1   2
Ім'я файлу: kursovaya_rabota_integraly_zavisyashie_ot_param...doc
Розширення: doc
Розмір: 975кб.
Дата: 08.07.2021
Пов'язані файли:
Документ333.rtf

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
« ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Курсовая работа

ИНТЕГРАЛЫ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Работу выполнил:

студент 132 группы

математического факультета

Зенков Яков Алексеевич

Проверила: Скорнякова Анна Юрьевна.

Пермь 2009 г.

Содержание.

1. СОБСТВЕННЫЕ и несобственные ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

2.1. Определение сообственных интегралов, зависящих от параметра.

2.2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком

2.3. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов.

2.4. О непрерывности интеграла как функции параметра.

2. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.

3.1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция).

3.2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция).
ВВЕДЕНИЕ

Данная тема актуальна в ВУЗах, так как тема интегралы зависящие от параметра в курсе математического анализа не изучается. Эта исследовательская работа позволяет углубленно изучить студентами данную тему.

Целью исследования является накопление и обработка имеющейся информации.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

  • Изучить историю понятий

Объектом исследования являются различные виды интегралов зависящих от параметра в курсе ВУЗов.

В работе использованы следующие методы исследования:

  1. Анализ научной литературы

  2. Синтез полученных знаний

  3. Обобщение всех знаний

Работа насчитывает 24 страницы, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы и содержащего 7 наименований, вспомогательные указатели, а также содержит 3 иллюстраций.

Работа может быть использована в качестве методического материала в любых ВУЗах и СУЗах, где углубленно изучается теория интегралов, а также для самостоятельного изучения материала.

Теоретическая значимость данной работы заключается в систематизации материала.

1. СОБСТВЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

Собственные интегралы зависящие от параметра

Определение интегралов зависящих от параметра

Пусть функция определена в прямоугольнике . Пусть при каждом закрепленном из существует . Ясно, что каждому значению из будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке .

Введем обозначение

(1)

Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства, как будет показано ниже, имеют многообразные применения в особенности при вычислении интегралов.

Допустим еще, что при каждом закрепленном из существует . Тогда этот интервал будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначим ее через , так что

( )

О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла

Теорема. Пусть функция и пусть - любое из . Тогда.

(1)

Отметим, что существует для каждого значения из , так как при любом закрепленном . В частности существует .

Возьмем - любое. Выберем и закрепим любое .

По условию , поэтому равномерно непрерывна в , и, следовательно, взятому отвечает , зависящее только от , такое, что для любых двух точек из , для которых , оказывается .

Положим , , где - любое, но такое, что , , , где - любое из . Тогда для любого , если , .

Имеем:



Итак, любому отвечает такое, что как только , , так сейчас же . Последнее означает, что .

Совершенно аналогично доказывается утверждение: Если и если - любое из , то

.

Глава 2. Несобственные интегралы зависящие от параметра

Определение равномерной сходимости несобственных интегралов

Пусть функция задана в области . Пусть при каждом закрепленном из несобственный интеграл сходится. Тогда будет представлять собою функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через ).

Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее: при каждом закрепленном из

.

Следовательно,

или .

А это означает, что для каждого из по любому можно указать число такое, что как только , так же .

Важно заметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, то есть зависит от и от ( .

Если для любого можно указать число , зависящее только от (то есть одно и то же для всех из ), такое что как только , то для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на .

Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция определена в области ( конечные числа).

Пусть при каждом из несобственный интеграл сходится. Ясно, что тогда будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке .

Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее. При каждом закрепленном из



( ). То есть для каждого из по любому можно указать число такое, что как только , так сейчас же .

И здесь важно отметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, т.е. зависит и от , и от : .

Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что как только то сейчас же сразу для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на .

О непрерывности интеграла как функции параметра

Т.: Пусть

1) функция непрерывна в области ,

2) сходится равномерно относительно на .

Тогда функция непрерывна на .

Доказательство. Возьмем любое из и запишем его. Возьмем любое .

По условию сходится равномерно относительно на , поэтому отвечает число , зависящее только от , такое, что при всяком , удовлетворяющем условию , сразу для всех будет

(1)

Выберем и закрепим какое-нибудь , удовлетворяющем условию .

Положив , неравенство (1) сразу для всех можно записать в виде:

. (2)

.

Но - собственный интеграл, зависящий от параметра . По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что , а значит, по теореме Кантора, будет равномерно непрерывна на .

Следовательно, взятому отвечает , зависящее только от , такое, что для любых двух точек и из , для которых , будет .

Для разности значений функции в точках и имеем:



В частности, полагая , , где - любое, и , будем иметь . Последнее означает, что функция непрерывна в точке . Так как точка - любая из , то заключаем, что .

  1   2

скачати

© Усі права захищені
написати до нас