Ім'я файлу: лМ¦ФЙОО¦ БЧФПНБФЙ - УР¦ЧДПРПЧ¦ДШ.doc
Розширення: doc
Розмір: 551кб.
Дата: 08.12.2021
скачати

Клітинні автомати використовуються також для моделювання гідродінамічних течій. Добре відомо, що рівняння гідродинаміки описують макроскопічні усередненя руху в системі, що складається з величезного числа взаємодіючих один з одним молекул. Виходить, що на макрорівні тими ж самими рівняннями описується більш проста система - гратковий газ, який є одним із прикладів клітинного автомата.

Перша модель рідини як граткового газу була запропонована в роботах Д. Харда, О. де Пацціса та І. Помо, які розглядали регулярну квадратну решітку зі зв'язками одиничної довжини. Вважалось, що в кожному вузлі решітки можуть перебувати не більше чотирьох молекул рівної маси з одиничною швидкістю, спрямованої вздовж одного з чотирьох напрямків (ліворуч, праворуч, вгору або вниз). Одночасне перебування у вузлі двох молекул з однаковим напрямком швидкості заборонено. Час також є дискретним. Зміна стану на наступному кроці по часу відбувається згідно з такими правилами. Молекула зміщується на одну довжину решітки - в найближчу клітинку, на яку спрямований вектор її швидкості. При цьому будь-яка конфігурація, що складається в точності з двох молекул з направленими назустріч один одному швидкостями в одному вузлі (лобове зіткнення), замінюється на іншу конфігурацію, де швидкості повернені на кут 90 градусів у порівнянні з первинними. Всі інші конфігурації залишаються без змін.

Ця модель має низку важливих властивостей. Головним з них є існування термодинамічної рівноваги. Хоча аргодична теорема не доведена, чисельні розрахунки свідчать про релаксацію до рівноваги. Виникаючі рівноважні розподіли володіють вільними безперервними параметрами - середньою щільністю і імпульсом. Рівноважні функції розподілу не залежить від положення вузла, але залежать від напрямку швидкості (якщо тільки середній імпульс часток не звертається в нуль). Коли густина і імпульс повільно змінюються в просторі k по часу, справедливий "макродинамічний" опис, рівняння якого відрізняються від нелінійних рівнянь Нав'є - Стокса в двох відношеннях - відсутністю галілєвої інваріантності і ізотропії.

Галілеївськога інваріантность, тобто еквівалентність всіх інерційних систем відліку, порушується через наявність решітки. Це порушення виявляється в тому, що в вираз для тензора щільності потоку імпульсу входять не тільки квадратичні по середній швидкості і члени, але також і доданки, що мають більш високий порядок. Ці нелінійні поправки виявляються, однак, малими в межі низьких чисел Маха, коли рідину можна розглядати як нестисливу. Тому, якщо обмежитися вивченням лише ситуацій, коли стисливість рідини несуттєва, порушення галилеевской інваріантності не буде помітно.

Більш серйозна трудність пов'язана з відсутністю ізотропії, тобто інваріантності щодо довільних поворотів. Гратковий газ на квадратній решітці інваріантний лише при поворотах на кут, кратний . В результаті тензор щільності потоку імпульсу для такої моделі має вид



Тут тиск , - щільність числа частинок; члени, непарні за u, зникають через симетрії по відношенню до просторових відображенням. Тензор Т симетричний по індексам а, b і , є. У. Фріш, Б.Хас-слахер та І. Поме звернули увагу, що якби гратковий газ був інваріантний по відношенню до гексагональної групі поворотів (тобто по відношенню до обертанням на кут ), тензор Т був би ізотропним і вираз (1) прийняв би такий вигляд:



При низьких числах Маха (малі середні швидкості u) вираз (2) для тензора щільності потоку імпульсу збігається з входячими до рівняння Нав'є - Стокса.
З урахуванням цього запропонована модель газу на гексагональній плоскій решітці - клітинний автомат, правила якого наступні.

Частинки можуть знаходитися у вузлах правильної трикутної решітки. Швидкості всіх частинок однакові по модулю (зазвичай їх вибирають рівними 1), але різні за напрямком. Швидкість частинки можуть бути спрямовані лише вздовж однієї з шести зв'язків, які з'єднують той вузол, де вона знаходиться, з його найближчими сусідами. У кожному вузлі може перебувати не більше однієї частинки з даним напрямком швидкості. Зручно перенумерувати всі шість допустимих напрямків швидкості за допомогою індексу i, поклавши , де i = 0, ± 1, ± 2,. . . , А - кут, що визначає напрямок швидкості. Очевидно, що значення i, що відрізняються на будь-яке ціле число, кратне 6, відповідають одному і тому ж напрямку. Позначимо швидкість частинки, що має напрям i, як .

Положення частинок і їх швидкості змінюються в дискретні моменти часу синхронно для всіх вузлів решітки. За один крок по часу кожна частка зміщується в той суміжний вузол решітки, на який був спрямований вектор її швидкості. Якщо в результаті такого зміщення в одному вузлі виявилося дві або три частинки, в той же момент часу відбувається акт розсіювання, що приводить до зміни швидкостей зіткнувшихся частинок. Якщо стикається пара частинок з протилежними напрямками швидкості еi, еi + 3, то швидкості частинок після зіткнення рівні ei + 1, еi-2 або ei-1, еi + 2 причому обидва варіанти розсіювання рівноймовірні. При зіткненні трьох частинок зі швидкостями ei, ei + 2, ei-2 НОВІ напрямки швидкості рівні еi + 3, ei + 1, ei-1. У всіх інших випадках напрямку швидкості в результаті розсіювання не змінюються.

Так, наприклад, на рис. 1 показані положення і напряму швидкості частинок в два послідовних моментів часу n і n + 1. Проста стрілка, що виходить з вузла решітки, означає, що в момент n в цьому вузлі перебувала частинка з відповідним напрямком швидкості.



Рис. 1. Клітинний автомат для рівняння Нав'є – Стокса

Подвійними стрілками вказані положення і швидкості частинок на наступному, n + 1-му кроці за часом.

Наведемо коротко схему виведення рівнянь Нав'є - Стокса для граткового газу, описуваного таким клітинним автоматом.

Нехай Ni - середнє число часток з напрямком швидкості u, що припадає на один вузол решітки. Усереднення проводиться за макроскопічної просторово-часової області, що охоплює багато вузлів решітки та багато кроків по часу, так що Ni- є плавною функцією від просторових координат і від часу. Визначимо повільно змінюючуся щільність числа частинок р і щільність імпульсу як



в рівновазі з заданими значеннями р і u середні числа заповнення Ni наступні



де f і g є деякі функції від р і u. Їх можна розкласти в ряд за ступенями середньої швидкості u. За допомогою цих розкладів вдається обчислити щільність потоку маси і щільність імпульсу з точністю до другого ступенів за макроскопічними градієнтам, що призводить до наступних гідродинамічниих рівняннянь:



де ; і являють собою коефіцієнти в'язкості.

Лінеаризація цих рівнянь і відкидання членів, що враховують в’язкість, дають хвильове рівняння, що описує поширення звукових хвиль зі швидкістю . Система рівнянь (5), (6) переходить в рівняння Нав'є - Стокса для нестисливої в'язкої рідини, якщо розглянути межі, коли число Маха прямує до нуля, а гідродинамічна довжина L необмежено зростає так, щоб їх добуток ML залишався кінцевим. У цій межі варіації щільності слід враховувати тиск , а рівняння безперервності (5) зводиться до . Тоді множник в рівнянні (6) постійний, і при 0 < <3 його можна виключити, перейшовши до нових одиниць часу. У результаті число Рейнольдса є рівним



Так, на макроскопічному рівні при не надто великих числах Маха М (від 0,3 до 0,5) розглянутий клітинний автомат дає в точності ті ж гідродинамічні течії, що і реальна рідина. Це відкриття надзвичайно важлививе для комп'ютерних розрахунків - на сучасних ЕОМ і особливо на майбутніх ЕОМ з високим ступенем паралелізму. Оскільки всі обчислення здійснюються в цілих числах, тут немає помилок округлення, що дає нефізичне джерело шуму. Крім того, сам алгоритм розрахунку ідеально підходить для реалізації на розподілених обчислювальних системах.

Наведена модель клітинного автомата, що імітує двовимірні гідродинамічні течії нестисливої в'язкої рідини, не є єдино можливою. Тим же самими макроскопічними поведінками володіє, наприклад, дещо інша модель (рис. 2). У цій моделі частинки розташовуються на зв'язках гексагональної решітки (зв'язки, зайняті частинками, відзначені на рис. 2 стрілками). До теперішнього часу є узагальнення цієї моделі на випадок магнітогідродинаміки.

На жаль, досі відсутні моделі клітинних автоматів для імітації тривимірних течій рідини. Головна складність тут полягає в тому, що для макроскопічної ізотропії в тривимірному випадку необхідна ікосаедрична інваріантість, але не існує жодної регулярної кристаллографічної решітки з настільки високою симетрією. Тому доводиться шукати більш складні обхідні шляхи.



Рис. 2. Дві послідовні мікроскопічні конфігурації для клітинного автомата, що імітує гідродинамічні течії

Отже, було розглянуто цей одинокий хоча й важливий у практичному використанні приклад. Він ілюструє одну все більш виразну тенденцію: перехід від цифрових розрахунків на універсальних ЕОМ до прямої імітації цікавлячих процесів з використанням паралельно діючих обчислювальних систем. Можна очікувати, що в найближчому майбутньому з'явиться багато інших клітинних автоматів, що імітують самі різні види процесів у фізичних, хімічних й біологічних середовищах.

Однак, можливості аналогових розподілених систем не вичерпуються прямою імітацією процесів в розподілених середовищах.
скачати

© Усі права захищені
написати до нас