Ім'я файлу: Лекція 9.docx
Розширення: docx
Розмір: 123кб.
Дата: 28.02.2023
скачати
Пов'язані файли:
81396.docx

Вираз вигляду

ax² bxc, де

a0 , називається квадратним

тричленом. Його дискримінант

Db² 4ac.

Якщо

D0,

то рівняння

ax² bxc0 має два дійсні корені:

_{x }b

^D, x

_b

^D. При

1 2
¹ 2a ¹ 2a

цьому

ax² bxca(xx)(xx).

Якщо

D0 , то обидва корені

співпадають і дорівнюють

^b. 2a
Якщо

D0,
то квадратне рівняння

дійсних коренів не має. У такому разі зручно вважати, що

 (D)i,

де i– уявне число, для якого

i² 1,

D0.

Визначаючи

x₁ та

x₂ за записаними вище формулами при

D< 0,

одержимо два комплексні корені. Зауважимо, що у кожному з

c

цих випадків справедливі формули Вієта: x₁ x₂  ,

a

bx₁ x₂ .

a

Крім того, при

D0 і

a0

для всіх дійсних xвиконується

нерівність

ax² bxc0 , а при

D0 і

a0

– нерівність

ax² bxc0.

Розглянемо основні ідеї, пов’язані із застосуванням властивостей квадратного тричлена до розв’язування задач.

Квадратнийтричлента кількість йогокоренів.

Задача.Доведіть тотожність

^xa^xb

^xb^xc

^xc^xa

  1,

^ca^cb

^ab^ac

^bc^ba

якщо

a,b,cпопарно різні дійсні числа.

Розв’язання.Вираз, що знаходиться у лівій частині записаної

рівності, є многочленом відносно змінної xне вище другого степеня.

Тому, розглядаючи цю рівність як рівняння з невідомим

x, ми

одержали би не більше двох різних коренів. Але легко перевірити, що

її задовольняють принаймні три різні значення x:

x₃ c. Отже, записана рівність є тотожністю.

x₁  а,

x₂ b,

P_n(x) a₀ x

a₁x

... a_n1xa_n

набуває значення Aбільше, ніж у nточках, то P_n(x) A.

Множина значеньквадратноготричлена.

Задача.Петрусь виписав на дошці 2010 зведених квадратних рівнянь і переконався, що жодне з них не має дійсних коренів. Потім він додав усі ці рівняння. Доведіть, що і отримане у такий спосіб рівняння також не має дійсних коренів.

Розв’язання.Оскільки коефіцієнти біля

x² у всіх рівняннях

дорівнюють одиниці і рівняння не мають дійсних коренів, то їх ліві частини набувають лише додатних значень. А отже, і ліва частина отриманого рівняння також набуватиме лише додатних значень. Тому таке рівняння не матиме дійсних коренів.

Формули Вієта.

Задача. Корені рівняння

x² axb1 0

є натуральними

числами. Доведіть, що число

a² b²

складене.

Розв’язання. Оскільки

x₁ x₂ a, x₁ x₂ b1, то

2 2 _{ }<sup>2

 </sup>2 2

2 

a b

x₁ x₂

x₁ x₂ 1

x₁ 1

x₂ 1 ,

причому обидва

множники, які входять у цей добуток, більші від одиниці натуральні

числа. Отже, число

a² b²

складене.

Квадратнийтричленяк допоміжний елементдоведення.

^{Задача.Доведіть, що коли} ^{abc}^{c0, то}

b² 4ac.

Розв’язання.Якщо

a0,

то достатньо довести, що

b² 0,

тобто b0.

Це справді так, бо при b0 з умови задачі одержали би,

що c² 0.

Якщо ж

a0,

то для квадратного тричлена

f(x) ax² bxc

маємо:

f(1) f(0) 0.

Отже, даний тричлен

набуває як додатних, так і від’ємних значень Тому його дискримінант

Db² 4acдодатний. Звідси b² 4ac.

Нерівність Коші-Буняковського.

Задача.Доведіть нерівність

1 1 2 2 n n
^{aba b... ab}2

_a² a² ... a² _

b² b² ... b² _.

1 2 n

1 2 n
Розв’язання. При кожному дійсному значенні xвиконуються

нерівності

(axb)² 0,

1 kn.

Додавши їх, для всіх дійсних x

k k
отримаємо нерівність

2 2 2 2 2 2 2

(a₁ a₂ ... a_n)x

2(a₁b₁ a₂b₂ ... a_nb_n)xb₁ b₂ ... b_n0.

Тому дискримінант цього квадратного тричлена

D0,

тобто

4(a₁b₁ a₂b₂ ... a_nb_n)

² 4(a² a² ... a² )(b² b² ... b² ) 0.

1 2 n 1 2 n
Звідси і випливає необхідна нерівність.

Зауважимо, що рівність у ній досягається, якщо набори чисел

a₁ , a₂ ,..., a_n

і b₁ ,b₂ ,...,b_n

пропорційні, тобто, якщо існує таке

x₀ , що

a_kx₀ b_k

або b_kx₀ a_k

для всіх kодночасно.

Задачі для самостійного розв’язування.

1. 
   Відомо, що модулі всіх коренів рівнянь
   

x² bxc0 та

x² pxq0

менші за 1. Доведіть, що й модулі коренів рівняння

_{x2 }bp_xcq_0 2 2

також менші за 1.