1
Видай Д. МЕ-19мп
Варіант №6
Механізм моделювання соціально-економічних процесів в теорії масового
обслуговування
Математичну теорію масового обслуговування використовують при розв'язанні
соціально-економічних задач,
пов'язаних з
організацією обслуговування та ремонту устаткування, проектуванням потокових ліній,
плануванням маршрутів міського транспорту, організацією телефонної служби тощо.
Завдання теорії
масового обслуговування — визначити такі
характеристики системи, які забезпечують задану якість її функціонування.
Основними елементами системи масового обслуговування, які характеризують структуру, склад і функціональні зв'язки, є вхідний потік запитів, послідовність запитів і засоби обслуговування. За строком перебування запитів у системі до початку обслуговування системи масового обслуговування поділяють натри групи: з необмеженим часом очікування, з відмовами (втратами) і змішаного типу. У першій еру пі,
якщо всі засоби обслуговування зайняті, елемент системи, що надійшов, чекає
доти, доки один з них не звільниться. У системах з відмовами будь-який елемент, що надійшов, а усі засоби зайняті, виходить із системи. У системах змішаного типу елемент, надійшовши до системи, де усі засоби зайняті,
перебуває у ній обмежений час, протягом якого або буде обслужений, або залишить систему. Прикладом такої системи є телефонна станція. До завдань теорії масового обслуговування належать:
● пошук залежностей,
які
характеризують якість функціонування обслуговування залежно від характеристик вхідного потоку
● пошук параметрів, які характеризують можливості обслуговування;
● вибір способу організації системи загалом.
2
Задачі теорії масового обслуговування можна розв'язати, використовуючи широку мережу потужних ЕОМ. У випадку, коли система масового обслуговування дуже складна і її треба розв'язати без спрощень,
використовують певний імітаційний метод, що потребує значних витрат машинного часу. В сучасних виробничих умовах зростає роль потреб в обслуговуванні.
Використання теорії масового обслуговування пов’язане із визначенням показників надійності роботи устаткування, а також отримання можливості
підвищення продуктивності виробництва. Серед різноманітних категорій задач,
для вирішення яких потрібно застосовувати науковий підхід аналізу випадкових явищ, головну увагу приділяють проблемам масового обслуговування. Кожен з нас, хто прямує до магазину або в інше місце, де передбачається виникнення черги, задає собі запитання: яка ймовірність черги певної довжини? Скільки часу необхідно буде чекати та від яких параметрів залежатиме дане очікування?
Відповіді на такі запитання можна отримати, здійснивши моделювання поведінки черги, якщо вхідний потік вимог розподіляється по закону Пуассона,
а проміжки часу обслуговування – за експоненціальним законом.
Системи масового обслуговування призначені для обслуговування потоку замовлень або вимог, що надходять у деякі випадкові моменти часу. Кожна така система складається з певної кількості каналів обслуговування, якими можуть бути технологічні лінії, лінії зв’язку, телефонні та автозаправні станції, робочі
точки, під’їзні шляхи тощо. Обслуговування замовлення триває деякий випадковий час, після чого канал звільняється і готовий прийняти наступне замовлення.
СМО характеризуються двома потоками вихідним потоком замовлень та потоком обслуговування. У разі, якщо інтенсивність обслуговування мала –
утворюється черга, скорочення якої можливе за рахунок використання декількох каналів обслуговування. Утворення черги спричиняє виникнення
3 наступних негативних наслідків:
недостатня пропускна здатність обслуговуючих елементів системи призводить до зниження прибутків, а також збільшується ризик втрати невдоволеного надмірним очікуванням сервісу та чергами клієнта. Вирішити дану проблему за рахунок створення додаткових місць обслуговування не є доцільним рішенням з точки зору часу їх роботи та простою. Одним із способів вирішення даного завдання є використання методу моделювання процесу обслуговування в черзі. До основних характеристик системи обслуговування належать: абсолютна пропускна здатність (А) – середнє число заявок, яке може обслуговувати система за одиницю часу Аде інтенсивність потоку заявок – інтенсивність потоку обслуговування. відносна пропускна здатність (Q) – відношення середнього числа заявок, що обслуговуються системою за одиницю часу, до середнього числа заявок, які
поступили за цей час
,
Q Алгоритм моделювання процесу обслуговування параметрів потоків в черзі
включає такі етапи:
1) визначення відносної пропускної здатності; 2) визначення абсолютної
пропускної здатності; 3) визначення імовірності відмови P; 4) порівняння фактичної пропускної здатності СМО з номінальною, котра могла б бути в разі,
якщо кожний елемент черги обслуговувався у визначений період часу та елементи надходили б безперервно один за одним. Для того, щоб змоделювати процес обслуговування в черзі, розглянемо задачу, на вхід якої поступає простий потік заявок з інтенсивністю, а час обслуговування заявки є випадковою величиною.
4 Приклад заявки на замовлення косметичних засобів у інтернет-магазині
Makeup.ua надходять з інтенсивністю
, яка дорівнює 60 заявок на годину, а λ середня тривалість розмови по телефону t об 2хв . Визначити показники ефективності роботи системи масового обслуговування за наявності одного телефонного номера. Визначити оптимальну кількість телефонних номерів,
якщо умовою оптимальності вважати задоволення в середньому з кожних заявок не менше 80 заявок.
1. Інтенсивність потоку обслуговування становить
(1/хв)
0(1/год).
μ =
t
1
=
2 1
=
2 60
= 3 2. Відносна пропускна здатність обчислюється за формулою (2):
, .
Q =
μ
λ+μ
=
30 60+30
≈ 0 3
Даний параметр означає, що лише 30% заявок, які надходять, задовольнятимуться й за ними будуть надані послуги.
3. Ймовірність відмови в обслуговуванні становить Р, .
від
=
λ
λ+μ
=
60 60+30
≈ 0 6
Отже, в середньому 60% заявок, отримають відмову в обслуговуванні.4.
Абсолютна пропускна здатність визначається за формулою (1): А =
λμ
λ+μ
=
60+30 60×30
= 2
Тобто, система здатна здійснити обслуговування в середньому 20 заявок.
Тому можна зробити висновок, що за наявності лише одного телефонного номера менеджер погано справлятиметься із потоком заявок. Для визначення оптимального числа номерів, потрібно здійснити аналіз
інтенсивності навантаження каналу.
5. Обчислимо інтенсивність навантаження каналу р =
λ
μ
=
30 60
= 2
Тобто, за час середньої за тривалістю телефонної розмови (2 хв.) надходить в середньому 2 заявки на замовлення.
5 6. Для того, щоб отримати характеристики системи та обрати оптимальний варіант кількості номерів, необхідно поступово збільшувати число каналів
(телефонних номерів) n=2,3,4, ..., перетворюючи таким чином наявну систему масового обслуговування з одноканальної в багатоканальну. Тоді відносна пропускна здатність становитиме:
,
,
Q = 1 −
n!
p
n
× p
0
= 1 −
2!
2 2
× 0 2 = 0 6 1
)
p
0
= ( + p +
2!
p
2
+ . +
k!
p
k
+ . +
n!
p
n
−1 1
)
,
p
0
= ( + 2 +
2!
2 2
−1
= 0 2 Абсолютна пропускна здатність дорівнюватиме:
0
,
6
A = λ × Q = 6 × 0 6 = 3
Аналогічним чином обрахуємо дані характеристики СМО для 3,4,5,6 каналів:
=0,8,
=48. Отримане значення задовольняє умову задачі, оскільки за A
3
умовами оптимальності
=0,8, тому необхідно встановити 3 телефонні
Q
3
номери. В такому випадку за годину обслуговуватимуться в середньому заявок, а середня кількість зайнятих номерів (каналів) дорівнюватиме:
, .
k =
μ
A
=
30 48
= 1 6
Отже, усі процеси масового обслуговування визначення закону розподілу ймовірностей числа вимог в системі вимагають здійснення фундаментальних розрахунків, на основі яких можна виявити кількісні співвідношення. Для спрощення процесу знаходження параметрів, що несуть вплив на процес масового обслуговування, потрібно використовувати алгоритм моделювання процесу обслуговування параметрів потоків в черзі.
6 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Дорохов О. В. Інформаційні технології імітаційного моделювання систем масового обслуговування клієнтів на транспортному ринку
/
О.В.Дорохов, МВ. Драшкович, Н.І. Кіріллова, В.В. Огурцов // Збірник наукових праць Харківського національного університету Повітряних
Сил, 2010. – No 3 (25). – С. 170-173.
2. Рак Л. О. Моделювання процесу обслуговування варіюванням параметрів потоків в черзі / Л.О.Рак, О.В.Шилова // Сучасні проблеми моделювання:
зб. наук. праць. – 2016. – No 7. – С. 126-129.
3. Совєтов Б. Я. Моделювання систем : підручник для вузів / Б. Я. Совєтов,
С. А. Яковлев – К. : Вид.-полігр. центр “Київський університет”, 2011. –
342 с.
4. Руська
Р.
В.,
Іващук
О.
Т.
Навчальний посібник
„Методи економіко-статистичних досліджень: Тернопіль: Тайп, 2014.–190 с.
5. Стеценко, І.В. Моделювання систем навч. посіб. [Електронний ресурс,
текст] / І.В. Стеценко ; М-во освіти і науки України, Черкас.держ. технол.
ун-т. – Черкаси : ЧДТУ, 2010. – 399 с.