Министерство образования и науки Украины
ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИКА
КУРС ЛЕКЦИЙ
„
Магнитостатика”,
для студентов специальности Одесса ОНПУ 2016
ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИКА
КУРС ЛЕКЦИЙ
„
Магнитостатика”,
для студентов специальности Одесса ОНПУ 2016
Министерство образования и науки Украины
ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИКА
КУРС ЛЕКЦИЙ
„
Магнитостатика”,
для студентов специальности Утверждено на заседании кафедры физики
Протокол № 9 от 02.06. 2016 г.
Одесса ОНПУ 2016
ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИКА
КУРС ЛЕКЦИЙ
„
Магнитостатика”,
для студентов специальности Утверждено на заседании кафедры физики
Протокол № 9 от 02.06. 2016 г.
Одесса ОНПУ 2016
ФИЗИКА. КУРС ЛЕКЦИЙ. Магнитостатика для студентов специальности
6.050701/
Автор. О.В. Свиридова. – Одесса 2016. – 25 с.
Автор: О.В. Свиридова, к. ф.-м. н, доцент
4
СОДЕРЖАНИЕ
§1
Взаимодействие токов. Вектор магнитной индукции.................................................5
§2
Закон Био-Савара-Лапласа Магнитная индукция поля ∞ длинного прямого тока и поля кольцевого тока....8
§4
Закон Ампера. Сила Лоренца Основные уравнения стационарного магнитного поля закон полного тока,
теорема о потоке магнитной индукции.............................................................................12
§6
Магнитное поле движущегося заряда. Относительный характер электрического
и магнитного полей. Контур стоком в магнитном поле. Работа при перемещении тока в магнитном поле Магнитное поле в веществе............................................................................................18
§10
Закон электромагнитной индукции............................................................................21
§11
Индуктивность электрического контура. Явление самоиндукции......................23
§12
Энергия магнитного поля.............................................................................................24
ЛИТЕРАТУРА ...........................................................................................................................25
5 2
q
1
q
кул
F
маг
F
v
dl
Idl
I
а)
S
I
б)
1
I
2
I
1
I
2
I
§1
Взаимодействие токов. Вектор магнитной индукции
Неподвижные электрические заряды взаимодействуют между собой с силой
Кулона. Но, если они движутся относительно друг друга, то возникает еще сила магнитного взаимодействия.
Магнетизм – особая форма материального взаимодействия, возникающая между движущимися электрическими заряженными частицами.
Передача магнитного взаимодействия на расстояние осуществляется через магнитное поле (МП), созданное движущимися зарядами.
Покой – понятие относительное. Если система отсчета неподвижна относительно заряда q , тополе заряда будет электростатическим. Если система отсчета будет подвижна относительно заряда q , то будет наблюдаться электромагнитное поле (ЭМП).
Если в проводнике постоянный ток, тов нем возникает постоянное электрическое поле и постоянное магнитное поле. Раздел магнетизма, который изучает постоянные магнитные поля, называется магнитостатикой.
Постоянное (стационарное) магнитное поле – МП, не изменяющееся во времени.
При изучении магнитостатики используют элемент тока а) или пробный контур б):
Основные законы магнитостатики закон Био-Савара-Лапласа, закон Ампера.
В 1820 г. Эрстед обнаружил, что при протекании электрического тока магнитные стрелки ориентируются относительно проводника. Интенсивность поля обратно пропорционально зависит от расстояния. Магнитное поле векторное оно не только создается электрическим током, но и само действует на ток (например, в катушках с током).
Ампер установил, что если в х одинаковых проводниках токи имеют одинаковое направление, то они притягиваются, если противоположное – отталкиваются
6.050701/
Автор. О.В. Свиридова. – Одесса 2016. – 25 с.
Автор: О.В. Свиридова, к. ф.-м. н, доцент
4
СОДЕРЖАНИЕ
§1
Взаимодействие токов. Вектор магнитной индукции.................................................5
§2
Закон Био-Савара-Лапласа Магнитная индукция поля ∞ длинного прямого тока и поля кольцевого тока....8
§4
Закон Ампера. Сила Лоренца Основные уравнения стационарного магнитного поля закон полного тока,
теорема о потоке магнитной индукции.............................................................................12
§6
Магнитное поле движущегося заряда. Относительный характер электрического
и магнитного полей. Контур стоком в магнитном поле. Работа при перемещении тока в магнитном поле Магнитное поле в веществе............................................................................................18
§10
Закон электромагнитной индукции............................................................................21
§11
Индуктивность электрического контура. Явление самоиндукции......................23
§12
Энергия магнитного поля.............................................................................................24
ЛИТЕРАТУРА ...........................................................................................................................25
5 2
q
1
q
кул
F
маг
F
v
dl
Idl
I
а)
S
I
б)
1
I
2
I
1
I
2
I
§1
Взаимодействие токов. Вектор магнитной индукции
Неподвижные электрические заряды взаимодействуют между собой с силой
Кулона. Но, если они движутся относительно друг друга, то возникает еще сила магнитного взаимодействия.
Магнетизм – особая форма материального взаимодействия, возникающая между движущимися электрическими заряженными частицами.
Передача магнитного взаимодействия на расстояние осуществляется через магнитное поле (МП), созданное движущимися зарядами.
Покой – понятие относительное. Если система отсчета неподвижна относительно заряда q , тополе заряда будет электростатическим. Если система отсчета будет подвижна относительно заряда q , то будет наблюдаться электромагнитное поле (ЭМП).
Если в проводнике постоянный ток, тов нем возникает постоянное электрическое поле и постоянное магнитное поле. Раздел магнетизма, который изучает постоянные магнитные поля, называется магнитостатикой.
Постоянное (стационарное) магнитное поле – МП, не изменяющееся во времени.
При изучении магнитостатики используют элемент тока а) или пробный контур б):
Основные законы магнитостатики закон Био-Савара-Лапласа, закон Ампера.
В 1820 г. Эрстед обнаружил, что при протекании электрического тока магнитные стрелки ориентируются относительно проводника. Интенсивность поля обратно пропорционально зависит от расстояния. Магнитное поле векторное оно не только создается электрическим током, но и само действует на ток (например, в катушках с током).
Ампер установил, что если в х одинаковых проводниках токи имеют одинаковое направление, то они притягиваются, если противоположное – отталкиваются
Он также установил, что сила взаимодействиях проводников определяется как 2
I I
f
b
∼
0 1 2 2
4
I I
f
b
µ
π
=
,
где
0
µ
–
универсальная магнитная постоянная.
Если
1
b
м
=
,
1 2
1
I
I
А
=
=
,
то
7 2 Нм Вычислим 0
2 1 1
2 10 4
1
Н
А
А
м
м
µ
π
−
⋅
⋅
⋅
=
→
7 0
2 4
10
Н
А
µ
π
−
=
⋅
,
или
6 0
1.256 10
Гн
м
µ
−
=
⋅
Рассмотрим пробный контур площадью S , по которому течет ток I . Этот контур имеет собственный магнитный момент. Зададим правовинтовой вектор нормали n к контуру:
Тогда собственный магнитный момент Пусть в некоторой точке магнитного поля находится пробный контур, который может вращаться. Тогда под действием магнитного поля контур развернется.
Пусть
m
p
↑↑ с направлением магнитного поля (за направление поля выбирают собственный магнитный момент контура в состоянии равновесия).
Развернем контур при этом
m
p
образует с направлением магнитного поля угол
α
Если отпустить контур, то под действием вращательного момента M контур вернется в предыдущее положение.
Если
2
π
α
=
,
то max Ноне характеризует поле, так как зависит оттока в контуре, а отношение max характеризует интенсивность магнитного поля вектор магнитной индукции
7
B вектор, который численно равен отношению го вращательного момента,
действующего на пробный контур стоком, к собственному магнитному моменту контура.
Направление вектора B совпадает с направлением положительной нормали к контуру,
который находится в состоянии равновесия основная силовая характеристика магнитного поля.
Магнитное полене является потенциальным, поэтому не имеет энергетической
характеристики.
Линии B – линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением а густота этих линий определяет B .
[ Нм iiНiiBiiТлiiА мА м
⋅
=
=
=
⋅
⋅
§2
Закон Био-Савара-Лапласа
Закон Био-Савара-Лапласа открыт экспериментально в 1820 году.
Рассмотрим проводник, в котором протекает ток силы I . Рассмотрим элемент длины
dl
,
который будем считать вектором,
dl
I
↑↑
;
Idl
–
элемент тока.
Определим магнитную индукцию B , созданную
Idl
в каждой точке. Рассмотрим точку )
A r
0 3
4
I закон Био-Савара-Лапласа.
Векторы
dl
, r в указанной последовательности должны образовывать правовинтовую систему Для магнитного поля имеет место принцип суперпозиции:
i
i
B
B
=
∑
Закон Био-Савара-Лапласа справедлив только для линейных токов (поперечное сечение проводника мало, то есть I
const
=
).
B
2 м
I I
f
b
∼
0 1 2 2
4
I I
f
b
µ
π
=
,
где
0
µ
–
универсальная магнитная постоянная.
Если
1
b
м
=
,
1 2
1
I
I
А
=
=
,
то
7 2 Нм Вычислим 0
2 1 1
2 10 4
1
Н
А
А
м
м
µ
π
−
⋅
⋅
⋅
=
→
7 0
2 4
10
Н
А
µ
π
−
=
⋅
,
или
6 0
1.256 10
Гн
м
µ
−
=
⋅
Рассмотрим пробный контур площадью S , по которому течет ток I . Этот контур имеет собственный магнитный момент. Зададим правовинтовой вектор нормали n к контуру:
Тогда собственный магнитный момент Пусть в некоторой точке магнитного поля находится пробный контур, который может вращаться. Тогда под действием магнитного поля контур развернется.
Пусть
m
p
↑↑ с направлением магнитного поля (за направление поля выбирают собственный магнитный момент контура в состоянии равновесия).
Развернем контур при этом
m
p
образует с направлением магнитного поля угол
α
Если отпустить контур, то под действием вращательного момента M контур вернется в предыдущее положение.
Если
2
π
α
=
,
то max Ноне характеризует поле, так как зависит оттока в контуре, а отношение max характеризует интенсивность магнитного поля вектор магнитной индукции
7
B вектор, который численно равен отношению го вращательного момента,
действующего на пробный контур стоком, к собственному магнитному моменту контура.
Направление вектора B совпадает с направлением положительной нормали к контуру,
который находится в состоянии равновесия основная силовая характеристика магнитного поля.
Магнитное полене является потенциальным, поэтому не имеет энергетической
характеристики.
Линии B – линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением а густота этих линий определяет B .
[ Нм iiНiiBiiТлiiА мА м
⋅
=
=
=
⋅
⋅
§2
Закон Био-Савара-Лапласа
Закон Био-Савара-Лапласа открыт экспериментально в 1820 году.
Рассмотрим проводник, в котором протекает ток силы I . Рассмотрим элемент длины
dl
,
который будем считать вектором,
dl
I
↑↑
;
Idl
–
элемент тока.
Определим магнитную индукцию B , созданную
Idl
в каждой точке. Рассмотрим точку )
A r
0 3
4
I закон Био-Савара-Лапласа.
Векторы
dl
, r в указанной последовательности должны образовывать правовинтовую систему Для магнитного поля имеет место принцип суперпозиции:
i
i
B
B
=
∑
Закон Био-Савара-Лапласа справедлив только для линейных токов (поперечное сечение проводника мало, то есть I
const
=
).
B
2 м
Запишем закон Био-Савара-Лапласа для объемных токов.
Разобъем проводник на трубки тока. Рассмотрим в трубке тока элемент
dl
,
площадь поперечного сечения которого (как и трубки) dS Тогда для
∀
точки, положение которой определяется вектором r , можем записать 3
4
dI dl
r
dB
r
µ
π
×
=
;
dI
jdS
=
;
dV
dI dl
j dS Поскольку, ⇒ и поэтому вместо Таким образом dI dl
jdV
⋅
=
,
0 3
4
j r закон Био-Савара-Лапласа для объемных токов.
§3
Магнитная индукция поля ∞ длинного прямого тока и поля кольцевого тока
Рассмотрим ∞ длинный прямой проводник, в котором протекает ток силы I Рассмотрим точку которая находится на расстоянии b от него, и вычислим B в точке A . Разобъем проводник на элементы тока. Тогда Согласно правилу правого винта все
dB
имеют одинаковое направление (за рисунок, поэтому можем интегрировать. Выразим r , dl как функции угла
α
:
sin
b
r
α
=
→
sin
b
r
α
=
;
l
ctg
b
α
=
→
l
bctg
α
=
При
α
↑
на d
α
l
↓ нарез индукция магнитного поля, созданная ∞ проводом на расстоянии Линии B образуют правовинтовую систему с направлением тока.
Пусть ток циркулирует по кольцу радиусом R . Найдем B в центре кольца.
Рассмотрим элемент тока 2
4
Idl
dB
R
µ
π
=
Все
dB
имеют одинаковое направление, поэтому индукция в центре кольца 0
0 0
2 2
0 2
4 4
2
R
I
I
R
I
B
dl
R
R
R
π
µ
µ
π
µ
π
π
=
=
=
∫
0 индукция магнитного поля в центре кольцевого тока.
Вычислим B в точке, находящейся на расстоянии x от центра кольца
Рассмотрим элемент тока
Idl
,
для него 2
2
sin
4
Idl
dB
R
x
µ
α
π
=
+
(
)
2 2
2
R
x
r
+
=
,
2
π
α
=
, ⇒ ,
(
)
0 2
2 лежат на боковой поверхности конуса, поэтому введем координатные оси Ox и Oy и будем интегрировать в проекциях
10
cos
y
dB
dB
β
=
,
sin
x
dB
dB
β
=
,
2 Из симметрии задачи ясно, что, ⇒ рез 0
3/2 2
2 2
2 2
2 4
4
x
Idl
IRdl
R
dB
R
x
R
x
R
x
µ
µ
π
π
=
⋅
=
+
+
+
(
)
(
)
2 2
0 0
3/2 3/2 2
2 2
2 0
4 рез 0
3/2 2
2 2
рез
IR
B
R
x
µ
=
+
В точке O направление
рез
B
и I образуют правовинтовую систему.
Если
0
x
= , то 2
I
B
R
µ
=
, ⇒ наши расчеты верны.
§4
Закон Ампера. Сила Лоренца
Пусть магнитное поле, заданное линиями B , содержит проводник.
Рассмотрим элемент тока
Idl
По закону Ампера,
сила, с которой магнитное поле действет на элемент тока dl
B
=
×
.
sin
dF
IdlB
α
=
dl
, B образуют правовинтовую систему.
Рассмотрим 2
- х проводника стоком Найдем силу взаимодействия,
приходящуюся на единицу длины dlB
α
=
;
2
π
α
=
, ⇒ ,
2 0 1 2
2
I
I
dF
I dlB
dl
b
µ
π
=
=
0 1 2 2
I I
dF
f
dl
b
µ
π
=
=
⇔
0 1 2 2
4
I I
f
b
µ
π
=
−
сила
взаимодействия проводников на единицу длины.
Если
1 1
Idl
А
м
=
⋅
,
2
π
α
=
, ⇒ ,
sin
1
α
= , ⇒ , dF
B
= .
dF
Idl
B
α
B
×
b
f
2
I dl
2
I
1
I
0 1 2
I
B
b
µ
π
=
Разобъем проводник на трубки тока. Рассмотрим в трубке тока элемент
dl
,
площадь поперечного сечения которого (как и трубки) dS Тогда для
∀
точки, положение которой определяется вектором r , можем записать 3
4
dI dl
r
dB
r
µ
π
×
=
;
dI
jdS
=
;
dV
dI dl
j dS Поскольку, ⇒ и поэтому вместо Таким образом dI dl
jdV
⋅
=
,
0 3
4
j r закон Био-Савара-Лапласа для объемных токов.
§3
Магнитная индукция поля ∞ длинного прямого тока и поля кольцевого тока
Рассмотрим ∞ длинный прямой проводник, в котором протекает ток силы I Рассмотрим точку которая находится на расстоянии b от него, и вычислим B в точке A . Разобъем проводник на элементы тока. Тогда Согласно правилу правого винта все
dB
имеют одинаковое направление (за рисунок, поэтому можем интегрировать. Выразим r , dl как функции угла
α
:
sin
b
r
α
=
→
sin
b
r
α
=
;
l
ctg
b
α
=
→
l
bctg
α
=
При
α
↑
на d
α
l
↓ нарез индукция магнитного поля, созданная ∞ проводом на расстоянии Линии B образуют правовинтовую систему с направлением тока.
Пусть ток циркулирует по кольцу радиусом R . Найдем B в центре кольца.
Рассмотрим элемент тока 2
4
Idl
dB
R
µ
π
=
Все
dB
имеют одинаковое направление, поэтому индукция в центре кольца 0
0 0
2 2
0 2
4 4
2
R
I
I
R
I
B
dl
R
R
R
π
µ
µ
π
µ
π
π
=
=
=
∫
0 индукция магнитного поля в центре кольцевого тока.
Вычислим B в точке, находящейся на расстоянии x от центра кольца
Рассмотрим элемент тока
Idl
,
для него 2
2
sin
4
Idl
dB
R
x
µ
α
π
=
+
(
)
2 2
2
R
x
r
+
=
,
2
π
α
=
, ⇒ ,
(
)
0 2
2 лежат на боковой поверхности конуса, поэтому введем координатные оси Ox и Oy и будем интегрировать в проекциях
10
cos
y
dB
dB
β
=
,
sin
x
dB
dB
β
=
,
2 Из симметрии задачи ясно, что, ⇒ рез 0
3/2 2
2 2
2 2
2 4
4
x
Idl
IRdl
R
dB
R
x
R
x
R
x
µ
µ
π
π
=
⋅
=
+
+
+
(
)
(
)
2 2
0 0
3/2 3/2 2
2 2
2 0
4 рез 0
3/2 2
2 2
рез
IR
B
R
x
µ
=
+
В точке O направление
рез
B
и I образуют правовинтовую систему.
Если
0
x
= , то 2
I
B
R
µ
=
, ⇒ наши расчеты верны.
§4
Закон Ампера. Сила Лоренца
Пусть магнитное поле, заданное линиями B , содержит проводник.
Рассмотрим элемент тока
Idl
По закону Ампера,
сила, с которой магнитное поле действет на элемент тока dl
B
=
×
.
sin
dF
IdlB
α
=
dl
, B образуют правовинтовую систему.
Рассмотрим 2
- х проводника стоком Найдем силу взаимодействия,
приходящуюся на единицу длины dlB
α
=
;
2
π
α
=
, ⇒ ,
2 0 1 2
2
I
I
dF
I dlB
dl
b
µ
π
=
=
0 1 2 2
I I
dF
f
dl
b
µ
π
=
=
⇔
0 1 2 2
4
I I
f
b
µ
π
=
−
сила
взаимодействия проводников на единицу длины.
Если
1 1
Idl
А
м
=
⋅
,
2
π
α
=
, ⇒ ,
sin
1
α
= , ⇒ , dF
B
= .
dF
Idl
B
α
B
×
b
f
2
I dl
2
I
1
I
0 1 2
I
B
b
µ
π
=
Магнитная индукция в данной точке поля численно равна силе, с которой магнитное поле действует на единичный элемент тока, ориентированный к направлению поля dl
B
=
×
− закон Ампера в такой записи справедлив только для линейных токов
(
когда можно пренебречь поперечным сечением проводника).
В случае объемных токов закон Ампера имеет вид, ⇒ ,
dF
j
B dV
=
×
;
j
qnu
=
, ⇒ ,
dF
q u B Л u B
ndV
≡
=
×
− сила Лоренца сила, с которой магнитное поле действует на отдельный заряд, который движется со скоростью u относительно поля , B ,
Л
F
−
образуют правовинтовую систему.
Если
0
q
> ,
Л
F
направлена за рисунок ,
Л
F
направлена к нам, ⇒ для «-» зарядов:
Л
F
q u B
= −
×
.
Поскольку
Л
F
u
⊥
, ⇒ ,
Л
F
не может выполнять работу над q ,
⇔ , действуя на заряженную частицу стационарным магнитным полем, ее энергию изменить невозможно:
можно изменить только ее траекторию.
Рассмотрим случаи:
1)
Частица движется по прямой.
0
Л
F
=
2)
Частица вращается по окружности радиуса R :
2
mv
qv Частица движется по спирали
B
=
×
− закон Ампера в такой записи справедлив только для линейных токов
(
когда можно пренебречь поперечным сечением проводника).
В случае объемных токов закон Ампера имеет вид, ⇒ ,
dF
j
B dV
=
×
;
j
qnu
=
, ⇒ ,
dF
q u B Л u B
ndV
≡
=
×
− сила Лоренца сила, с которой магнитное поле действует на отдельный заряд, который движется со скоростью u относительно поля , B ,
Л
F
−
образуют правовинтовую систему.
Если
0
q
> ,
Л
F
направлена за рисунок ,
Л
F
направлена к нам, ⇒ для «-» зарядов:
Л
F
q u B
= −
×
.
Поскольку
Л
F
u
⊥
, ⇒ ,
Л
F
не может выполнять работу над q ,
⇔ , действуя на заряженную частицу стационарным магнитным полем, ее энергию изменить невозможно:
можно изменить только ее траекторию.
Рассмотрим случаи:
1)
Частица движется по прямой.
0
Л
F
=
2)
Частица вращается по окружности радиуса R :
2
mv
qv Частица движется по спирали
Основные уравнения стационарного магнитного поля закон полного тока,
теорема о потоке магнитной индукции.
Найдем вид теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.
Выберем контур – окружность радиуса R , центр которой расположен на проводнике, а именно окружность к проводнику, ⇒ ,
( )
0 0
1 2
cos
,
2
L
L
L
L
R
I
Bdl
Bdl
B dl
Bdl
dl
I
R
π
µ
µ
π
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
,
⇒ циркуляция не зависит от R , ⇒ , это выражение справедливо для контура формы.
Рассмотрим совокупность токов −
∀ замкнутый контур 0
k
k
k
k
k
k
k
L
L
L
I
Bdl
B dl
B dl
I
µ
µ
=
=
=
∑
∑
∑
∫
∫
∫
;
токи
k
I
const
=
,
0
k
k
L
Bdl
I
µ
=
∑
∫
−
теорема о циркуляции вектора B или закон полного тока.
При определении алгебраической суммы токов необходимо учитывать знаки, то есть 2
3
k
I
I
I
I
−
+
+ + . Построим поверхность S , которая опирается на контур L , тогда
0
рез
L
Bdl
I
µ
=
∫
;
рез
S
I
jdS
=
∫
, ⇒ закон полного тока в интегральной форме.
По теореме Стокса, ⇒ закон полного тока в дифференциальной форме (I основное уравнение
магнитного поля).
Физический смысл постоянный электрический ток образует вихревое магнитное поле
14 неоднородное поле.
Если диаметр витка то это поле будет почти однородным.
§6
Магнитное поле движущегося заряда. Относительный характер электрического и
магнитного полей.
Запишем закон Био-Савара-Лапласа для объемных токов 3
4
j где ,
[
]
0 3
4
u r
dB
q
ndV
r
µ
π
×
=
⋅
[
]
0 3
4
q
u индукция магнитного поля, созданного отдельным зарядом движущимся со скоростью u Линии B – это концентрические окружности,
центры которых расположены на линии, вдоль которой движется заряд q .
[
]
0 3
4
q
v Если в каждый момент времени t заряд q считать неподвижным, тов точке )
A расположенной на расстоянии r от него, он создает поле 0
4
qr
E
r
πε
=
[
]
0 0
0 3
0 0
4 4
4 4
4
q
v qr
B
r
πε
µ
πε
πε
π
πε
×
⋅
=
⋅
,
⇒ ,
0 0
q
B
v
E
µ ε
=
×
;
0 0
2 1
c
µ ε
=
;
8 3 мс электродинамическая постоянная. Таким образом 1
q
B
v
E
c
=
×
–
формула,
которая
демонстрирует
неразрывное
единство
электрического и магнитного полей.
Если
0
v
≠ ,
0
E
≠
, ⇒
0
q
B
≠ Если v
c
≪ магнитная компонента ЭМП практически не проявляется.
Если
v
c
≈
,
⇒
q
B
E
≫
–
преобладает магнитная компонента
18
S
ат.
p
контур
мол
l
вычислим работу каждого из них кон + Φ
,
2
π
α
<
, ⇒ ,
0
A
> ;
(
)
21 нач − Φ
+ Φ
,
2
π
β
>
, ⇒ ,
0
A
< .
(
)
12 21
кон
нач
A
A
A
I
I
=
+
=
Φ
− Φ
= ∆Φ
;
нач
BS
Φ
=
,
кон
BS
Φ
= −
2 2
m
A
I BS
p B
= −
= −
,
0
A
< , т.к. выполняется против сил поля.
§9
Магнитное поле в веществе
При заполнении поля
0
B
веществом изменяется поле и само вещество,
которое намагничивается и
создает собственное магнитное поле B′ Тогда результирующее поле
0
B
B
B′
=
+
Гипотеза Ампера В атомах или молекулах веществ циркулируют так называемые молекулярные токи
мол
i
,
каждый из которых имеет собственный магнитный момент, вследствие ориентации которого во внешнем магнитном поле происходит намагничивание вещества.
Современная теория:
Вследствие обращения электрона по орбите он имеет
ml
p
–
орбитальный магнитный момент электрона;
ms
p
–
спиновый магнитный момент электрона (связан с вращением электрона вокруг своей оси наподобие волчка);
m
я
p
–
магнитный момент ядра,
которое тоже вращается вокруг своей оси.
Собственный магнитный момент атома (молекулы):
ат.
ml
ms
m
я
N
N
N
p
p
p
p
=
+
+
∑
∑
∑
Если внешнее поле то ат.i
p
ориентированы хаотично и
0
B′
=
Под действием
0
B
происходит преимущественная ориентация ат.i
p
и возникает, ⇒ вещество встало источником магнитного поля.
Количественной характеристикой намагничивания является вектор
намагничивания
B
I
S
m
p
180 0
B
1
I
k
I
ат.
p
ат.
p
ат.
p
19
ат.
V
p
J
V
∆
=
∆
∑
–
результирующий магнитный момент единицы объема магнетика.
V
∆
–
физически бесконечно малый объем А м
А
J
м
м
⋅
=
=
Теорема о циркуляции вектора B в веществе
0
k
k
L
Bdl
I
µ
=
∑
∫
–
для вакуума мол dl
B Введем вектор напряженности магнитного поля H , который определяется распределением в пространстве макроскопических токов и является вспомогательной характеристикой при рассмотрении магнитного поля в веществе.
Рассмотрим совокупность молекулярных токов в намагниченном веществе.
Вычислим количество электрических токов нанизанных на dl . Это будут контуры,
заключенные в
объеме цилиндра:
cos
мол
мол
dl
i
Sdl
ni
α
=
⋅
∑
,
ат.
мол
i
S
p
⋅ ат = ,
⇒ мол dl
Jdl
α
=
=
=
∑
, ⇒ ,
мол
L
L
i
Jdl
=
∑
∫
–
связь между молекулярными токами ив интегральной форме.
Рассмотрим произвольную поверхность S , которая натянута на контур L :
мол
j
–
плотность молекулярных токов;
мол
мол
L
S
i
j
dS
=
∑
∫
–
только за счет
мол
i
,
которые
«
нанизаны» на контур L , поскольку они пересекают поверхность S только один раз.
Тогда, с учетом формулы Стокса (где A –
∀ вектор, получаем:
мол
S
L
S
j
dS
Jdl
rotJdS
=
=
∫
∫
∫
;
J
dl
α
L
S
мол
i
мол
j
20
мол
rotJ
j
=
–
связь между
мол
i
и
J
в дифференциальной форме 0
0 1
k
k
L
L
Bdl
I
Jdl
µ
µ
µ
=
+
⋅
∑
∫
∫
0
k
k
L
B
J вектор напряженности магнитного поля.
Тогда теорема о циркуляции принимает вид:
k
k
L
Hdl
I
=
∑
∫
В вакууме ,
⇒ ,
0 Пусть индукция МП, созданная проводом на расстоянии
x
от него, тогда В веществе ]
А
H
м
=
Как видно,
0
H
H
=
–
напряженность магнитного поля в вакууме ив веществе не изменяется при переходе через границу раздела линии H только преломляются.
J
H
χ
=
,
χ
–
магнитная восприимчивость вещества 1
H
B
χ µ
+
= .
1
χ µ
+ относительная магнитная проницаемость среды за исключением ферромагнетиков).
µ
может быть >1 и Физический смысл 0
0 показывает во сколько раз магнетик изменяет индукцию магнитного поля по сравнению с вакуумом
23
B
I
B
rotE
t
∂
= закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме.
Переменное во времени электрическое поле вызывает переменное во времени магнитное поле.
§11
Индуктивность электрического контура. Явление самоиндукции
Площадь контура пронизана собственным магнитным потоком .
B
Φ ∼ ,
B
I
∼ , ⇒ ,
I
Φ ∼ ,
LI
Φ =
,
где
L
−
индуктивность контура характеризует способность контура создавать собственный магнитный поток.
L
зависит от геометрии контура и
µ
среды;
[ ]
L
Гн
=
,
1 1
1
Вб
Гн
А
=
Полный магнитный поток, который пронизывает все витки (потокосцепление), для соленоида равен Φ .
0
B
nI
µ
=
0
BS
nIS
µ
Φ для 1 витка, ⇒ ,
2 0
nl
n lSI
ψ
µ
= Φ =
,
→
2 0
L
n индуктивность длинного соленоида.
Пусть ток в контуре изменяется со временем. Явление возникновения в контуре дополнительной э.д.с.
s
ε
при изменении тока I со временем называется явлением
самоиндукции:
s
d
dI
L
dt
dt
ε
Φ
= −
= Для ферромагнетиков )
L
L I
=
, ⇒ ,
( )
s
d
dL
dI
dL dI
dI
dL
dI
LI
I
L
I
L
I
L
dt
dt
dt
dI dt
dt
dI
dt
ε
= −
= −
+
= −
+
= −
+
S
l
I
n
25
ЛИТЕРАТУРА
1.
Калашников С. Г. Электричество Учебное пособие для вузов. е изд.,
стереотипное. — М Физматлит, 2008. — 624 с.
2.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. е, стереотипное. — М.:
Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с.
3.
Савельев ИВ. Курс общей физики. В 5 томах. Том 2. Электричество и магнетизм Учебное пособие для вузов. е изд, исправленное. — С.-П.: Лань. — с
теорема о потоке магнитной индукции.
Найдем вид теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.
Выберем контур – окружность радиуса R , центр которой расположен на проводнике, а именно окружность к проводнику, ⇒ ,
( )
0 0
1 2
cos
,
2
L
L
L
L
R
I
Bdl
Bdl
B dl
Bdl
dl
I
R
π
µ
µ
π
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
,
⇒ циркуляция не зависит от R , ⇒ , это выражение справедливо для контура формы.
Рассмотрим совокупность токов −
∀ замкнутый контур 0
k
k
k
k
k
k
k
L
L
L
I
Bdl
B dl
B dl
I
µ
µ
=
=
=
∑
∑
∑
∫
∫
∫
;
токи
k
I
const
=
,
0
k
k
L
Bdl
I
µ
=
∑
∫
−
теорема о циркуляции вектора B или закон полного тока.
При определении алгебраической суммы токов необходимо учитывать знаки, то есть 2
3
k
I
I
I
I
−
+
+ + . Построим поверхность S , которая опирается на контур L , тогда
0
рез
L
Bdl
I
µ
=
∫
;
рез
S
I
jdS
=
∫
, ⇒ закон полного тока в интегральной форме.
По теореме Стокса, ⇒ закон полного тока в дифференциальной форме (I основное уравнение
магнитного поля).
Физический смысл постоянный электрический ток образует вихревое магнитное поле
Рассмотрим II основное уравнение магнитного поля – теорему о потоке вектора B Рассмотрим трубку, стенки которой совпадают с линиями B . Поток вектора через поперечное сечение такой трубки будет одинаковым.
Поскольку поток вектора B через
1
dS
равен взятому со знаком «-» потоку вектора B через то отдельная трубка не может давать вклад в общий поток вектора B :
0
n
S
B теорема о потоке вектора B в интегральной форме dS
divBdV
=
=
∫
∫
, ⇒ теорема о потоке вектора B в дифференциальной форме.
Физический смысл силовые линии магнитного поля всегда замкнуты, то есть
∃
зарядов как источников магнитного поля.
Найдем B , созданную длинным соленоидом (диаметр отдельного витка << длины)
Рассмотрим контур 1234:
0
L
Bdl
nbI
µ
=
∫
,
где
n
–
количество витков,
приходящееся на единицу длины катушки 3
4 1
0 1
2 3
4 0
0 0
L
Bb
Bdl
nbI
µ
=
+
+
+
=
∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒
B b
0
n Вычислим B тороида 2
L
Bdl
RnI
µ Выделим кольцо радиуса r :
2
B
π
2
r
π
=
0
nRI
µ
2
dS
1
dS
j
B
S
1 2
3 направление обхода контура
B
b
B
dl
dl
I
d
R
B
ось
I
r
Поскольку поток вектора B через
1
dS
равен взятому со знаком «-» потоку вектора B через то отдельная трубка не может давать вклад в общий поток вектора B :
0
n
S
B теорема о потоке вектора B в интегральной форме dS
divBdV
=
=
∫
∫
, ⇒ теорема о потоке вектора B в дифференциальной форме.
Физический смысл силовые линии магнитного поля всегда замкнуты, то есть
∃
зарядов как источников магнитного поля.
Найдем B , созданную длинным соленоидом (диаметр отдельного витка << длины)
Рассмотрим контур 1234:
0
L
Bdl
nbI
µ
=
∫
,
где
n
–
количество витков,
приходящееся на единицу длины катушки 3
4 1
0 1
2 3
4 0
0 0
L
Bb
Bdl
nbI
µ
=
+
+
+
=
∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒
B b
0
n Вычислим B тороида 2
L
Bdl
RnI
µ Выделим кольцо радиуса r :
2
B
π
2
r
π
=
0
nRI
µ
2
dS
1
dS
j
B
S
1 2
3 направление обхода контура
B
b
B
dl
dl
I
d
R
B
ось
I
r
14 неоднородное поле.
Если диаметр витка то это поле будет почти однородным.
§6
Магнитное поле движущегося заряда. Относительный характер электрического и
магнитного полей.
Запишем закон Био-Савара-Лапласа для объемных токов 3
4
j где ,
[
]
0 3
4
u r
dB
q
ndV
r
µ
π
×
=
⋅
[
]
0 3
4
q
u индукция магнитного поля, созданного отдельным зарядом движущимся со скоростью u Линии B – это концентрические окружности,
центры которых расположены на линии, вдоль которой движется заряд q .
[
]
0 3
4
q
v Если в каждый момент времени t заряд q считать неподвижным, тов точке )
A расположенной на расстоянии r от него, он создает поле 0
4
qr
E
r
πε
=
[
]
0 0
0 3
0 0
4 4
4 4
4
q
v qr
B
r
πε
µ
πε
πε
π
πε
×
⋅
=
⋅
,
⇒ ,
0 0
q
B
v
E
µ ε
=
×
;
0 0
2 1
c
µ ε
=
;
8 3 мс электродинамическая постоянная. Таким образом 1
q
B
v
E
c
=
×
–
формула,
которая
демонстрирует
неразрывное
единство
электрического и магнитного полей.
Если
0
v
≠ ,
0
E
≠
, ⇒
0
q
B
≠ Если v
c
≪ магнитная компонента ЭМП практически не проявляется.
Если
v
c
≈
,
⇒
q
B
E
≫
–
преобладает магнитная компонента
Контур стоком в магнитном поле.
Рассмотрим прямоугольный контур в однородном магнитном поле.
m
p
IS
Iab
=
=
–
собственный магнитный момент контура сила взаимодействия,
приходящаяся на единицу длины проводов 0
f
= – сила Ампера на стороне направлена к нам 0
f
= направлена от нас (за рисунок).
Так как на контур действует пара сил, то возникает вращательный момент a
Iab B
p Рассмотрим ситуацию, когда под действием вращательного момента контур уже развернулся так, чтобы 2
3 направлена вверх
f
IbB
направлена к нам
f
IaB
направлена вниз
f
IbB
направлена от нас
=
=
=
=
растягивают контур, находящийся в состоянии устойчивого равновесия.
Рассмотрим непрямоугольный контур в однородном магнитном поле.
В этом случае его нужно разбить на совокупность полос, для каждой из которых существует вращательный момент
i
M
Таким образом
i
i
M
M
=
∑
–
формула остается справедливой ив этом случае 2
3 4
B
1
f
3
f
4
f
I
i
M
B
2
f
m
p за рис 2
3 4
B
4
f
Рассмотрим прямоугольный контур в однородном магнитном поле.
m
p
IS
Iab
=
=
–
собственный магнитный момент контура сила взаимодействия,
приходящаяся на единицу длины проводов 0
f
= – сила Ампера на стороне направлена к нам 0
f
= направлена от нас (за рисунок).
Так как на контур действует пара сил, то возникает вращательный момент a
Iab B
p Рассмотрим ситуацию, когда под действием вращательного момента контур уже развернулся так, чтобы 2
3 направлена вверх
f
IbB
направлена к нам
f
IaB
направлена вниз
f
IbB
направлена от нас
=
=
=
=
растягивают контур, находящийся в состоянии устойчивого равновесия.
Рассмотрим непрямоугольный контур в однородном магнитном поле.
В этом случае его нужно разбить на совокупность полос, для каждой из которых существует вращательный момент
i
M
Таким образом
i
i
M
M
=
∑
–
формула остается справедливой ив этом случае 2
3 4
B
1
f
3
f
4
f
I
i
M
B
2
f
m
p за рис 2
3 4
B
4
f
Рассмотрим контур в однородном магнитном поле, которое образует с
m
p
угол
α
sin
m
m
M
p B
p B
α
⊥
=
=
;
sin
B
B
α
⊥
=
;
m
M
p
B
=
×
Существует еще положение неустойчивого равновесия
(
)
180
α
°
=
Но, если вследствие флуктуаций
180
α
°
≠
,
то контур начнет разворачиваться так, чтобы достичь состояния устойчивого равновесия.
Если контур развернуть на то B
d
α α
=
;
0
cos
m
W
p B
const
α
=
= −
+
;
(
)
m
W
p
B
= −
⋅
При
0
α
=
наблюдается min.
m
W
p B
= −
,
⇒ устойчивое равновесие.
Рассмотрим контур стоком в неоднородном магнитном поле.
Пусть в направлении оси
x
B
возрастает наиболее быстро −
=
∂
∂
I
B
m
p
B
B
⊥
d
α
α
α
m
p
B
I
Idl
B
x
рез
F
dF
Idl
B
dF
m
p
B
рез
F
m
p
B
i
dF
I
m
p
угол
α
sin
m
m
M
p B
p B
α
⊥
=
=
;
sin
B
B
α
⊥
=
;
m
M
p
B
=
×
Существует еще положение неустойчивого равновесия
(
)
180
α
°
=
Но, если вследствие флуктуаций
180
α
°
≠
,
то контур начнет разворачиваться так, чтобы достичь состояния устойчивого равновесия.
Если контур развернуть на то B
d
α α
=
;
0
cos
m
W
p B
const
α
=
= −
+
;
(
)
m
W
p
B
= −
⋅
При
0
α
=
наблюдается min.
m
W
p B
= −
,
⇒ устойчивое равновесие.
Рассмотрим контур стоком в неоднородном магнитном поле.
Пусть в направлении оси
x
B
возрастает наиболее быстро −
=
∂
∂
I
B
m
p
B
B
⊥
d
α
α
α
m
p
B
I
Idl
B
x
рез
F
dF
Idl
B
dF
m
p
B
рез
F
m
p
B
i
dF
I
Работа при перемещении тока в магнитном поле
Рассмотрим электрическую цепь в виде прямоугольного контура, одна из сторон которого подвижна. Расположим контур в однородном магнитном поле, B направлен за рисунок:
При замыкании ключа K потечет токи на подвижную сторону подействует сила под действием которой подвижная сторона начнет двигаться вправо.
f
IhB
=
;
dA
fdx
IhBdx
=
=
;
hdx
dS
=
−
площадь, которую пересекает подвижная сторона Φ − поток вектора B через dS , ⇒ ,
dA
Id
=
Φ − работа при перемещении тока в магнитном поле.
Если магнитное поле неоднородно, высоту h разбиваем на совокупность длин dh в пределах которых магнитное поле можно считать однородным. Тогда при перемещении подвижной стороны рамки стоком на dx , магнитное поле совершает работу , ⇒ Рассмотрим неоднородное магнитное поле, вектор B
⊥ S , ⇔ ,
n
↑↑ Движение проводника обусловлено только составляющей B
⊥
;
dA
IhB dx
⊥
=
,
cos
B
B
α
⊥
=
cos cos
dS
d
dA
I hdx B
I B
dS
Id
α
α
Φ
=
=
=
Φ ;
dA
Id
=
Φ − справедлива для ∀ магнитного поля.
Рассмотрим контур стоком, который движется в магнитном поле
Контур движется поступательно в плоскости рисунка – магнитный поток через заштрихованную область.
Разобьем контур на 2 проводника и
dx
h
dS
dh
f
K
ε
B
I
ε
I
f
B
⊥
B
B
n
α
Idl
dF
Idl
α
β
dF
α
dF
B
кон
Φ
0
Φ
нач
Φ
1
I
II
2 2
1
Рассмотрим электрическую цепь в виде прямоугольного контура, одна из сторон которого подвижна. Расположим контур в однородном магнитном поле, B направлен за рисунок:
При замыкании ключа K потечет токи на подвижную сторону подействует сила под действием которой подвижная сторона начнет двигаться вправо.
f
IhB
=
;
dA
fdx
IhBdx
=
=
;
hdx
dS
=
−
площадь, которую пересекает подвижная сторона Φ − поток вектора B через dS , ⇒ ,
dA
Id
=
Φ − работа при перемещении тока в магнитном поле.
Если магнитное поле неоднородно, высоту h разбиваем на совокупность длин dh в пределах которых магнитное поле можно считать однородным. Тогда при перемещении подвижной стороны рамки стоком на dx , магнитное поле совершает работу , ⇒ Рассмотрим неоднородное магнитное поле, вектор B
⊥ S , ⇔ ,
n
↑↑ Движение проводника обусловлено только составляющей B
⊥
;
dA
IhB dx
⊥
=
,
cos
B
B
α
⊥
=
cos cos
dS
d
dA
I hdx B
I B
dS
Id
α
α
Φ
=
=
=
Φ ;
dA
Id
=
Φ − справедлива для ∀ магнитного поля.
Рассмотрим контур стоком, который движется в магнитном поле
Контур движется поступательно в плоскости рисунка – магнитный поток через заштрихованную область.
Разобьем контур на 2 проводника и
dx
h
dS
dh
f
K
ε
B
I
ε
I
f
B
⊥
B
B
n
α
Idl
dF
Idl
α
β
dF
α
dF
B
кон
Φ
0
Φ
нач
Φ
1
I
II
2 2
1
18
S
ат.
p
контур
мол
l
вычислим работу каждого из них кон + Φ
,
2
π
α
<
, ⇒ ,
0
A
> ;
(
)
21 нач − Φ
+ Φ
,
2
π
β
>
, ⇒ ,
0
A
< .
(
)
12 21
кон
нач
A
A
A
I
I
=
+
=
Φ
− Φ
= ∆Φ
;
нач
BS
Φ
=
,
кон
BS
Φ
= −
2 2
m
A
I BS
p B
= −
= −
,
0
A
< , т.к. выполняется против сил поля.
§9
Магнитное поле в веществе
При заполнении поля
0
B
веществом изменяется поле и само вещество,
которое намагничивается и
создает собственное магнитное поле B′ Тогда результирующее поле
0
B
B
B′
=
+
Гипотеза Ампера В атомах или молекулах веществ циркулируют так называемые молекулярные токи
мол
i
,
каждый из которых имеет собственный магнитный момент, вследствие ориентации которого во внешнем магнитном поле происходит намагничивание вещества.
Современная теория:
Вследствие обращения электрона по орбите он имеет
ml
p
–
орбитальный магнитный момент электрона;
ms
p
–
спиновый магнитный момент электрона (связан с вращением электрона вокруг своей оси наподобие волчка);
m
я
p
–
магнитный момент ядра,
которое тоже вращается вокруг своей оси.
Собственный магнитный момент атома (молекулы):
ат.
ml
ms
m
я
N
N
N
p
p
p
p
=
+
+
∑
∑
∑
Если внешнее поле то ат.i
p
ориентированы хаотично и
0
B′
=
Под действием
0
B
происходит преимущественная ориентация ат.i
p
и возникает, ⇒ вещество встало источником магнитного поля.
Количественной характеристикой намагничивания является вектор
намагничивания
B
I
S
m
p
180 0
B
1
I
k
I
ат.
p
ат.
p
ат.
p
19
ат.
V
p
J
V
∆
=
∆
∑
–
результирующий магнитный момент единицы объема магнетика.
V
∆
–
физически бесконечно малый объем А м
А
J
м
м
⋅
=
=
Теорема о циркуляции вектора B в веществе
0
k
k
L
Bdl
I
µ
=
∑
∫
–
для вакуума мол dl
B Введем вектор напряженности магнитного поля H , который определяется распределением в пространстве макроскопических токов и является вспомогательной характеристикой при рассмотрении магнитного поля в веществе.
Рассмотрим совокупность молекулярных токов в намагниченном веществе.
Вычислим количество электрических токов нанизанных на dl . Это будут контуры,
заключенные в
объеме цилиндра:
cos
мол
мол
dl
i
Sdl
ni
α
=
⋅
∑
,
ат.
мол
i
S
p
⋅ ат = ,
⇒ мол dl
Jdl
α
=
=
=
∑
, ⇒ ,
мол
L
L
i
Jdl
=
∑
∫
–
связь между молекулярными токами ив интегральной форме.
Рассмотрим произвольную поверхность S , которая натянута на контур L :
мол
j
–
плотность молекулярных токов;
мол
мол
L
S
i
j
dS
=
∑
∫
–
только за счет
мол
i
,
которые
«
нанизаны» на контур L , поскольку они пересекают поверхность S только один раз.
Тогда, с учетом формулы Стокса (где A –
∀ вектор, получаем:
мол
S
L
S
j
dS
Jdl
rotJdS
=
=
∫
∫
∫
;
J
dl
α
L
S
мол
i
мол
j
20
мол
rotJ
j
=
–
связь между
мол
i
и
J
в дифференциальной форме 0
0 1
k
k
L
L
Bdl
I
Jdl
µ
µ
µ
=
+
⋅
∑
∫
∫
0
k
k
L
B
J вектор напряженности магнитного поля.
Тогда теорема о циркуляции принимает вид:
k
k
L
Hdl
I
=
∑
∫
В вакууме ,
⇒ ,
0 Пусть индукция МП, созданная проводом на расстоянии
x
от него, тогда В веществе ]
А
H
м
=
Как видно,
0
H
H
=
–
напряженность магнитного поля в вакууме ив веществе не изменяется при переходе через границу раздела линии H только преломляются.
J
H
χ
=
,
χ
–
магнитная восприимчивость вещества 1
H
B
χ µ
+
= .
1
χ µ
+ относительная магнитная проницаемость среды за исключением ферромагнетиков).
µ
может быть >1 и Физический смысл 0
0 показывает во сколько раз магнетик изменяет индукцию магнитного поля по сравнению с вакуумом
Все вещества в зависимости от величины и знака
χ
разделяются на:
§10
Закон электромагнитной индукции
Нестационарное электрическое поле и магнитное поле нельзя рассматривать по отдельности. Майкл Фарадей в 1831 году открыл закон электромагнитной индукции. В
замкнутом проводящем контуре, магнитный поток в котором изменяется со временем,
возникает индукционный ток. Причем сила этого тока не зависит от величины потока )
cos
,
S
BdS
B dS
Φ Если )
B
B то )
t
Φ = Φ
2)
( )
S
S t
=
, ⇒ ,
( )
t
Φ = Φ
3)
( ) ( )
( )
cos
,
cos
,
B dS
B dS
t
=
,
⇒ ,
( )
t
Φ = Φ
⇒ скорость изменения .
Правило
Ленца:
Индукционный ток всегда направлен так,
чтобы противодействовать причине, которая его вызывает.
Индукционный ток I′ всегда создает ↑↓
v скорость движения электрона в передвижной планке.
Л
F
e v
B
= −
×
− электрон под действием
Л
F
движется почасовой стрелке, ноток движение «+» зарядов, ⇒ , ток течет против часовой стрелки, H
( )
T
χ
( Диамагнетики 6
10 Парамагнетики 4
10 10
−
−
−
∼
1
>
J
H
↑↑
( )
f Ферромагнетики 5
10 10
−
∼
10
>
J
H
↑↑
( )
f T
=
( )
f H
=
B
I ′
B′
ε
R
I dh
′
v
B
h
I ′
dS
dx
А
F
Л
F
мех
f
χ
разделяются на:
§10
Закон электромагнитной индукции
Нестационарное электрическое поле и магнитное поле нельзя рассматривать по отдельности. Майкл Фарадей в 1831 году открыл закон электромагнитной индукции. В
замкнутом проводящем контуре, магнитный поток в котором изменяется со временем,
возникает индукционный ток. Причем сила этого тока не зависит от величины потока )
cos
,
S
BdS
B dS
Φ Если )
B
B то )
t
Φ = Φ
2)
( )
S
S t
=
, ⇒ ,
( )
t
Φ = Φ
3)
( ) ( )
( )
cos
,
cos
,
B dS
B dS
t
=
,
⇒ ,
( )
t
Φ = Φ
⇒ скорость изменения .
Правило
Ленца:
Индукционный ток всегда направлен так,
чтобы противодействовать причине, которая его вызывает.
Индукционный ток I′ всегда создает ↑↓
v скорость движения электрона в передвижной планке.
Л
F
e v
B
= −
×
− электрон под действием
Л
F
движется почасовой стрелке, ноток движение «+» зарядов, ⇒ , ток течет против часовой стрелки, H
( )
T
χ
( Диамагнетики 6
10 Парамагнетики 4
10 10
−
−
−
∼
1
>
J
H
↑↑
( )
f Ферромагнетики 5
10 10
−
∼
10
>
J
H
↑↑
( )
f T
=
( )
f H
=
B
I ′
B′
ε
R
I dh
′
v
B
h
I ′
dS
dx
А
F
Л
F
мех
f
А , ⇒ ,
А
мех
F
f
↑↓
Найдем э.д.с. электромагнитной индукции.
Л
F
evB
= −
⇔ силе, действующей в электрическом поле неэлектростатического происхождения с E
vB
= −
, ⇒ ,
0 0
h
h
i
dt
Edh
vBdh
vBh
dt
ε
=
= −
= −
⋅
∫
∫
, ⇒ перемещение проводника,
hdx
dS
=
−
площадь, которую пересекает подвижная сторона Φ − поток вектора B через dS , ⇒ ,
i
d
dt
ε
Φ
= закон Фарадея э.д.с. электромагнитной индукции, возникающая в контуре,
по модулю равна скорости изменения магнитного потока , пронизывающего контур.
Пусть результирующее сопротивление всего контура равно R , тогда Тепловая мощность, выделяющаяся вследствие протекания I′ :
2
i
тепл
i
P
I
R
ε
ε
′
=
=
А
F
I hB
′
=
;
А
мех
F
f
=
Найдем работу dA , выполняемую силой
мех
f
за время dt мех, ⇒ механическая мощность
2
i
i
мех
мех
i
dA
P
f
v
I vhB
I
dt
R
ε
ε
ε
′
′
=
=
=
=
=
, ⇒ ,
тепл
мех
P
P
=
, ⇒ роль сторонних сил выполняет
мех
f
[ ]
Вб
Φ =
;
2 1
1 1
Вб
Тл
м
=
⋅
i
L
S
d
Edl
BdS
dt
ε
=
= закон электромагнитной индукции в интегральной форме.
Максвелл расширил закон электромагнитной индукции при изменении во времени магнитного поля, в точках пространства, в которых происходит это изменение,
возбуждается вихревое электрическое поле. Циркуляция вектора E этого поля по
∀
контуру равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, которая опирается на этот контур −
∂
∫
∫
, ⇒ ,
А
мех
F
f
↑↓
Найдем э.д.с. электромагнитной индукции.
Л
F
evB
= −
⇔ силе, действующей в электрическом поле неэлектростатического происхождения с E
vB
= −
, ⇒ ,
0 0
h
h
i
dt
Edh
vBdh
vBh
dt
ε
=
= −
= −
⋅
∫
∫
, ⇒ перемещение проводника,
hdx
dS
=
−
площадь, которую пересекает подвижная сторона Φ − поток вектора B через dS , ⇒ ,
i
d
dt
ε
Φ
= закон Фарадея э.д.с. электромагнитной индукции, возникающая в контуре,
по модулю равна скорости изменения магнитного потока , пронизывающего контур.
Пусть результирующее сопротивление всего контура равно R , тогда Тепловая мощность, выделяющаяся вследствие протекания I′ :
2
i
тепл
i
P
I
R
ε
ε
′
=
=
А
F
I hB
′
=
;
А
мех
F
f
=
Найдем работу dA , выполняемую силой
мех
f
за время dt мех, ⇒ механическая мощность
2
i
i
мех
мех
i
dA
P
f
v
I vhB
I
dt
R
ε
ε
ε
′
′
=
=
=
=
=
, ⇒ ,
тепл
мех
P
P
=
, ⇒ роль сторонних сил выполняет
мех
f
[ ]
Вб
Φ =
;
2 1
1 1
Вб
Тл
м
=
⋅
i
L
S
d
Edl
BdS
dt
ε
=
= закон электромагнитной индукции в интегральной форме.
Максвелл расширил закон электромагнитной индукции при изменении во времени магнитного поля, в точках пространства, в которых происходит это изменение,
возбуждается вихревое электрическое поле. Циркуляция вектора E этого поля по
∀
контуру равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, которая опирается на этот контур −
∂
∫
∫
, ⇒ ,
23
B
I
B
rotE
t
∂
= закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме.
Переменное во времени электрическое поле вызывает переменное во времени магнитное поле.
§11
Индуктивность электрического контура. Явление самоиндукции
Площадь контура пронизана собственным магнитным потоком .
B
Φ ∼ ,
B
I
∼ , ⇒ ,
I
Φ ∼ ,
LI
Φ =
,
где
L
−
индуктивность контура характеризует способность контура создавать собственный магнитный поток.
L
зависит от геометрии контура и
µ
среды;
[ ]
L
Гн
=
,
1 1
1
Вб
Гн
А
=
Полный магнитный поток, который пронизывает все витки (потокосцепление), для соленоида равен Φ .
0
B
nI
µ
=
0
BS
nIS
µ
Φ для 1 витка, ⇒ ,
2 0
nl
n lSI
ψ
µ
= Φ =
,
→
2 0
L
n индуктивность длинного соленоида.
Пусть ток в контуре изменяется со временем. Явление возникновения в контуре дополнительной э.д.с.
s
ε
при изменении тока I со временем называется явлением
самоиндукции:
s
d
dI
L
dt
dt
ε
Φ
= −
= Для ферромагнетиков )
L
L I
=
, ⇒ ,
( )
s
d
dL
dI
dL dI
dI
dL
dI
LI
I
L
I
L
I
L
dt
dt
dt
dI dt
dt
dI
dt
ε
= −
= −
+
= −
+
= −
+
S
l
I
n
Энергия магнитного поля
Рассмотрим электрическую цепь, которая состоит из L , R К Кв Кв Найдем dA − работу, которую выполняет
s
ε
за dt :
s
dI
dA
I dt
IL
dt
LIdI
dt
ε
=
= −
= Тогда за все время 0
2 2
I
I
LI
A
dA
L IdI
=
= За счет работы A нагревается сопротивление R . Работа A выполняется за счет энергии магнитного поля 2
LI
W
=
2 0
L
n lS
µ
=
, ⇒ ,
2 2
0 0
2 2
n lSI
nI объем, в котором сконцентрировано магнитное поле (объем соленоидам объемная плотность энергии магнитного поля.
Выражение для
м
ω
имеет тот же вид и для неоднородного магнитного поля, но
м
V
W
dV
ω
=
∫
L
R
К
2 1
Рассмотрим электрическую цепь, которая состоит из L , R К Кв Кв Найдем dA − работу, которую выполняет
s
ε
за dt :
s
dI
dA
I dt
IL
dt
LIdI
dt
ε
=
= −
= Тогда за все время 0
2 2
I
I
LI
A
dA
L IdI
=
= За счет работы A нагревается сопротивление R . Работа A выполняется за счет энергии магнитного поля 2
LI
W
=
2 0
L
n lS
µ
=
, ⇒ ,
2 2
0 0
2 2
n lSI
nI объем, в котором сконцентрировано магнитное поле (объем соленоидам объемная плотность энергии магнитного поля.
Выражение для
м
ω
имеет тот же вид и для неоднородного магнитного поля, но
м
V
W
dV
ω
=
∫
L
R
К
2 1
25
ЛИТЕРАТУРА
1.
Калашников С. Г. Электричество Учебное пособие для вузов. е изд.,
стереотипное. — М Физматлит, 2008. — 624 с.
2.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. е, стереотипное. — М.:
Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с.
3.
Савельев ИВ. Курс общей физики. В 5 томах. Том 2. Электричество и магнетизм Учебное пособие для вузов. е изд, исправленное. — С.-П.: Лань. — с