Рівненський державний гуманітарний університет
Факультет математики та інформатики
Кафедра вищої математики
Дипломна робота
бакалавр
на тему
Застосування перетворення Лапласа до розв’язування
прикладних задач
Виконала: студентка IV курсу, групи МЕІ-41
напряму підготовки
0402 «Фізико-математичні науки»,
6.040201 «Математика»
Троцюк Юлія Олександрівна
Керівник: к. ф.-м. н., доцент
Демчик Світлана Петрівна
Рецензент: д. т. н., проф. кафедри прикладної
мат. НУВГП Турбал Юрій Васильович
Рівне - 2019
ЗМІСТ
ВСТУП.........................................................................................................................4
Розділ І. Основні поняття перетворення Лапласа
Оригінал та зображення................................................................................6
Обернене перетворення Лапласа.................................................................8
Властивості перетворення Лапласа...........................................................12
Зображення періодичного оригіналу.........................................................26
Зображення оригіналу, заданого різними способами в області визначення................................................................................................... 27
Зображення деяких функцій.......................................................................28
Приклади розв’язування задач з застосуванням перетворення
Лапласа.........................................................................................................30
Розділ ІІ. Застосування Операційного числення до розв’язування диференціальних рівнянь
Операційний метод розв’язування лінійного неоднорідного
диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами...........................35
2.2. Операційний метод розв’язування лінійного неоднорідного
диференціального рівняння другого порядку..........................................39
Операційний метод розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі
змінними коефіцієнтами. Метод подібності................................................................42
Диференціальні рівняння в частинних похідних ....................................49
Розділ ІII. Застосування Операційного числення до розв’язування систем диференціальних рівнянь
3.1 Застосування операційного методу до розв’язування систем лінійних
рівнянь....................................................................................................................................52
3.2 Розвязування систем лінійних диференційних рівнянь зі сталими
коефіцієнтами..............................................................................................54
Висновки.............................................................................................................59
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.....................................................60
Додатки.................................................................................................................63
ВСТУП
В позаминулому столітті багато математиків займалось так званим символічним численням. В основі цього числення лежить побудова математичного аналізу як системи формальних операцій над символом ( - незалежна змінна).
Символічне числення виявилось доволі зручним для розвязування різних задач, повязаних з лінійними диференційними рівняннями. Його популяризації в значній мірі посприяв англійський інженер-електрик О. Хевісайд, який успішно використовував символічне числення в електротехнічних розрахунках.
Проте Хевісайд ніскільки не переймався обґрунтуванням застосованих ним методів і в багатьох випадках отримував хибні результати. Обґрунтування символічного чи, як тепер його називають, операційного методу, було дано тільки в двадцятих роках минулого століття Бромвічем та Карсоном, які повязали цей метод з відомим із теорії функцій комплексної змінної методом інтегральних перетворень. Його успішно використовували Коші, Лаплас та інші математики. При цьому символ (оператор) отримав нове тлумачення як комплексна змінна , а разом з ним нове трактування отримав і сам операційний метод.
Актуальність теми дослідження визначається кількома групами взаємопов’язаних чинників:
1) зростаючою роллю математичних наук у сучасному світі;
2) перетворення Лапласа застосовують в різних областях сучасного природознавства, математичної фізики, у теорії спеціальних функцій;
3) важливе значення це перетворення має у сучасних галузях науки техніки таких як автоматика і телемеханіка, теорія систем, теорія регулювання та успішно застосовується при розв’язанні задач механіки, електротехніки, радіотехніки, теплопередачі та ін.;
4) практичною значимістю для вирішення конфліктів і суперечностей, які направлені на вироблення максимально оптимізованої і ефективної концепції програмного забезпечення, чия потужність вже давно здатна оброблювати подібні данні;
Метою роботи є вивчення, аналіз та оцінка основних понять та властивостей перетворення Лапласа до розв’язування диференціальних рівнянь і систем, а також застосовування цього перетворення до розв’язання прикладних задач.
Об’єктом роботи є прикладні задачі та системи диференціальних рівнянь при розв’язуванні яких застосовується перетворення Лапласа.
Предметом роботи є демонстрація застосування перетворень Лапласа безпосередньо на прикладах прикладних задач та системах диференціальних рівнянь.
Структура роботи зумовлена її метою та завданнями. Дипломна робота містить вступ, де в загальних рисах окреслені основні параметри даного дослідження. У першому розділі міститься основна теорія по перетворенням Лапласа. Другий розділ більш детально демонструє використання перетворень Лапласа для різних типів рівнянь. А третій демонструє теорію і приклади застосування операційного числення для систем диференціальних рівнянь. Робота також містить висновки, де окреслюються та узагальнюються всі основні аспекти дослідження, а також список джерел та літератури і додатки.
Апробація: матеріали бакалаврської роботи доповідались на звітній науковій конференції викладачів та співробітників РДГУ 16 травня 2019 року.
Розділ І. Основні поняття перетворення Лапласа
Оригінал та зображення
Функцією-оригіналом чи просто оригіналом називають довільну комплекснозначну функцію дійсного аргументу , яка задовольняє такі умови:
Функція задовольняє умову Гьольдера при всіх , за винятком окремих точок, де вона має розриви першого роду, причому на кожному скінченному інтервалі таких точок скінченна кількість. Це означає, що для кожного (крім указаних виключених точок) існують додатні сталі , та такі, що
(1.1.1)
при всіх , .
при всіх відємних .
зростає при не швидше деякої показникової функції, тобто існують такі сталі , , що для всіх виконується умова
(1.1.2)
Число називають показником зростання ; для обмежених оригіналів можна, очевидно, взяти .
Зауваження 1.2. Легко бачити, що умові задовольняє кожна кусково диференційовна на функція .
З погляду фізичних застосувань умови та не потребують пояснень – вони, очевидно, виконуються для більшості функцій , що описують фізичні процеси (змінна інтерпретується як час). Умова на перший погляд здається штучною. Однак слід мати на увазі, що операційний метод застосований до задач, які приводять до розвязування диференціальних рівнянь із зa даними початковими умовами. В таких задачах уся інформація про хід процесу до моменту початку спостережень, за який, звичайно, можна взяти момент , міститься в початкових умовах. Отже, і умова цілком природна. [2]
Найпростішою функцією-оригіналом є так звана одинична функція
Очевидно, множення функції на „гасить” цю функцію для і залишає без змін для : якщо функція задовольняє умовам та і не задовольняє , то добуток
задовольнятиме і умові , отже, буде оригіналом (наприклад, , , і т.д.). Для простоти запису опускають, як правило, множник , домовившись раз назавжди, що всі функції, які розглядають, дорівнюють нулю для відємних (наприклад, замість писатимемо 1, замість - просто і т. д.). [12]
Означення. Зображенням оригіналу називається функція комплексної змінної , яка визначається співвідношенням
(1.1.3)
Інтеграл (1.1.3) називається перетворенням Лапласа, тому його ще позначатимемо .
Фразу „оригінал має своїм зображенням ” чи є зображенням оригіналу ” записуватимемо символом
або
Теорема 1.1. Для кожного оригіналу зображення визначає в півплощині , де показник зростання , і є в цій півплощині аналітичною функцією. [16]
Доведення. При інтеграл (1.1.3) абсолютно збігається, бо за нерівністю (1.1.2) він мажорується збіжним інтегралом
. (1.1.4)
Крім того, в будь-якій півплощині інтеграл, який дістаємо з інтеграла (1.1.4) диференціюванням по , збігається рівномірно, бо також мажорується збіжним інтегралом, не залежним від :
. (1.1.5)
Отже, в кожній точці півплощини функція має похідну, тому вона аналітична. Теорема доведена.
Зауваження 1.3. Перетворення Лапласа (1.1.3), взагалі кажучи, визначає зображення тільки в півплощині . Разом з тим в більшості практичних задач область визначення зображення значно ширша від цієї півплощини.
Зауваження 1.4. Якщо точка прямує до нескінченності так, що необмежено зростає, то прямує до нуля:
. (1.1.6)
Це твердження безпосередньо випливає з нерівності (1.1.4).
З (1.1.6) випливає, що , якщо , залишаючись всередині довільного кута , де як завгодно мале, причому ця збіжність рівномірна відносно . Якщо, зокрема, аналітична в нескінченно віддаленій точці, то при по довільному шляху, тобто має нуль в нескінченності. [28]
Обернене перетворення Лапласа
Розглянемо інтеграл
, (1.2.1)
взятий вздовж прямої , яка проходиться знизу вгору. Позначимо ще через та частини кола
, які знаходяться відповідно ліворуч та праворуч від прямої , а через та - кінці та (рис. 1.1). [5]
Нехай ; оскільки при рівномірно відносно , то за лемою Жордана з курсу теорії функції комплексної змінної (замінюємо в лемі на ) маємо:
.
Тому з теореми Коші про лишки, згідно з якою
,
при дістанемо
( ).
Якщо , то за тією ж лемою Жордана (замінюємо тепер в лемі на ) маємо:
,
а за теоремою Коші
,
звідки при дістаємо
( ).
Отже, інтеграл (1.2.1) являє собою одиничну функцію. Зрозуміло, що, якщо в (1.7) замінити на , де - фіксоване число, то дістанемо функцію
(1.2.2)
Підставляючи в (1.2.2) , а потім і віднімаючи отриманий другий інтеграл від першого, дістаємо представлення ступінчатої функції
(1.2.3)
Нехай тепер - довільний оригінал. Зафіксуємо деяке і розібємо відрізок на частини з допомогою точок : . Розглянемо ступінчату функцію , яку визначимо так:
, якщо ; , якщо , . Позначимо ще . Скориставшись представленням (1.2.3), функцію можемо подати у вигляді інтеграла
, (1.2.4)
де .
Якщо тепер число збільшувати так, щоб прямувало до нуля, то буде нескінченно малою величиною, еквівалентною , і сума в дужках у формулі (1.10), яка мало відрізняється від інтегральної для функції на проміжку , перейде в інтеграл. Тому логічно очікувати, що ми дістанемо інтегральне представлення функції на інтервалі :
.
Спрямувавши до , дістанемо
.
Але інтеграл в дужках є перетворенням Лапласа функції :
. (1.2.5)
Тому
. (1.2.6)
Формула (1.2.6) називається оберненим перетворенням Лапласа.
Сформулюємо остаточний результат.
Теорема 1.2. Якщо функція є оригіналом, а функція - зображенням для , то в будь-якій точці , де задовольняє умові Гьольдера, справедлива рівність (1.2.7), де інтеграл береться вздовж довільної прямої в розумінні головного значення.
Безпосередньо з теореми 1.2 випливає така теорема.
Теорема 1.3. Оригінал цілком визначається своїм зображенням з точністю до значень в точках розриву функції .
Справді, за теоремою 1.2 значення оригіналу в точці його неперервності виражається через зображення за формулою (1.2.6). Значення оригіналу в точках розриву, очевидно, не впливають на зображення. [4]
Наведемо ще, також без доведення, умови, достатні для того, щоб задана функція комплексної змінної була зображенням деякого оригіналу.
Теорема 1.4. Якщо функція аналітична в півплощині , прямує до нуля при в довільній півплощині рівномірно відносно і інтеграл абсолютно збігається, то є зображенням функції .
1.3 Властивості перетворення Лапласа
Розглянемо ряд властивостей, які складають основу операційного числення та його застосувань.
Надалі завжди позначатимемо через , , оригінали, а через , , - їх зображення.
Властивість лінійності
Для довільних комплексних сталих 1 та 2 функція буде оригіналом і при цьому
(1.3.1)
Дійсно,
Приклад 1.1. Для довільного , яке може бути й комплексним, знайдемо
бо . Отже,
(1.3.2)
Як частковий випадок, при дістаємо
(1.3.3)
Скориставшись властивістю лінійності та співвідношенням (1.3.2), маємо
,
тобто
(1.3.4)
Аналогічно, використовуючи формули
, , ,
матимемо
, , (1.3.5)
Теорема подібності (зображення функції зі зміненим масштабом)
Для довільної сталої функція буде оригіналом і при цьому має місце співвідношення
(1.3.6)
Справді, легко бачити, що при функція задовольняє тим же умовам - , що й , отже, буде оригіналом. Поклавши , бачимо, що і при . Тому
[26]
Приклад 1.2. Застосувавши теорему подібності до співвідношення (1.3.4), матимемо
тобто
(1.3.7)
Аналогічно зi співвідношень (1.3.5), дістанемо
, , . (1.3.8)
Зауваження . Співвідношення (1.3.7) та (1.3.8), які справедливі при будь-яких комплексних , можна отримати аналогічно до (1.3.4), використовуючи (1.3.2) з та . [13]
Теорема про диференціювання оригіналу
Якщо функція неперервна при і є оригіналом то
Дійсно, переходячи до зображень і інтегруючи частинами, маємо:
Оскільки , то , і підставивши в перший доданок маємо нуль, підставивши маємо, ; другий доданок дорівнює , і тим самим співвідношення (1.3.9) доведене.
Відзначимо, зокрема, що, якщо , то
(1.3.10)
Зауваження. Якщо, крім , оригіналом є також і , то, застосовуючи формулу (1.3.9) двічі, дістаємо
і т. д. Якщо оригіналами є , , то
(1.3.11)
де під розуміємo . [10]
Теорема про диференціювання зображення
Диференціювання зображення зводиться до множення на оригіналу, і взагалі
(1.3.12)
Справді, оскільки є в півплощині аналітичною функцією, то її можна диференціювати скільки завгодно раз, і ми дістанемо
,
,
,
що рівносильне співвідношенню (1.3.12).
Як приклад застосування даної властивості відзначимо, що із співвідношень (1.3.3) та (1.3.2) випливає
(1.3.13)
а зі співвідношень (1.3.7) та (1.3.8) маємо
, (1.3.14)
, (1.3.15)
Теорема зміщення
Для довільного комплексного виконується співвідношення:
(1.3.16)
(„зміщення” зображення на рівносильне множенню оригінала на ).
Маємо:
,
що й потрібно було довести. [22]
Теорема зміщення дозволяє за відомими зображеннями функцій знаходити зображення тих же функцій, помножених на експоненту. Наприклад, із (1.3.7) та (1.3.8) дістанемо:
(1.3.17)
Теорема запізнення
Для довільного додатного виконується
. (1.3.18)
(включення оригіналу з запізненням на (рис. 2.1) рівносильне множенню зображення на ).
Дійсно, оскільки при , то
Зробивши заміну змінної інтегрування , дістанемо
що й потрібно було довести. [8]
Теорему запізнення зручно використовувати при знаходженні зображень функцій, які на різних ділянках задаються різними аналітичними виразами.
Приклад 1.3. Періодичний прямокутний імпульс , графік якого зображений на рис. 2.2, можна записати у вигляді
Із формули (1.15) за теоремою запізнення дістанемо
Тому, скориставшись властивістю лінійності, матимемо
Теорема про інтегрування оригіналу
Інтегрування оригіналу зводиться до ділення зображення на :
Перш за все, легко переконатись, що функція разом з є оригіналом, тобто задовольняє умовам - п. 1.2. Тоді за формулою (1.3.10) (її можна застосувати, бо ) маємо:
Отже, для зображення оригінала виконується , звідки , що й потрібно було довести. [7]
1 2 3