КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРОМ
Майже вся теорія квадратного тричлена, а також розв’язання багатьох задач, пов’язаних з ним, базується на прийомі, що називається «виділенням повного квадрата». Застосовуючи цей прийом до квадратного тричлена
, приходимо до рівності:
Вираз D= b2 - 4асназивають дискримінантом.
Квадратне рівняння може мати два корені (D>0), один корінь (D=0) або не мати коренів(D<0). Корені квадратного рівняння х1 і х2 дорівнюють:
;
.Правда, нумерація коренів умовна. Зазвичай намагаються занумерувати їх у порядку зростання, але це не обов’язково. Також деякі термінологічні проблеми виникають у випадку D=0, тожзауважимо, що вирази «квадратне рівняння має один розв’язок» і «квадратне рівняння з рівними коренями» означають одне і те ж.
Якщо другий коефіцієнт квадратного рівняння - парне число, тобто b = 2k,
то при розв’язуванні квадратного рівняння можна користуватися формулою:
, де 
, 
.До азбуки квадратного тричлена відноситься також і теорема Вієта. Для того, щоб х1 і х2 рівняння ах2 + bх + с = 0 , необхідно і достатньо, щоб виконувались рівності:
.
Звернемо увагу на те, що тут сформульовано два твердження – пряме та обернене. Часто обмежуються одним прямим твердженням.
Зауваження. Важливо звертати увагу учнів на випадки, коли коефіцієнт при х2 дорівнює нулю, і розглядати їх у першу чергу, що допоможе учням уникати поширеної помилки: взагалі не розглядати таких випадків.
Рівняння з вимогою
«розв’язати для всіх значень параметра»
Розв’язання рівнянь такого типу слід з питання «А чи є воно квадратним?». Далі можна скористатись схемою.
Приклад 1. Розв’язати рівняння ax2– 2x + 4 = 0.
Розв’язання
Якщо a = 0, то x = 2.
Якщо а ≠ 0, то рівняння є квадратним.
D = 4 – 16a.
ЯкщоD < 0, тобто a >0,25, рівняння розв’язків не має.
Якщо D = 0, тобто a =0,25, то x = 4.
Якщо D > 0, тобто a < 0,25 ,то рівняння має два кореня
x1,2=
.
Приклад 2. Розв’язати рівняння x2 2xa0.Розв’язання
Рівняння квадратне, тому розв’язки залежатимуть від дискримінанта:
D 1a .
Якщо а > 1, то D 0, то коренів немає.
Якщо а = 1, то D 0, то отримаємо один корінь х = 1.
Якщо а < 1, то D 0 , то рівняння має два різних дійсних кореня x1,211a .
Відповідь. Якщо а > 1, то розв’язків немає;
Якщо а = 1, то х = 1; якщо а < 1, то x1,211a .
Приклад 3. Розв’язати рівняння: (
+1)х2+2 х+ −2=0.Розв’язання
1) Якщо
+1= 0 тобто = -1, то задане рівняння буде мати вигляд: -2х – 3 = 0, тобто х =-
2) Якщо
+1≠0 ( ≠ -1), то одержимо квадратне рівняння, дискримінант якого D=4( +2). Тому розглянемо три випадки:якщо D=0, тобто 4(
+2) = 0, то = -2 i х = -2;якщо D<0, тобто 4(
+2) < 0 ( < -2), то коренів немає;якщо D>0: 4(
+2) > 0; > -2 і ≠ -1, тобто -2 < < -1 і > -1, то квадратне рівняння має два різні корені: х1=
; х2=
.Відповідь. Якщо
=-1, то х=- ; якщо ≠-1 і ≥-2, то х=
.Приклад 4. Розв’язати рівняння 3(2а – 1)х2 – 2(а + 1)х + 1 = 0 .
Розв’язання
Якщо а =
, дане рівняння перетворюється в лінійне рівняння:0·х2 – 2(
+ 1)х + 1 = 0;−3х + 1 = 0;
х =
.Якщо а ≠
, то дане рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант:
= (а + 1)2 – 3(2а + 1) = а2 + 2а +1 – 6а +3 = а2 −4а +4 = = (а – 2)2 ≥ 0 .
= 0, якщо а = 2. Тоді рівняння набирає вигляду:9х2 – 6х + 1 = 0; (3х – 1)2 = 0; х =
. > 0, якщо а ≠ 2. Тоді рівняння два корені:х1 =
і х2 = .Відповідь. Якщо а =
, а = 2, то х = ;якщо а ≠
, а ≠ 2, то х1 = , х2 = .Приклад 5. Розв’язати рівняння
.Розв’язання
Якщо а = 2, дане рівняння перетворюється в лінійне,
.Якщо а ≠ 2, то дане рівняння – квадратне.
D =
Розв’язуючи нерівність
, знаходимо ті значення а, за яких 
набувають дійсних значень: 
\
, то 
Відповідь. Якщо а = 2, то х =
; якщо
Приклад 6. Розв’язати рівняння
.Розв’язання
Перенесемо всі доданки із правої частини рівняння в ліву з протилежним знаком
і зведемо коефіцієнти при однакових степенях х: 
. Застосуємо формулу перетворення різниці квадратів у добуток
і винесемо спільний множник (а+1) за дужки : 
.Якщо параметр
то рівняння зводиться до тотожності 0=0. Отже, його розв’язками є всі дійсні числа. Нехай 
, тоді 
.Поділивши обидві частини рівняння на (а+1), отримаємо 
. В залежності від значень параметра а одержимо рівняння різного виду.Якщо а=1, то рівняння стає лінійним. Якщо
, то рівняння буде квадратним.Обчислимо дискримінант рівняння:
. 
0 при 
. Тоді х1 = х2 = 
= 2.
0 при 
. Тоді х1,2 = 
Відповідь. Якщо а = −1, то х
Якщо а = 1, то х = 1.
Якщо
, то х1 = х2= 2.Якщо
то х1,2 = 
Якщо
, то рівняння розв’язків не має.Існування коренів (коренів певних знаків)
Розглянемо завдання на співвідношення між коренями квадратного рівняння з параметрами. Їх можна розв’язувати користуючись схемою. Але деколи зручніше не виписувати значення коренів через дискримінант, а використовуючи теорему Вієта.
| Рівняння має два додатні корені |  |
| Рівняння має два від’ємні корені |  |
| Рівняння має корені різних знаків |  |
| Рівняння має два різні додатні |  |
| Рівняння має два різні від’ємні корені |  |
Приклад 7. Знайдіть всі значення параметра а, при яких рівнянння 3x2 2(a3)xa2 2a0 має корені різних знаків.
Розв’язання
Якщо корені x1 і x2 – корені рівняння, то x1 · x2 0 .
За теоремою Вієта маємо:
< 0, звідки 
Відповідь. (−
– 2) 
(0; +
.Приклад 8. Довести, що при будь-якому значенні а рівняння
має розв’язок.Розв’язання
Можна, звичайно, спробувати знайти дискримінант і довести, що він додатний. Але не будемо поспішати. Позначимо ліву частину даного рівняння як f(x).Відразу зрозуміло, що
при будь-якому значенні а. Твердження задачі буде доведено, якщо ми знайдемо х1, для якого 
. Спробуємо 
. (Вибір такого значення є зрозумілим, оскільки у цьому випадку зникають члени з 
) 
при будь-якому значенні а. Тепер легко можна зробити висновок, що рівняння завжди матиме розв’язок. Більше того, якщо 
, тобто 
і 
, дане рівняння матиме два корені; при цьому завжди є корінь, який задовольняє нерівність 
. Приклад 9. Знайти значення параметра а, при якому рівняння
має лише один корінь.Розв’язання
Якщо а = 2, то рівняння – лінійне (4 − 4)∙х + 3 = 0, що немає коренів.
Якщо а ≠ 2, то рівняння квадратне і має один корінь лише тоді, коли D = 0.
.D = 0 при а1 = 2 и a2 = 5. Значення а = 2 не задовольняє умову задачі.
Відповідь. а = 5.
1 2 3