1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
Ім'я файлу: linalg2008.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 612кб.
Дата: 12.05.2022
скачати
Пов'язані файли:
загальна алгебра.pdf

В. М. Мануйлов
Курс лекций по линейной алгебре и геометрии
Механико-математический факультет
I-й курс, 2-й семестр
2007/2008 уч. год, поток механиков

1
Линейные пространства
1.1
Линейное (векторное) пространство
Определение 1.1.1 Множество V называется линейным (векторным) пространством над некоторым полем K , если заданы операция + сложения двух элементов множества V и операция умножения · элементов множества V на элементы поля K, которые удовлетворяют следующим условиям (аксиомам):
(i) a + b = b + a ∀a, b ∈ V ,
(ii) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ V ,
(iii) 0 ∈ V : a + 0 = a ∀a ∈ V ,
(iv) ∀a ∈ V ∃(−a) : a + (−a) = 0,
(v) λ · (a + b) = λ · a + λ · b ∀a, b ∈ V , ∀λ ∈ K,
(vi) (λ + µ) · a = λ · a + µ · a ∀a ∈ V , ∀λ, µ ∈ K,
(vii) λ · (µ · a) = (λµ) · a ∀a ∈ V , ∀λ, µ ∈ K,
(viii) 1 · a = a ∀a ∈ V .
Первые 4 свойства определяют на V структуру абелевой группы, а последние 4 свойства —
структуру алгебры над полем K.
Элементы множества V обычно называются векторами, а элементы поля K — скалярами или числами. Обычно мы будем опускать знак умножения ·.
В нашем курсе поле K всегда будет предполагаться полем вещественных или комплексных чисел.
Свойства линейного пространства:
(i) нулевой элемент в множестве V определен однозначно,
(ii) для любого элемента обратный элемент определен однозначно,
(iii) 0 · a = 0 ∀a ∈ V ,
(iv) λ · 0 = 0 ∀λ ∈ K,
(v) (−a) = (1) · a ∀a ∈ V ,
(vi) если λ · a = 0, то либо λ = 0, либо a = 0.
Доказательство.
(i) если 0
0
— другой нулевой элемент, то 0 = 0 + 0
0
= 0
0
(ii) если b + a = 0, то (−a) = (−a) + 0 = (−a) + b + a = (−a) + a + b = 0 + b = b.
(iii) 0 = a + (−a) = 1a + (−a) = (1 + 0)a + (−a) = 1a + 0a + (−a) = a + 0a + (−a) = a + (−a) + 0a =
0 + 0a = 0a.
(iv) если λ = 0, то равенство 0 · 0 = 0 доказано в предыдущем пункте; если λ 6= 0, то a + λa =
λλ
1
a + λ0 = λ(λ
1
a + 0) = λ(λ
1
a) = a, и λ0 = 0 следует из единственности нулевого элемента.
(v) a+(1)a = 1a+(1)a = (1+(1))a = 0a = 0, поэтому (1)a = (−a) в силу единственности обратного элемента.
(vi) пусть λ · a = 0; если λ 6= 0, то a = λ
1
λa = λ
1 0 = 0.
2

¤
Примеры линейных пространств:
(i) множество, состоящее из одного элемента {0} является линейным пространством над любым полем,
(ii) множество векторов на прямой, на плоскости, в пространстве,
(iii) наборы из n чисел, V = {a
1
, . . . , a
n
: a
i
K}, где сложение и умножение на скаляры определяется покомпонетно,
(iv) множество K
n
[t] — множество многочленов степени не выше n с коэффициентами из поля
K от переменной t,
(v) множество функций F (x), определенных на некотором произвольном множестве X, со значениям в множестве K,
(vi) множество решений однородной системы линейных уравнений,
(vii) R является линейным пространством над полем Q,
(viii) C является линейным пространством над полем R.
Определение 1.1.2 Пусть дано линейное пространство V . Линейной функцией (линейным функционалом) называют отображение f : V → K, обладающее свойствами: f (a+b) = f (a)+f (b)
и f (λa) = λf (a) ∀a, b ∈ V, λ ∈ K.
(ix) множество линейных функционалов является линейным пространством (оно называется двойственным пространством к V ).
Определение 1.1.3 Пусть дано линейное пространство W , его непустое подмножество V ⊂
W называется подпространством, если оно замкнуто относительно операций, определенных в пространстве W , т.е., если выполнены следующие свойства:
1) a + b ∈ V ∀a, b ∈ V ,
2) λa ∈ V ∀a ∈ V, λ ∈ K.
Лемма 1.1.4 Подпространство V линейного пространства W само является линейным
пространством над тем же полем и с теми же операциями, что и W .
Доказательство.
Все условия определения линейного пространства выполнены, т.к. все элементы V являются элементами W , а для элементов W они выполнены по определению.
¤
Примеры подпространств. Пусть пространство W — это множество векторов на плоскости,
тогда следующие множества будут подпространствами:
1) {0},
2) множество всех векторов, коллинеарных некоторому заданному вектору,
3) само пространство W .
1.2
Линейные подмногообразия
Определение 1.2.1 Пусть дано линейное пространство W , его элемент a ∈ W и его подпространство V ⊂ W . Линейным подмногообразием называется множество всех векторов вида
a + v, где v ∈ V .
Для линейных подмногообразий удобно пользоваться обозначением a + V .
Лемма 1.2.2 Линейное подмногообразие a + V является линейным подпространством
пространства W тогда и только тогда, когда a ∈ V .
3

Доказательство.
1) если a ∈ V , то a + V = 0 + V = V (совпадают как множества).
2) пусть a + V является подпространством. Т.к. a ∈ a + V , то 2a ∈ a + V , что равносильно существованию некоторого b ∈ V , такого что 2a = a + b, но тогда получаем, что a = b, т.е. a ∈ V .
¤
Лемма 1.2.3 a
1
+ V = a
2
+ V ⇐⇒ a
1
− a
2
∈ V .
Доказательство.
: пусть a
1
+ V = a
2
+ V , тогда a
1
∈ a
1
+ V = a
2
+ V , значит, найдется такой вектор b ∈ V ,
что a
1
= a
2
+ b, т.е. a
1
− a
2
∈ V .
: пусть a
1
− a
2
∈ V , т.е. a
1
− a
2
= v ∈ V . Возьмем произвольный элемент b ∈ a
1
+ V .
Тогда b = a
1
+ b
0
для какого-то вектора b
0
∈ V . Покажем, что b ∈ a
2
+ V . Действительно,
b = a
1
+ b
0
= a
2
+ (v + b
0
), причем v + b
0
∈ V .
¤
1.3
Аффинное пространство
Определение 1.3.1 Аффинным пространством называется тройка (A, V, +), состоящая из множества A, векторного пространства V и операции сложения + : A × V → A, (т.е. складывать можно элемент множества A с элементом векторного пространства, при этом в результате получается элемент множества A), которая удовлетворяет следующим свойствам:
1) для любых A, B ∈ A существует единственный вектор v ∈ V , такой что B = A + v;
2) A + 0 = A для любого A ∈ A, где 0 — нулевой вектор;
3) (A + v) + w = A + (v + w) для любых A ∈ A, v, w ∈ V .
В обозначении аффинного пространства часто опускают знак плюс и пишут просто (A, V ).
Также, если из контекста понятно, какое пространство V имеется в виду, то и его не указывают и говорят об аффинном пространстве A. Элементы аффинного пространства (или множества
A) называют точками. Любая пара точек A, B ∈ A однозначно определяет вектор v равенством
B = A + v (свойство 1) и такой вектор обозначается AB.
Примеры:
1) A — это обычная плоскость, V — двумерное векторное пространство векторов плоскости, +
— приложение вектора к точке.
2) Рассмотрим систему линейных уравнений AX = B, где A — матрица, X, B — столбцы. Пусть
A множество решений этой системы, V — множество решений соотвтетсвующей однородной системы AX = 0, + — суммирование столбцов. Если X
B
∈ A и X
0
∈ V , то X
B
+ X
0
∈ A.
3) Возьмем какое-нибудь векторное пространство V , в качестве A возьмем его же, + — операция сложения в этом векторном пространстве.
Последний пример показывает, что имеется естественное соответствие между векторными и аффинными пространствами, и теория аффинных пространств полностью параллельна теории векторных пространств, поэтому в дальнейшем мы ограничимся только случаем векторных пространств, постоянно помня, что все результаты могут быть сформулированы в терминах точек и векторов аффинного пространства. Отождествляя A и V , мы будем иногда называть элементы векторного пространства точками.
1.4
Линейная зависимость векторов
Определение 1.4.1 Пусть дано линейное пространство V и некоторая система (множество)
векторов {v
i
: i ∈ I} ⊂ V этого пространства. Если множество индексов I (а, значит, и система векторов) конечно (I = {1, . . . , n}), их линейной комбинацией называется выражение вида λ
1
v
1
+
. . . + λ
n
v
n
, где λ
i
— это числа (скаляры) из поля K. Если множество I бесконечно, линейной комбинацией бесконечной системы векторов называется выражение аналогичного вида,
P
i∈I
λ
i
v
i
,
в котором лишь конечное число скаляров λ
i
отлично от нуля.
Определение 1.4.2 Линейной оболочкой системы векторов линейного пространства называется множество всех векторов, являющихся их линейной комбинацией.
4

Линейная оболочка системы векторов e
1
, . . . , e
n
часто обозначается he
1
, . . . , e
n
i.
Определение 1.4.3 Система векторов {a
i
: i ∈ I} называется линейно зависимой, если существуют числа λ
i
, не все равные нулю, такие, что
P
k∈I
λ
i
a
i
= 0, в противном случае система векторов называется линейно независимой.
Лемма 1.4.4 Если система векторов {a
i
: i ∈ I} линейно зависима, то один из них
является линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
Пусть λ
1
a
1
+ . . . + λ
k
a
k
= 0, причем существует λ
i
6= 0, тогда имеем
λ
i
a
i
= −λ
1
a
1
− . . . − λ
i−1
a
i−1
− λ
i+1
a
i+1
− . . . λ
k
a
k
, умножив обе части этого равенства на λ
1
i
,
получим, что a
i
есть линейная комбинация остальных векторов.
¤
Лемма 1.4.5 Если система векторов a
1
, . . . , a
n
линейно независима, а система векторов
a
1
, . . . , a
n
, a
n+1
линейно зависима, то a
n+1
является линейной комбинацией векторов a
1
, . . . , a
n
.
Доказательство. аналогично доказательству предыдущей леммы, с тем лишь замечанием,
что если λ
n+1
= 0, то ненулевой коэффициент λ
i
находится среди первых n скаляров, но тогда первые n векторов линейно зависимы, что противоречит предположению.
¤
Лемма 1.4.6 Пусть дана линейно независимая система векторов e
1
, . . . , e
n
и пусть
существует линейно независимая система векторов f
1
, . . . , f
m
∈ he
1
, . . . , e
n
i, тогда m 6 n.
Доказательство. Пусть f
i
= a
i1
e
1
+. . .+a
in
e
n
, a
ij
K, i = 1, . . . , m. Т.к. f
1
, . . . , f
m
— линейно независимая система векторов, то
x
1
f
1
+ . . . + x
m
f
m
= 0 ⇐⇒ x
1
= . . . = x
m
= 0.
(1)
Подставляя в линейную комбинацию из (1) выражение f
i
через e
1
, . . . , e
n
, получаем:
0 = x
1
(a
11
e
1
+ . . . a
1n
e
n
) + . . . + x
m
(a
m1
e
1
+ . . . + a
mn
e
n
) =
= (x
1
a
11
+ . . . + x
m
a
m1
)e
1
+ . . . + (x
1
a
1n
+ . . . + x
m
a
mn
)e
n
,
что равносильно (т.к. e
1
, . . . , e
n
— линейно независимая система векторов) системе уравнений:
(
x
1
a
11
+ . . . + x
m
a
m1
=
0
. . .
x
1
a
1n
+ . . . + x
m
a
mn
= 0.
Если m > n, то эта система имеет ненулевое решение, что противоречит (1).
¤
Определение 1.4.7 Пусть V ⊂ W — линейное подпространство линейного пространства W .
Система векторов a
1
, . . . , a
n
называется линейно независимой относительно подпространства V ,
если из равенства λ
1
a
1
+ . . . + λ
n
a
n
∈ V следует, что все λ
1
, . . . , λ
n
равны нулю.
1.5
Размерность
Определение 1.5.1 Определим ранг системы векторов: пусть S - непустая система векторов в некотором линейном пространстве V , тогда:
1) если S состоит только из 0 ∈ V , то ранг r(S) := 0;
2) пусть e
1
— произвольный ненулевой вектор из системы S; если существует такой вектор
e
2
, что система {e
1
, e
2
} будет линейно независимой, то рассмотрим эту систему векторов; если,
далее, существует такой вектор e
3
, что система {e
1
, e
2
, e
3
} будет линейно независимой, то будем рассматривать эту систему векторов, и т.д.;
3а) если процедура в п.2) закончится на конечном шаге, т.е. мы дойдем до линейно независимой системы векторов {e
1
, . . . , e
n
} и далее уже нельзя будет найти вектор e
n+1
, чтобы расширить эту систему, то определим ранг как r(S) := n;
3б) если процедура в п.2) не закончится на конечном шаге, то ранг r(S) := .
5

Докажем, что наше определение корректно. Сначала предположим, что, действуя, как в п.2),
двумя способами, мы получили две конечные системы векторов e
1
, . . . , e
n
и f
1
, . . . , f
m
, и пусть
m 6= n. Тогда без ограничения общности можно считать, что m > n. Но, т.к. по определению к системе векторов e
1
, . . . , e
n
больше нельзя добавить ни одного вектора, то все f
i
∈ he
1
, . . . , e
n
i,
i = 1, . . . , m, и по лемме 1.4.6 имеем m 6 n. Получили противоречие.
Теперь предположим, что один способ нам дал конечную систему векторов e
1
, . . . , e
n
, а второй способ выбора векторов f
1
, f
2
, . . . не заканчивается ни на каком конечном шаге. Но тогда система векторов f
1
, . . . , f
n+1
линейно независима, и еще одно применение леммы 1.4.6 дает противоречие.
Определение 1.5.2 Размерность линейного пространства V
равна dim V
:=
r(V ).
Пространство V называется конечномерным, если dim V < ∞. В противном случае пространство называется бесконечномерным.
Примеры бесконечномерных векторных пространств: множество R над полем Q, пространство непрерывных функций на отрезке (докажите).
Определение 1.5.3 Система линейно независимых векторов в пространстве V называется
максимальной, если при добавлении любого другого вектора система векторов становится линейно зависимой.
Следствие 1.5.4 В любом конечномерном пространстве существует максимальная
система векторов.
Определение 1.5.5 Максимальная система векторов называется базисом пространства.
Бесконечномерные пространства мы почти не будем рассматривать в нашем курсе и все следующие определения, леммы и теоремы относятся к случаю конечномерных пространств.
Полезным упражнением является проверка истинности таких утверждений в бесконечномерном случае (иногда сложно даже переформулировать конечномерные утверждения)
Лемма 1.5.6

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

скачати

© Усі права захищені
написати до нас