Дискретна математика
Лекція 2
Бінарні відношення
2.1. Поняття бінарного відношення.
2.2. Властивості бінарних відношень.
2.3. Види бінарних відношень.
2.4. Операції над бінарними відношеннями.
2.5. Відображення множин.
2.1. Поняття бінарного відношення
Визначення. Декартовим добутком множин X і Y називається множина X×Y всіх впорядкованих пар (x, у) таких, що x X, у Y: X×Y ={ (x, у) : що x X, у Y }
Визначення. Відношенням між множинами X і Y (або відношенням з X в Y) називається будь-яка підмножина R декартового добутку X×Y. Якщо множини X і Y збігаються, то відношення між множинами X і Y називають бінарним відношенням на множині X.
Приклад. Нехай X = {а, b, с, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Тоді множина комбінацій R={(а, 1), (b, 2), (с, 3), (d, 4)} є відношенням з X в Y.
Зазвичай відношення задаються не шляхом задання підмножини R декартового добутку X×Y, а шляхом задання властивості пар (x, у), що належать цій підмножині R.
Приклад. Відношення R = {(4, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 2)} на множині X = {4, 3, 2} можна визначити як властивість "Ділиться" на цій підмножині цілих чисел.
Приклади відношень з курсу математики є:
на множині цілих чисел Z - відношення "ділиться", "ділить", "рівно", "більше", "менше", "взаємно прості";
на множині прямих простору - відношення "паралельні", "взаємно перпендикулярні", "схрещуються", "перетинаються", "збігаються";
на множині окружності площини - відношення "перетинаються", "торкаються", "концентричні".
Приналежність комбінації (x, у) відношенню R, часто позначають за допомогою так званої інфіксної форми запису: x R y.
Приклад. x >у, а = b, m||l, а ┴b і т.п.
Відношення можуть задаватися формулами:
1) у = x2 +5x - 6 - задаються бінарні відношення на множині дійсних чисел;
2) x +у = любов - задаються бінарні відношення на множині людей.
Приклад. Нехай множина X = {а, b, с, d, e}.
При представленні відношень за допомогою орієнтованих графів елементи множини X позначаються вершинами графа (точками площини), а елементи (x, у) відношення R дугами (стрілками), що сполучають першу компоненту x відношення з другою компонентою у.
Для бінарних відношень, визначених на скінченій множині, часто використовується матричний спосіб представлення. Для цього необхідно визначити матрицю відношення A = [aij] наступним чином:
Таким чином, матриця відношення R, представленого графом має вигляд
2.2. Властивості бінарних відношень
1.Рефлексивність
2.Іррефлексивність
3.Симетричність
5.Транзитивність
4.Антисиметричність
2.3. Види бінарних відношень
Відношення еквівалентності: рефлексивне, симетричне та транзитивне.
Приклад. Відношення рівнозначності формул, подібності геометричних фігур, належності студентів до однієї групи.
Відношення сумісності: рефлексивне та симетричне.
Приклад. Відношення близькості чисел, знайомства людей.
Відношення часткового порядку: рефлексивне, антисиметричне та транзитивне.
Приклад. Відношення та для дійсних чисел, та для множин.
Відношення повного порядку: іррефлексивне, антисиметричне та транзитивне.
Приклад. Відношення та для дійсних чисел, и для множин.
2.4. Операції над бінарними відношеннями
Визначення. Перетином двох відношень R та S називається множина впорядкованих комбінацій, які належать як R, так і S.
Визначення. Об’єднанням двох відношень R та S називається множина впорядкованих комбінацій, які належать R або S.
Визначення. Різницею двох відношень R та S називається множина впорядкованих комбінацій, які належать R, але не належать S.
2.5. Відображення множин
Розглянемо дві множини Х та Y.
Визначення. Якщо кожному елементу x∈X відповідає єдиний елемент y∈Y, то така відповідність називається відображенням множини Х у множину Y.
Позначення: f: X→Y , f – символ самого відображення.
Визначення. Якщо при відображенні f кожний елемент множини Y є образом хоча б одного елементу з Х, то f називають відображенням Х на Y або сюр’єнцією.
Визначення. Якщо при відображенні f всі різні елементи множини Х переходять в різні елементи множини Y, то відношення f називають ін’єнцією.
Визначення. Якщо при відображенні f кожному елементу x∈X відповідає один елемент y∈Y, при чому кожному елементу y∈Y відповідає єдиний елемент x∈X, то таке відображення називається взаємнооднозначним.