Ім'я файлу: Годованець Евклід та його аксіоматичний метод.docx
Розширення: docx
Розмір: 1041кб.
Дата: 21.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
реферат Декоративна аплікація 38.docx
Годованець Розвиток академії наук в європейських державах.docx
Косович Арістотель.doc
4Кобинець_Аль Хорезмі.docx
3Кобинець_Діофантові_рівняння.docx

Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника

факультет математики та інформатики

Кафедра математики та інформатики і методики навчання

Евклід та його аксіоматичний метод

Виконала

студентка групи СОМ(М)з-1

Годованець Руслана
Евклід - старогрецький математик і визнаний основоположник математики, автор перших теоретичних трактатів з математики, що дійшли до сучасності, жив у 365-300 рр. до н. е. Біографічних даних про життя Евкліда майже не збереглося. Відомо, що народився він в Афінах, жив в Александрії при Птолемеї І, царювання якого припадає на 306—283 роки до н. е. Вважають, що Евклід вчився в Афінах і був учнем Платона.

Достовірно відомо тільки те, що саме Евклід привернув увагу громадськості до математики і вивів цю науку на абсолютно новий рівень, зробивши революційні відкриття в цій області і довівши безліч теорем. В ті часи Александрія була не тільки найбільшим містом в західній частині світу, але й центром великої, процвітаючої галузі виробництва папірусу. Саме в цьому місті Евклід розробив, записав і представив світу свої праці з математики і геометрії.

Евкліда обґрунтовано вважають «батьком геометрії». Саме він заклав основи цієї області знань і звів її на належний рівень, відкривши суспільству закони одного найскладніших розділів математики в той час.

Евклідова геометрія — геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеній у підручнику «Начала» Евкліда (дав.-гр. Στοιχεῖα Stoicheia, III століття до н. е.).

Метод Евкліда полягає в прийнятті невеликого набору інтуїтивно зрозумілих аксіом і виведення з них багатьох інших теорем. Хоча багато визначень Евкліда були висловлені іншими математиками, Евклід був першим, хто показав, як ці пропозиції могли б використовуватися у всеосяжну дедуктивну та логічну систему. «Начала» починаються з планіметрії, яка і до сьогодні вивчається у середній школі як аксіоматика і базується на доведеннях. Більша частина «Начал» вказує на доведення того, що зараз називають алгеброю та теорією чисел.

Евклідова геометрія є прикладом аналітичної геометрії, оскільки вона логічно йде від аксіом до тверджень без використання координат(на відміну від аналітичної геометрії, яка їх використовує).

«Начала» вважаються систематизацією попередніх знань з геометрії. Оскільки його новіші видання були одразу загальновизнаними, і не було попиту у минулих версіях, на сьогодні майже всі вони втрачені. «Начала» складаються з 13 книг: У I-IV та VI книгах йдеться про планіметрію. Доведено багато результатів щодо плоских фігур, наприклад: теорема Піфагора "У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи". (Книга I, постулат 47). V і VII-X книги стосуються теорії чисел, причому числа геометрично обробляються через їхні подання у вигляді ліній різної довжини. У них вводяться такі поняття, як прості, раціональні та ірраціональні числа. Також доводиться нескінченність простих чисел. XI-XIII книги стосуються cтереометрії. Типовим прикладом є співвідношення 1/3 між об'ємом конуса та циліндра з однаковою висотою та основою.

Аксіоматика




Про паралельні прямі (Постулат 5): Якщо пряма, що перетинає дві інші прямі, утворює внутрішні односторонні кути, які менші, ніж два прямі кути, то ці дві прямі перетнуться як завгодно далеко з тієї сторони, де кути (давньогрецькою:Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες).

Проблема повної аксіоматизації елементарної геометрії — одна з проблем геометрії, що виникла у Стародавній Греції у зв'язку з критикою цієї першої спроби побудувати повну систему аксіом так, щоб всі твердження евклідової геометрії з цих аксіом були чисто логічним висновком без додаткових пояснень.

У «Началах» Евкліда, була дана наступна аксіоматика:

  1. Від усякої точки до всякої точки можна провести пряму лінію.

  2. Обмежену лінію можна безперервно продовжувати до прямої.

  3. З усякого центра довільним розхилом циркуля може бути описане коло.

  4. Усі прямі кути рівні між собою.

  5. Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, які менші ніж два прямі кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за два прямі.

Евклідова геометрія базується на конструктивному доведенні. Аксіоми 1, 2, 3 та 5 стверджують про існування та унікальність певних геометричних фігур, і ці твердження носять конструктивний характер: тобто ми не лише сказали про існування певних речей, але й довели це. У цьому сенсі Евклі́дова геометрія більш конкретна, ніж багато сучасних аксіоматичних систем, таких як теорія множин, які часто стверджують про існування об'єктів, не кажучи, як їх побудувати, або навіть стверджують про існування об'єктів, які не можуть бути побудовані в рамках теорії. Іншими словами, лінії на папері є моделями об'єктів, визначених у формальній системі, а не прикладами цих об'єктів. Наприклад, Евклідова пряма не має ширини, але будь-яка реальна намальована лінія матиме.

Евклід часто використовував у своїй праці доведення від супротивного. Евклідова геометрія використовує також метод суперпозицій, в якому фігура переміщується на іншу точку простору. Наприклад, пропозиція I. 4 конгруенція трикутників бічним кутом, доведена шляхом переміщення одного з двох трикутників так, що одна з його сторін збігається з такою ж за розміром стороною іншого трикутнику, доводить, що інші сторони також збігаються. Деякі сучасні методи додають шостий постулат - жорсткість трикутника, яку можна використовувати як альтернативу суперпозиції.



Одне з доведень із "Елементів" Евкліда: враховуючи лінійний сегмент, існує рівносторонній трикутник, який включає сегмент як одну з його сторін. Конструктивне доведення: рівносторонній трикутник ΑΒΓ зроблений шляхом нанесення кругів Δ і Ε, центрованих по точкам А і В, і взяття одного перетину кругів як третьої вершини трикутника.

Система вимірювання та арифметика


Евклідова геометрія має два основних типи вимірювань: кут і відстань. Кутова шкала абсолютна, і Евклід використовує прямий кут як його базову одиницю так, що, наприклад, кут у 45° градусів називають половиною прямого кута. Шкала відстані відносна: один довільно вибраний сегмент лінії з певною не нульовою довжиною береться за одиницю, а інші відстані виражаються відносно нього. Додавання відстаней представлено конструкцією, в якій один рядок сегмента копіюється на кінці іншого сегмента лінії, щоб збільшити його довжину, і аналогічно для віднімання.

Вимірювання площі та об'єму визначаються за допомогою поняття відстані. Наприклад, прямокутник з шириною 3 і довжиною 4 має ділянку, яка дорівнює 12. Через те, що ця геометрична інтерпретація множення була обмежена трьома вимірами, не було прямого способу інтерпретації добутку з чотирьох або більше значень, і Евклід уникав таких добутків, хоча саме вони вказані у доведенні книги IX, пропозиції 20.



Приклад конгруентності: дві фігури ліворуч є конгруентними, а третя — подібною до них. Остання фігура не конгруентна з ними. Конгруентність змінює деякі властивості, такі як місце розташування та орієнтація, але залишають інші незмінними, наприклад, відстані та кути. Останні властивості називаються інваріантами, і їх вивчення є сутністю геометрії.

Евклід трактує пари ліній або пари фігур на площині як «рівні» (ἴσος), якщо їх довжини, площі або об'єми рівні, аналогічно для кутів. Більш сильний термін «конгруентний» означає, що фігура буде однакова за розміром і формою щодо іншої фігури. Інше визначення конгруентності двох фігур полягає в тому, що їх можна сумістити одну з іншою за допомогою руху (допускається віддзеркалення фігури). Наприклад, прямокутник 2x6 і прямокутник 3x4 рівні, але не конгруентні, а буква R конгруентна зі своїм дзеркальним відображенням. Фігури, які будуть конгруентними, за винятком їх різного розміру, називаються подібними. Відповідні кути в парі подібних фігур є конгруентними, а відповідні сторони пропорційні одна одній.

Означення точок та фігур


Точки зазвичай називають "великими літерами алфавіту". Інші фігури, такі як лінії, трикутники або кола, називаються переліком достатньої кількості точок, щоб однозначно їх вибирати з відповідного значення, наприклад, трикутник ABC, як правило, буде трикутником з вершинами в точках A, B і C .

Комплементарні та суміжні кути


Кути, сума яких є прямим кутом, називаються комплементарними. Комплементарні кути утворюються, коли промінь ділиться однією вершиною і орієнтований у напрямку, що знаходиться між двома вихідними променями, які утворюють правий кут. Кількість променів між двома променями є нескінченною.

Кути, сума яких дорівнює 180 градусів, називають суміжними. Суміжні кути утворюються, коли промінь ділиться однією вершиною і орієнтований у напрямку між двома вихідними променями, які утворюють прямий кут (кут 180 градусів). Кількість променів між двома оригінальними променями є нескінченною.

Сучасні версії фігур Евкліда


У сучасній термінології кути, як правило, вимірюються в градусах чи в радіанах.

Сучасні шкільні підручники часто визначають окремі фігури: лінії (нескінченні), промені (напівнескінченні) та лінійні сегменти (кінцевої довжини). Евклід, замість того, щоб говорити про промінь як про об'єкт, що поширюється до нескінченності в одному напрямку, зазвичай використовує такі означення, як "лінія, проведена до достатньої довжини", хоча іноді вона називається "нескінченною". "Лінія" в «Началах» може бути як прямою, так і криволінійною, і при необхідності він використовував більш конкретний термін "пряма лінія".

Література:

  1. Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 351-363.

  2. Выгодский М. Я. «Начала» Евклида // Историко-математические исследования. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — В. 1. — С. 217-295.

  3. История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.

  4. Рыбников К. Русские издания «Начал» Евклида. Успехи математических наук, 1941, № 9, стр. 318—321.

  5. «Начала Эвклида» в Викитеке в переводе М. Е. Ващенко-Захарченко.

скачати

© Усі права захищені
написати до нас