Ім'я файлу: Інтергал Рімана.docx
Розширення: docx
Розмір: 42кб.
Дата: 17.12.2020

Інтергал Рімана



Розіб’ємо на частин точками

: Розбиттям називають сукупність .

: Сукупність проміжних точок – множина , де

: Діаметр розбиття -

: Інтегральна сума - для функції , що побудована за розбиття і сукупністю проміжних точок .

  1. : Інтеграл за Ріманом – число нназивають інтегралом за Ріманом від функції на , якщо .

  2. : Необхідна умова інтегровності – Якщо інтегровна за Ріманом, то обмежена на , бо якщо необмежена, то .



Тоді при даному

  1. Суми Дарбу.

.

: Верхня сума Дарбу: , , .

: Нижня сума Дарбу: , , x .



  1. Продовження розбиття.

цього * сегмента *, де

: Pє спільним для ­ і , якщо .

  1. : Інтегральні суми Дарбу та продовжені розбиття.

Якщо продовження розбиття, то і .

:

- деяке розбиття,



де







  1. : Нерівність між інтегральними сумами Дарбу.

– розбиття



- спільне розбиття:



  1. Інтегровність за Дарбу та її зв’язок з інтегровністю за Ріманом

: Верхній інтеграл Дарбу -

:Нижній інтеграл Дарбу -

: Функція називається інтегровною за Дарбу, якщо

: Критерій інтегровності за Дарбу:

є інтегровною за Дарбу .

(Еквівалентності):

Функція інтегровна за Дарбу вона інтегровна за Ріманом і їх інтеграли співпадають.

  1. Множини лебегової міри нуль

: Множина має лебегову міру нуль, якщо не більш ніж зліченна кількість.





  1. Властивості множин лебегової міри нуль

  • Якщо зліченна або скінченна – має міру нуль.

  • Якщо – не є множиною міри нуль.

  • Незліченна(континуальна) множина теж може мати міру нуль.

  • Якщо мають міру нуль, то і має міру нуль.

  1. : Критерій Лебега інтегровності за Ріманом.

– обмежена на , тоді Множина точок розриву функції на має міру нуль.

обмежені











  1. Найпростіші наслідки

  • .

  • .

  • .

  • .

  1. : Лінійність інтегралу Рімана

Якщо , то



: за інтегралом суми.

  1. : Адитивність за проміжком інтегрування



  1. : Інтеграл Рімана від нерівних функцій



  1. Наслідки

  • Якщо і .

  • Інтеграл Рімана.

:

, то

:

Розглянемо . Тоді .

Тобто

.





  • Модуль.

: Якщо , то .

: З пункту 7:







  1. : Перша про середнє

і .

– не змінює знак на



: Будемо вважати, що

Тоді

Отже







  1. : Перша про середнє для неперервної функції

Якщо



  1. Інтеграл як функція верхньої межі

.



скачати

© Усі права захищені
написати до нас