Ім'я файлу: 29.docx
Розширення: docx
Розмір: 74кб.
Дата: 21.06.2020
скачати

29. Трикутники на площині Лобачевського.

Лобачевський поклав початок відкриттю неевклідової геометрії. Це зіграло величезну роль в розвитці нових ідей і методів в математиці. Раніше панувала думка, що геометрія Евкліда є непорушною, а тому правильною, « непохитною, незмінною, і була вічною істиною», зокрема так вважав і відомий німецький філософ Кант. Ще о Канта геометрія Евкліда вважалася непорушною, як єдине можливе вчення про реальний простір. Він говорив що людина упорядковує явища реального світу згідно з апріорними уявленнями, а геометричні представлення і ідеї Евклідової геометрії нібито апріорні.

М.І. Лобачевський , зробив спробу дослідження реального простору , використовуючи для цієї мети астрономічні дані. Він сподівався що виявить відхилення геометрії реального простору від Евкліда, проте обчислення не дозволили довести свою гіпотезу про неевклідовість реального простору, сама гіпотеза виявилася геніальним передбаченням .

Розглянемо трикутники на площині Лобачевського

Теорема 3. Сума кутів трикутника в геометрії Лобачевського є величина стала і залежить від форми і розмірів трикутника.


Доведення. Міркування проведемо методом від супротивного. Припустимо, що сума кутів трикутника на площині Лобачевского є величина стала і дорівнює . Розглянемо з кутами .

Тому Візьмемо на стороні довільну точку та з’єднаємо її з точкою С. розіб’ється на два треугольника: з кутами та з кутами .

Тоді, за припущенням

Складемо ці рівності і отримаємо





Звідси, . Що суперечить припущенню. Отже, сума кутів трикутника на площині Лобачевского не може бути сталою величиною.

Різниця між числом і сумою кутів трикутника називається кутовим дефектом трикутника, її позначають . Отже, де - сума кутів трикутника.

У геометрії Евкліда кутовий дефект трикутника дорівнює нулю, а в геометрії Лобачевского кутовий дефект - змінна величина, змінюється від нуля до .



Теорема 4. Сума кутів довільного трикутника не більша ніж 2d.


Доведення. Теорему доведемо методом від супротивного. Нехай існує трикутник ABC, такий, що трикутник геометрія лобачевский планіметрія
АВС = 2d + де > 0.
Застосовуючи попередню лему до трикутника ABC n разів, побудуємо трикутник АпВпСп, що задовольняє умовам
АпВпСп = АВС і Аn А
Вибе ремо п так щоб чтобы 1/2n А< . Тоді Ап < . Оскільки Аn + Вn + Сп = 2d + , то Вп + Сп> 2d. З іншого боку, легко довести, що Вп + Сп < 2d. Дійсно, якщо - міра зовнішнього кута трикутника АпВпСп,, суміжного з кутом Вп, то > Сп, а за теоремою про суміжні кути
+ Вп = 2d, тому Вп + Cn <С 2d
Ми прийшли до протиріччя, отже, не існує такого трикутника ABC, сума кутів якого більше ніж 2d.

Отже, сума кутів будь-якого трикутника не більше 2d. Але чи не може вийти так, що у одних трикутників ця сума менше 2d, а у інших рівна 2d? Негативну відповідь на це питання дає друга теорема Саккері — Лежандра.


Теорема 5. Якщо в одному трикутнику сума кутів дорівнює 2d, то сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 2d.


Отже, отримаємо ще одно припущення, еквівалентне V постулату: існує хоча б один трикутник, сума кутів якого дорівнює 2d.


Теорема 6. На площині Лобачевського не існує подібних трикутників.

З цієї теореми, як наслідок випливає твердження:

Якщо на площині Лобачевского три кути одного трикутника дорівнюють трьом кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.



Доведення. Будемо доводити методом від супротивного. Припустимо, що існують два подібних трикутники з коефіцієнтом подібності, відмінним від одиниці. Нехай, наприклад, більший за .

З подібності цих трикутників випливає рівність їх відповідних кутів. Відкладемо на стороні відрізок і через точку проведемо пряму так, що вона утворює із стороною кут . За теоремою Паша (Якщо пряма, яка не проходить через вершини трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає рівно дві його сторони) пряма перетинаючи сторону перетинає ще одну сторону цього трикутника. Перетнути сторону вона не може, оскільки вона розбігається з нею. Отже, пряма перетинає сторону у точці .

по стороні з двома прилеглими кутами, звідси витікає, що
.
Тоді в чотирикутнику сума внутрішніх кутів

що в площині Лобачевского не можливо. Отримали протиріччя.

Ця теорема дає нову, четверту ознаку рівності трикутників, якої немає в абсолютній геометрії.


Теорема 7. На площині Лобачевського не навколо будь-якого трикутника можна описати коло.


Доведення. У геометрії Евкліда біля будь-якого трикутника можна описати коло, центр якого є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Існування такої точки перетину доводиться на основі постулату Отже, це твердження еквівалентне постулату.

Справді, нехай маємо трикутник у якому - середини сторін відповідно

Проведемо через точки перпендикуляри . Тоді кут - гострий (з ), а кут - прямий, тому сума і по постулату прямі перетинаються в точці О, яка є центр описаного кола. На площині Лобачевського існування точки О перетину серединних перпендикулярів залежить від сторін та залежить від величини кута , який є функцією відрізку а сама функція Лобачевського : прямі паралельні, а при розбігаються.


Теорема 8. Якщо два серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються, то і третій серединний перпендикуляр проходить через цю точку перетину

Наслідок. Якщо два серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в точці О, то навколо такого трикутника можна описати коло з центром в точці О.



Доведення. В геометрії Евкліда кожна точка серединного перпендикуляра відрізку рівновіддалена від його кінців. Це твердження доводиться на основі рівності трикутників, тому справедливо і на площині Лобачевського. Якщо точка де те Звідси тоді точка О лежить і на третьому серединному перпендикулярі трикутника .




Теорема 9. Якщо два серединні перпендикуляри до сторін трикутника розбігаються, то і серединний перпендикуляр до третьої сторони теж розбігається з двома першими і усі мають єдиний загальний перпендикуляр, причому усі вершини трикутника рівновіддалені від нього.

Наслідок. Якщо се6рединні перпендикуляри до двох сторін трикутника розбігаються, то навколо трикутника можна описати еквідістанту.


Доведення. Нехай в трикутнику точки - середини сторін відповідно. і прямі - розбігаються.

Тоді прямі мають єдиний загальний перпендикуляр а, такий що Опустимо з вершин трикутника перпендикуляри на пряму а: Раніше було доведено, що в чотирикутнику Саккері перпендикуляр, проведений через середину однієї основи, перпендикулярний і до іншої основи. Справедливо і зворотне твердження: якщо в чотирикутнику перпендикуляр, проведений через середину однієї сторони, перпендикулярний і до протилежної сторони, то такий чотирикутник є чотирикутником Саккері. На основі цієї теореми чотирикутники - чотирикутники Саккері, тому Тоді - теж чотирикутник Саккері, в ньому серединний перпендикуляр основи буде серединним перпендикуляром і основи . А це означає, що розбігається з .


Теорема 10. Якщо два серединних орієнтованих в одну сторону до сторін трикутника перпендикуляра паралельні, то і серединний перпендикуляр до третьої сторони трикутника паралельний двом першим.

Наслідок. Якщо серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника паралельні в даному напрямі, то навколо такого трикутника можна описати орицикл.


Доведення. Справедливість цієї теореми випливає з двох попередніх. Дійсно, якщо допустити, що серединний перпендикуляр с до сторони АС перетинається з серединним перпендикуляром а до сторони АВ, то по теоремі 6 через точку їх перетину повинен пройти і третій перпендикуляр b і по теоремі 7 повинен розбігатися, що суперечить умові теореми. Отже, серединний перпендикуляр с паралельний до а і b.


скачати

© Усі права захищені
написати до нас