Ім'я файлу: ВМ.К36Функції двох змінних.doc
Розширення: doc
Розмір: 322кб.
Дата: 07.05.2020






2.2.2 ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ
Основні поняття і способи їх завдання

Розпочнемо вивчення функцій багатьох змінних з важливого в теоретичному і практичному відношенні випадку функції двох змінних.

Наприклад.Площа S прямокутника зі сторонами, довжини яких рівні х і у, є функція від х і у, яка задається формулою S= xy. Областю визначення цієї функції, яка задана формулою f (x, y) = xy є вся площина Оху.

Означення 1. Правило, яке кожній парі (х,у) значень змінних х і у, що належать деякій множині пар D, ставить у відповідність одне і тільки одне число z R, називається функцією двох змінних.

У цьому випадку пишуть z = f (x, y) і читають: “зет дорівнює еф від ікс ігрек”. Так, наприклад, рівняння виду z = x2 + y2, z = x3 - y3, z = xy ставлять у відповідність до пари (х, у) значення z. Під символом f для першої з них розуміється послідовність дій: спочатку х підносять до квадрата, потім ігрек підносять до квадрата і отримані результати додають.

Означення 2. Множина D пар чисел х, у, на якій визначена функція z = f(x,y), називається областю визначення функції D (f).

У найпростіших випадках область може мати вигляд прямокутника, a x b,c y d або кола з границею, яка задається рівнянням

При дослідженні функцій двох змінних часто звертаються до їх геометричної інтерпретації. Кожній точці (х, у) області визначення функції f ставиться у відповідність точка (х; у; f(x,y)), тобто (х,у,z), де z= f(x,y), у тривимірному просторі.

Означення 3. Множина всіх точок (х;у) області D, у яких функція z = f(x;y) приймає одне й те саме значення h, називається лінією рівня.

Лінію рівня, яка відповідає значенню z = h, можна отримати як проекцію на площину Оxy ліній перетину поверхні з площиною z = h. Зробивши декілька таких перерізів площинами z = h, які містяться одна від одної на рівних відстанях, і накресливши лінії рівня, можна скласти уявлення про саму поверхню. Там, де лінії проходять близько одна до одної, поверхня піднімається круто, а значить і функція змінюється швидше порівняно зі зміною функції в тих місцях, де відстань між лініями більша (рис. 120, 121).


Рис. 120 Рис. 121
Способи завдання функцій. Як і у випадку функції однієї змінної, функції двох змінних можуть задаватися декількома способами.

Аналітичний спосіб.Відповідність між парами чисел х і у і значеннями функції Z задається у вигляді формули. Цей спосіб зручний для виконання над функцією математичних дій, але не завжди наочний. Відповідність між змінними величинами не завжди можна записати у вигляді формули. У багатьох випадках формула буває невідома або шукати і писати формулу є недоречним. Для вираження функціональної залежності можна скористатися іншими більш зручними способами.

Табличний спосіб. Цей спосіб є найбільш простим. У одному стовпці записують всі значення , а в другому – значення відносно кожної пари чисел (х,у). Табличний спосіб зручний для використання, він особливо широко застосовується при обліку результатів дослідів, лабораторних аналізів тощо. До недоліків способу відноситься те, що представлення про функціональну залежність тут не є повним, оскільки неможливо помістити в таблиці всі значення . Але все ж таки корисно представляти функцію як нескінченну кількість стовпців або рядків такої таблиці.
Алгоритмічний спосіб. Цей спосіб задання функції виник у зв’язку з широким розвитком і впровадженням у виробництво електронно-обчислювальних машин. Задається він у програмі для обчислення значень функцій на ЕОМ, які зберігаються в пам’яті ЕОМ. Так, більшість мікрокалькуляторів автоматично обчислюють значення функції

Частинні похідні функції двох змінних

Неперервність функцій двох змінних.

Частинні і повні прирости функцій. Якщо в функції від двох змінних фіксувати значення одної з незалежних змінних, наприклад, , то отримаємо функцію , яка залежить від одної змінної х. Оскільки геометрична функція z = f(x,y) являє собою деяку поверхню, то рівняння являє собою лінію перетину цієї поверхні з площиною . Аналогічно, якщо фіксувати змінну , отримаємо функцію від одної змінної у: .

Означення 4. Величина назива­ється частинним приростом функції у точці по аргументу х. Величина називається частинним приростом функції у точці по аргументу у. Величина називається повним приростом функції у точці .

Означення 5. Число А називається границею функції z = f(x,y) при Р(х, у)  Р оо, уо) і пишуть

якщо для будь-якого   0 існує  0 таке, що з 0  РР о   слідує:



З означення слідує, що якщо границя існує, то вона не залежить від шляху, за яким Р прямує до Р о.

Границя функції двох змінних має властивості, аналогічні властивостям границі функції однієї змінної.

Означення 6. Функція z= f(x,y), визначена в деякому околі точки Рооо), називається неперервною в цій точці, якщо границя функції при Р Ро дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

Частинні похідні функцій двох змінних. Нехай дана функція від двох змінних . Фіксуючи одну із змінних, наприклад, , ми приходимо до функції від однієї змінної х. Тоді можемо говорити про похідну отриманої функції, яку позначаємо через zx. Згідно з означенням похідної функції від одної змінної маємо:


Означення 7. zх називається частинною похідною функції за змінною х і позначається ще символами , , . Аналогічно визначається і позначається частинна похідна за змінною y:



Виходячи з геометричної інтерпретації похідної функції від одної змінної, можемо сказати, що частинна похідна при х = х0, у = у0 чисельно рівна тангенсу кута , утвореного дотичною в точці до лінії, що є перерізом поверхні площиною у = у0з додатним напрямком осі Ох.

Аналогічно частинна похідна при х = х0, у = у0 чисельно дорівнює тангенсу кута , утвореного дотичною в точці до лінії, що є перерізом поверхні площиною х = х0, з додатним напрямком осі Оу.

Оскільки частинні похідні від функції кількох змінних також є функціями від кількох змінних, то для них можна також обчислювати частинні похідні. По відношенню до вихідної функції ці похідні від похідних називаються частинними похідними вищого порядку.

Наприклад, для функції від двох змінних маємо наступні типи похідних другого порядку:

– частинна похідна від функції f, взята двічі за аргументом х ;

i – мішані частинні похідні;

– частинна похідна від функції f, взята двічі за аргументом у.

Для цих похідних та інших, більш складних, застосовуються також позначення:


2.2.3. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ

Означення 8. Точка Р називається точкою мінімуму (макси­муму) функції , якщо існує окіл цієї точки такий, що з усіх значень, прийнятих функцією у цьому околі, найменшим (найбільшим) є значення в точці Р. Така точка Р називається точкою екстремуму.

Якщо у функції фіксувати всі незалежні змінні, крім одної, то , як функція цієї одної змінної, буде мати в точці Р мінімум (максимум). Звідси виходить, що в цій точці значення частинної похідної за будь-якою змінною або дорівнює нулю, або не існує. Таким чином, необхідною умовою екстремуму функції багатьох змінних у даній точці є рівність нулю чи не існування частинних похідних у цій точці.

Для знаходження екстремуму треба спочатку знайти критичні точки, тобто точки, у яких частинні похідні першого порядку рівні нулю (якщо всі частинні похідні рівні нулю, то це стаціонарна точка) чи не існують, а потім додатковими дослідженнями визначити характер екстремуму (якщо він взагалі існує).

Повний диференціал функції двох змінних. Для приросту функції , що має неперервні частинні похідні , , має місце наступна теорема.

Теорема. Якщо частинні похідні і функції неперервні в даній області, то її повний приріст можна зобразити в кожній точці (х,у) цієї області у вигляді:
, де 0 при х 0 і у 0.

Означення 9. Права частина формули називається повним диференціалом функції і позначається через dz чи df(x,y).

За означенням .

Якщо , то , . У цьому випадку пишуть , аналогічно dy = y.

Тому формулу можна переписати у вигляді:

, або .

Необхідні і достатні умови існування екстремуму



Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки . Говорять, що функція має в точці максимум (мінімум), якщо f(x,y) f(x0,y0) (f(x,y) f(x0,y0)) для всіх точок , достатньо близьких до точки . Точка – точка максимуму (мінімуму), а відповідно максимум (мінімум) функції.

Максимум і мінімум функції будемо, як і у випадку функції однієї змінної, називати екстремумами або екстремальними значеннями.

Відповідь на питання, чи існує спосіб знаходження значення незалежних змінних, при яких функція має екстремум, дають такі дві теореми.

Теорема 1 (необхідні умови екстремуму). Якщо функція має екстремум у точці , то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто:

i

Точки Р0i0i0i), у яких частинні похідні дорівнюють нулю, називають критичними.

Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму). Нехай функція неперервна на D(f) разом зі своїми частинними похідними першого і другого порядку і точка є критичною.

Знайдемо в точці похідні другого порядку і зробимо такі позначення:

, .
Якщо АС-В2 0, то функція має в точці Р000) екстремум:

максимум при А 0 і мінімум при А 0.

Якщо АС-В2 0, то функція f(х,у) у точці Р00,у0) не має екстремуму.

Якщо АС- В2 = 0, то висновок про екстремум функції зробити неможливо. У цьому випадку необхідні додаткові дослідження.

Приклад 1. Знайти частинні похідні другого порядку від функції

Розв’язування

Отже,

Приклад 2. Знайти екстремум функції

1. Знайдемо частинні похідні:

2. Прирівнюємо до нуля частинні похідні і складемо систему:



Знайдемо з першого рівняння y=2x-1 і підставимо в друге:



3. Знайдемо частинні похідні другого порядку: Отже, частинні похідні другого порядку рівні постійним величинам у будь-якій точці, зокрема в точці P0 (2, 3). Тоді А=2, В=1, С= 4. Потім знаходимо Отже, у точці Р0 (2,3) функція має максимум :


Застосування функцій двох змінних до розв’язування прикладних задач
Задача. Фірма хоче освоїти два ринки, один з них внутрішній, а другий зовнішній. Відомо, що функції попиту дорівнюють відповідно а сумарні витрати де х1 − кількість продукції, яка йде на внутрішній ринок, а − на зовнішній ринок. Яку цінову політику повинна проводити фірма, щоб прибуток був максимальний?

Сумарний дохід у випадку першого ринку дорівнює а у випадку другого −

Тоді прибуток

тобто Дану функцію треба досліди­ти на екстремум.

З необхідної умови екстремуму одержуємо, що або тобто

Скористаємося достатньою умовою екстремуму



а це означає, що в точці функція має максимум, бо

Таким чином, на внутрішньому ринку треба продати 240 од. продукції за ціною грн, а на зовнішньому − од. за ціною грн. Прибуток при цьому складе грн.
Запитання для самоконтролю
1. Що називається функцією багатьох змінних, двох змінних?

2. Які способи завдання функції багатьох змінних?

3. Що називається областю визначення функції і який її геометричний зміст?

4. Що є графіком функції ?

5. Що називається лінією рівня функції ?

6. Дати означення границі функції двох змінних в точці.

7. Яку функцію двох змінних називають неперервною на множині точок?

8. Дати означення частинної похідної функції двох змінних по одній з них. З’ясувати її геометричний зміст.

9. Як визначають частинні похідні другого порядку від функції двох змінних?

10. Сформулювати теорему про рівність других мішаних похідних.

11. Дати означення повного диференціала функції двох змінних і вказати формулу для його знаходження.

12. Необхідні і достатні умови існування екстремуму функції двох змінних.


скачати

© Усі права захищені
написати до нас