Ім'я файлу: МАТЕМАТИЧНІ ПОНЯТТЯ.docx
Розширення: docx
Розмір: 37кб.
Дата: 09.01.2021




Математичні поняття, речення і доведення

1.

Поняття як форма мислення




Поняття відображають найсуттєвіші, найістотніші ознаки речей і явищ об’єктивної дійсності. Вироблення поняття є новою якістю в процесі пізнання світу. Пізнання реальної дійсності відбувається двома способами: за допомогою чуттєвого пізнання - відчуттів, сприймань, уявлень або за допомогою мислення. Однією з форм мислення є поняття. При утворенні понять користуються аналізом, синтезом, порівнянням, узагальненням, абстрагуванням.

Джерелом вироблення понять є навколишнє середовище, де спостерігають різні форми, кількості, відношення.

Математика, як і інші науки, вивчає світ, який нас оточує, але вивчає особливо, зосереджуючи увагу на істотних ознаках об’єктів, відмежовуючись, абстрагуючись від другорядних. Наприклад, геометрія вивчає форму предметів, абстрагуючись від їх кольору, маси, густини тощо. Навіть слово «предмет» заміняють словом «геометрична фігура». Також результатом абстракції є і такі математичні поняття, як «число», «величина», «площина», «рівняння», «функція» тощо. Отже, поняття відображають ознаки об’єктів і явищ об’єктивної дійсності, але в той же час математичні об’єкти реально не існують. Всі вони створені розумом людини в процесі історичного розвитку суспільства і існують лише в мисленні людини, а також у тих знаках, символах, які утворюють математичну мову.


2.

Особливості математичних понять




Способи означення математичних понять

Зміст поняття розкривається за допомогою означення.

Означення - це речення, в якому розкривається зміст даного поняття, тобто формулюються його істотні ознаки.

Правильне означення поняття повинно містити мінімальну кількість ознак, тобто лише необхідні і достатні, які б виділяли його з іншого, ширшого за обсягом. Ніяких зайвих ознак, які можна довести на основі інших, в означенні не повинно бути.

Взагалі, означення — це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Розглянемо найпоширеніші способи означення понять.

Способи означення понять буваютьявні і неявні.

Явний спосіб означення понять – це означення через рід і видову відмінність.

Нехай обсяг поняття А є частиною обсягу поняття В, тобто всі істотні ознаки поняття А входять до істотних ознак поняття В. Тоді поняття А називають видовим відносно поняття В, а поняття В називають родовим відносно поняття А. Явні означення мають форму рівності, співпадання двох понять: означуваного і визначального.

А = В + С,

де А - поняття, якому дається означення - означуване,

В – родове поняття, С – видова відмінність, В + С - означальне поняття.

Означення понять за такою формою називають означенням через рід і видову відмінність.

Наприклад.

Означення паралелепіпеда. Паралелепіпедом називається призма, основа якої паралелограм. (А — паралелепіпед, В – призма, С - основа є паралелограм).

Означення квадрата.Квадратомназиваєтьсяпрямокутник, у якого всі сторони рівні. (А - квадрат, В - прямокутник, С - всі сторони рівні).

Щоб дістати означення поняття через близький рід і видову відмінність, треба виділити суттєві (видові) ознаки, які відрізняють вид, що містить означуване поняття від усіх інших видів цього роду.

Неявні способи означень понять:

  1. Контекстуальні.

В контекстуальних означеннях зміст нового поняття розкривається через уривок тексту, через контекст, через аналіз конкретної ситуації, яка описує смисл поняття, яке вводиться.

Наприклад, означення рівняння в початковій школі.

  1. Остенсивні.

Остенсивні означення вводяться через демонстрацію, через показ об’єктів. Наприклад, означення поняття рівності, нерівності в початковій школі.

2 • 7 > 2 + 6 9 – 6 = 6 – 3

65 - 5 < 65 + 5 24 2 = 47 + 1

24 + 6 > 24 + 3 18 – 8 = 6 + 4

Це нерівності. Це рівності.

В початковій школі частіше при введенні понять застосовуються остенсивні і контекстуальні способи означення понять.

  1. Генетичні.

Генетичний спосіб означення понять це такий спосіб, коли зміст поняття розкривається за допомогою утворення тих об’єктів, які описуються означуваним поняттям.

Наприклад, означення кола: колом називається крива лінія, утворена в результаті руху на площині точки, яка зберігає однакову відстань від фіксованої точки - центра кола.

Це означення дає відомий спосіб побудови кола на площині.

Генетичні означення мають такі поняття, як «лінійний кут», «многогранний кут», «конічна поверхня» тощо.

  1. Означення через узгодження.

Ці означення мають вигляд певних формул. Наприклад, = 1, 0! = 1.


  1. Індуктивні або рекурентні означення.

Ці означення складаються з двох частин:

1) безпосередньо називаються об’єкти , які належать даному поняттю;

2) формулюються правила, як з одних таких об’єктів дістати інші об’єкти цього ж поняття. Наприклад, означення арифметичної прогресії: арифметичною прогресією називається така числова послідовність, кожен член якої починаючи з другого дорівнює попередньому доданому з одним і тим же числом.

3.

Вимоги до правильного означення понять




Розглянемо правила означень понять, які даються через рід і видову відмінність (саме такі означення переважають в шкільному курсі математики).

  1. Означуване і означальне поняття повинні бути співрозмірні.

Це означає, що сукупності об’єктів, що охоплюються ними повинні співпадати.

  1. Не можна давати означення поняттю через саме себе, або через інше поняття, яке визначається через нього (це замкнене коло).

  2. В означенні поняття повинні бути вказані всі властивості (ознаки), які однозначно виділяють об’єкти, що належать обсягу означуваного поняття.

  3. В означенні поняття не повинно бути вказано зайвих властивостей, які випливають з інших властивостей, які також включені в означення поняття (це надлишковість).

Іноді одному і тому ж поняттю даються різні означення. В такому разі вони повинні бути рівносильні, тобто з властивостей, які включені в одне означення, повинні випливати властивості, які покладені в основу іншого означення.

Наприклад: «Квадратом називається ромб, у якого всі кути прямі».

«Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні».

  1. Необхідно, щоб означуваний об’єкт існував.

Наприклад: «Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого всі кути прямі». Такого трикутника не існує. Отже, даному означенню реально нічого не відповідає, а тому це означення логічно правильним бути не може.


4.

Обсяг і зміст поняття




Будь-який математичний об'єкт володіє певними ознаками, серед яких є істотні і неістотні.

Істотні це такі ознаки, які виділяють його з інших об’єктів; без них даний об’єкт не існує.

Наприклад: для поняття «квадрат» істотними є такі ознаки: квадрат має 4 сторони, 4 кути; всі кути квадрата прямі, діагоналі рівні; діагоналі є бісектрисами кутів, вони взаємно перпендикулярні тощо. Для поняття «просте число» істотними ознаками є: бути натуральним числом, яке не дорівнює одиниці; мати тільки два дільника.

Неістотними є ознаки, які не впливають на існування об’єкта. Неістотними для поняття «квадрат» ознаками є його розташування на площині, його колір, матеріал з якого виготовлений тощо. Неістотним для поняття «натуральне число» є кількість цифр у його запису.

У кожному понятті розрізняють обсяг, зміст і термін (назва).

Обсягом поняття називають множину об’єктів, яка відображає певне поняття.

Наприклад, обсягом поняття «просте число» є сукупність всіх простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13...; обсягом поняття «квадрат» є сукупність всіх квадратів. Обсяг поняття формується за допомогою класифікації.

Зміст поняття — це сукупність істотних властивостей (ознак), які належать цьому поняттю.

Наприклад, у зміст поняття «ромб» входять такі істотні ознаки: «ромб – це паралелограм», «діагоналі ромба діляться в точці перетину навпіл», «діагоналі ромба є бісектрисами кутів» тощо.

Між змістом і обсягом поняття існує співвідношення, яке називається «законом оберненого відношення»: із збільшенням змісту поняття зменшується його обсяг і навпаки.

Наприклад, візьмемо поняття «ромб» і збільшимо його зміст, додавши ознаку «всі кути прямі». В результаті є нове поняття – «квадрат», обсяг якого вже менший від обсягу поняття «ромб».

Кожне поняття має свою назву (термін). Терміни записують за допомогою одного або кількох слів, наприклад, «коло», «частка», «натуральне число», «найменше спільне кратне» тощо. Деякі терміни позначають символами, наприклад, < , >, %, + , , , - , 1, та ін.

Таким чином, кожне поняття характеризується терміном, обсягом, змістом.


5.

Приклади математичних понять у початковому курсі математики




Початковий курс математики насичений різними математичними поняттями. Починаючи з першого класу і до четвертого учні знайомляться з такими поняттями, як цифра, число, доданок, сума, зменшуване, від’ємник, різниця, множник, добуток, ділене, дільник, частка, дріб, відрізок, трикутник, многокутник, квадрат, прямокутник, коло, круг, довжина відрізка, периметр, площа, куб, маса, ємність, час, вираз, рівняння, нерівність, рівність і багато інших.

Вчитель початкових класів повинен слідкувати за правильним визначенням понять, які формує в учнів.





Вивчаємо математичні поняття.

Дібрати і записати у робочому зошиті не менш п’яти означень явних і неявних.

Уміти обґрунтувати свою думку.

скачати

© Усі права захищені
написати до нас