Ім'я файлу: 3Кобинець_Діофантові_рівняння.docx
Розширення: docx
Розмір: 21кб.
Дата: 21.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
реферат Декоративна аплікація 38.docx
Годованець Розвиток академії наук в європейських державах.docx
Годованець Евклід та його аксіоматичний метод.docx
Косович Арістотель.doc
4Кобинець_Аль Хорезмі.docx

Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника”

Факультет математики та інформатики


Доповідь на тему

«Діофант та діофантові рівняння»

Виконала магістрантка І курсу

спеціальності „Середня освіта (Математика)”

Кобинець Світлана Михайлівна


2020 – 2021 навчальний рік

Із часів Евкліда й Архімеда змінюються зміст і форма античної математики. Процес формування нових теорій сповільнюється, а згодом припиняється й зовсім. Але він був тривалим і позначився не відразу. Найвиразніше він виявився в творчості останнього видатного математика античного світу – Діофанта Олександрійського.

Історія майже нічого не зберегла про його життя. Тільки опосередковано вдалося встановити, коли приблизно він жив. А в популярному в X–XIV ст. збірнику віршованих арифметичних задач «Грецька онтологія» вміщено задачу під назвою «Епітафія Діофанта». Задача зводиться до рівняння першого степеня, розв’язавши яке дізнаємося, що Діофант жив 84 роки. Ось і всі відомості про його життя. Ще більшою загадкою, ніж біографія Діофанта, стала для науки його «Арифметика», з 13 книг якої збереглося лише шість. У них подано 189 задач з розв’язаннями і поясненнями. За формою «Арифметика» просто збірник задач, але за змістом – унікальне явище, справжнє чудо історії математики.

 Уже вступ до книги свідчить про великий крок уперед, який зробив Діофант порівняно з математиками класичної давнини. Для них одиниця ще була не подільна, її частини, тобто дроби виду  m/n , були тільки відношеннями цілих чисел, а не числами. Про від’ємні числа ще й не йшлося. Діофант шукає розв’язки задач у додатних раціональних числах, а в проміжних обчисленнях користується і від’ємними числами. Він перший вводить буквену символіку для перших шести степенів невідомого і вільного члена, знак від’ємного показника степеня та рівності. Діофант формулює правило додавання до обох частин рівняння однакових членів, зведення подібних. Назви степенів змінної ще мають геометричну інтерпретацію (квадрат, куб), які збереглися й до наших днів, але вчений розглядає квадрато-квадрати і квадрато-куби як числа і підсумовує квадрат з кубом і т.д. Отже, алгебру Діофант будує вже не на геометрії, як це робив Евклід, а на арифметиці, при цьому зі своєю мовою і символікою. Природно, що такі ідеї мали бути результатом певного розвитку математичної думки. Проте ми не бачимо в творця «Арифметики» попередників і не зрозуміло, як здійснювалася еволюція його поглядів, що була, здається, під силу лише поколінням учених. Це найбільша загадка математики.

 Найпростіші діофантові рівняння розв’язували вже шумеро-вавілонські математики, піфагорійці й Евклід. Діофант розробляє, по суті, цілу теорію таких рівнянь. З неї в сучасній науці сформувалася окрема галузь математики – діофантовий аналіз, або діофантова геометрія. Ідеям і задачам Діофанта судилася довга й щаслива доля. Він передав їх математикам Середньої Азії, Близького Сходу та Індії. У XVII ст. їх висвітлив по-новому П'єр Ферма (1601–1665). Відтоді проблеми, які заповів нащадкам Діофант, привертають увагу найвидатніших учених. Деякі з них розв'язані, інші – не розкриті й досі. Дві проблеми Діофанта особливо пам'ятними сторінками вписані в історію математики. Діофантові рівняння представляють наукове зацікавлення  у теорії чисел і безпосередньо зв'язані з розв’язуванням задач, що виникають у реальному житті. Зокрема, відомою задачею теорії діофантових рівнянь донедавна була проблема Ферма. П’єр Ферма (1601–1665), вивчаючи «Арифметику» Діофанта, зробив на полях цієї книги знамениту позначку: «Я знайшов воістину дивний доказ того, що рівняння при n > 2, не має розв’язків у цілих числах, однак поля цієї книги занадто малі, щоб тут його умістити». Це одне із самих марних математичних тверджень, твердження одержало назву «Великої теореми Ферма» і викликало ажіотаж серед математиків і аматорів (особливо після призначення в 1908 році за його доведення премії в 100 000 німецьких марок). Спроби довести цю теорему породили цілі розділи сучасної алгебри, алгебраїчної теорії чисел, теорії функцій комплексної змінної й алгебраїчної геометрії, практична користь від який уже не підлягає ніякому сумніву. Сама теорема була доведена в 1995 році; П’єр Ферма переоцінив свої можливості на полях «Арифметики», тому що він фізично не міг придумати подібного доведення, яке вимагало колосальної сукупності математичних знань. Елементарного доведення великої теореми Ферма поки ніхто з жителів нашої планети знайти не зміг, хоча над його пошуком билися кращі розуми останніх трьох сторіч.

 У 1900 р. видатний німецький математик Д. Гільберт (1862–1943) на другому Міжнародному математичному конгресі виголосив доповідь «Математичні проблеми», в якій поставив перед вченими 23 задачі з різних розділів математики, розв'язання яких мало важливе значення для подальшого розвитку математики . Десятою проблемою була «задача про розв’язність діофантового рівняння», яка сформульована так: «Нехай дано діофантове рівняння з довільними невідомими і цілими раціональними числовими коефіцієнтами. Назвіть спосіб, за допомогою якого можна після скінченого числа операцій встановити, чи розв'язне це рівняння в цілих раціональних числах». Найпростіші діофантові рівняння 1-го степеня з двома невідомими розв'язали піфагорійці. До діофантового рівняння привело розв'язання знаменитої задачі Архімеда про биків. Учені дістали багато інших важливих результатів. Та все це було лише початком у дослідженні надзвичайно складної загальної проблеми про розв'язність загального діофантового рівняння n-го степеня від t змінних. Відповіді довелося чекати 70 років. У 1970 р. на Міжнародному математичному конгресі в Ніцці двадцятирічний аспірант Юрій Володимирович Матіясевич сколихнув математичний світ справжньою сенсацією століття – доповів про розв'язання 10-ї проблеми Гільберта. Він довів, що ніякого загального методу для розв'язання діофантового рівняння не існує. Доведення Матіясевича дало ще побічні результати, яких він не шукав і які буквально приголомшили математиків своєю несподіваністю. Виявилося, що існує цілочисловий многочлен (щоправда, досить високого степеня і від великого числа змінних) – такий, що при всіх цілих значеннях змінних, коли він додатний, він представляє тільки прості числа. Виявляється, що універсальний генератор простих чисел, за яким полювали математики від Ейлера до наших днів, не казкова жар-птиця. Результати Матіясевича проливають світло на існування глибоких ще не розгаданих залежностей на множині цілих чисел.


Використані джерела:

  1. https://sites.google.com/d/1sDy5KFHGqIPRq5TDrNnUUZCcqhb91X88/p/1T5dQt-h1C4Ym0t7JE-ISixdol_smWsVT/edit

  2. Башмакова И.Г. Диофант и его уравнения. М.: Наука, 1972.

скачати

© Усі права захищені
написати до нас