II часть. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ.
1. До показать пользуясь определение, что при
функция 
является бесконечно малой.Функция
называется бесконечно малой функцией (б. м. ф.) при
(или в точке
), если
.
2.
Каково должно быть 
, что бы для 
имело место
Определение предела
, выполняется неравенство
3.
Каково должно быть
что бы для 
имело место 
Определение предела
Возьмем произвольным образом
если 
При
4. Доказать логарифмический признак сходимости рядов: ряд
сходится, если существует такое 
, что 
при 
и расходится, если 
при . Можно ли применить логарифмический признак к изучению сходимости ряда 
при 
?Логарифмический признак для
:а)
при 
- сходитсяДоказательство
при
Пусть
. Ряд
- сходится при 
Значит, исходный ряд сходится по I теореме сравнения.
б)
при - расходится Доказательство
Ряд
- расходится, значит, исходный ряд тоже расходится (по I теореме сравнения). Для ряда
при получим:
при всех 
Значит, ряд по логарифмическому признаку, не может расходиться. Поскольку
, не существует ни одного 
такого, что 
при всех . Значит, первая часть признака не работает. Следовательно, но логарифмическому признаку нельзя сделать вывод сходимости ряда. 5. Пусть
. Доказать непосредственно, что 
Докажем, что
6. Доказать, что ряд
равномерно сходится на всей числовой оси. Показать, что этот ряд нельзя почленно дифференцировать ни на каком интервале. 
Ряд
сходится как сумма геометрической прогрессии с 
По признаку Вейерштрасса исходный ряд равномерно сходится при всех 
. Рассмотрим ряд из производных:
Покажем, что на любом отрезке 
есть точка, в которая 
Всегда можно подобрать
так, что бы на отрезке 
было хотя бы одно целое число 
. Положим 
, тогда 
Все остальные слагаемые ряда тоже будут равны 1. Значит, в таких точках для ряда не будет выполнен необходимый признак сходимости 
. Значит, исходный ряд нельзя дифференцировать почленно. 7. Доказать, что производная от функции
разрывна в точке
при
при
как произведение бесконечно малой функцией не ограниченную.
При этом
не существует, т. к. 
, а 
- не имеет предел при 
.Для доказательства рассмотрим 2 последовательности точек
Значит,
- не существует,
- не существует и 
разрывна в 
8. Что можно сказать о дифференцируемости суммы
в точке 
если в этой точке:а) функция
дифференцируема, а функция 
не дифференцируема;б) обе функция
и не дифференцируемы. Теорема. Для того, чтобы функция
была дифференцируема в точке x , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точкеПусть
а) Если
и дифференцируема, то 
- не дифференцируема, иначе функция 
была бы дифференцируема. б) Если
и дифференцируема в 
, то может быть как дифференцируема, так и не дифференцируема
не дифференцируема
при всех , и дифференцируема в 9. Доказать, что функция
монотонно возрастает на отрезкеа)
; б) 
;Следует ли из монотонности дифференцируемой функции монотонность ее производной?
Доказательство
При
и 
а) Пусть
Значит
б) Пусть
Если
или 
-доказывать как в а);Если
Одно выражение в скобках или оба будут <0.10.Доказать теорему: если функция
дифференцируемы на отрезке 
и 
, а 
то 
Доказать геометрическую интерпретацию теоремы.
Доказательство
Теорема. Пусть задано на
Тогда Рассмотрим функцию
на отрезке 
. Применим теорему Лагранжа ,где
11. Исследовать знаки максимума и минимума функций
и выяснять условия, при которых уравнение имеет:а) Три различных действительных корня
б) Один действительный корень
Рисунок 11.1
Рисунок 11.2
12. Определить «отклонение от нуля» многочлена
13. Пусть
- непрерывная функция, а функции 
и 
Доказать, что 
14. Найти точки экстремума функций
Рисунок 14. 1 точки максимум и минимум
15. Пусть
- непрерывная периодическая функция с периодом 
. Доказать, что 
16. При каких целых значений
интеграл 
выражается элементарными функциями? 
- интеграл Чебышева
Выражается в элементарных функциях только в случае:
Также
выражается элементарными функциями, если n=0 (в этом случае подынтегральная функция не содержит х)Ответ:
17. Ряды
и 
сходится. Доказать, что ряд 
тоже сходится. 
и 
- сходится. Доказать, что 
- сходится.Доказательство
Справедливо неравенство
По I теореме сравнения ряд
18. Показать, что функция
19. Может ли функциональный ряд на отрезке
а) сходится равномерно и не сходится абсолютно,
б) сходится абсолютно и не сходится равномерно?
Рассмотреть примеры:
- покажем, что сходится равномерно, но не абсолютно. Признак Дирихле равномерной сходимости рядов:
Пусть частичные суммы ряда
при любых и 
ограниченны, а последовательность функций 
- монотонно и равномерно сходится к области 
.
20. Доказать, что
