![]() | Ім'я файлу: urfz0148.doc Розширення: doc Розмір: 156кб. Дата: 31.03.2022 скачати Пов'язані файли: Laba10.doc Метод кінцевих різниць При рішенні задаx цим методом область інтегрування розбивають на ряд кінцевих інтервалів, і диференціqне рівняння заміняють рівнянням у кінцевих різницях, тобто рівнянням, у якому похідні виражені через різниці значень функцій у сусідніх вузлових точках. Застосовуючи рівняння до всіх вузлових точок, одержують систему алгебраїчних рівнянь із невідомими; рішення цієї системи дає значення шуканої функції в цих точках. Пояснимо метод кінцевих різниць спочатку на прикладі балки (рис. 12.50). Розіб'ємо довжину балки на кілька однакових ділянок із кроком ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 12.50. Метод кінцевих різниць на прикладі балки Складемо вираз перших різниць:
де ![]() ![]() ![]()
Визначимо тепер другу різницю, для цього візьмемо різницю значень перших різниць «уперед» і «назад»:
Відношення другої різниці до квадрата кроку дає наближене значення другої похідної
Аналогічно становлять різниці більш високих порядків. З теорії згину бруса відомі наступні диференційні рівняння, що зв'язують між собою прогин, згинальний момент і інтенсивність розподіленого навантаження:
Замінивши другі похідні, відповідно до рівності (12.226), одержимо рівняння вигину балки в кінцевих різницях:
Приклад 12.17. Обчислити згинальний момент і прогин балки, зображеної на рис. 12.50. Рішення. Візьмемо число ділянок, рівне чотирьом, тоді ![]() При ![]() ![]() ![]() ![]() По цих рівняннях знайдемо ![]() ![]() Отримані значення збігаються з точними значеннями згинального моменту при ![]() ![]() Застосуємо до тих же точкам рівняння (12.228). Взявши до уваги що при ![]() ![]() ![]() ![]() Рішення цієї системи рівнянь дає наступні значення переміщень: ![]() ![]() Отримане значення максимального прогину відрізняється від точного значення ![]() При розрахунку пластин по методу кінцевих різниць площина пластини покривають сіткою пересічних ліній. Для простоти візьмемо ортогональну сітку з однаковим кроком по обох напрямках (рис. 12.51). ![]() Рис. 12.51. Розрахунок пластини методом кінцевих різниць Розглянемо деяку точку ![]() ![]() ![]() Значення прогину пластини ![]() Складемо вираз перших різниць по ![]() ![]()
Відношення цих різниць до кроку сітки дає наближене значення перших похідних по ![]() ![]()
Складемо вираз других різниць. Ці різниці можуть бути трьох видів — по ![]() ![]()
Відношення других різниць до квадрата кроку сітки приблизно виражає другі похідні:
Аналогічно можна скласти треті, четверті різниці й т.д. У загальному випадку рішення диференціального рівняння вигину пластини (12.139) вимагає обчислення четвертих різниць. Якщо ж краї пластини прямолінійні й закріплені шарнірно, то можна обмежитися другими різницями. У цьому випадку рівняння теорії вигину пластин (12.131), (12.132) і (12.139) перетворять у такий спосіб. Склавши рівняння (12.131) і (12.132) і ввівши позначення
одержують
Диференціальне рівняння (12.139) приймає вид
Система двох рівнянь (12.235) і (12.236) другого порядку еквівалентна одному рівнянню (12.139) четвертого порядку. Замінивши другі похідні їх наближеними виразами (12.233), прийдемо до наступних рівнянь у кінцевих різницях:
У такому виді рівняння зручні для розрахунку пластин із прямолінійними шарнірно обпертими краями, тому що в цьому випадку на контурі ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |