1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14 Ім'я файлу: linalg2008.pdf Розширення: pdf Розмір: 612кб. Дата: 12.05.2022 скачати Пов'язані файли: загальна алгебра.pdf В. М. Мануйлов Курс лекций по линейной алгебре и геометрии Механико-математический факультет I-й курс, 2-й семестр 2007/2008 уч. год, поток механиков 1 Линейные пространства 1.1 Линейное (векторное) пространство Определение 1.1.1 Множество V называется линейным (векторным) пространством над некоторым полем K , если заданы операция + сложения двух элементов множества V и операция умножения · элементов множества V на элементы поля K, которые удовлетворяют следующим условиям (аксиомам): (i) a + b = b + a ∀a, b ∈ V , (ii) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ V , (iii) ∃0 ∈ V : a + 0 = a ∀a ∈ V , (iv) ∀a ∈ V ∃(−a) : a + (−a) = 0, (v) λ · (a + b) = λ · a + λ · b ∀a, b ∈ V , ∀λ ∈ K, (vi) (λ + µ) · a = λ · a + µ · a ∀a ∈ V , ∀λ, µ ∈ K, (vii) λ · (µ · a) = (λµ) · a ∀a ∈ V , ∀λ, µ ∈ K, (viii) 1 · a = a ∀a ∈ V . Первые 4 свойства определяют на V структуру абелевой группы, а последние 4 свойства — структуру алгебры над полем K. Элементы множества V обычно называются векторами, а элементы поля K — скалярами или числами. Обычно мы будем опускать знак умножения ·. В нашем курсе поле K всегда будет предполагаться полем вещественных или комплексных чисел. Свойства линейного пространства: (i) нулевой элемент в множестве V определен однозначно, (ii) для любого элемента обратный элемент определен однозначно, (iii) 0 · a = 0 ∀a ∈ V , (iv) λ · 0 = 0 ∀λ ∈ K, (v) (−a) = (−1) · a ∀a ∈ V , (vi) если λ · a = 0, то либо λ = 0, либо a = 0. Доказательство. (i) если 0 0 — другой нулевой элемент, то 0 = 0 + 0 0 = 0 0 (ii) если b + a = 0, то (−a) = (−a) + 0 = (−a) + b + a = (−a) + a + b = 0 + b = b. (iii) 0 = a + (−a) = 1a + (−a) = (1 + 0)a + (−a) = 1a + 0a + (−a) = a + 0a + (−a) = a + (−a) + 0a = 0 + 0a = 0a. (iv) если λ = 0, то равенство 0 · 0 = 0 доказано в предыдущем пункте; если λ 6= 0, то a + λa = λλ −1 a + λ0 = λ(λ −1 a + 0) = λ(λ −1 a) = a, и λ0 = 0 следует из единственности нулевого элемента. (v) a+(−1)a = 1a+(−1)a = (1+(−1))a = 0a = 0, поэтому (−1)a = (−a) в силу единственности обратного элемента. (vi) пусть λ · a = 0; если λ 6= 0, то a = λ −1 λa = λ −1 0 = 0. 2 ¤ Примеры линейных пространств: (i) множество, состоящее из одного элемента {0} является линейным пространством над любым полем, (ii) множество векторов на прямой, на плоскости, в пространстве, (iii) наборы из n чисел, V = {a 1 , . . . , a n : a i ∈ K}, где сложение и умножение на скаляры определяется покомпонетно, (iv) множество K n [t] — множество многочленов степени не выше n с коэффициентами из поля K от переменной t, (v) множество функций F (x), определенных на некотором произвольном множестве X, со значениям в множестве K, (vi) множество решений однородной системы линейных уравнений, (vii) R является линейным пространством над полем Q, (viii) C является линейным пространством над полем R. Определение 1.1.2 Пусть дано линейное пространство V . Линейной функцией (линейным функционалом) называют отображение f : V → K, обладающее свойствами: f (a+b) = f (a)+f (b) и f (λa) = λf (a) ∀a, b ∈ V, λ ∈ K. (ix) множество линейных функционалов является линейным пространством (оно называется двойственным пространством к V ). Определение 1.1.3 Пусть дано линейное пространство W , его непустое подмножество V ⊂ W называется подпространством, если оно замкнуто относительно операций, определенных в пространстве W , т.е., если выполнены следующие свойства: 1) a + b ∈ V ∀a, b ∈ V , 2) λa ∈ V ∀a ∈ V, λ ∈ K. Лемма 1.1.4 Подпространство V линейного пространства W само является линейным пространством над тем же полем и с теми же операциями, что и W . Доказательство. Все условия определения линейного пространства выполнены, т.к. все элементы V являются элементами W , а для элементов W они выполнены по определению. ¤ Примеры подпространств. Пусть пространство W — это множество векторов на плоскости, тогда следующие множества будут подпространствами: 1) {0}, 2) множество всех векторов, коллинеарных некоторому заданному вектору, 3) само пространство W . 1.2 Линейные подмногообразия Определение 1.2.1 Пусть дано линейное пространство W , его элемент a ∈ W и его подпространство V ⊂ W . Линейным подмногообразием называется множество всех векторов вида a + v, где v ∈ V . Для линейных подмногообразий удобно пользоваться обозначением a + V . Лемма 1.2.2 Линейное подмногообразие a + V является линейным подпространством пространства W тогда и только тогда, когда a ∈ V . 3 Доказательство. 1) если a ∈ V , то a + V = 0 + V = V (совпадают как множества). 2) пусть a + V является подпространством. Т.к. a ∈ a + V , то 2a ∈ a + V , что равносильно существованию некоторого b ∈ V , такого что 2a = a + b, но тогда получаем, что a = b, т.е. a ∈ V . ¤ Лемма 1.2.3 a 1 + V = a 2 + V ⇐⇒ a 1 − a 2 ∈ V . Доказательство. ⇒: пусть a 1 + V = a 2 + V , тогда a 1 ∈ a 1 + V = a 2 + V , значит, найдется такой вектор b ∈ V , что a 1 = a 2 + b, т.е. a 1 − a 2 ∈ V . ⇐: пусть a 1 − a 2 ∈ V , т.е. a 1 − a 2 = v ∈ V . Возьмем произвольный элемент b ∈ a 1 + V . Тогда b = a 1 + b 0 для какого-то вектора b 0 ∈ V . Покажем, что b ∈ a 2 + V . Действительно, b = a 1 + b 0 = a 2 + (v + b 0 ), причем v + b 0 ∈ V . ¤ 1.3 Аффинное пространство Определение 1.3.1 Аффинным пространством называется тройка (A, V, +), состоящая из множества A, векторного пространства V и операции сложения + : A × V → A, (т.е. складывать можно элемент множества A с элементом векторного пространства, при этом в результате получается элемент множества A), которая удовлетворяет следующим свойствам: 1) для любых A, B ∈ A существует единственный вектор v ∈ V , такой что B = A + v; 2) A + 0 = A для любого A ∈ A, где 0 — нулевой вектор; 3) (A + v) + w = A + (v + w) для любых A ∈ A, v, w ∈ V . В обозначении аффинного пространства часто опускают знак плюс и пишут просто (A, V ). Также, если из контекста понятно, какое пространство V имеется в виду, то и его не указывают и говорят об аффинном пространстве A. Элементы аффинного пространства (или множества A) называют точками. Любая пара точек A, B ∈ A однозначно определяет вектор v равенством B = A + v (свойство 1) и такой вектор обозначается AB. Примеры: 1) A — это обычная плоскость, V — двумерное векторное пространство векторов плоскости, + — приложение вектора к точке. 2) Рассмотрим систему линейных уравнений AX = B, где A — матрица, X, B — столбцы. Пусть A — множество решений этой системы, V — множество решений соотвтетсвующей однородной системы AX = 0, + — суммирование столбцов. Если X B ∈ A и X 0 ∈ V , то X B + X 0 ∈ A. 3) Возьмем какое-нибудь векторное пространство V , в качестве A возьмем его же, + — операция сложения в этом векторном пространстве. Последний пример показывает, что имеется естественное соответствие между векторными и аффинными пространствами, и теория аффинных пространств полностью параллельна теории векторных пространств, поэтому в дальнейшем мы ограничимся только случаем векторных пространств, постоянно помня, что все результаты могут быть сформулированы в терминах точек и векторов аффинного пространства. Отождествляя A и V , мы будем иногда называть элементы векторного пространства точками. 1.4 Линейная зависимость векторов Определение 1.4.1 Пусть дано линейное пространство V и некоторая система (множество) векторов {v i : i ∈ I} ⊂ V этого пространства. Если множество индексов I (а, значит, и система векторов) конечно (I = {1, . . . , n}), их линейной комбинацией называется выражение вида λ 1 v 1 + . . . + λ n v n , где λ i — это числа (скаляры) из поля K. Если множество I бесконечно, линейной комбинацией бесконечной системы векторов называется выражение аналогичного вида, P i∈I λ i v i , в котором лишь конечное число скаляров λ i отлично от нуля. Определение 1.4.2 Линейной оболочкой системы векторов линейного пространства называется множество всех векторов, являющихся их линейной комбинацией. 4 Линейная оболочка системы векторов e 1 , . . . , e n часто обозначается he 1 , . . . , e n i. Определение 1.4.3 Система векторов {a i : i ∈ I} называется линейно зависимой, если существуют числа λ i , не все равные нулю, такие, что P k∈I λ i a i = 0, в противном случае система векторов называется линейно независимой. Лемма 1.4.4 Если система векторов {a i : i ∈ I} линейно зависима, то один из них является линейной комбинацией остальных. Доказательство. Пусть λ 1 a 1 + . . . + λ k a k = 0, причем существует λ i 6= 0, тогда имеем λ i a i = −λ 1 a 1 − . . . − λ i−1 a i−1 − λ i+1 a i+1 − . . . λ k a k , умножив обе части этого равенства на λ −1 i , получим, что a i есть линейная комбинация остальных векторов. ¤ Лемма 1.4.5 Если система векторов a 1 , . . . , a n линейно независима, а система векторов a 1 , . . . , a n , a n+1 линейно зависима, то a n+1 является линейной комбинацией векторов a 1 , . . . , a n . Доказательство. аналогично доказательству предыдущей леммы, с тем лишь замечанием, что если λ n+1 = 0, то ненулевой коэффициент λ i находится среди первых n скаляров, но тогда первые n векторов линейно зависимы, что противоречит предположению. ¤ Лемма 1.4.6 Пусть дана линейно независимая система векторов e 1 , . . . , e n и пусть существует линейно независимая система векторов f 1 , . . . , f m ∈ he 1 , . . . , e n i, тогда m 6 n. Доказательство. Пусть f i = a i1 e 1 +. . .+a in e n , a ij ∈ K, i = 1, . . . , m. Т.к. f 1 , . . . , f m — линейно независимая система векторов, то x 1 f 1 + . . . + x m f m = 0 ⇐⇒ x 1 = . . . = x m = 0. (1) Подставляя в линейную комбинацию из (1) выражение f i через e 1 , . . . , e n , получаем: 0 = x 1 (a 11 e 1 + . . . a 1n e n ) + . . . + x m (a m1 e 1 + . . . + a mn e n ) = = (x 1 a 11 + . . . + x m a m1 )e 1 + . . . + (x 1 a 1n + . . . + x m a mn )e n , что равносильно (т.к. e 1 , . . . , e n — линейно независимая система векторов) системе уравнений: ( x 1 a 11 + . . . + x m a m1 = 0 . . . x 1 a 1n + . . . + x m a mn = 0. Если m > n, то эта система имеет ненулевое решение, что противоречит (1). ¤ Определение 1.4.7 Пусть V ⊂ W — линейное подпространство линейного пространства W . Система векторов a 1 , . . . , a n называется линейно независимой относительно подпространства V , если из равенства λ 1 a 1 + . . . + λ n a n ∈ V следует, что все λ 1 , . . . , λ n равны нулю. 1.5 Размерность Определение 1.5.1 Определим ранг системы векторов: пусть S - непустая система векторов в некотором линейном пространстве V , тогда: 1) если S состоит только из 0 ∈ V , то ранг r(S) := 0; 2) пусть e 1 — произвольный ненулевой вектор из системы S; если существует такой вектор e 2 , что система {e 1 , e 2 } будет линейно независимой, то рассмотрим эту систему векторов; если, далее, существует такой вектор e 3 , что система {e 1 , e 2 , e 3 } будет линейно независимой, то будем рассматривать эту систему векторов, и т.д.; 3а) если процедура в п.2) закончится на конечном шаге, т.е. мы дойдем до линейно независимой системы векторов {e 1 , . . . , e n } и далее уже нельзя будет найти вектор e n+1 , чтобы расширить эту систему, то определим ранг как r(S) := n; 3б) если процедура в п.2) не закончится на конечном шаге, то ранг r(S) := ∞. 5 Докажем, что наше определение корректно. Сначала предположим, что, действуя, как в п.2), двумя способами, мы получили две конечные системы векторов e 1 , . . . , e n и f 1 , . . . , f m , и пусть m 6= n. Тогда без ограничения общности можно считать, что m > n. Но, т.к. по определению к системе векторов e 1 , . . . , e n больше нельзя добавить ни одного вектора, то все f i ∈ he 1 , . . . , e n i, i = 1, . . . , m, и по лемме 1.4.6 имеем m 6 n. Получили противоречие. Теперь предположим, что один способ нам дал конечную систему векторов e 1 , . . . , e n , а второй способ выбора векторов f 1 , f 2 , . . . не заканчивается ни на каком конечном шаге. Но тогда система векторов f 1 , . . . , f n+1 линейно независима, и еще одно применение леммы 1.4.6 дает противоречие. Определение 1.5.2 Размерность линейного пространства V равна dim V := r(V ). Пространство V называется конечномерным, если dim V < ∞. В противном случае пространство называется бесконечномерным. Примеры бесконечномерных векторных пространств: множество R над полем Q, пространство непрерывных функций на отрезке (докажите). Определение 1.5.3 Система линейно независимых векторов в пространстве V называется максимальной, если при добавлении любого другого вектора система векторов становится линейно зависимой. Следствие 1.5.4 В любом конечномерном пространстве существует максимальная система векторов. Определение 1.5.5 Максимальная система векторов называется базисом пространства. Бесконечномерные пространства мы почти не будем рассматривать в нашем курсе и все следующие определения, леммы и теоремы относятся к случаю конечномерных пространств. Полезным упражнением является проверка истинности таких утверждений в бесконечномерном случае (иногда сложно даже переформулировать конечномерные утверждения) Лемма 1.5.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14 |