачі виду
, (1.4)

, (1.5)
де
,
Умови, які повинні задовольняти функції , і , для того щоб задача (1.4), (1.5) мала єдиний розв'язок, випливають із теореми як наслідок.

Наслідок. Якщо і неперервні на і , то задача (1.4), (1.5) має єдиний розв'язок на .

Граничні умови (1.5) визначають третю крайову задачу для рівняння (1.4). Якщо припустити, що , то умови (1.5) визначають першу крайову задачу, а коли - другу.

Точне (аналітичне) розв'язання крайових задач - більш складна процедура, ніж знаходження розв'язку задачі Коші. Це спричинило появу великої кількості наближених методів. Ці методи можна розділити на дві групи: наближено-аналітичні методи, що дають наближений розв'язок крайової задачі на відрізку у вигляді конкретної аналітичної функції, і чисельні методи, що визначають розвозок у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізка .
Метод скінченних різниць
Ідея методу скінченних різниць полягає в тому, що похідні в диференціальному рівнянні (1.4) і граничних умовах (1.5) заміняються їх скінченними різницями. Для цього спочатку введемо на відрізку сітку з кроком :
.
Позначимо через точний розв'язок задачі (1.1) у і-му вузлі сітки, а через - наближений розв'язок у цій точці. Заміняючи в кожному внутрішньому вузлі сітки похідні різницями, отримаємо різницеві рівняння:
,
Симетричні різницеві апроксимації похідних першого і другого порядків мають похибку другого порядку відносно , тобто . Це легко довести на основі розкладання в ряд Тейлора точного розв'язку рівняння. Дійсно, для вузлів та маємо



з різниці яких отримуємо шуканий результат:
,

(1.21)
Знайдемо нев’язку різницевого рівняння
.
Оскільки є точним розв'язком рівняння (1.4),
та . (1.22)
Тому різницеве рівняння (1.21) апроксимує вихідне диференціальне рівняння

(1.4) також із другим порядком відносно .

Тепер апроксимуємо граничні умови скінченними різницями:
, (1.23)
Знайдемо похибку апроксимації граничних умов. Нев’язки граничних умов (1.23) мають вигляд:
, .
Асиметрична апроксимація першої похідної на відміну від симетричної має глобальну похибку першого порядку відносно , тобто . Це безпосередньо випливає з розкладання в ряд Тейлора
,
із якого отримуємо
,
Отже, граничні умови (1.23) апроксимуються з першим порядком за к. Порядок їх апроксимації можна підвищити до другого, наприклад, використовуючи співвідношення
, (1.24)
похибка апроксимації яких також пропорційна , як і для випадку симетричної апроксимації похідних. Це випливає із порівняння двох рядів Тейлора:




Якщо перший вираз помножити на 4 і відняти його від другого, отримаємо:
.
Після його підстановки у формулу (1.24) знаходимо нев'язку у вигляді:

тобто крайова умова апроксимується з другим порядком відносно .

У такий же спосіб доводиться, що і друга гранична умова (1.23) апроксимується з другим порядком відносно .

Розглянемо ще одну можливість апроксимації крайових умов типу (1.5) на прикладі умови
.
Для цього за межами інтервалу вводиться додаткова точка , за допомогою якої обчислюється перша похідна за симетричною формулою апроксимації:
. (1.25)
Точку можна виключити, скориставшись співвідношенням (1.25) і різницевою апроксимацією диференціального рівняння (1.4) в кінцевій точці інтервалу .

Отримуємо рівняння для граничної умови в точці із порядком , яким можна замінити останнє рівняння в системі алгебраїчних рівнянь, одержаній у разі кусочно-різницевої апроксимації похідних у рівнянні (1.4).

Те ж саме можна зробити з першою умовою (1.5) і першим апроксимуючим рівнянням для . Варто підкреслити, що врахування граничних умов різних типів впливає тільки на перше й останнє рівняння цієї системи.

Зведемо подібні члени в рівнянні (1.21) і отримаємо стандартне триточкове різницеве рівняння:
, (1.27)

.
Включивши до системи рівнянь (1.25) різницеве рівняння (1.23) чи (1.24), отримаємо систему рівнянь, що містить рівняння з невідомими .

Порівняємо ці два варіанти апроксимації крайової задачі. У першому з них система лінійних алгебраїчних рівнянь, утворена рівняннями (1.21) і (1.23), має тридіагональну матрицю коефіцієнтів, і її можна розв'язати методом прогону. Щоб застосувати метод прогону в другому випадку, слід створити відповідну тридіагональну матрицю. Для цього потрібно з першого рівняння (1.27) для

Маємо рівняння з двома невідомими - і . Замінимо ним перше рівняння (1.24). Виконаємо такі ж перетворення з другим (1.24) і останнім рівнянням (1.27) для :

Виключивши з них , знаходимо:


Це рівняння містить дві невідомі - і . Замінимо ним друге рівняння (1.27). Два останні рівняння разом із (1.27) утворюють систему рівнянь із тридіагональною матрицею, що апроксимує вихідну крайову задачу (1.4), (1.5) з порядком . Цю систему також можна розв'язати методом прогону. Метод прогону є стійким, якщо матриця коефіцієнтів діагонально домінантна. Забезпечити діагональну домінантність можна обранням кроку . Для цього необхідно, щоб для системи рівнянь (1.27) виконувались умови:
і , .
Підсилюючи останні нерівності, маємо такі обмеження на величину кроку:
і , . (1.28)
Щоб задовольнялись умови (1.23), мають виконуватись нерівності
і . (1.29)
Наявність обмежень (1.28) і (1.29) свідчить про умовну стійкість розглянутого методу апроксимації.

1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас