Ім'я файлу: Лабораторна робота 6.doc
Розширення: doc
Розмір: 323кб.
Дата: 27.04.2021
скачати
Пов'язані файли:
Джерела розвитку дидактики.docx

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2-1

БИОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОВИДОВЫХ ПОПУЛЯЦИЙ
Задание № 1

Динамика биологических популяций. Модель Мальтуса

Цель: Найти численное решение уравнения Мальтуса, описывающего динамику биологической популяции.

Теоретические положения

Популяционная динамика – один из разделов математического моделирования, имеющий приложения в биологии, экологии, демографии, экономике.

Модель Мальтуса. Рассмотрим некоторый биологический вид, у которого нет врагов, а кормовая база имеется в избытке. Обозначим численность вида x. Тогда скорость прироста (изменение числа особей в единицу времени) dx/dt будет пропорциональна числу уже имеющихся особей.
, (1.1)
где α > 0 – коэффициент прироста. Впервые модель была предложена в XVIII в. Мальтусом, и часто называется по имени создателя моделью Мальтуса. Понятно, что эта модель является весьма упрощенной. Рост популяции всегда ограничен различными факторами: врагами, кормовой базой, эпидемиями и т.д.

Аналитическое решение уравнения (1.1):
, (1.2)
где – численность популяции в начальный момент времени.

Порядок выполнения: Для того чтобы найти численное решение уравнения (1.1), необходимо записать его в конечно-разностном виде. Задать значение численности популяции в начальный момент времени (t = 0), шаг по времени t и коэффициент α. Решить уравнение (1.1) явным методом Эйлера
, (1.3)
где i – номер временного слоя.

Затем решить уравнение (1.1) неявным методом Эйлера
, (1.4)
отсюда
. (1.5)
Построить графики зависимости величины x (численности популяции) от времени t. Сравнить численные расчеты, полученные двумя методами, с аналитическим решением (1.2). Для этого необходимо построить график функции (1.2) при тех же значениях , tи α.
Задание

Найти аналитическое и численное решение уравнения Мальтуса для периода времени от 0 до 10 с. при различных значениях численности популяции , коэффициента прироста αи шага по времени ∆t. Выполнить графическое сравнение полученных результатов.

Варианты задания

Номер варианта

Шаг по времени

Начальное значение численности популяции и значение коэффициента прироста α

1

2

3

1



и

2



и

3



и

4



и

5



и

6



и

7



и

8



и

9



и

10



и


Контрольные вопросы

  1. Какие значения может принимать начальное значение численности популяции ?

  2. Чем отличается численное решение от аналитического?

  3. В чем отличие неявного метода Эйлера от явного метода?

  4. В каких случаях лучше использовать неявный метод Эйлера?



Задание № 2

Динамика биологических популяций. Модель Ферхюльста

Цель: Найти численное решение уравнения Ферхюльста, описывающего динамику биологической популяции.

Теоретические положения

Логистическое уравнение. Сделаем модель Мальтуса более реалистичной, ограничив рост численности особей. Очевидно, что если популяция живет на ограниченной территории, то неизбежно возникает конкуренция за жизненное пространство. Встречи особей друг с другом приводят так же к распространению болезней. Понятно, что убыль популяции, связанная с этими факторами, пропорциональна частоте встреч особей друг с другом, т.е. x². Тогда уравнение динамики популяции имеет вид
, (2.1)
где β > 0 – коэффициент, описывающий убыль популяции. Уравнение (2.1) называется уравнением Ферхюльста или логистическим уравнением.

Аналитическое решение уравнения (2.1):
. (2.2)
Порядок выполнения: записать уравнение (2.1) в конечно-разностном виде. Задать значение численности популяции в начальный момент времени (t = 0), шаг по времени t и коэффициенты α и β. Решить уравнение явным и неявным методами Эйлера (по аналогии с уравнением Мальтуса в задании №1).

Построить графики зависимости величины x от времени t . Сравнить полученные численные расчеты с аналитическим решением (2.2). Для этого необходимо построить график функции (2.2) при тех же значениях , tи коэффициентов α и β.

Задание

Найти аналитическое и численное решение уравнения Ферхюльста для периода времени от 0 до 10 с. при различных значениях численности популяции , коэффициента прироста α, коэффициента убыли β и шага по времени ∆t. Выполнить графическое сравнение полученных результатов.

Варианты задания

Номер варианта

Шаг по времени

Начальное значение численности популяции и значение коэффициента прироста α

1



, и

2



, и

3



, и

4



, и

5



, и

6



, и

7



, и

8



, и

9



, и

10



, и


Контрольные вопросы

  1. Какие значения может принимать коэффициент прироста и коэффициент убыли популяции в уравнении Ферхюльста?

  2. Какой вид примет уравнение Ферхюльста при значении ?

  3. В чем отличие неявного метода Эйлера от явного метода?

  4. Какой вариант численного решения (с использованием явного метода или неявного метода Эйлера) уравнения Ферхюльста лучше совпадает с аналитическим решением уравнения?


Задание № 3

Динамика биологических популяций. Модель Вольтерра

Цель: Найти численное решение уравнений модели хищник - жертва.

Теоретические положения

В 1931 г. Вито Вольтерра предложил модель хищник – жертва. Пусть на некоторой замкнутой территории обитают два вида: вегетарианцы-жертвы, питающиеся подножным кормом, имеющимся в избытке, и хищники, охотящиеся на жертв. В качестве пары хищник-жертва могут выступать волки и овцы, щуки и караси, рыси и зайцы…

Если бы не было хищников, то жертвы размножались бы беспредельно и их численность описывалась бы уравнением Мальтуса (1.1). Если бы не было жертв, то хищники от бескормицы постепенно вымирали бы
, (3.1)
где >0 – коэффициент убыли хищников, y – их численность в данный момент времени. Росту численности жертв, однако, препятствуют их встречи с хищниками, частота которых пропорциональна как числу жертв, так и числу хищников – xy. Тогда скорость изменения численности жертв описывается уравнением
, (3.2)
где β > 0 – коэффициент убыли жертв при встрече с хищниками. Аналогично, встреча хищника с жертвой увеличивает вероятность выживания хищника, т.е. способствует приросту популяции хищников
, (3.3)
где > 0 – коэффициент, зависящий от того, как часто встреча хищника с жертвой заканчивается трапезой.

Порядок выполнения: Записать уравнения (3.2) и (3.3) в конечно-разностном виде. Задать значения коэффициентов , , и ; шаг по времени t и значения и в начальный момент времени (t = 0). Решить уравнения (3.2) и (3.3) явным и неявным методами Эйлера и сравнить полученные расчеты. Построить графики зависимости x и y от t .
Задание

Найти численное решение системы уравнений Вольтерра для периода времени от 0 до 10 с. при различных значениях , , , , и и шага по времени ∆t. Представить полученное решение в виде графиков.

Варианты задания

Номер варианта

Шаг по времени

Начальное значение численности популяции жертв , начальное значение численности популяции хищников и значения коэффициентов ,,,

1



, , , , ,

2



, , , , ,

3



, , , , ,

4



, , , , ,

5



, , , , ,

6



, , , , ,

7



, , , , ,

8



, , , , ,

9



, , , , ,

10



, , , , ,


Контрольные вопросы

  1. Какой смысл имеют коэффициенты , , и в уравнениях (3.2) и (3.3)?

  2. Можно ли найти аналитическое решение уравнений (3.2) и (3.3)?

  3. Какой вид примет уравнение (3.2), если коэффициент принять равным 0? И как будет называться это уравнение?

  4. Какой вид примет уравнение (3.2), если коэффициент принять равным 0? Какую динамику (динамика прироста или динамика убыли) популяции хищников при этом будет описывать получившееся уравнение?


Список рекомендуемой литературы

  1. Самарский А., Михайлов А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2005, 320с.

  2. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. М.: Гидрометеоиздат, 1985, 272с.

  3. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть I. Москва, Ижевск: 2002, 232с.

  4. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. М.: КД Либроком, 2012, 149с.

  5. Разжевайкин В.И. Модели динамики популяций. М.: ВЦ им А.А. Дородницина РАН, 2006, 88с.

скачати

© Усі права захищені
написати до нас