Ім'я файлу: urfz0148.doc
Розширення: doc
Розмір: 156кб.
Дата: 31.03.2022
скачати
Пов'язані файли:
Laba10.doc

Метод кінцевих різниць

При рішенні задаx цим методом область інтегрування розбивають на ряд кінцевих інтервалів, і диференціqне рівняння заміняють рівнянням у кінцевих різницях, тобто рівнянням, у якому похідні виражені через різниці значень функцій у сусідніх вузлових точках.

Застосовуючи рівняння до всіх вузлових точок, одержують систему алгебраїчних рівнянь із невідомими; рішення цієї системи дає значення шуканої функції в цих точках.

Пояснимо метод кінцевих різниць спочатку на прикладі балки  (рис. 12.50). Розіб'ємо довжину балки на кілька однакових ділянок із кроком  і позначимо через  прогин в -й точці на границі ділянок. Значення прогину в сусідніх точках будуть відповідно:  і т.д.



Рис. 12.50. Метод кінцевих різниць на прикладі балки

Складемо вираз перших різниць:
(12.223)

де      — перша різниця по напрямку вперед;

— перша різниця по напрямку назад;

— осереднена перша різниця в розглянутій точці. Розділивши першу різницю на крок, одержимо наближене значення першої похідної. Надалі будемо користуватися тільки осередненими різницями, які більш точно характеризують значення похідних. Для першої похідної одержимо вираз

.
(12.224)

Визначимо тепер другу різницю, для цього візьмемо різницю значень перших різниць «уперед» і «назад»:

.
(12.225)

Відношення другої різниці до квадрата кроку дає наближене значення другої похідної

.
(12.226)

Аналогічно становлять різниці більш високих порядків. З теорії згину бруса відомі наступні диференційні рівняння, що зв'язують між собою прогин, згинальний момент  і інтенсивність розподіленого навантаження:

.
(12.227)

Замінивши другі похідні, відповідно до рівності (12.226), одержимо рівняння вигину балки в кінцевих різницях:

;
(12.228)

.
(12.229)

Приклад 12.17. Обчислити згинальний момент і прогин балки, зображеної на рис. 12.50.

Рішення.

Візьмемо число ділянок, рівне чотирьом, тоді . Застосуємо рівняння (12.229) до точок 1 і 2.

При  й  одержимо

;

.

По цих рівняннях знайдемо

;   .

Отримані значення збігаються з точними значеннями згинального моменту при    й  .

Застосуємо до тих же точкам рівняння (12.228). Взявши до уваги що при ,  , одержимо

;

.

Рішення цієї системи рівнянь дає наступні значення переміщень:

;   .

Отримане значення максимального  прогину відрізняється від точного значення  приблизно на 5%. Більш точний результат можна одержати, розбивши довжину балки на більше число ділянок.

При розрахунку пластин по методу кінцевих різниць площина пластини покривають сіткою пересічних ліній. Для простоти візьмемо ортогональну сітку з однаковим кроком по обох напрямках (рис. 12.51).



Рис. 12.51. Розрахунок пластини методом кінцевих різниць

Розглянемо деяку точку , розташовану на перетинанні ліній, позначених буквами  й .

Значення прогину пластини  в цій точці, а також у сусідніх вузлових точках будемо позначати так, як зазначено на рис. 12.51.

Складемо вираз перших різниць по  й :
(12.230)

Відношення цих різниць до кроку сітки дає наближене значення перших похідних по  й :
(12.231)

Складемо вираз других  різниць. Ці різниці можуть бути трьох видів — по , по  й змішані:
(12.232)

Відношення других різниць до квадрата кроку сітки приблизно виражає другі похідні:
(12.233)

Аналогічно можна скласти треті, четверті різниці й т.д. У загальному випадку рішення диференціального рівняння вигину пластини (12.139) вимагає обчислення четвертих різниць.

Якщо ж краї пластини прямолінійні й закріплені шарнірно, то можна обмежитися другими різницями. У цьому випадку рівняння теорії вигину пластин (12.131), (12.132) і (12.139) перетворять у такий спосіб. Склавши рівняння (12.131) і (12.132) і ввівши позначення

,
(12.234)

одержують

.
(12.235)

Диференціальне рівняння (12.139) приймає вид

.
(12.236)

Система двох рівнянь (12.235) і (12.236) другого порядку еквівалентна одному рівнянню (12.139) четвертого порядку.

Замінивши другі похідні їх наближеними виразами (12.233), прийдемо до наступних рівнянь у кінцевих різницях:
(12.237)



(12.238)

У такому виді рівняння зручні для розрахунку пластин із прямолінійними шарнірно обпертими краями, тому що в цьому випадку на контурі    ;  ;    і, отже, .
скачати

© Усі права захищені
написати до нас