1   2   3
Ім'я файлу: МАН Числа Фібоначчі навколо нас.doc
Розширення: doc
Розмір: 731кб.
Дата: 07.11.2021
скачати
Пов'язані файли:
50b593777781616362678911636267891 (1).docx
attach_16369609335221 (1).docx
pokaznikov-ta-logarifmchn-rvnyannya-yi-nervnost (7).pdf
1.docx



Міністерство освіти і науки України



Мала Академія Наук
НАУКОВА РОБОТА

з математики
на тему

Числа Фібоначчі навколо нас

Виконав(ла)


2020

ЗМІСТ

ВСТУП

У математиці існує багато важких і цікавих задач, які не пов'язаніз чиїмось ім'ям, а швидше носять характер свого роду "математичного фольклору". У кожній з таких задач ми маємо справу з маленькими математичними теоріями, що мають свою історію, свою проблематику і свої методи, - усе це, зрозуміло, тісно пов'язане з історією, проблематикою і методами "королеви наук".

Такою теорією є і теорія чисел Фібоначчі. Числа Фібоначчі, які виросли зі знаменитої "задачі про кроликів", що має семисотп'ятидесятирічну давність, і досі залишаються однією з самих захоплюючих об’єктів математики.

Задачі, пов'язані з числами Фібоначчі, наводяться у багатьох популярних виданнях по математиці, розглядаються на заняттях шкільних математичних гуртків, пропонуються на математичних олімпіадах.

B даній роботі розглядаються числа послідовності Фібоначчі, їх властивості, a також тісно пов'язаний з цією темою феномен «золотого перерізу», в якому багато вчених бачать одне із найбільш яскравих проявів гармонії природи.

Загадкові властивості чисел Фібоначчі як і «золотий переріз» володіли думками і почуттями багатьох видатних мислителів минулого і продовжують хвилювати сучасників не заради самих математичних властивостей, a тому, що вони є невід’ємними від структурної єдності об’єктів природи та цінностей об’єктів мистецтва.

Актуальність теми даної роботи зумовлена тим, що числа Фібоначчі як об’єкт математики продовжують цікавити дослідників і цей напрям розвивається далі, знаходячи нові застосування. Крім того, ця тема пов’язана з проблемою існування гармонії у світі.

Об’єкт дослідження - числа Фібоначчі та їх вияви у різноманітних сферах людської діяльнocті. Предметом є властивості досліджуваного математичного об’єкта - чисел Фібоначчі.

Метою роботи є вивчення послідовності чисел Фібоначчі. Для реалізації поставленої мети поставлені наступні завдання:

  • розглянути числа Фібоначчі, їх властивості та узагальнення;

  • познайомитись з прикладами присутності чисел Фібоначчі в навколишньому світі, їх практичним застосуванням;

  • ознайомитись із сучасним станом розвитку тематики чисел Фібоначчі.

Методом дослідження є робота з інформаційними джерелами, аналіз та узагальнення проблем, що розглядаються.

Основним результатом, який пов’язаний з науковою новизною роботи, є розгляд чисел Фібоначчі у загальнонауковому сенсі, підхід до їх присутності навколо нас з різних точок зору – за та проти.

1. ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ ТА ВЛАСТИВОСТІ
1.1 Відкриття Леонардо Фібоначчі
Леонардо Пізанський (близько 1180 — близько 1240), більш відомий як Фібоначчі - італійський математик 13 століття, був безумовно, одним з найвидатніших математиків європейського середньовіччя: автор математичних трактатів, завдяки яким Європа довідалася про вигадану індіанцями позиційну систему числення, відому зараз як арабські цифри. Леонардо розглянув також ідею так званих чисел Фібоначчі [21, c.15].

Про походження псевдоніму Фібоначчі існують версії. За однією з них, його батько мав прізвисько Боначчі («Добродушний»), а сам Леонардо прозивався filius Bonacci («син добродушного»). За іншою, Fibonacci походить від фрази Figlio Buono Nato Ci, що в перекладі з італійської означає «хороший син народився».

Батько Фібоначчі у торгових справах часто бував у Алжирі, і Леонардо вивчав там математику у арабських вчителів. Пізніше відвідав Єгипет, Сирію, Візантію, Сицилію. Леонардо вивчав праці математиків країн ісламу (таких як аль-Хорезмі і Абу Каміл); завдяки арабським перекладам він ознайомився також з досягненнями античних та індійських математиків. На основі засвоєних ним знань Фібоначчі написав ряд математичних трактатів, що представляють собою видатне явище середньовічної західноєвропейської науки.

Фібоначчі написав ряд наукових трактатів: «Книга абака», «Практика геометрії», «Книга квадратів». По цих книгах, які перевершували за своїм рівнем арабські і середньовічні європейські твори, вивчали математику мало не до часів Декарта (XVII століття).

Значну частину засвоєних ним знань Фібоначчі виклав у своїй видатній "Книзі абака". Ця книга містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою і глибиною. Вона відіграла значну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Саме за цією книгою європейці познайомилися з арабськими цифрами.

У «Книзі абака» Фібоначчі описав послідовність, названу пізніше його іменем — послідовність Фібоначчі. Ця послідовність була відома ще в Стародавній Індії, задовго до Фібоначчі. Свою нинішню назву числа Фібоначчі отримали завдяки дослідженню властивостей цих чисел.

Послідовність Фібоначчі визначається як ряд чисел, в якому кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, …

Відношення двох сусідніх чисел у послідовності Фібоначчі прямує до золотого перетину, числа, відомого ще в античності.

Леонардо зробив відкриття цих чисел (згодом названих його ім'ям) випадково. У 1202 році він намагався вирішити практичну задачу: який максимальний приплід може дати одна пара кроликів за рік і створити формулу, яка описує послідовність їх розмноження.

Ось ця задача, від якої народилася послідовність Фібоначчі. Сутність своєї "задачі про розмноження кроликів" Фібоначчі сформулював гранично просто:

"Нехай в обгородженому місці є пара кроликів (самка і самець) в перший день січня. Ця пара кроликів народжує нову пару кроликів в перший день лютого і потім в перший день кожного наступного місяця. Кожна новонароджена пара кроликів стає зрілою вже через місяць і потім через місяць дає життя новій парі кроликів. Виникає питання: "Скільки пар кроликів буде в обгородженому місці через рік, тобто через 12 місяців з початку розмноження?".

Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-й місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На п’ятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця). і т. д.

Як наслідок виникає послідовність:


Рис. 1.1. Послідовність розмноження кроликів

Загальна кількість кроликів на кроці у 2 місяці і складає послідовність Фібоначчі [1].

Цікаво, що насправді такий процес розмноження кроликів є ідеалізованим – тут присутнє припущення, що новонароджена пара кроликів складається з осіб різної статі, що не обов’язково здійснюється. Тут Фібоначчі підійшов до задачі як математик, спростивши її, щоб отримати розв’язок. І результат – отримана послідовність - виявився незвичайним об’єктом для дослідження.

Ця послідовність чисел, яка з’являється в результаті розв’язування задачі про кроликів, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше – неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Числа Фібоначчі виявилися, чи не самою поширеною послідовністю, що зустрічається в живій природі. Причому, на всіх рівнях. Від спіралей ДНК та біоритмів мозку до будови шишок, ананасів і соняшників.

1.2 Числа Фібоначчі та їх властивості
Розглянемо наступну числову послідовність:

u1, u2,..., un,(1.1)

в якій кожний член рівний сумі двох попередніх членів, тобто при будь-якому n > 2.

un = un-1 + un-2.(1.2)

Такі послідовності, в яких кожен член визначається як деяка функція попередніх, часто зустрічаються в математиці і називаються рекурентними.

Звернемось тепер до важливого окремого випадку послідовності (1.1), коли u1 = 1 і u2 = 1. Умова (1.2), як було тільки що зазначено, дає нам можливість знаходити послідовно один за другим всі члени цього ряду. Неважко перевірити, що в цьому випадку першими чотирнадцятьма його членами будуть числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, які нам вже зустрічались в задачі про кроликів.

В честь автора цієї задачі вся послідовність (1.1) при u1 = u2 = 1 називається рядом Фібоначчі, а її члени – числами Фібоначчі.

Для доведення властивостей чисел Фібоначчі використаємо формулу французького математика Ж.Біне (1786-1856), яка стверджує, що будь-який член un послідовності чисел можна обчислити за певним законом:

un =  (q1n – q2n), (1.3)

де

q1 =  , q2 =  . (1.4)

Для доведення формули (1.3) можна скористатися методом математичної індукції, врахувавши специфіку означення послідовності чисел Фібоначчі. Коротко спинимося на цьому.

Неважко переконатися, що для n = 1, n = 2 формула (1.3) підтверджується.

Припустимо, що вона має місце для номерів n – 1, n – 2 і переконаємося в її справедливості для будь-якого номера n.

Отже, нехай

un-2 =  (q1n-1 – q2n-2), un-1 =  (q1n-1 – q2n-1).

Треба довести, що un-2 + un-1 = un =  (q1n – q2n).

Справді, неважко переконатися, що 1 + q1 = q12, 1 + q2 = q22, а тому

un-2 + un-1 = =  [q1n-2 (1 + q1) – q2n-2 (1 + q2)] =  (q1n – q2n), що й треба було довести.

До основних властивостей чисел Фібоначчі відносяться такі:

1) Будь-яка пара сусідніх чисел ряду Фібоначчі un та un+1 задовольняє одне із рівнянь

х2 – ху – у2 = +1 (1.5)

При цьому, якщо у = un, то х = un+1.

2) Сума n перших членів ряду Фібоначчі на 1 менша від (n + 2)-го члена того самого ряду:

u1 + u2 +…+ un = un+2 – 1.

3) Сума квадратів чисел послідовності Фібоначчі визначається через добуток двох сусідніх членів того самого ряду:

u12 + u22 +…+ un2 = un · un+1.

4) Квадрат кожного члена ряду Фібоначчі, зменшений на добуток попереднього і наступного членів, дає поперемінно то +1, то -1:

un2 – un-1 · un+1 = (- 1)n+1.

  1. u1 + u3 +…+ u2n-1 = u2n.

  2. u2 + u4 +…+ u2n = u2n+1 – 1.

  3. un2 + un+12 = u2n+1.

Спинимося, наприклад, на доведенні першої властивості. Замінивши в рівнянні (1.5) невідомі х та у відповідними виразами (використовуючи формулу Біне)

y = (q1n – q2n), x =  (q1n+1 – q2n+1), отримаємо:

  [(q1n+1 – q2n+1)2 – (q1n+1 – q2n+1)(q1n - q2n) – (q1n – q2n)2] = ±1,

або q12n+2 – q1n+1 · q2n+1 + q22n+2 – q12n+1 + q1n · q2n+1 + q1n+1 · q2n – q22n+1 – q12n + 2q1n · q2n – q22n = ±5.

Групуємо члени з однаковими основами:

q12n · (q12 – q1 – 1) + q22n ·(q22 – q2 – 1) +

+ q1n · q2n · (-2q1q2 + q2 + q1 + 2) = ±5.

Замість q1 і q2 підставимо у вирази в дужках їх значення (1.4), дістанемо:

5a1na2n = ±5, або 5(a1a2)2 = ±5.

Але a1a2 =   ·   = -1.

Отже, при парному n, 5·(-1)n = 5, а при n непарному, 5·(-1)n = -5.

Тим самим доведено першу властивість з наведеного переліку.

  1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас