1 2 Ім'я файлу: kursovaya_rabota_integraly_zavisyashie_ot_param...doc Розширення: doc Розмір: 975кб. Дата: 08.07.2021 скачати Пов'язані файли: Документ333.rtf Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования « ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Курсовая работа ИНТЕГРАЛЫ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Работу выполнил: студент 132 группы математического факультета Зенков Яков Алексеевич Проверила: Скорнякова Анна Юрьевна. Пермь 2009 г. Содержание. 1. СОБСТВЕННЫЕ и несобственные ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 2.1. Определение сообственных интегралов, зависящих от параметра. 2.2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком 2.3. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов. 2.4. О непрерывности интеграла как функции параметра. 2. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ. 3.1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция). 3.2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция). ВВЕДЕНИЕ Данная тема актуальна в ВУЗах, так как тема интегралы зависящие от параметра в курсе математического анализа не изучается. Эта исследовательская работа позволяет углубленно изучить студентами данную тему. Целью исследования является накопление и обработка имеющейся информации. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи: Изучить историю понятий Систематизировать виды интегралов зависящих от параметра Составить курс практических заданий. Объектом исследования являются различные виды интегралов зависящих от параметра в курсе ВУЗов. В работе использованы следующие методы исследования: Анализ научной литературы Синтез полученных знаний Обобщение всех знаний Работа насчитывает 24 страницы, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы и содержащего 7 наименований, вспомогательные указатели, а также содержит 3 иллюстраций. Работа может быть использована в качестве методического материала в любых ВУЗах и СУЗах, где углубленно изучается теория интегралов, а также для самостоятельного изучения материала. Теоретическая значимость данной работы заключается в систематизации материала. 1. СОБСТВЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Собственные интегралы зависящие от параметра Определение интегралов зависящих от параметра Пусть функция определена в прямоугольнике . Пусть при каждом закрепленном из существует . Ясно, что каждому значению из будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Введем обозначение (1) Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства, как будет показано ниже, имеют многообразные применения в особенности при вычислении интегралов. Допустим еще, что при каждом закрепленном из существует . Тогда этот интервал будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначим ее через , так что ( ) О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть функция и пусть - любое из . Тогда. (1) Отметим, что существует для каждого значения из , так как при любом закрепленном . В частности существует . Возьмем - любое. Выберем и закрепим любое . По условию , поэтому равномерно непрерывна в , и, следовательно, взятому отвечает , зависящее только от , такое, что для любых двух точек из , для которых , оказывается . Положим , , где - любое, но такое, что , , , где - любое из . Тогда для любого , если , . Имеем: Итак, любому отвечает такое, что как только , , так сейчас же . Последнее означает, что . Совершенно аналогично доказывается утверждение: Если и если - любое из , то . Глава 2. Несобственные интегралы зависящие от параметра Определение равномерной сходимости несобственных интегралов Пусть функция задана в области . Пусть при каждом закрепленном из несобственный интеграл сходится. Тогда будет представлять собою функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через ). Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее: при каждом закрепленном из . Следовательно, или . А это означает, что для каждого из по любому можно указать число такое, что как только , так же . Важно заметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, то есть зависит от и от ( . Если для любого можно указать число , зависящее только от (то есть одно и то же для всех из ), такое что как только , то для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на . Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция определена в области ( конечные числа). Пусть при каждом из несобственный интеграл сходится. Ясно, что тогда будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее. При каждом закрепленном из ( ). То есть для каждого из по любому можно указать число такое, что как только , так сейчас же . И здесь важно отметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, т.е. зависит и от , и от : . Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что как только то сейчас же сразу для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на . О непрерывности интеграла как функции параметра Т.: Пусть 1) функция непрерывна в области , 2) сходится равномерно относительно на . Тогда функция непрерывна на . Доказательство. Возьмем любое из и запишем его. Возьмем любое . По условию сходится равномерно относительно на , поэтому отвечает число , зависящее только от , такое, что при всяком , удовлетворяющем условию , сразу для всех будет (1) Выберем и закрепим какое-нибудь , удовлетворяющем условию . Положив , неравенство (1) сразу для всех можно записать в виде: . (2) . Но - собственный интеграл, зависящий от параметра . По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что , а значит, по теореме Кантора, будет равномерно непрерывна на . Следовательно, взятому отвечает , зависящее только от , такое, что для любых двух точек и из , для которых , будет . Для разности значений функции в точках и имеем: В частности, полагая , , где - любое, и , будем иметь . Последнее означает, что функция непрерывна в точке . Так как точка - любая из , то заключаем, что . 1 2 |