Международная научно-практическая конференция
"От школьного проекта — к профессиональной карьере"
Секция «В мире математики»
Проект на тему
«Функции рядом с нами»
Авторы: Ладыгина Жанна,
Петровская Анастасия,
учащиеся 10«А» класса
МОУ СОШ № 2
г. Пугачева Саратовской области
Руководитель:
Горина Татьяна Евгеньевна, учитель математики
высшей квалификационной категории;
Адрес: 413720, г. Пугачев,
ул. Коммунистическая, д. 12
МОУ СОШ № 2, тел: 2-19-38
г. Пугачев – 2013 г.
Содержание
Введение…………………………………………………………2
Основная часть
Исторические сведения…………………………………..3
Определение функции……………………………………4
Примеры применения различных функций в жизни, технике, природе…………………………………………..5
Функциональные зависимости в повседневной жизни…9
Заключение ………………………………………………………13
Список используемой литературы……………………………...14
Введение
В мире всё взаимосвязано. В математике все явления и зависимости описываются с помощью функций. Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.«Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция.
Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы, и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему своего исследования мы обозначили так: «Функции рядом с нами». Мы любим находить различные закономерности в окружающем меня мире, любим изучать числа, строить графики. Поэтому мы решили подробнее узнать, как можно связать различные моменты жизни с функциями и графиками.
Цель нашей работы: наглядная демонстрация функциональных зависимостей, с помощью которых можно описать реальные события в жизни, различные процессы в биологии, химии, физике.
Для этого мы поставили перед собой следующие задачи:
Рассмотреть историю возникновения понятия функции.
Увидеть применение функций и графиков в жизни и технике.
Решить задачи, связанные с применением функций и графиков в жизни и технике.
Найти функциональные зависимости в повседневной жизни и выразить их с помощью графиков.
Мы считаем, что этот проект может помочь заинтересовать учащихся, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «функция».
Основная часть
Исторические сведения
Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства, земледелия, ремесел и обмена увеличивалось количество известных людям зависимостей между величинами.
Идея зависимости некоторых величин восходит к древнегреческой науке.Но греки рассматривали лишь вопросы, имеющие “геометрическую” природу, и не ставили вопроса об общем изучении различных зависимостей. Графическое изображение зависимостей широко использовали Г.Галилей (1564–1642), П.Ферма (1601–1665) и Р.Декарт (1569–1650), который ввел понятие «переменной величины». По определению Декарта: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Развитие механики и техники потребовало введения общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г.Лейбницем. Следующий шаг в развитии понятия функции сделал ученик Бернулли, член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он писал: “Величины, зависящие от других так, что с изменениями вторых изменяются и первые, принято называть их функциями”.В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С. Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции. Итак, знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления.
Определение функции
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий,выражающее зависимость одних переменных величин от других. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Определение. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x. Принято называтьx независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или значением функции.
Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x) или у = F (x) и т. п.
График функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты (х, у) которых удовлетворяют соотношению y = f(x).
Способы задания функции:
аналитический (с помощью формулы);
графический;
табличный;
словесный.
Функции, изучаемые в школе:
линейнаяy = ax + b;
квадратичнаяy = ax2 + bx + c;
обратная пропорциональность
;корень n- степени
;модульy = | x |;
тригонометрическиеy = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx;
показательная
;логарифмическая
.Примеры применения различных функций
в жизни, технике, природе
В наши дни без функций невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, и бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологичных процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это – динамические процессы, которые описывает функция.
а) Линейная функция
Ф
ункция y = a x + b называется линейной потому, что ее график есть прямая линия. Характеристическим свойством линейной функции является изменение функции пропорционально изменению аргумента. Поэтому с помощью линейной функции описываются пропорциональные зависимости. Например, при равномерном движении с постоянной скоростью v пройденный путь s пропорционален времени t и выражается формулой s = v t, т.е. s – линейная функция t.Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температураТ (по Кельвину) связана с температурой tͦC на шкале Цельсия формулой t = T + 273 ͦ. Другой пример – напряжение в электрической цепи прямо пропорционально силе тока U = IR. Можно много приводить примеров линейных зависимостей в физике, химии. Рассмотрим задачу на линейное расширение тел.
Задача.При температуре 0оС рельс имеет длину l0= 12,5 м. при возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(tо) = l0(1 +
tо),где = 1,2 ˖ 10–5 – коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, tо – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия. Решение. Выразим из заданной формулы t:
. Заметим,
, тогда
Ответ: 40.
б) Квадратичная функция
Графиком квадратичной функции
является парабола.Х
орошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторией камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения.Задача. Выcота над землeй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону
, где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трeх метров?Решение.Решим неравенство
,
, 
, t1 = 1,4, t2 = 0,20
0,2
-
,2 ≤ t ≤ 1,4
t
1,4
= 1,4 - 0,2 = 0,8
Ответ: 0,8.
П
арабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения.Очевидно, что пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в ее фокусе. На этом основана идея телескопов – рефлекторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения. Любопытно, что параболоид вращения образует поверхность жидкости в цилиндрическом сосуде, если его вращать относительно своей оси.
в) Тригонометрические функции
Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания применяются для просеивания материалов на виброситах, безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, работу сердца и мозга.
Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка может привести к браку; вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к катастрофе. Если колебания под контролем человека полезны, то, вырвавшись из-под этого контроля, они превращаются в опасного врага. Надо уметь изучать колебания, знать их свойства.
Самый удобный математический метод для описания колебаний в применении тригонометрических функций. График функции y = sinx называется синусоида.Задача. Невозможно представить жизнь современного человека без переменного электрического тока, так как все приборы: бытовые, электронагревательные, телевизоры, компьютеры и т.д., работают от сети переменного тока. Напряжение в наших розетках изменяется по следующему закону: u= Umaxcos(wt), где Umax = 308 B , w=314. Построить график функции.
г) Показательная функция
Показательная функция очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине. В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид показательной функцииу=у0аx.
Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания.
Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в банке, восстановление гемоглобина в крови донора или раненого. Закон органического роста выражается формулой: N = N0ekt.
Описание радиоактивного распада так же связано с показательной функцией. Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М0е-kt, где: Мо – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент.
Задача. В ходе раcпада радиоактивного изотопа, его маccа уменьшаетcя по закону
, где 
— начальная маccа изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураcпада в минутах. В лаборатории получили вещеcтво, cодержащее в начальный момент времени 
мг изотопа Z, период полураcпада которого 
мин. В течение cкольких минут маccа изотопа будет не меньше 5 мг?Решение.Подставим соответственные значения переменных в формулу:
; 
;
; 
; 
; t = 30.Ответ: 30 минут.
Функциональные зависимости в повседневной жизни
В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с функциональными зависимостями. Мы нашли множество примеров функций, которые изобразили с помощью графиков.
Пример 1. Рассмотрим деление праздничного торта между гостями. Отчего зависит количество порций?– от числа гостей. А от чего зависит вес порции? – тоже от числа гостей.
− В первом случае, чем больше гостей, тем на большее количество порций мы должны разделить торт (рис. 1).
З
десь наглядно можно представить прямую пропорциональную зависимость.
Рис. 1
Рис. 2
Во втором случае, чем больше гостей, тем меньше вес порции.Здесь мы видим
Рис. 1
обратную пропорциональнуюзависимость (рис. 2).
П
ример 2. Мы живём в век информационных технологий. Ежедневно мы получаем массу информации из различных источников: телевидения, радио, газет, журналов, и, конечно, из Интернета. Известно, что объём информации каждые пять лет увеличивается в два раза.Е
Рис. 3
сли построить график зависимости объёма информации от времени, то получим некоторую кривую, которая в математике
Рис. 1
называется экспонентой и является г
Рис. 1
рафиком показательной функции (рис. 3).
Рис. 1
П
ример 3.На голове человека растут волосы, которые регулярно стригут.График полученной зависимости (при условии, что стрижку делают регулярно) похож на функцию дробной части числа, смещённую на aединиц вверх:
(рис. 4).Рис. 4
П
ример 4. За время обучения в школе каждый год переходим в следующий класс.Такая зависимость сходна с функцией целой части числа
на ограниченном промежутке (рис. 5).Рис. 5
Пример 5. Изменение температурного режима в нашей климатической зоне подчиняется законам тригонометрических функций (рис. 6)
Рис. 6
П
ример 6. Садово-огородные процессы тоже можно представить в виде функции и построить график. К примеру, яблоко росло, зрело, потом его высушили (рис. 7). Получили некоторую кусочную функцию.Рис. 7
П
ример 7.Графиком можно проиллюстрировать смысл любой пословицы.Вот, например, пословица – «Каково жизнь проживешь, такую славу наживешь» на графике будет выглядеть следующим образом (рис.8):
И
Рис. 8
з графика следует, что если на протяжении своей жизни будешь совершать отрицательные дела, поступки, то и слава о тебе будет отрицательная, и наоборот.
И
ли такая пословица – «Пересев хуже недосева» на графике будет выглядеть так (рис. 9):И
Рис. 9
з графика видно, что если семян мало, то и урожай будет мал, если семян слишком много, то им расти будет плохо, и семена потеряешь, и урожая не соберешь, нужно посадить оптимальное количество семян и урожай будет высоким.
Заключение
В ходе работы над проектом мы проанализировали и изучили литературу по истории развития функции, применении её в науке и технике. Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция ещё далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий.
В проекте мы привели примеры использования свойств линейной, квадратичной, показательной, тригонометрических функций. В каждом случае мы решили задачи, показывая значимость перечисленных функций. Таким образом, функции служат «математическими портретами» законов природы и жизненных ситуаций.
Особенностью нашего проекта является подбор примеров функциональных зависимостей из повседневной жизни. Мы поняли, что таких примеров можно привести бесконечно много.
В результате работы над проектом мы достигли понимания важности изучения математики и получили возможность показать одноклассникам красоту и значимость математики. Выполняя проект, мы приобрели не только необходимые знания, умения и навыки, но и определённый личностный опыт.
Литература
Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 9 – 10 кл. – 2 – е изд., испр. – М.: Просвещение, 1993.
Глейзер Г.И. История математики в школе.- М., Просвещение, 1981.
Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка.- М., Просвещение, 1964.
Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.: Просвещение, 1981.
Степанов В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе: Кн. Для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1991.
Ульяновская Н. Н. О, функция, как ты Важна // Математика. – 1999. - №45.
Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А.П.- М., Просвещение, 1985.