Ім'я файлу: Matem.doc
Розширення: doc
Розмір: 331кб.
Дата: 10.11.2022
скачати

Взаємно прості та прості числа

Взаємно простими числами називаються числа і , у яких найбільший спільний дільник дорівнює 1.

Критерії взаємної простоти двох цілих чисел: числа та взаємно прості тоді й тільки тоді, коли існують такі цілі числа і , що .

Властивості:

  1. Якщо кожне з чисел і взаємно просте з числом , то добуток також взаємно простий з .

  2. Якщо добуток ділиться на і при цьому взаємно просте з , то тоді на обов’язково ділиться число

Означення. Натуральне число називається простим, якщо воно має рівно два натуральні дільники.

Якщо прості числа виписувати в ланцюжок за зростанням та його початок буде такий: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … .

Теорема. Існує безліч простих чисел.

Лема. Якщо і — різні прості числа, то вони взаємно прості.
Найменше спільне кратне
та методи їх знаходження

Означення. Найменшим спільним кратним натуральних чисел і називають натуральне число з такими властивостями.

  1. є дільником , є дільником тобто — спільне кратне чисел і .

  2. якщо дільник і дільник , то дільник .



Методи знаходження
найменшого спільного кратного чисел і



  1. Розклад чисел на прості множники.

  2. За формулою , де — найбільший спільник дільник чисел та , який знаходиться за алгоритмом Евкліда.


Найбільший спільний дільник
та методи його знаходження

Будь-які два числа і мають спільні дільники, наприклад, 1 і—1.

Нехай хоча б одне з чисел і відмінне від нуля. Виявляється, що в цьому випадку числа і мають такий додатний спільний дільник який ділиться на будь-який спільник дільник цих чисел. Його називають найбільшим спільним дільником чисел і . Числа і мають тільки один найбільший спільний дільник.

Оскільки протилежні числа мають однакові дільники, то задачу про знаходження найбільшого спільного дільника досить вміти розв’язувати для додатних чисел. Ще давньогрецькі математики знали, що найбільший спільний дільник двох чисел можна знайти, виконавши кілька разів ділення з остачею. Пізніше цей метод відшукування найбільшого спільного дільника почали називати алгоритмом Евкліда.

Приклад. Зайти найбільший спільний дільник чисел 4171 і 18527 за алгоритмом Евкліда.

Розв’язок.



Число на яке ділили на останньому кроці — 97.

Це шуканий найбільший спільний дільник.

Порівняння за модулем



Лема. Останні від ділення чисел і на число однакові тоді й тільки тоді, коли є дільником .

Означення. Якщо числа і при діленні на дають однакові остачі, то вони називаються рівними за модулем і позначається: .

Теорема. Нехай , .

Тоді: 1.

2.

3. .

Наслідок 1. Якщо , , то

1. ;

2. ;

3. .

Наслідок 2. Знайти остачу від ділення на 7.
Розв’язок. Оскільки і , то . Далі маємо ; ; . Відповідь: остача від ділення числа на 7 дорівнює 4.
Ознаки подільності (ОП)
ОП на 3 і 9. Число ділиться на 3 (на 9) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3 (на 9).

ОП на 2, 5, 10. Число ділиться на 2 (на 5, на 10) тоді й тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2 (на 5, на 10).

ОП на числа типа 6, 12, 15 дає теорема:

Теорема: Якщо числа і взаємно прості, -дільник і -дільник , то -дільник .

Задача. Знайти остачу від ділення на 7 таких чисел: 1) 2135; 2) 19791980.

Розв’язок:

1. ; ; .

2. ;



;

;

.


  • Звичайний дріб — це число виду , де і — натуральні числа. Число називається чисельником, — знаменником дробу. Наприклад, , .

Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні.

Дріб називається правильной, якщо її чисельник менше знаменника, і неправильной, якщо її чисельник більше знаменника або дорівнює йому.

Будь-який неправильний дріб можна подати сумою натурального числа та правильного дробу.

Прийнято суму натурального числа та правильного дробу записувати без знаку додавання, число, записане у такому вигляді, називається мішаним.

Наприклад,



Усякий мішаний дріб або натуральне число можна записати у вигляді неправильного дробу.

; .

  • Два дроба і називаються рівними, якщо .

Основна властивість дробу:

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й теж натуральне число, то дістанемо дріб, який дорівнює даному

.

Користуючись основною властивістю дробу, іноді можна замінити даний дріб, іншим дробом, рівним даному, але з меншим чисельником та меншим знаменником. Таку заміну називають скороченням.

Наприклад,

.

Скорочувати дроби можна, якщо чисельник та знаменник — не взаємно прості числа. Якщо чисельник й знаменник — взаємно прості числа, то дріб називається нескорочувальним.

Наприклад,

і т.п.
Зведення дробів
до найменшого спільного знаменника
Для зведення дробів до найменшого спільного знаменника, треба:

  1. знайти найменший спільний кратний знаменник дробів;

  2. обчислити додаткові множники, ділячи найменше спільне кратне на кожний знаменник;

  3. помножити чисельник й знаменник кожного дробу на відповідний додатковий множник.

Приклад. Звести до найменшого спільного знаменника дроби і .

  • 1. Знаходимо НСК (24, 30).

, ; отже

.

2. Знаходимо додаткові множники

, .



3. Множимо дроби на відповідні додаткові множники.

;

.

Арифметичні дії над звичайними дробами

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .

скачати

© Усі права захищені
написати до нас