Криволінійні інтеграли першого роду
1. Приклад про масу матеріальної кривої
Нехай маємо неоднорідну матеріальну криву
, вздовж якої розподілено масу з лінійною густиною 
. Знайдемо масу цієї кривої. Якщо крива однорідна, то лінійною густиною
маси називають відношення маси кривої до її довжини. Якщо крива неоднорідна, то лінійною густиною маси в довільній точці 
є границя (якщо вона існує) відношення маси тієї частини кривої, яка містить точку , до її довжини при умові, що довжина цієї частини прямує до нуля.
Нехай крива
- спрямлювана (має кінцеву довжину) і задана параметричними рівняннями 
, 
так, що кожним двом різним точкам відрізка 
відповідають дві різні точки кривої. Розглянемо деяке розбиття кривої точками 
на частини 
(рис.). На кожній дузі , 
виберемо довільним чином точку 
і складемо суму 
, (1)де
– довжина дуги . Цю суму можна вважати наближеним значенням маси кривої . Якщо 
, то з (1) отримаємо точне значення маси 
, тобто 
. З цією границею і пов’язане поняття криволінійного інтеграла першого роду.2.Означення криволінійного інтеграла першого роду
Означення. Нехай у площині
задано спрямлювану криву і на ній задано деяку неперервну функцію
; параметр 
- довжина дуги на кривій 
, що сполучає точку 
з довільною точкою кривої, 
- довжина кривої . Рівняння кривої в натуральній параметризації має вигляд: 
, 
. Тому задана функція перетворюється в функцію 
від однієї змінної . Розіб’ємо відрізок
точками 
(
- розбиття) та складемо суму 
, яку називають інтегральною сумою. Нехай 
- параметр розбиття.Якщо існує границя складених інтегральних сум при
і дорівнює числу 
, то це число називають криволінійним інтегралом першого роду від функції по кривій і позначають 
.3.Властивості криволінійних інтегралів першого роду
Якщо функція
інтегрована на кривій , то інтегрованою на цій кривій є й функція 
, де 
- константа, і виконується рівність 
.Якщо функції
та 
інтегровані на кривій , то функції 
також інтегровані на цій кривій і 
.Якщо
невід’ємна інтегрована функція на кривій , то
.Якщо
, 
і кожна з функцій і інтегрована на кривій , то
.Якщо крива
складається з двох кривих 
і 
, то функція інтегрована на кривій , причому
.Якщо функція
інтегрована на кривій , то функція 
також інтегрована на цій кривій і 
.Теорема (про середнє значення). Якщо функція
неперервна на кривій , то на цій кривій знайдеться така точка 
, що 
,де
- довжина дуги кривої .Оскільки, як буде показано далі, обчислення криволінійних інтегралів першого роду зводиться до обчислення визначених інтегралів, то і властивості криволінійних інтегралів та їх доведення аналогічні властивостям визначених інтегралів.
4.Обчислення криволінійних інтегралів першого роду
Якщо рівняння кривої
задано за допомогою довільного параметру 
у вигляді 
, то обчислення криволінійного інтегралу першого роду зводиться до обчислення визначеного інтегралу за формулою:
.Дійсно, якщо функції
неперервні разом зі своїми похідними першого порядку і функція 
неперервна на відрізку , то крива є спрямлюваною і довжина її дуги 
, де - довільна точка кривої , обчислюється за формулою 
. Звідси 
. Приймаючи довжину дуги за параметр, дістанемо дану формулу.Зокрема, якщо криву
задано в декартових координатах рівнянням 
, де функція 
неперервна разом зі своєю похідною 
на відрізку 
, то формула має вигляд
.Якщо криву
задано рівнянням 
, де функція 
неперервна разом зі своєю похідною 
на відрізку 
, то 
.Криву інтегрування
часто позначають буквою 
.1 2 3