Підготував студент
Групи М-401 Б
Блажко Тарас
идно, що існує дві точки повороту, які
визначаються з умови
Біля точок повороту виділимо
відповідно області та
де квазікласичне наближення не можна використовувати. За межами цих областей використовуємо квазікласичне наближення. Експоненціально спадні хвильові функції при віддаленні від точок повороту мають вигляд: Осцилюючий розв’язок можна записати у вигляді (див. (5.21)):
В областях квазікласичне наближення несправедливе і виникає необхідність розв’язувати рівняння Шредінгера:
або
Рівняння Шредінгера (6.4) з урахуванням (6.5) зведеться до такого співвідношення
Розв’язком цього рівняння є функція Айрі, тобто
Де
Нам необхідно знати розв’язок (6.6) на межі області, тому хвильову функцію Ψ(u) запишемо з урахуванням асимптотичного значення функцій Айрі (функцій Беселя). Знаючи, що
Для великих значень аргументу u хвильової функції отримаємо:
Якщо x > x2 , то
а тоді
Коли ж x < x2 , то
тому
Хвильову функцію біля меж області можна отримати, якщо підставити (6.8) та (6.9) в (6.7). Врахуємо також те, що
тому
Отже, розв’язок рівняння (6.5) для можна подати у вигляді:
Де знак «х» означає окіл біля точок Порівняємо (6.10) з (6.2) та(6.11) з (6.3) для визначення співвідношень між коефіцієнтами нормування:
Ми провели зшивання розв’язків в особливих точках та
Проведемо аналогічну процедуру в інших точках простору та . Розв’язки рівняння Шредінгера (6.4) біля цих точок можна визначити з рівнянь (6.10) та (6.11) заміною змінної інтегрування: x′ → −x′ та межі інтегрування → .Тоді в околі меж області маємо:
Повернемось до хвильової функції (6.3), визначеної для
. Порівнюючи її з функцією (6.14), що визначена в області
(6.15)
У формулі (6.15) при необхідному переході у фазі синуса
від інтеграла до інтеграла
виник інтеграл , межами якого є
Тобто інтеграл по всьому періоду її класичного руху. Тоді умова (6.170 запишеться у вигляді відомої формули
яка задає правило квантування Бора-Зомерфельда. З цієї умови можна визначити енергію частинки в потенціальному полі. Варто ще раз проаналізувати хвильову функцію частинки. Ми встановили, що в межах області , хвильова функція є осцилюючою Дорівнює , а максимальне згідно з (6.17) - . . На інтервалі
хвильова функція n разів дорівнює нулю – має n вузлів. Згідно з умовою (5.23´), наближення ВКБ справедливе на більшій відстані, ніж довжина де Бройлівської хвилі частинки. Для використання квазікласичного наближення необхідно, щоб довжина хвилі частинки була значно меншою за відстань між класичним точками повороту, тобто З (6.18) видно, що зазначена нерівність виконується для великих імпульсів а, отже, для великих квантових чисел n . Це ще одна умова застосовності квазікласичного наближення. Хвильову функцію (6.19) можна нормувати на відрізку . Нехай Підставивши (6.19) в умову (6.20) та врахувавши, що Ψ(x ) є швидко осцилюючою функцією, отримаємо:
Час руху частинки від точки від 1 x до точки 2 x , що дорівнює півперіоду коливань
Нормована хвильова функція частинки в квазікласичному наближенні має вигляд:
Формули (6.18), (6.24) можна використати для простого розв’язку задач з конкретним виглядом функції потенціальної енергії. Зокрема, для розв’язку задачі про визначення енергії лінійного осцилятора, обчислення коефіцієнта проходження бар’єра довільної форми та ін