Інтергал Рімана Розіб’ємо на частин точками : Розбиттям називають сукупність . : Сукупність проміжних точок – множина , де : Діаметр розбиття - : Інтегральна сума - для функції , що побудована за розбиття і сукупністю проміжних точок . : Інтеграл за Ріманом – число нназивають інтегралом за Ріманом від функції на , якщо . : Необхідна умова інтегровності – Якщо інтегровна за Ріманом, то обмежена на , бо якщо необмежена, то . Тоді при даному Суми Дарбу. . : Верхня сума Дарбу: , , . : Нижня сума Дарбу: , , x . Продовження розбиття. цього * сегмента *, де : Pє спільним для і , якщо . : Інтегральні суми Дарбу та продовжені розбиття. Якщо продовження розбиття, то і . : - деяке розбиття, де : Нерівність між інтегральними сумами Дарбу. – розбиття - спільне розбиття: Інтегровність за Дарбу та її зв’язок з інтегровністю за Ріманом : Верхній інтеграл Дарбу - :Нижній інтеграл Дарбу - : Функція називається інтегровною за Дарбу, якщо : Критерій інтегровності за Дарбу: є інтегровною за Дарбу . (Еквівалентності): Функція інтегровна за Дарбу вона інтегровна за Ріманом і їх інтеграли співпадають. Множини лебегової міри нуль : Множина має лебегову міру нуль, якщо не більш ніж зліченна кількість. Властивості множин лебегової міри нуль Якщо зліченна або скінченна – має міру нуль. Якщо – не є множиною міри нуль. Незліченна(континуальна) множина теж може мати міру нуль. Якщо мають міру нуль, то і має міру нуль. : Критерій Лебега інтегровності за Ріманом. – обмежена на , тоді Множина точок розриву функції на має міру нуль. обмежені Найпростіші наслідки . . . . : Лінійність інтегралу Рімана Якщо , то : за інтегралом суми. : Адитивність за проміжком інтегрування : Інтеграл Рімана від нерівних функцій Наслідки Якщо і . Інтеграл Рімана. : , то : Розглянемо . Тоді . Тобто . Модуль. : Якщо , то . : З пункту 7: : Перша про середнє і . – не змінює знак на : Будемо вважати, що Тоді Отже : Перша про середнє для неперервної функції Якщо Інтеграл як функція верхньої межі . |