1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
Ім'я файлу: Математичні методи економіки.doc
Розширення: doc
Розмір: 355кб.
Дата: 02.06.2021
скачати
Пов'язані файли:
2_3_Робоча_програма_з_переддипломної_практики (1).doc
zarobitna_plata_ta_jiji_ekonomichna_sutnist-teorij.doc
педагогіка.rtf
Patomorfol_2-Ma_lchenko.pdf
КонспектКРВ-3.3.3сукня.docx
Члени творчої групи.docx
Управління ресурсами підприємства.docx
Научная работа.Непорочная любовь в романах Гюго.docx
Мастерова И.docx
Безпалий.docx
ІПР для Голюк А.В._4-А.docx
ІПР для Онойченко І.П . 4-А.docx
Гоц М. Магістерська робота (2).docx
Аналіз роботи Ф.Ніцше «Так казав Заратустра»..docx
звіт_виробнича практика - копия.docx

Моделювання конфліктів у фінансово-економічній сфері. Основні поняття і визначення теорії ігор. Класифікація ігор. Рішення матричних ігор з сідловою. Рішення матричних ігор без сідлової точки. Змішані стратегії. Теорема Дж. фон Неймана про існування рішення в змішаних стратегіях.


При управлінні виробництвом приймати рішення дуже часто доводиться не маючи достатньої інформації, тобто в умовах невизначеності і ризику.
Методами обгрунтування рішень в умовах невизначеності і ризику займається математична теорія ігор.
У теорії ігор розглядаються такі ситуації, коли є два учасники виконання операції, кожний з яких переслідує протилежні цілі. В якості учасників можуть виступати колективи, конкуруючі підприємства і т. д. У всіх випадках передбачається, що операція проводиться проти розумного супротивника (конкурента), переслідує свої власні цілі і свідомо протидіє досягненню мети іншим учасником.
Тому що цілі протилежні, а результат заходу кожної зі сторін залежить від дій конкурента, то ці дії називають конфліктними ситуаціями. У конфліктній ситуації стикаються протилежні інтереси двох учасників. Формалізована (схематизована) модель конфліктної ситуації називається грою. Результат гри - перемога або поразка, які не завжди мають кількісне вираження, можна висловити (умовно) числами (наприклад, у шахах: 1, 0, 1 / 2).
Гра називається грою з нульовою сумою, якщо один з гравців виграє рівно стільки, скільки програє інший.
Розвиток гри в часі представляється як ряд послідовних «ходів». Ходи можуть бути свідомі й випадкові. Випадковий хід - результат, що отримується не рішенням гравця, а яким-небудь механізмом випадкового вибору (купівельний попит, затримка з поставкою матеріалів тощо). Свідомий хід - вибір гравцем одного з можливих варіантів дії (стратегії) і прийняття рішення про його здійсненні.
Можливі варіанти (випадки) ігри зводяться в прямокутну таблицю (табл. 5.1.1) - платіжну матрицю, в якій рядки відповідають різним стратегіям гравця А, стовпці - стратегіям гравця . Для умовності припустимо, що гравець А - виграє, а гравець В - програє.
У результаті вибору гравцями будь-якої пари стратегій A i і B j (i = 1, ..., mj = 1, ..., n) однозначно визначається результат гри q ij.
Мета теорії ігор - вироблення рекомендацій для різного поведінки гравців в конфліктній ситуації, тобто вибір оптимальної стратегії для кожного з них.
Для знаходження оптимальної стратегії необхідно проаналізувати всі можливі стратегії і розраховувати на те, що розумний противник на кожну з них буде відповідати такий, при якій виграш гравця А мінімальний. Зазвичай мінімальні числа в кожному рядку позначаються і виписуються у вигляді додаткового стовпця матриці (табл. 5.1.2).
Вони позначають мінімально-можливий виграш гравця А при відповідній стратегії А i. У кожному рядку буде своє . Так як гравець А виграє, то кращою для гравця А є стратегія, при якій звертається в максимум, тобто або ,
де - Максиміна виграш (максимин), а відповідна їй стратегія - Максимін.
Таблиця 5.1.1







...









...









...



...

...

...

...

...







...



Таблиця 5.2.2





...











...











...





...

...

...

...

...

...







...











...



Якщо дотримуватися максимінної стратегії, то при будь-якому поведінці боку В (конкурента) гарантований виграш, в усякому разі не менше . Тому називають також ціною гри - той гарантований мінімум, який можна забезпечити при найбільш обережної (перестрахувальної) стратегії.
Очевидно, що аналогічні розподілу можна провести і для конкурента В, який повинен розглянути всі свої стратегії, виділяючи для кожної з них максимальні значення програшу: (Останній рядок матриці).
З усіх значень знаходять мінімальне:
,
яке дає мінімаксний виграш або минимакс.
Така -Стратегія - мінімаксна, дотримуючись якої сторона В гарантовано, що в будь-якому випадку програє не більше . Тому називають верхньою ціною гри.
Якщо , То число С називають чистою ціною гри або сідловою.
Для гри з сідловою знаходження рішення полягає у виборі пари максимінної і мінімаксної стратегій, які є оптимальними, оскільки будь-яке відхилення від цих стратегій призводить до зменшення виграшу першого гравця і збільшенню програшу другого гравця в порівнянні з ціною гри С.
Однак не всі матриці мають сідлової крапку. Тоді рішення знаходять, застосовуючи змішані стратегії, тобто чергуючи випадковим чином декілька чистих стратегій (гнучка тактика).
Вектор, кожна з компонент якого показує відносну частоту використання гравцем відповідної чистої стратегії, називають змішаною стратегією даного гравця.
З цього визначення випливає, що сума компонент цього вектора дорівнює одиниці, а самі компоненти не негативні.
Зазвичай змішану стратегію першого гравця позначають як вектор
, А другого гравця - як вектор , Де . (5.1.1).
Якщо u ° - оптимальна стратегія першого гравця, z ° - оптимальна стратегія другого гравця, то число - Називають ціною гри.
Для того щоб число - Було ціною гри, а u ° і z ° - оптимальними стратегіями, необхідно і достатньо виконання нерівностей:
, (5.1.2)
. (5.1.3)
Якщо один з гравців застосовує оптимальну змішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри і незалежно від того, з якими частотами буде застосовувати другий гравець стратегії, що ввійшли в оптимальну, в тому числі і чисті стратегії
Увага до сідлові точки в теорії ігор традиційно. Пояснюється це недовірою до Максиміна, як до принципу оптимального вибору в тому випадку, коли немає сідлової точки. Тому природно прагнення заповнити проміжок між Максиміна і Мінімакс шляхом застосування змішаних стратегій.
Однак, не слід забувати, що:

1) застосування змішаних стратегій ризиковано, коли гра не повторюється;
2) якщо гра повторюється, треба мати впевненість, що у супротивника немає інформації про конкретні рішення іншого гравця;
3) супротивник не зобов'язаний застосовувати змішані стратегії, так само як і прагнути до мети, протилежної мети іншого гравця.
Позначимо змішану стратегію першого гравця p = {p i}, де p i - ймовірність застосування i-й стратегії, , . Нехай змішана стратегія другого гравця , , Q j - імовірність застосування j-й стратегії, , . Р і Q визначають математичне очікування платежу:
.
Теорема фон Неймана. Будь-яка матрична гра має сідлової крапку в змішаних стратегіях.
Доказ. Множини M і N обмежені і замкнуті, так як , , А функція W неперервна по P і Q. W лінійна по P при фіксованих Q, отже, увігнута по P при фіксованих Q. Аналогічно W опукла по Q при фіксованих P. M і N опуклі.
Дійсно, розглянемо такі і , Що , , Тоді , .
Складаючи, отримаємо .
Крім того, .
Отже, при і

теж змішана стратегія.
Застосовуючи фундаментальну теорему, отримаємо те, що потрібно довести:
.
Спираючись на доведену теорему, можна бути впевненим, що рішення гри в змішаних стратегіях завжди існує (якщо тільки взагалі їх можна застосовувати). У теорії ігор доводиться теорема, яка вказує на еквівалентність рішення матричної гри в змішаних стратегіях і двоїстої задачі лінійного програмування.
Нехай P o і Q o оптимальні змішані стратегії, v - ціна гри, тоді

.
З теорема випливає, що



(4)



(5)

.
Позначимо .
Поділимо (4) на v, отримаємо
.
З цієї задачі лінійного програмування можна отримати оптимальні стратегії першого гравця (оперує сторони).
Аналогічно, якщо , Вийде завдання лінійного програмування для отримання оптимальних стратегій другого гравця: .

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

скачати

© Усі права захищені
написати до нас