1   2   3
Ім'я файлу: 166681.docx
Розширення: docx
Розмір: 482кб.
Дата: 24.01.2022
скачати


КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРОМ

Майже вся теорія квадратного тричлена, а також розв’язання багатьох задач, пов’язаних з ним, базується на прийомі, що називається «виділенням повного квадрата». Застосовуючи цей прийом до квадратного тричлена , приходимо до рівності:



Вираз D= b2 - 4асназивають дискримінантом.

Квадратне рівняння може мати два корені (D>0), один корінь (D=0) або не мати коренів(D<0). Корені квадратного рівняння х1 і х2 дорівнюють:

;

.

Правда, нумерація коренів умовна. Зазвичай намагаються занумерувати їх у порядку зростання, але це не обов’язково. Також деякі термінологічні проблеми виникають у випадку D=0, тожзауважимо, що вирази «квадратне рівняння має один розв’язок» і «квадратне рівняння з рівними коренями» означають одне і те ж.

Якщо другий коефіцієнт квадратного рівняння - парне число, тобто b = 2k,

то при розв’язуванні квадратного рівняння можна користуватися формулою: , де , .

До азбуки квадратного тричлена відноситься також і теорема Вієта. Для того, щоб х1 і х2 рівняння ах2 + bх + с = 0 , необхідно і достатньо, щоб виконувались рівності:



.

Звернемо увагу на те, що тут сформульовано два твердження – пряме та обернене. Часто обмежуються одним прямим твердженням.

Зауваження. Важливо звертати увагу учнів на випадки, коли коефіцієнт при х2 дорівнює нулю, і розглядати їх у першу чергу, що допоможе учням уникати поширеної помилки: взагалі не розглядати таких випадків.
Рівняння з вимогою

«розв’язати для всіх значень параметра»
Розв’язання рівнянь такого типу слід з питання «А чи є воно квадратним?». Далі можна скористатись схемою.


Приклад 1. Розв’язати рівняння ax2– 2x + 4 = 0.

Розв’язання

Якщо a = 0, то x = 2.  

Якщо а ≠ 0, то рівняння є квадратним.

D = 4 – 16a.

ЯкщоD < 0, тобто a >0,25, рівняння розв’язків не має.

Якщо D = 0, тобто a =0,25,  то x = 4.

Якщо D > 0, тобто a < 0,25 ,то рівняння має два кореня

x1,2= .

 Приклад 2. Розв’язати рівняння x2 2xa0.

Розв’язання

Рівняння квадратне, тому розв’язки залежатимуть від дискримінанта:

D 1a .

Якщо а > 1, то D 0, то коренів немає.

Якщо а = 1, то D 0, то отримаємо один корінь х = 1.

Якщо а < 1, то D 0 , то рівняння має два різних дійсних кореня x1,211a .

Відповідь. Якщо а > 1, то розв’язків немає;

Якщо а = 1, то х = 1; якщо а < 1, то x1,211a .
Приклад 3. Розв’язати рівняння: ( +1)х2+2 х+ −2=0.

Розв’язання

1) Якщо +1= 0 тобто = -1, то задане рівняння буде мати вигляд: -2х – 3 = 0, тобто х =-

2) Якщо +1≠0 ( ≠ -1), то одержимо квадратне рівняння, дискримінант якого D=4( +2). Тому розглянемо три випадки:

  1. якщо D=0, тобто 4( +2) = 0, то = -2 i х = -2;

  2. якщо D<0, тобто 4( +2) < 0 ( < -2), то коренів немає;

  3. якщо D>0: 4( +2) > 0; > -2 і ≠ -1, тобто -2 < < -1 і > -1, то квадратне рівняння має два різні корені:

х1= ; х2= .

Відповідь. Якщо =-1, то х=- ; якщо ≠-1 і ≥-2, то х= .

Приклад 4. Розв’язати рівняння 3(2а – 1)х2 – 2(а + 1)х + 1 = 0 . 

Розв’язання

Якщо а = , дане рівняння перетворюється в лінійне рівняння:

0·х2 – 2( + 1)х + 1 = 0;

−3х + 1 = 0;

 х =  .

Якщо а ≠ , то дане рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант:

= (а + 1)2 – 3(2а + 1) = а2 + 2а +1 – 6а +3 = а2 −4а +4 =

= (а – 2)2 ≥ 0 .

= 0, якщо а = 2. Тоді рівняння набирає вигляду:

2 – 6х + 1 = 0; (3х – 1)2 = 0;  х =  .

> 0, якщо а ≠ 2. Тоді рівняння  два корені:

х1 = і  х2 =  .

Відповідь. Якщо а = , а = 2, то  х =  ;

якщо а ≠ , а ≠ 2, то  х1 = ,  х2 =  .


Приклад 5. Розв’язати рівняння

.

Розв’язання

Якщо а = 2, дане рівняння перетворюється в лінійне, .

Якщо а ≠ 2, то дане рівняння – квадратне.

D =



Розв’язуючи нерівність , знаходимо ті значення а, за яких набувають дійсних значень: \ , то


Відповідь. Якщо а = 2, то х = ;

якщо


Приклад 6. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Перенесемо всі доданки із правої частини рівняння в ліву з протилежним знаком і зведемо коефіцієнти при однакових степенях х:

.

Застосуємо формулу перетворення різниці квадратів у добуток і винесемо спільний множник (а+1) за дужки : .

Якщо параметр то рівняння зводиться до тотожності 0=0. Отже, його розв’язками є всі дійсні числа. Нехай , тоді .Поділивши обидві частини рівняння на (а+1), отримаємо . В залежності від значень параметра а одержимо рівняння різного виду.

Якщо а=1, то рівняння стає лінійним. Якщо , то рівняння буде квадратним.

Обчислимо дискримінант рівняння:

.

0 при . Тоді х1 = х2 = = 2.

0 при . Тоді х1,2 =

Відповідь. Якщо а = −1, то х

Якщо а = 1, то х = 1.

Якщо , то х1 = х2= 2.

Якщо то х1,2 =

Якщо , то рівняння розв’язків не має.

Існування коренів (коренів певних знаків)
Розглянемо завдання на співвідношення між коренями квадратного рівняння з параметрами. Їх можна розв’язувати користуючись схемою. Але деколи зручніше не виписувати значення коренів через дискримінант, а використовуючи теорему Вієта.

Рівняння має два додатні корені




Рівняння має два від’ємні корені




Рівняння має корені різних знаків





Рівняння має два різні додатні





Рівняння має два різні від’ємні корені






Приклад 7. Знайдіть всі значення параметра а, при яких рівнянння 3x2 2(a3)xa2 2a0 має корені різних знаків.

Розв’язання

Якщо корені x1 і x2 – корені рівняння, то x1 · x2 0 .

За теоремою Вієта маємо: < 0, звідки

Відповідь. (−2) (0; + .
Приклад 8. Довести, що при будь-якому значенні а рівняння має розв’язок.

Розв’язання

Можна, звичайно, спробувати знайти дискримінант і довести, що він додатний. Але не будемо поспішати. Позначимо ліву частину даного рівняння як f(x).Відразу зрозуміло, що при будь-якому значенні а. Твердження задачі буде доведено, якщо ми знайдемо х1, для якого . Спробуємо . (Вибір такого значення є зрозумілим, оскільки у цьому випадку зникають члени з ) при будь-якому значенні а. Тепер легко можна зробити висновок, що рівняння завжди матиме розв’язок. Більше того, якщо , тобто і , дане рівняння матиме два корені; при цьому завжди є корінь, який задовольняє нерівність .

Приклад 9. Знайти значення параметра а, при якому рівняння має лише один корінь.

Розв’язання
Якщо а = 2, то рівняння – лінійне (4 − 4)∙х + 3 = 0, що немає коренів.

Якщо а ≠ 2, то рівняння квадратне і має один корінь лише тоді, коли D = 0.

.

D = 0 при а1 = 2 и a2 = 5. Значення а = 2 не задовольняє умову задачі.

Відповідь. а = 5.

  1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас