Комплексні числа та їх застосування

Ім'я файлу: Комплексні числа та їх застосування. Власенко Ірина.docx
Розширення: docx
Розмір: 1612кб.
Дата: 28.04.2021
скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДВНЗ «КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені Вадима Гетьмана»

Кафедра вищої математики

Реферат
з дисципліни “Вища математика”

Тема:”Комплексні числа та їх застосування. “

Виконала: Власенко Ірина Олександрівна

студентка 1-го курсу групи РМ-105

спеціальності маркетинг

Перевірив: доцент Тузов О. Н.

Київ 2021

Зміст

1.Вступ 3

2.Про історію виникнення комплексних чисел і їх ролі в процесі розвитку математики. 3

3.Які комплексні числа називаються рівними, спряженими, протилежними? 5

4.Дії над комплексними числами 6

5.Геометрична інтерпретація комплексних чисел. 7

6.Тригонометрична форма запису комплексних чисел. 9

Список використаної літератури 12

Вступ

Число a+bi, де a і b — будь-які дійсні числа, i — уявна одиниця, називається комплексним числом (a — дійсна частина, bi — уявна частина комплексного числа, а b — коефіцієнт при уявній частині).

Число, квадрат якого дорівнює −1, позначають буквою i і називають уявною одиницею (i — перша буква латинського слова imaginarius — уявний).

Тобто, для символу i виконується рівність i⋅i=i2=−1.

Запис a+bi називають алгебраїчною формою комплексного числа.

Примітка! Слово «комплексний» означає складений.

Число b називають коефіцієнтом при уявній частині.

Два комплексних числа a + bi і c + di = рівні між собою тоді і тільки тоді, коли a =c і b=d , тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Часто комплексне число позначають буквою z і записують z=a+bi.

Комплексні числа — це розширення числової системи дійсних чисел. Позначаються вони буквою C.

Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел.

Для комплексних чисел означені алгебраїчні операції додавання та множення, які узагальнюють додавання та множення дійсних чисел із зберіганням властивостей асоціативності, комутативності та дистрибутивності.

Про історію виникнення комплексних чисел і їх ролі в процесі розвитку математики.

Комплексні числа виникли в математиці на початку XVI століття у зв'язку з рішенням алгебраїчних рівнянь 3-го ступеня, а пізніше, і рівнянь 2-го ступеня. Деякі італійські математики того часу (- Сципіон дель Ферро, Ніколо Тарталья, Джіроломо Кардано, Рафаель Бомбеллі) ввели в розгляд символ

як формальне рішення рівняння

, а також вираз більш загального вигляду (

) для запису рішення рівняння

. Згодом вирази виду (

) стали називати «уявними», а потім «комплексними» числами і записувати їх у вигляді (а + bi) (символ i для позначення

ввів Леонард Ейлер у XVIII ст.) . Цих чисел, чисел нової природи виявилося достатньо для вирішення будь-якого квадратного рівняння (включаючи випадок D <0), а також рівняння 3-ей і 4-го ступеня.

МатематікіXVI ст. і наступних поколінь аж до початку XIX сторіччя ставилися до комплексних числах з явним недовір'ям і упередженням. Вони вважали ці числа «уявними» (Декарт), «неіснуючими», «вигаданими», «виникли від надлишкового мудрування» (Кардано) ... Лейбніц називав ці числа «витонченим і чудовим притулком божественного духу», а

вважав символом потойбічного світу (і навіть заповідав накреслити його на своїй могилі).

Проте використання апарату комплексних чисел (незважаючи на підозріле ставлення до них), дозволило вирішити багато важкі завдання. Тому з часом комплексні числа займали все більш важливе положення в математиці і її додатках. В першу чергу вони глибоко проникали в теорію алгебраїчних рівнянь, істотно спростивши їх вивчення. Наприклад, один з важких питань для математиків XVII-XVIII століть перебував у визначенні числа коренів алгебраїчного рівняння n-го ступеня, тобто рівняння виду

. Відповідь на це питання, як виявилося, залежить від того, серед яких чисел - дійсних чи комплексних - слід шукати корені цього рівняння. Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна лише стверджувати, що їх не більше, ніж n. А якщо вважати допустимим наявність і комплексних рішень, то відповідь на поставлене питання виходить вичерпний: будь-яке алгебраїчне рівняння ступеня n (n ≥ 1) має рівно n коренів (дійсних або комплексних), якщо кожен корінь вважати стільки разів, яка його кратність (а це - число співпадаючих з ним коренів). При n ≥ 5 загальне алгебраїчне рівняння ступеня n нерозв'язно в радикалів, тобто не існує формули, що виражає його корені через коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і добування коренів натуральної ступеня.

Після того, як в XIX ст з'явилося наочне геометричне зображення комплексних чисел за допомогою точок площини і векторів на площині (Гаус в 1831 р, Вессель в 1799 р, Арган в 1806 р), стало можливим зводити до комплексних числах і рівнянням для них багато завдань природознавства , особливо гідро-і аеродинаміки, електротехніки, теорії пружності і міцності, а також геодезії і картографії. З цього часу існування «уявних», або комплексних чисел стало загальновизнаним фактом і вони отримали таку ж реальний зміст, як і числа дійсні. До теперішнього часу вивчення комплексних чисел розвинулося в найважливіший розділ сучасної математики - теорію функцій комплексного змінного (ТФКЗ).

Які комплексні числа називаються рівними, спряженими, протилежними?

Два комплексних числа a+bi і c+di рівні між собою тоді і тільки тоді, коли a=c і b=d, тобто, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має сенсу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше 10i чи 3i, 2+5i чи 5+2i.

Числа a+bi і a−bi, дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими.

Приклади.

Спряженими є комплексні числа 4+3i та 4−3i.

Якщо дано число 6i, то спряженим до нього є −6i.

До числа 11 спряженим буде 11, бо 11+0i=11−0i.

Числа a+bi і −a−bi називаються протилежними. Тобто, два числа a+bi та −a−bi, сума яких дорівнює нулю, називають протилежними.

Дії над комплексними числами

Нехай дано два комплексні числа z1=a1+b1i і z2=a2+b2i.

Додавання комплексних чисел.

Сумою двох комплексних чисел a1+b1i і a2+b2i називається комплексне число (a1+a2)+(b1+b2)i, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах додатків.

Приклади (додавання комплексних чисел):

(−3+5i)+(4−8i)=(−3+4)+(5−8)i=1−3i

(3+2i)+(−1−5i)=(3−1)+(2−5)i=2−3i

(2+3i)+(6−3i)=(2+6)+(3−3)i=8−0i=8

(10−3i)+(−10+3i)=(10−10)+(−3+3)i=0−0i=0

Примітка! Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.

Віднімання комплексних чисел.

Різницею двох комплексних чисел a1+b1i і a2+b2i називається комплексне число (a1−a2)+(b1−b2)i.

Приклади (віднімання комплексних чисел):

(−5+2i)−(3−5i)=(−5−3)+(2−(−5))i=−8+7i

(6+7i)−(6−5i)=(6−6)+(7+5)i=12i

(0,3+2,5i)−(−0,75+1,5i)=

=(0,3+0,75)+(2,5−1,5)i=1,05+i

Множення комплексних чисел.

Добутком двох комплексних чисел a1+b1i і a2+b2i називається комплексне число (a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i.

Приклад (множення комплексних чисел):

(1−2i)⋅(3+2i)=(1⋅3−(−2)⋅2)+(1⋅2+(−2)⋅3)i=

=(3+4)+(2−6)i=7−4i.

Добуток двох спряжених комплексних чисел: (a+bi)⋅(a−bi)=a2+b2.

Ділення комплексних чисел.

Часткою комплексних чисел a1+b1i і a2+b2i називається комплексне число

Приклад (знайти частку комплексних чисел):

Піднесення комплексних чисел до степеня.

За означенням, і¹ = і, і²= - 1.

Користуючись рівністю і²= - 1, визначеко кілька послідовних ступенів уявної одиниці: і³ =і²і= - 1і= -і; і = і³і = -іі= 1; і=іі=і; і=іі=-1; і=іі=-і; і=-іі=1.

Оскільки і=1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, і²= і =-1, і³=і =-і, і =і = 1і так далі.

Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник сепеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Рівності(1+і)² = 1+2і + і²= 2і, (1-і) ² = 1-2і + і²= -2і корисно запам’ятати, бо їх часто використовують.

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Вивчаючи комплексні числа, можна використовувати геометричну термінологію і геометричні міркування, якщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу a + bi поставимо у відповідність точку M(a;b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявної частини. Кожній точці M(a;b) координатної площини поставимо у відповідність комплексне число a + bi (мал. 1). Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вибрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам a+0i, тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називається уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам 0 + bi.

Зручною є також інтерпретація комплексного числа як вектором

(мал. 1). Поставимо у відповідність кожному комплексному числу вектор з початком у точці О(0;0)і кінцем у точці M(a;b) . Ви знаєте, що такий вектор називають радіусом-вектором, а його проекції на осі координат є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометричним зображенням комплексного числа є радіус-вектор з координатами a і b . Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати точками або векторами і говорити, наприклад, про вектор a + bi або про точку a + bi.

На малюнку 2 вектори є відповідно геометричними зображеннями комплексних чисел

Обидва способи геометричного зображення комплексних чисел рівноцінні, бо будь-якій точці А координатної площини відповідає певний радіус-вектор

. Навпаки, кожному радіус-вектору

відповідає певна точка – кінець радіуса-вектора.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел.

Запис числа z у вигляді a + bі називається алгебраїчною формою запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми використовують й інші форми запису комплексних чисел – тригонометрична і показникова. Розглянемо тригонометричну форму запису, а для цього введемо поняття про модуль і аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа.

Побудуємо радіус – вектор

, що є геометричним образом комплексного числа z = a + bі.

Модулем комплексного числа z = a + bі називається значення

Число

перетворюється на нуль тільки за умов a =0, b =0.

Модуль комплексного числа a + bi позначається символом a + bi. Отже,

Якщо комплексні числа мають один і той самий модуль, то кінці векторів, які зображують ці числа, лежать на колі з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює їх модулю.

Аргумент комплесного числа.

Нехай радіус – вектор

, зображує комплексне число z = a + bі Позначимо α кут, який утворює вектор

, з додатним напрямом осі х. Числове значення кута α, виміряного в радіанах, називається аргументом комплексного числа a + bі. Якщо комплексне число дорівнює нулю, то вектор

, перетворюється в точку (нуль – вектор), і говорити про його напрям немає сенсу. Тому вважають, що число нуль не має аргументу. Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну множину значень аргументу, які відрізняються один від одного на ціле число повних обертів, тобто на величину 2πn, де n – довільне ціле число. Значення аргументу, взяте в межах першого кола, тобто від 0 до 2π, називається головним. Головне значення аргументу комплексного числа можна визначити з рівності tg α = b/a. Справді, за знаками a i b можна встановити, в якій четверті міститься кут α, і за величиною tg α, використовуючи таблиці, знайти величину кута α.

Тригонометрична форма комплексного числа.

Нехай вектор

є геометричним зображенням комплексного числа z = a + bі , модуль якого дорівнює r, а аргумент α. У прямокутному трикутнику АОС а = r cos α, d = r sin α. Підставляючи у запис комплексного числа замість а та d їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо :

Z = r cos α + іr sin αі = r(cos α + іsin α).

Вираз r(cosα + sinαі) називається тригонометричною формою комплексного числа. Будь – яке число a + bі, дане в алгебраїчній формі, можна подати в тригонометричній формі. Модуль r знаходимо за формулою

, а кут α визначаємо із залежності tg α =b\a, яка випливає з формул cos α = a\r, sin α = b\r.

Множення і ділення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел виявляється дуже зручною під час множення і ділення чисел. Нехай Z₁=r₁(cos α₁ + і sin α₁), Z₂=r₂(cos α₂ + і sin α₂) – два числа, що записані в тригонометричній формі. Тоді

Z₁ Z₂= r₁r₂( cos α₁ cos α₂ - sin α₁ sin α₂ + і sin α₁cos α₂ + і sin α₂ cos α₁), або Z₁ Z₂= r₁r₂( cos (α₁ + α₂) + і sin (α₁ + α₂)). Отже, справедливим є твердження: під час множення комплексних чисел у тригонометричній формі модулі їх перемножуються, а аргументи додаються. Для знаходження частки множимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:

Z₁\Z₂=r₁(cos α₁ + і sin α₁)(cos α₂ - і sin α₂)\ r₂(cos α₂ + і sin α₂)(cos α₂ - і sin α₂) = r₁\r₂х(cos (α₁ - α₂) + і sin (α₁ - α₂))\( cos² α₂ + і sin ²α₂)= r₁( cos (α₁ - α₂) + і sin (α₁ - α₂))\r₂.

Отже, під час ділення комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаюьтся.

Добування кореня з комплексного числа.

Корінь n – го ступеня з числа Z=r(cos α + i sin α) обчислюють за формулою

де к – деяке ціле число (к є Z).

Підставляючи замість к значення 0, 1, 2…n – 1, дістанемо n різних значень кореня. Так, якщо n = 2, к = 2 матимемо sin ((α + 4 π) = sin α\2 і так далі.

Точки, які відповідають значенням кореня n – го ступеня з комплексного числа Z=r(cos α + і sin α), розміщуються у вершинах правильного n – кутника з центром у точці О.

Список використаної літератури

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.

2. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М.: 1979.

3. Математический практикум. М.: 1960.

4. Будівництво Д.Я. «Короткий нарис історії математики». М., «Наука», 1969.

5. Яглом І.І. «Комплексні числа та їх застосування в геометрії». М., Фізматвид, 1963.

6. Довідник з елементарної математики (для вступників до ВНЗ) під редакцією Фільчакова П.Ф. «Наукова Думка», Київ - 1972.

7. https://works.doklad.ru/view/RzEAjOFjwHM.html

8. https://www.bestreferat.ru/referat-275343.html

9. https://formula.co.ua/uk/content/complex-numbers.html
скачати