Функція та її властивості
Функція – це основне поняття математичного аналізу. термін “Функція” вперше запропонував готфрід вільгельм лейбніц у хvіі сторіччі.
Великий внесок у розвиток і розширення поняття “функція” зробили видатні вчені
й.бернуллі
л.ейлер
м.і.лобачевський
Залежність змінної У від змінної Х називають функцією, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.
х - незалежна змінна (аргумент),
у – залежна змінна (функція).
Способи
задання функції
1)“Задано таку залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню у поставлено у відповідність подвоєне значення х.” Це описовий спосіб задання функції.
2) У = 2 ∙ х Це спосіб задання функції формулою.
3)
Це табличний спосіб задання функції.
| х | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у | - 4 | - 2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
4) Це графічний спосіб задання функції.
Область визначення функції
Область визначення Функції – це множина значень, яких може набувати аргумент х
Позначається d(f)
1) ірраціональна функція
О.В. : f(x) ≥ 0
2) дробово-раціональна функція
О.В. : g(x) ≠ 0
3) дробово-ірраціональна
функція
О.В. : g(x) > 0
Область значень функції
Область значень Функції – це множина значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх х з області визначення
Позначається Е(f)
1) ірраціональна функція
О.З. : у ≥ 0
2) дробово-раціональна функція
О.З. : у ≠ 0
3) квадраична функція
О.З. : у ≥ 0
4) модуль функції
О.З. : у ≥ 0
Графік функції
Графік функції – це множина усіх точок з координатами ( х; у ) координатної площини, які задовольняють рівняння функції у = f(x)
Нулі
функції
Нулі функції – це точки х, у яких значення функції дорівнює 0,
тобто f(х) = 0.
На графіку – це точки перетину графіка з віссю абсцис.
a
b
c
Парність
та непарність
функції
- 2
2
4
Протилежним аргументам х = 2 та х = - 2 відповідає однакове значення функції у = 4 . Така функція парна.
2
4
-2
- 4
Протилежним аргументам х = 2 та х = - 2 відповідають протилежні значення функції у = 4 та у = - 4. Така функція непарна.
Якщо для аргументів х = а та х = - а значення функції f(a) = f( - a), то така функція парна.
Теорема 1.
Якщо для аргументів х = а та х = - а значення функції f(a) = - f( - a), то така функція непарна.
Теорема 2.
Зростання
та
спадання
функції
2
2,8
12
7
Значенню аргумента х = 2 відповідає значення функції у = 2,8.
Тобто, більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.
Значенню аргумента х = 12 відповідає значення функції у = 7.
Така функція зростаюча.
1
4,7
6
0,8
Значенню аргумента х = 1 відповідає значення функції у = 4,7.
Тобто, більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції.
Значенню аргумента х = 6 відповідає значення функції у = 0,8.
Така функція спадна.
Якщо для аргументів х = а та х = b таких, що a < b , значення функції f(a) < f(b), то така функція зростає.
Теорема 3.
Якщо для аргументів х = а та х = b таких, що a < b , значення функції f(a) > f(b), то така функція спадає.
Теорема 4.
а
b
Функція зростає на проміжку (a ; b)
а
b
Функція cпадає на проміжку
(-; а) (b; +)
Знакосталість
функції
Тут функція додатна
Тобто f(x) > 0, якщо х ( - ; a) (b ; c )
a
b
c
Тут функція від’ємна
a
b
c
Тобто f(x) < 0,
якщо х (a; b) (c; + )