1
Лекція №23-24
Тема: Континуальні множини
План
1. Незчисленність множини всіх дійсних чисел з відрізка
[ ]
0; 1 .
2. Континуальні множини та їх властивості.
3. Гіпотеза континууму. Існування множини як завгодно великої
потужності.
1. Незчисленність множини всіх дійсних чисел з відрізка
[ ]
0; 1 .У попередній темі ми розглянули нескінченні множини, які є зчисленними. Однак не всі нескінченні множини зчисленні. Покажемо це на прикладі відрізка
[ ]
0; 1 .
Теорема 1. Множина чисел з відрізка
[ ]
0; 1 незчисленна.
Доведення. Доведемо методом від супротивного. Припустимо, що множина точок відрізка
[ ]
0; 1 зчисленна. Тоді всі його точки можна занумерувати:
1 2
,
,...,
,...,
n
x x
x
(1) тобто яку б ми не взяли точку
[ ]
0; 1
x
∈
, вона обов’язково буде з послідовності
(1).
1 1
3 2
3 1
U
1
x
0
Розділимо відрізок
[ ]
0; 1 на три рівні частини точками
1 3
і
2 3
. Зрозуміло, що точка
1
x
не може належати всім трьом відрізкам
1 0;
3
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
,
1 2 2
;
,
; 1 3 3 3
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
і принаймні один з них не містить її. Позначимо його через
1
U
(якщо таких відрізків два, то вибираємо довільний з них). Далі відрізок
1
U
розділимо на три рівні частини і позначимо через
2
U
той з них, який не містить
2
x
Продовжуючи цей процес необмежено, одержимо послідовність вкладених відрізків
[ ]
1 2
3 0; 1
...,
U
U
U
⊃
⊃
⊃
⊃
які мають ту властивість, що
n
n
x
U
∉
. Довжина відрізка
1
:
0 3
n
n
n
U
d
=
→ при
n
→ ∞ , а тому, за аксіомою Кантора, існує єдина точка
ξ
, яка належить всім відрізкам
,
1, 2,...
n
U n
=
. Оскільки
[ ]
0; 1
ξ
∈
, то вона за припущенням повинна входити у послідовність (1), що неможливо, оскільки яке б не було n :
n
n
x
U
∉
2
Таким чином, ми знайшли точку з відрізка
[ ]
0; 1 , яка не входить у послідовність
(1). Отримали суперечність. Теорему доведено.
2. Континуальні множини та їх властивості.
Дамо означення континуальної множини.
Означення 1.
Якщо множина A еквівалентна відрізку
[ ]
0; 1 , то кажуть, що A
має
потужність континууму
і позначають A c
= . Множина A при цьому
називається
континуальною.
Теорема 2.
Довільний відрізок
[ ]
;
a b , інтервал
(
)
;
a b і піввідрізок
[
)
;
a b або
(
]
;
a b має потужність c .
Доведення.
Нехай
[ ]
[ ]
;
,
0; 1
A
a b U
=
=
. Відображення за допомогою лінійної функції
(
)
y a
b a x
= +
−
встановлює взаємно однозначну відповідність між
{ }
A
y
=
і
{ }
U
x
=
, тобто A U
∼
. А це означає, що A c
= .
За теоремою 8.9 з попередньої теми
(
] [ ]
{ }
[ ]
;
;
\
;
,
a b
a b
a
a b
=
∼
[
)
[ ]
{ }
[ ]
;
;
\
;
,
a b
a b
b
a b
=
∼
(
)
[ ]
{ }
[ ]
;
;
\
;
; .
a b
a b
a b
a b
=
∼
Теорему доведено.
Теорема 3.
Об’єднання скінченного числа множин потужності c , які попарно
не перетинаються, має потужність c .
Доведення.
Нехай маємо множини
1 2
,
,...,
n
E E
E ,
i
j
E
E
= ∅
∩
(
)
i
j
≠
і кожна з множин має потужність c . Позначимо через
1
n
k
k
S
E
=
=
∪
Візьмемо піввідрізок
[
)
0; 1 і точками
0 1
2 1
0 1
n
n
c
c
c
c
c
−
= < < < <
<
= розіб’ємо його на n піввідрізків
[
)
1
;
,
1, .
k
k
c
c
k
n
−
=
Кожний з цих піввідрізків має потужність c , а тому ми можемо пов’язати множину
k
E і піввідрізок
[
)
1
;
k
k
c
c
−
взаємно однозначною відповідністю:
[
)
1
;
k
k
k
E
c
c
−
∼
,
1,
k
n
=
Тоді
[
)
1 1
1
;
n
n
k
k
k
k
k
E
c
c
−
=
=
∼
∪
∪
, тим самим встановлюється взаємно однозначна відповідність між сумою S і піввідрізком
[
)
[
)
1 1
0; 1
;
n
k
k
k
c
c
−
=
=
∪
, потужність якого дорівнює c . Теорему доведено.
Теорема 4.
Об’єднання зчисленної множини множин потужності c , які
попарно не перетинаються, має потужність c .
0 1
a
b
x
y
3
Доведення.
Нехай маємо множини
1 2
,
,...,
,...
n
E E
E
,
i
j
E
E
= ∅
∩
(
)
i
j
≠
і
1
,
,
1, 2,... .
k
k
k
S
E E
c k
∞
=
=
=
=
∪
Візьмемо на піввідрізку
[
)
0; 1 монотонно зростаючу послідовність чисел
0 1
2 0
...,
c
c
c
= < < <
для якої lim
1
k
k
c
→∞
= . Встановимо взаємно однозначну відповідність між
k
E і піввідрізками
[
)
1
;
k
k
c
c
−
, 1, 2,...
k
=
. Тим самим встановлюється взаємно однозначна відповідність між S та
[
)
[
)
1 1
0; 1
;
k
k
k
c
c
∞
−
=
=
∪
. Теорему доведено.
Наслідок 1.
Множина всіх дійсних чисел має потужність c .
Справді, оскільки
[
)
[
)
(
)
1
;
1 1;
k
k
k
k
k
∞
=
=
− − +
−
∪
∪
, то за теоремою 4
c
= .
Наслідок 2.
Множина всіх ірраціональних чисел має потужність c .
Для доведення наступної теореми нам потрібні деякі відомості з теорії двійкових дробів. Нагадаємо, що двійковим дробом називається сума ряду
{ }
1
,
0; 1 .
2
n
n
n
n
a
a
∞
=
∈
∑
(2)
Розглянемо множину
[
)
0; 1
U
=
і множину
A
всіх рядів вигляду (2), у яких серед
n
a є нескінченна кількість нулів.
Два ряди
1 2
n
n
n
a
∞
=
∑
і
1 2
n
n
n
a
∞
=
′
∑
з множини A вважаються різними, якщо принаймні для одного значення n маємо
n
n
a
a′
≠ .
Кожному ряду з A поставимо у відповідність дійсне число x , яке є його сумою. Покажемо, що цей закон встановлює взаємно однозначну відповідність між рядами з множини A і дійсними числами з
[
)
0; 1
U
=
1) Оскільки серед чисел
n
a є такі, що дорівнюють нулю, то сума x ряду
(2) належить U .
Справді, нехай
0 0
0,
1
n
a
n
=
> . Тоді
0 0
1 1
1 1
0 2
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
a
a
a
x
−
∞
∞
=
=
= +
≤ =
=
+
≤
∑
∑
∑
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
2 2
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
a
a
−
−
∞
+
=
= +
=
≤
+
=
+
=
∑
∑
∑
0 0
0 1
1 1
1 1
1 1
1 2
1.
1 2
2 2
2 1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
−
∞
=
=
=
=
+
≤
<
=
=
−
∑
∑
∑
4 2) Нехай
1 2
n
n
n
a
∞
=
∑
і
1 2
n
n
n
a
∞
=
′
∑
– два різні ряди з
A
. Тоді існує значення
0
n n
= таке, що
0 0
0
,
1,
1,
n
n
n
n
a
a n
n
a
a
′
′
=
=
−
≠
. Наприклад, нехай
0 0
0,
1.
n
n
a
a′
=
=
Внаслідок того, що серед чисел
n
a є нескінченна множина нулів, то маємо
0 0
1 1
1 1
1 2
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
a
a
a
x
−
∞
∞
=
=
= +
=
=
+
<
∑
∑
∑
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
1
,
2 2
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
a
a
−
−
∞
=
= +
=
<
+
=
+
∑
∑
∑
0 0
0 1
2 1
1 1
1 2
2 2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
a
a
a
x
−
∞
∞
=
=
= +
′
′
′
=
=
+
+
≥
∑
∑
∑
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
−
−
=
=
′
≥
+
=
+
∑
∑
Таким чином,
0 0
1 1
2 1
1
,
2 2
n
n
n
n
n
a
x
x
−
=
<
+
≤
∑
тобто
1 2
x
x
< . Отже, двом різним рядам з множини A відповідають два різні образи
1
x і
2
x з U .
3) Покажемо тепер, що кожне число x U
∈ є образом певного ряду з A.
Тобто для наперед заданого числа
[
)
0; 1
x
∈
потрібно побудувати ряд з A такий, що сума його дорівнювала x , і серед чисел
n
a містилася б нескінченна кількість нулів.
Візьмемо довільне фіксоване
[
)
0; 1
x
∈
і поділимо
[
)
0; 1 навпіл. Якщо
1 0
2
x
≤ < , то x лежить у лівій половині. В цьому випадку
1 0
a
= . Якщо ж
1 1
2
x
≤ < , то
1 1
a
=
. Той з двох проміжків, в якому лежить x , розділимо знову навпіл. Якщо x лежить у лівій половині, то
2 0
a
=
, якщо ж у правій, то
2 1
a
=
Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо ряд
1 2
n
n
n
a
∞
=
∑
. З побудови чисел видно, що
1 1
1 2
2 2
n
n
k
k
k
k
n
k
k
a
a
x
=
=
< ≤
+
∑
∑
для кожного 1, 2,...
n
=
, а тому, переходячи до границі при n
→ ∞ , отримаємо
1 2
n
n
n
a
x
∞
=
=
∑
Якщо серед чисел
n
a є нескінченна множина нулів, то побудований ряд належить A , і, отже, число x є образом цього ряду. Коли ж серед чисел
n
a буде
5
скінченне число нулів, то знайдеться таке
0 1
n
≥ , що число нуль зустрічається останній раз, тобто
0 0
n
a
= і
1
n
a
= для
0
n n
> . Тоді
0 0
1 1
1 1
1 2
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
a
a
x
−
∞
∞
=
=
= +
=
=
+
=
∑
∑
∑
0 0
1 1
1 1
,
2 2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
−
∞
=
=
′
=
+
=
∑
∑
де
n
n
a
a
′ =
для
0 1,
1
n
n
=
−
і
0 0
0 1
2 1,
... 0,
n
n
n
a
a
a
+
+
=
=
= = тобто отримали ряд з множини A . Таким чином, між множиною A двійкових дробів і точками піввідрізка
[
)
0; 1 встановлено взаємно однозначну відповідність, а це означає, що A c
= .
Теорема 5.
Множина P всіх послідовностей натуральних чисел має
потужність c .
Доведення.
Доведемо спочатку, що множина H всіх зростаючих послідовностей натуральних чисел
( )
k
n :
1 2
3
n
n
n
<
<
< (3) має потужність c . Кожній послідовності (3) поставимо у відповідність нескінченний двійковий дріб
1 2
n
n
n
a
∞
=
∑
, в якому
0,
1, 2,...
k
n
a
k
=
=
(нескінченна кількість нулів),
1
n
a
=
для
k
n n
≠
Легко бачити, що ця відповідність буде взаємно однозначною і за викладеним вище H c
= .
Але між множинами H і P легко встановити взаємно однозначну відповідність. Для цього послідовності
( )
k
m
P
∈ поставимо у відповідність зростаючу послідовність
( )
k
n
H
∈ , для якої
1 1
2 1
2 1
2
,
,...,
,...
k
k
n
m n
m
m
n
m
m
m
=
=
+
=
+
+ +
Теорему доведено.
Теорема 6.
Якщо елементи множини A визначаються n значками, кожний з
яких, незалежно від інших значків, приймає c значень, то і множина A має
потужність c .
Доведення.
Без обмеження загальності розглянемо випадок трьох значків:
{
}
, ,
,
,
,
,
x y z
A
a
x X y Y z Z X Y
Z c
=
∈
∈
∈
= = =
Встановимо взаємно однозначну відповідність між кожною з множин , ,
X Y Z і множиною P всіх послідовностей натуральних чисел. Це дозволить нам встановити таке ж співвідношення між A і P .
Справді, нехай
A
ξ
∈ . Тоді
0 0
0
,
,
x
y z
a
ξ
=
, де
0 0
0
,
,
x
X y
Y z
Z
∈
∈
∈ . У відповідностях між , ,
X Y Z
і P відповідно елементам
0 0
0
,
,
x y z
відповідають
6
якісь елементи з P . Нехай елементу
0
x
відповідає послідовність
(
)
1 2
3
,
, ,...
n n n
,
(
)
0 1
2 3
,
,
,...
y
p p p
−
,
(
)
0 1
2 3
,
, ,... .
z
q q q
−
Співвіднесемо елементу
ξ
послідовність
(
)
1 1
1 2
2 2
,
, ,
,
,
,...
n p q n p q
P
∈
Тим самим ми отримали взаємно однозначну відповідність між A і P , і, отже,
A P c
= = . Теорему доведено.
Наслідок 1.
Множина всіх точок площини має потужність c .
Наслідок 2.
Множина всіх точок тривимірного простору має потужність c .
Наслідок 3.
Об’єднання c множин потужності c , які попарно не
перетинаються, має потужність c .
Теорема 7.
Якщо елементи множини A визначаються a значками, кожен з
яких, незалежно від інших значків, приймає c значень, то множина A має
потужність c .
Доведення.
Нехай
{
}
1 2
3
,
,
,...
x x
x
A
a
=
, де
,
1, 2,...
k
k
x
X k
∈
=
,
k
X
c
= .
Встановимо взаємно однозначну відповідність між
k
X
і множиною P всіх послідовностей натуральних чисел. Позначимо цю відповідність через
,
1, 2, 3,...
k
k
ϕ
=
. Виберемо довільний елемент
A
ξ
∈ . Тоді
10 20
,
,...
x
x
a
ξ
=
,
0
,
1, 2,...
k
k
x
X k
∈
=
Нехай у відповідності
k
ϕ
значенню
0
k
x
значка
k
x
відповідає послідовність
(
)
1 2
,
,...
k
k
n
n
P
∈ . Тоді елементу
A
ξ
∈ відповідає нескінченна цілочислова матриця
11 12 13 21 22 23 31 32 33
n
n
n
n
n
n
n
n
n
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(4)
Легко бачити, що отримана відповідність між A і множиною L матриць (4) взаємно однозначна.
Доведемо, що L c
= . Для цього поставимо матриці (4) у відповідність послідовність
(
)
11 12 21 13 22
,
,
,
,
,...
n n n n n
, побудовану так само, як і в доведенні теореми 8.7 попередньої теми. Отримали взаємно однозначну відповідність між
L
і
P
. Теорему доведено.
Теорема 8.
Множина T всіх послідовностей
(
)
1 2
3
,
, ,...
a a a
, де
k
a , незалежно
один від одного, приймають значення 0 і
1
, має потужність c .
Доведення.
Нехай S є множина тих послідовностей з T , в яких, починаючи з деякого місця, всі 1.
k
a
= Кожній послідовності
(
)
1 2
3
,
, ,...
a a a
, яка входить в S , можна співвіднести число, яке має двійкове подання
1 2 3 0,
a a a
. Це число буде або 1, або
(
)
1, 3,..., 2 1
2
n
n
m
m
=
− , причому одержана відповідність
7
між S і множиною вказаних чисел вказаного вигляду є взаємно однозначною, звідки випливає, що S – зчисленна.
З іншого боку, якщо послідовності
(
)
1 2
3
,
, ,...
a a a
, яка належить
\
T S , співвіднести число з двійковим розкладом
1 2 3 0,
a a a
, то ми отримаємо взаємно однозначну відповідність між \
T S і
[
)
0; 1 , звідки випливає, що \
T S , а значить
і
T
, має потужність c . Теорему доведено.
3. Гіпотеза континууму. Існування множини як завгодно великої
потужності.
Оскільки множина не еквівалентна
і
:
⊂
∼
, то, за означенням,
< , тобто
a c
<
Питання про те, чи існують потужності
μ
, проміжні між a і c , тобто такі, що a
c
μ
< <
, ще не з’ясоване, хоча йому присвячено багато досліджень.
Припущення, що таких потужностей немає, носить назву
гіпотези
континууму
Поставимо тепер питання: чи існують множини, потужність яких більша, ніж потужність континууму? Позитивну відповідь на це питання дає
Теорема
Потужність множини всіх дійсних функцій, визначених на відрізку
[ ]
0; 1 , більша, ніж c .
Доведення.
Нехай
F
– множина всіх дійсних функцій
( )
f x , визначених на
[ ]
0; 1 . Множина
F
містить у собі відповідну підмножину
1
F сталих функцій
( )
[ ]
,
0; 1 ,
f x
C x
C
=
∈
∈
. Очевидно, що
1
F
c
=
Покажемо, що
F
не еквівалентна
1
F . Для цього використаємо метод від супротивного. Припустимо, що
1
F
F
∼
. Тоді F
c
= =
і
[ ]
0; 1
F
∼
, тобто існує правило, за яким кожній функції
( )
f x
F
∈
ставиться у відповідність число
[ ]
0; 1 :
t
∈
( )
[ ]
0; 1 .
t
f x
t
↔ ∈
Побудуємо функцію
( )
( )
1
x
x
f x
ϕ
=
+
. Щоб знайти значення функції
( )
x
ϕ
в точці
[ ]
0 0; 1
x
∈
, ми повинні взяти ту функцію
( )
f x
F
∈
, якій у відповідність поставлено число
0
x , тобто взяти функцію
( )
0
x
f
x , потім обчислити значення функції
( )
0 1
x
f
x
+ у точці
0
x . Це й буде значення функції
( )
x
ϕ
у точці
0
x x
=
Оскільки функція
( )
x
F
ϕ
∈
, то вона повинна збігатися з однією з функцій
( )
t
f x при певному значенні
0
t t
= , тобто
( )
( )
[ ]
0 0; 1
t
x
f x
x
ϕ
=
∀ ∈
. Звідки випливає, що
( )
( )
[ ]
0 1
0; 1
x
t
f x
f x
x
+ =
∀ ∈
. Поклавши
0
x t
= , дістанемо
( )
( )
0 0
0 0
1
,
t
t
f t
f t
+ =
і ми отримали суперечність.
8
Отже,
F
не еквівалентна
[ ]
0; 1 , а тому
F
не еквівалентна
1
F . А це означає, за означенням, що
1
F
F
c
>
= Теорему доведено.
Потужність множини
F
всіх функцій, заданих на відрізку
[ ]
0; 1 , позначають символом f .
Виникає знову питання: чи існують потужності, більші, ніж
?
f
Виявляється, що існують. Більше того, ми покажемо, що виходячи з множини довільної потужності, можна побудувати множину більшої потужності.
Теорема 10.
Нехай
M
деяка множина. Якщо
T
є множиною всіх підмножин
множини
M
, то
T
M
>
Доведення.
Щоб краще зрозуміти зміст цієї теореми та її доведення, розглянемо спочатку випадок, коли M є скінченною непорожньою множиною.
Нехай ця множина складається з p елементів:
{
}
1 2
,
,...,
p
M
m m
m
=
У якості підмножини цієї множини будуть:
1) порожня множина
;
∅
2) одноелементні підмножини
{ } { }
{ }
1 2
,
,...,
p
m
m
m
, кількість яких дорівнює ;
p
3) двохелементні підмножини
{
} {
}
{
}
1 2
1 3
1
,
,
,
,...,
,
,
p
m m
m m
m m
{
}
{
} {
}
2 3
2 1
,
,...,
,
,...,
,
p
p
p
m m
m m
m
m
−
, кількість яких дорівнює
(
)
2 1
2!
p
p p
C
−
=
p ) p -елементна підмножина, тобто сама множина M .
Тоді кількість різних підмножин скінченної множини, що складається з
p елементів дорівнює
(
)
1 2
1 1 1 2 .
p
p
p
p
p
p
C
C
C
+
+
+ +
= +
=
Оскільки для скінченної множини поняття потужності збігається з поняттям кількості елементів, то потужність усіх підмножин непорожньої скінченної множини більша потужності даної множини:
2
p
p
>
Перейдемо тепер безпосередньо до доведення теореми 10. Покажемо, що
T не еквівалентна M . Припустимо навпаки, що T
M
∼
, і нехай
ϕ
– деяка взаємно однозначна відповідність між цими множинами. Кожному m M
∈
у відповідності
ϕ
відповідає певний елемент з T , який ми позначимо через
( )
m
ϕ
, і кожний елемент з T є
( )
m
ϕ
для одного і тільки одного m M
∈
Назвемо елемент m M
∈
„добрим”, якщо
( )
m
m
ϕ
∈
і „поганим”, якщо
( )
m
m
ϕ
∉
. Елемент, який у відповідності
ϕ
відповідає самій множині M напевно „добрий”, а елемент, який відповідає порожній множині, напевно
9
„поганий”. Нехай S – множина всіх тільки „поганих” елементів M . Оскільки
S
T
⊂ , то у відповідності
ϕ
множині S відповідає деякий елемент
0
:
m
M
∈
( )
0
S
m
ϕ
=
Який же елемент
0
m – „добрий” чи „поганий”? Припустимо, що „добрий”. Це означає, що
( )
0 0
m
m
S
ϕ
∈
= , а оскільки S складається тільки з „поганих” елементів, то
0
m є „поганим”. Отримали суперечність.
Нехай
0
m – „поганий” елемент. Але тоді
( )
0 0
m
m
S
ϕ
∉
= , а це означає, що
0
m є „добрим”. Знову протиріччя.
Отже,
0
m ні „добрий”, ні „поганий” елемент, а це суперечить тому, що
T
M
∼
Візьмемо множину
1
T всіх одноелементних підмножин множини
M
. Тоді
1
T
M
∼
і
1
T
T
⊂ . А це означає, за означенням, що
T
M
>
. Теорему доведено.
Означення 2.
Якщо множина M має потужність
μ
, а множина T всіх
підмножин множини
M
має потужність
τ
, то кажуть, що
2
μ
τ
=
.
Зокрема, з теореми 10 випливає, що
2
μ
μ
>
Зауважимо, що не потрібно забувати, що потужність – це не число, а символ, який відповідає певному класу еквівалентних множин.
Теорема 11.
Правильна формула
2
a
c
= .
Доведення.
Нехай
T
– множина всіх підмножин множини натуральних чисел, а L – множина всіх послідовностей вигляду
(
)
{ }
1 2
3
,
, ,... ,
0;1 .
k
a a a
a
∈
Тоді
2
a
T
=
, а за теоремою 8: L c
= .
Візьмемо довільний елемент
*
N
T
∈ – деяку підмножину натуральних чисел. Співвіднесемо
*
N послідовність
(
)
1 2
3
,
, ,...
a a a
за правилом: якщо
*
k N
∈
, то
1
k
a
= , якщо ж
*
k N
∉
, то
0
k
a
= . При цьому ми дістанемо взаємно однозначну відповідність між T і L . А це означає, що
T
L
=
. Теорему доведено.