1Чотирикутники та їхні властивості Потрібно знати Чотирикутник

1
Чотирикутники та їхні властивості
Потрібно знати
Чотирикутник — це фігура, яка скла- дається з чотирьох точок (вершин)
і чотирьох відрізків (сторін), які їх по- чергово з’єднують.
На рисунку — чотирикутник АВСD.
Його ще можна назвати BCDA або
CBAD (послідовно вказують вершини).
сусідні вершини — ті, які з’єднані однією стороною.
Наприклад: A і B, B і C, C і D, D і A.
Якщо вершини лежать на різних сторонах чотирикутника, то їх на- зивають протилежними. Наприклад: A і C, B і D.
сусідні сторони — ті, які мають загальну вершину. Наприклад: AB
і BC, CD і DА.
Протилежні сторони — ті, які не мають спільних вершин. Напри-
клад: AD і BC, AB і CD.
f
1
. Серед поданих геометричних фігур розфарбуй чо- тирикутники.
A
C
D
B

3
Потрібно знати
Прямокутник — це чотирикутник, у якого всі чотири кути прямі, а про- тилежні сторони паралельні і рівні.
Дві довші протилежні сторони пря- мокутника називають його довжи-
ною, а коротші — його шириною.
Відрізки прямої, що з’єднують протилежні вершини, називають його діагоналями.
Діагоналі завжди рівні, точка перетину їх ділить навпіл. На поданому рисунку АD і ВС — довжина прямокутника АВСD, а АВ і СD — його ширина. Нехай довжина прямокутника дорівнює а (см), а його ши- рина — b (см), тобто АD = ВС = а, АВ = СD = b.
Сума чотирьох кутів прямокутника дорівнює 360°.
Периметр прямокутника (позначається буквою P) — подвоєна сума його довжини і ширини, тобто
P
ABCD
= (a + b) ⋅ 2
Наприклад: якщо a = 5 см, b = 3 см, то P
ABCD
= (5+ 3) ⋅ 2 = 16 (см)
f
5
. Виміряй довжини сторін прямокутника і знайди його периметр.
f
6
. Знайди серед поданих нижче чотирикутників пря- мокутники, познач їх вершини буквами. Проведи діа- гоналі.
A
B
D
C
O
5 см
b
8
a

5
f
9
. Скільки мотків дроту треба купити, щоб зробити рамки для двох прямокутних картин, якщо в одно- му мотку — 50 см дроту? Розміри першої картини:
a = 20 см, b = 10 см, а другої — a = 25 см, b = 20 см.
Потрібно знати
квадрат — це чотирикутник, усі сторони якого рівні, а всі кути — прямі.
Квадрат — також прямокутник, але з чотирма рівними сторонами, його ще називають правильним чотирикутником.
Назва цієї геометричної фігури походить від латинського «квадро» — «чотири».
Оскільки у квадрата всі чотири сторони рівні (мають одну і ту саму довжину a), то його периметр обчислюють так:
P = 4 · a f
10
. Знайди периметр квадрата KLMN.
4 см
4 см
L
K
M
N

7
f
13
. Периметр прямокутника становить 32 см. Пери- метр квадрата —
3 4
від периметра прямокутника. Зна- йди довжину сторони квадрата.
Потрібно знати
Паралелограм (у перекладі з грецької озна- чає «паралельна лінія») — чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно па- ралельні, а протилежні кути попарно рівні.
На рисунку ABCD — паралелограм,
AD BC, AB CD, ∠A ∠C, ∠B  ∠D.
Діагоналі АС і BD перетинаються в точці O, яка ділить їх навпіл.
Будь-яка діагональ ділить паралелограм на два рівних трикутники.
Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
Прямокутник і квадрат — паралелограми.
f
14
. Знайди з-поміж чотирикутників паралелограми.
Розфарбуй їх, познач вершини буквами.
C
D
O
B
A

8
f
15
. Придумай подібне завдання для свого сусіда по парті.
f
16
. Розділи паралелограм на два рівних трикутники.
y
Як у математиці називають лі- нію розділу?
y
Що ще треба накреслити для того, щоб знайти центр симе- трії? Виконай це, познач рівні кути.
f
17
. Накресли паралелограм. Парні паралельні сторо- ни познач кольоровими олівцями.
R
F
E
K

9
Потрібно знати
ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні (рис. а). Ромб
із прямими кутами є квадратом (рис. б).
B
D
C
A
K
M
L
N
O
Рис. а)
Рис. б)
Слово «ромб» походить із Давньої Греції і в перекладі означає «бу- бон» (музичний інструмент). У давнину цей інструмент виготовляли саме такої форми.
Протилежні сторони ромба попарно паралельні. На рисунку а)
AB CD, AD BC.
Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом (рис. б).
KM ⊥ LN , точка перетину О ділить їх навпіл.
f
18
. Накресли декілька різних за видами ромбів (ана- логічних а і б), запропонуй сусідові по парті розподі- лити їх на дві групи.

10
f
19
. Знайди на рисунку серед інших чотирикутників ромби. Проведи в них діагоналі, познач прямі кути.
f
20
. Розфарбуй геометричні фігури таким чином:
— червоним,
— жовтим,
— синім,
— зеленим.
y
Чи помітив ти якусь особ- ливість?
y
Чи виникла в тебе пробле- ма з розфарбовуванням? y
Яким ще кольором можна було розфарбувати певну геометричну фігуру і чому?
Підказка:
Паралелограми
Прямокутник Квадрат Ромб

11
Потрібно знати
трапеція (від грец. — «трапезос», що в перекладі означає «малень- кий столик») — це чотирикутник, у якого тільки одна пара проти- лежних сторін паралельна. На рисунку зображено трапецію ACDB, у якої AB CD.
C
D
K
h
A
B
L
Сторони AB і CD називають основами трапеції, дві інші сторони, AC
і BD — бічними сторонами.
Відрізок KL, який з’єднує середини бічних сторін, називається серед-
ньою лінією, яка завжди паралельна до основ KL CD, KL AB.
Відстань між основами h — висота трапеції.
Трапецію, у якої бічні сторони рівні, називають рівнобедреною.
Трапецію, яка має прямі кути при бічній стороні, називають прямо-
кутною.
На рисунку а у трапеції ABCD AB = CD і вона равнобедрена; на рисунку б у трапеції KLMN ∠L = ∠K = 90° і вона прямокутна.
A
K
D
N
B
L
C
M
Рис. а)
Рис. б)

12
f
21
. Накресли будь-яку трапецію. Основу познач чер- воним олівцем. Висоту проведи жовтим олівцем. Пе- ретвори її на прямокутник і знайди його периметр.
f
22
. Накресли на аркуші в клітинку такий прямокут- ник, як показано нижче. Розріж його на три частини у такий спосіб, щоб утворилася рівнобедрена трапе- ція. Накресли її в зошиті і знайди периметр.
Пам’ятай! Сума довжин усіх сторін фігури — це є її периметр.

13
f
23
. Яка за видом трапеція зображена на рисунку?
y
Що треба зробити, щоб утворилася прямокут- на трапеція? Зроби це.
y
Знайди периметр отри- маної трапеції двома способами:
I спосіб: виміряй до- вжину чотирьох сто- рін, знайди суму;
II спосіб: розділи трапецію на прямокутник і трикут- ник. Знайди периметр кожної з цих фігур окремо, потім знайди суму.
y
Чому результат II способу на 6 см більше?
y
Чи задовольнив тебе II спосіб? Чому?
f
24
. Знайди і розфарбуй рівнобедрені трапеції синім кольором, а прямокутні — зеленим.

14
f
25
. Виміряй довжини сторін ромба. Знайди його пе- риметр. За допомогою якої формули ще можна знайти периметр? f
26
. Накресли ромб зі сторонами, які дорівнюють 2 см.
Знайди периметр. Виміряй градусну міру кутів, ви- знач їх за видами.
f
27
. Схематично покажи на ри- сунку властивості сторін, кутів
і діагоналей цього паралело- грама. Знайди його периметр.
B
A
С
D

15
f
28
. Добудуй зазначену фігуру до паралелограма. Зна- йди його периметр у мм, см, дм.
f
29
. Накресли прямокутник, квадрат, паралелограм, ромб і трапецію. f
30
. Виміряй довжини сторін фігур, накреслених то- бою у завданні 29, та знайди їхні периметри.

17
f
32
. Розфарбуй однаковим кольором фігури, які скла- даються з однакової кількості клітинок.
Потрібно знати
Фігури, які зафарбовані однаковим кольором, мають однакову площу. За одиницю площі беруть квадрат зі стороною, що дорів- нює відповідній одиниці довжини. Площа такого квадрата і є однією квадратною одиницею.
Наприклад, квадрат зі стороною 1 см має площу 1 см
2
(1 квадратний см).
f
33
. Площа квадрата зі стороною 1 дм (10 см) складає
1 дм
2
. Так само існує 1 м
2
, 1 км
2
Впиши в клітинки відповідні числа:
1 дм
2
= см
2
;
1 м
2
= дм
2
;
1 см
2
= мм
2
Для того щоб знайти площу прямокутника, треба його довжину помножити на ширину.
Нехай довжина прямокутника а, а ширина b.
Площу позначають буквою S, тобто S
АВСD
= а • b
1 2
3 4
5 6
7 1 см

19
f
36
. Поєднай точки ABCD так, щоб утворився прямо- кутник. Якою щє геометричною фігурою він є? Зна- йди його площу.
Якщо квадрат — це також прямокутник, а у квадрата всі сторони рівні, значить, площу квадрата можна знайти так:
S = a
2
= a · a f
37
. Накресли квадрат зі стороною 5 см. Знайди його площу за формулою S = a
2
В
A
С
D
a
a

20
f
38
. Площа квадрата дорівнює 9 см
2
. Знайди, чому до- рівнює довжина його сторони. Накресли цей квадрат.
Накресли прямокутник, площа якого буде на 1 см
2
більша від площі квадрата. f
39
. Знайди довжину прямокутника, якщо його площа дорівнює 20 см
2
, а ширина — 4 см. Накресли цей пря- мокутник. Накресли ще один прямокутник із такою самою площею, але іншими сторонами.

21
f
40
. Накресли всі прямокутники, у яких P = 12 см. Ви- знач площі кожного з них. Зафарбуй той прямокут- ник, площа якого найменша.
f
41
. Накресли прямокутник зі сторонами 6 і 4 см. Зна- йди його площу і периметр.
y
Проведи в прямокутнику один відрізок так, щоб він розділив його на два рівні прямокутники, довжини яких будуть по 6 см.
y
Знайди S і P одного з них.

22
f
42
. Периметр маленького квадрата становить 12 см.
Із чотирьох маленьких квадратів склали один вели- кий. Знайди площу великого квадрата.
f
43
. Заповни таблицю.
Фігура
Розміри
P
S
а = 9 см
b = 5 см
а = см
36 см
2
а = м
b = м
60 м
200 м
2
а = дм
28 дм
а = 13 мм
b = 9 мм
117 мм
2
а = см
36 см

25
f
47
. Побудуй прямокутник, площа якого становить
15 см
2
, а P = 16 см.
f
48
. Периметр спортивного майданчика квадратної форми — 360 м. Обчисли його площу.
f
49
. Площа саду становить
2 5 від усієї площі шкільно- го подвір’я. Чому дорівнює площа саду, якщо площа шкільного подвір’я — 1820 м
2
f
50
. Готельний комплекс має площу 7049 м
2
. Басейн займає 4 7
площі від усього комплексу. Знайди шири- ну басейна, якщо його довжина становить 76 м.

26
f
51
. Поле, відведене під соняшники, має довжину 15 м, а ширину — на 5 м меншу і становить 14 від загальної площі всіх полів. Чому дорівнює загальна площа?
Потрібно знати
Площа трикутника дорівнює половині до- бутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
S

=
1 2 a · h
(I)
Наприклад. Якщо у трикутника ABC
AC = a = 4 см, h = 4 см, то його площа
S
ABC
=
1 2 · 4 · 4 = 2 · 4 = 8 (cм
2
)
Площа прямокутного трикутника дорів- нює половині добутку його двох перпен- дикулярних сторін:
S

=
1 2 a · b
(II)
Наприклад. Якщо у трикутника CDK
CKCD, CK = a = 4 см, CD = b = 8 см,
то його площа
S
CDK
=
1 2 · 4 · 3 =
1 2 · 12 = 6 (cм
2
)
h
A
C
a
B
C
b
a
K
D

27
f
52
. Накресли прямокутник KLMN зі сторонами 8 см
і 4 см.
y
Знайди середину сторони LM, познач її точкою F.
З’єднай відрізками точку F з точками K, N. Обчис- ли площу ∆KFN, а потім ∆KLF.
(Підказка: спочатку визнач вид кожного з трикутників, а потім застосуй відповідну формулу (I) або (II)).
f
53
. Знайди площу трикутника. Добудуй його до пря- мокутника. Поміркуй, яким ще способом можна зна- йти площу цього трикутника.

28
f
54
. Розділи квадрат за допо- могою двох відрізків так, щоб отримати один прямокутний трикутник і два однакових чо- тирикутники. Знайди площу трикутника.
Потрібно знати
Площа паралелограма дорівнює добутку сторони і проведеної до неї висоти:
S  a · h , тут a — довжина сторони, а h — довжина висоти, проведеної до цієї сторони.
f
55
. Зроби на рисунку необхідні креслення й вимірю- вання та знайди площу паралелограма KLMF.
L
K
M
F
C
D
a
h
B
A

29
f
56
. Добудуй трикутник до паралелограма. Знайди його площу.
Потрібно знати
Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її основ, помноженої на висоту:
S =
a + b
2
· h , де a, b — довжини основ, а h — довжина висоти.
Наприклад. Якщо у трапеції ABCD BC = a = 3 см, AD = b = 5 см,
h = 2 см, то її площа
S
ABCD
=
3 + 5 2
· 2= 4 · 2 = 8 (см
2
)
f
57
. Накресли трапецію, основи якої дорівнюють
2 і 4 см, а висота 3 см. Знайди її площу.
A
D
C
B
a
b
h

30
f
58
. З’єднай точки E, F, L, M відрізками так, щоб отримати прямокутну трапецію. Знайди її площу.
y
Чи потрібно проводити висоту, щоб знайти площу?
Чому?
Потрібно знати
Площа ромба дорівнює по- ловині добутку його діаго- налей:
S =
1 2
d
1
· d
2
,
де
d
1
, d
2
— довжини діагоналей ромба.
Наприклад. Якщо у ромба ABCD
BD = d
1
= 4 см, AC = d
2
= 6 см, то його площа S
ABCD
= (4 · 6) : 2 = 12 (см
2
)
F
L
M
E
B
D
A
C
d
1
d
2 2
2

32
ЗадаЧі на Побудову
коло. круг
f
61
. У верхньому лівому куті аркуша постав точку 1
(рис. а);
y
із неї за допомогою косинця проведи дві лінії (рис. б);
y
із точки 1 циркулем зроби засічки на лініях. Точки перетину з лініями познач буквами C і D;
y не змінюючи розхилу циркуля, з точки С зроби за- січки праворуч і вниз (точка 3);
y те саме зроби з положення точки D: праворуч (точка
2), униз — точку перетину познач буквою О;
y через точки С і О, D і О проведи осьові лінії (рис. в);
y точка О — центр кола;
y у точку О постав голку циркуля. Накресли коло.
C
O
O
D
D
C
C
2 2
3 3
1 1
1
Рис. а
Рис. б
Рис. в
Потрібно знати
Коло, окрім центра, має радіус і діаметр.
радіус — це відрізок, що сполучає центр кола з будь-якою точкою кола.
діаметр — це відрізок, що проходить через центр кола і сполучає дві проти- лежні точки кола.
На поданому рисунку О — центр кола, АО, ОВ — радіуси,
АВ — діаметр, АВ = АО + ОВ.
О
А
В

33
f
62
. Серед фігур, накреслених праворуч, знайди три, з яких можна скласти круг, поданий ліворуч.
1 2
3 5
4
f
63
. Чим коло відрізняється від круга? Знайди на ри- сунках кола і познач їх червоним кольором, а кру- ги — зеленим.
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
f
64
. Більшу різницю між колом і кругом можна від- чути, якщо виліпити їх із пластиліну (як це показано на рисунку).
круг коло

35
f
68
. За допомогою циркуля накресли коло. Центр кола познач буквою О. Проведи радіус АО і діаметр АВ.
f
69
. Обід переднього колеса трактора дорівнює 1 м 50 см, а заднього — 5 м. Переднє колесо зробило 60 обертів.
Скільки обертів зробило зад- нє колесо на тій самій від- стані?
f
70
. На круглому пирозі зробили 7 розрізів так, що кожний розріз іде від краю до краю і проходить через центр пирога. Скільки шматочків пирога при цьому отримаємо?

37
C
1
A
1
С
B
O
K
F
А
Побудуємо коло з центром в точці О з тим самим радіусом.
Точку перетину кола з проме- нем позначимо буквою F.
Побудуємо коло з центром у точці F того ж радіуса. Точ- ку перетину кіл позначимо буквою K. Проведемо промінь
ОK. ∠FOK =∠ABC
f
71
. Побудуй кут, що дорівнює пропонованому на зразку.
f
72
. Перевір, чи правильно накреслили діти кут, що дорівнює пропонованому. Якщо помітиш помилки, виправ їх.
B
K
L
M
C
A
B
M
C
D
O
A

38
f
73
. Накресли трикутник за допомогою лінійки і цир- куля, якщо відомі довжини сторін.
f
74
. Уміючи будувати трикутник за трьома сторона- ми, ми можемо побудувати кут, що дорівнює пропо- нованому. Уважно розглянь рисунки і поясни, як це зробити.
1
A
K
2
A
B
C
K
3
A
B
C
K
L

40
f
77
. Накресли відрізки завдовжки 4, 4 і 5 см. Побудуй за допомогою циркуля і лінійки трикутник за такими трьома сторонами. Визнач вид трикутника за сторо- нами.
f
78
. Накресли такі відрізки, щоб за допомогою цирку- ля і лінійки, можно було побудувати рівносторонній трикутник.

41
f
79
. Накресли такі відрізки, щоб за допомогою цирку- ля і лінійки можна було побудувати різносторонній трикутник.
f
80
. Пригадай, як побудувати бісектрису кута за до- помогою циркуля і лінійки. Побудуй бісектриси по- даних кутів.
Напиши, як називають ці кути.
______________________________________________________
f
81
. Запиши всі бісектриси різних кутів.
Наприклад:
BK — бісектриса ∠ABL
____________________________
____________________________
____________________________
____________________________
____________________________
B
C
D
L
K
A

43
Побудова серединного
ПерПендикуляра
Потрібно знати
серединним перпендикуляром називають пряму, яка проходить через середину відрізка і перпендикулярна до нього.
A
C
D
B
O
Наприклад:
DB — серединний перпенди- куляр до відрізка AC, оскіль- ки AB  AC, AO = OC.
O — середина відрізка АС.
Серединний перпендикуляр
є віссю симетрії відрізка.
Кожна точка серединного перпендикуляра відрізку AB
рівновіддалена від кінців цьо- го відрізка. AK = KB, AM = MB,
AF = FB
Для того щоб поділити від- різок АВ навпіл, треба:
1) циркулем провести дві дуги одного радіуса з цен- трами в точках А і В, які перетнуться;
2) точки їх перетину з’єднати прямою, котра й буде ділити відрізок АВ точкою О навпіл.
A
B
F
O
K
C
M
A
B
O
O
1
O
2

46
Просторові геометриЧні фігури
та їхні елементи
Потрібно знати
Тепер перейдемо до фігур, які мають не тільки довжину
і ширину, а ще й висоту або товщину. Такі просторові геометричні фігури назива- ють тілами.
Найбільш поширена про- сторова фігура — це куб.
У математиці його ще на- зивають правильним многогранником. Він складається з шістьох рівних квадратів — гра- ней; сторони граней називають ребрами, а їх вершини — вершинами тіла.
Та сторона, яку ми не бачимо, показана на рисунку пунктирною лінією.
Куб має 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Грані складають поверхню кубу.
Щоб виготовити куб із будь-якого матеріалу, треба спочатку накрес- лити його розгортку (розгорнутий вигляд). На поданих розгортках
(рис. а і б) пунктиром зображено лінії згибу. Розгортки бувають без смужок для склеювання (рис. а) і зі смужками (рис. б).
Рис. а
Рис. б
грані
ребра вершини

47
f
87
. Накресли куб, познач його буквами. Випиши на- зви всіх вершин, ребер, граней. f
88
. (Дивись розгортку на с. 45) На аркуші в клітинку накресли 6 однакових квадратів зі стороною 3 см. Ви- ріж отриману фігуру. Якщо ти зробив все правильно, ти отримав куб. Покажи його вершини, ребра, грані.
Що можна сказати про довжини його ребер? f
89
. На розгортці куба є номери його граней. Запиши парами номери протилежних граней (тих, що не ма- ють спільних ребер).

48
f
90
. На поданій розгортці куба намалюй предмети так, щоб на протилежних гранях розташовувалися: сні- жинка і квіточка, сонечко і зірка, яблуко і полуниця.
f
91
. Розгадай ребус.
______________________
f
92
. Склади ребус, відгадкою якого буде слово «грань». f
93
. Дорисуй накреслені квадрати так, щоб утворили- ся рисунки кубоподібних предметів.

49
f
94
. Розфарбуй розгортки, у результаті згинання яких утвориться куб. f
95
. Накресли на аркуші в клітинку розгортку куба, довжина ребра якого 5 см. Зафарбуй протилежні грані верхню і нижню — синім кольором, передню
і задню — червоним, бічні (ліву і праву) — зеленим.
Виготов із неї куб.

50
f
96
. Діти будували палац із кубиків, довжина ребра яких 3 см. Спочатку вони побудували з них більш великий куб, довжина ребра якого 6 см. Скільки ма- леньких кубиків для цього використали діти?
y
Скільки знадобиться маленьких кубиків, щоб побу- дувати ще більший куб, довжина ребра якого 12 см?
f
97
. Який кубик праворуч відповідає розгортці ліво- руч? Обведи кольоровим олівцем відповідний номер.

51
f
98
. Скільки кубиків міститься в кубі на рисунку а?
Скільки — у кубі на рисунку б?
Рис. а
Рис.
б
Потрібно знати
місткість — це об’єм. Для того щоб знайти об’єм куба (позначаємо буквою V), треба довжину помножити на ширину й висоту. Вони рівні між собою, оскільки представляють довжину ребра куба. Тоді якщо довжина куба дорівнює а, то формула об’єма куба буде такою:
V
куба
= a
3
= a · a · a f
99
. Знайди об’єм куба, якщо а = 5 дм.

52
f
100
. Пригадай, як знайти площу квадрата (S  a
2
).
Скільки квадратів обмежує куб?
Тепер нескладно зрозуміти, якою буде формула пло- щі поверхні куба: V
куба
 6a
2
. Застосовуючи цю формулу, знайди площу поверхні куба, ребро якого 9 мм.
f
101
. Із чотирьох однакових кубиків склали один ве- ликий. Знайди площу його поверхні, якщо периметр грані (квадрата) маленького кубика дорівнює 24 см.
f
102
. На скільки менше потрібно обгорткового папе- ру, щоб обгорнути подарунок кубічної форми, ребро якого 15 см, ніж подарунок кубічної форми, ребро якого 30 см?
Потрібно знати
Паралелепіпед (від грец. — «паралельна площина») також много- гранник.
Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:
1) похилий — паралелепіпед, бічні грані якого не перпендикулярні до основи (рис. а);

53
2) прямий — паралелепіпед, у якого чотири бічні грані — прямо- кутники (рис. б);
3) прямокутний — паралелепіпед, у якого всі шість граней — пря- мокутники: його протилежні грані рівні і паралельні (рис. в);
4) куб — прямокутний паралелепіпед із шістьма рівними гранями
(квадратами).
Рис. а
Рис. б
Рис. в
Прикладами прямокутного паралелепіпеда може бути цеглина, класна кімната, пенал, ящик, сірникова коробка.
f
103
. Дорисуй накреслені прямокутники так, щоб утворити рисунки предметів, які мають форму пря- мокутного паралелепіпеда.
f
104
. Накресли на папері в клітинку два прямокутни- ки зі сторонами 6 і 5 см, два — зі сторонами 6 і 3 см, два — зі сторонами — 5 і 3 см так, як це показано на рисунку (на с. 54).

54
y
Виріж отриману фігуру, перегни її по пунктирних лініях.
y
Якщо ти все зробив правильно, то отримаєш прямо- кутний паралелепіпед. Прямокутники, які утворюють цей паралелепіпед, називають гранями. Скільки їх?
y
Підпиши назви решти складових елементів.

55
f
105
. На поданому рисунку чер- воним кольором покажи верши- ни прямокутного паралелепіпеда, синім — його ребра.
f
106
. Розгадай ребус.
___________________
f
107
. На рисунку — розгортка прямокутного парале- лепіпеда. Виміряй і запиши його розміри в мм.
y
Розфарбуй кольоровими олівцями рівні грані (жов- тим, синім і зеленим).

56
f
108
. Накресли на папері розгортку прямокутного па- ралелепіпеда зі смужками для склеювання. y
Виготов прямокутний паралелепіпед.
y
Попроси сусіда по парті: а) назвати елементи та їх кількість;
б) показати протилежні рівні грані.
2 см
4 см
5 см

57
f
109
. Порівняй дві накреслені розгортки. Розгортку куба розфарбуй олівцем червоного кольору, а прямо- кутного паралелепіпеда — синього кольору.
f
110
. Розглянь розгортку прямокутного паралелепіпе- да. Виправ помилки, внеси в креслення зміни, щоб розгортка стала правильною.

58
f
111
. Визнач правильні розгортки прямокутного па- ралелепіпеда. Внеси в креслення зміни, щоб непра- вильні розгортки стали правильними.
Потрібно знати
Тобі вже вдалося помітити, що в прямо- кутному паралелепіпеді три пари проти- лежних, паралельних і рівних прямокут- ників. Тому, щоб знайти площу поверхні паралелепіпеда, треба знайти площу пря- мокутників кожної з трьох пар і суму цих добутків помножити на 2. Якщо розміри прямокутного паралелепіпеда є a, b, c,
то формула має такий вигляд:
S
прямок. паралел.
= 2 · (ab + bc + ac)
f
112
. Знайди площу поверхні прямокутних паралеле- піпедів, розміри яких:
а) 10, 3, 6 см; б) 20 мм, 5 см, 4 см; в) 5, 6, 2 м.
a
b
c

59
f
113
. Скільки картону потрібно, щоб оббити кожен із цих ящиків? На оббивку якого ящика знадобилося більше картону? На скільки?
8 дм
9 дм
2 дм
7 дм
6 дм
4 дм
Потрібно знати
У повсякденному житті часто доводиться шукати місткість акварі- ума, кубатуру кімнати, об’єм бруса. Одиницею міри для об’ємів
є об’єм такого куба, ребро якого дорівнює 1 см, 1 м, 1 дм (одини- ця довжини). Таку одиницю виміру називають 1 см
3
(кубічним см),
1 м
3
, 1 дм
3
. Це відбувається тому, що об’єм (місткість) вимірюють за допомогою трьох величин: довжини, ширини і висоти. Якщо ці величини дорівнюють а, b, c, то формула має вигляд:
V
прямок. паралел
= a · b · c
f
114
. Знайди об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо а = 12 дм, b = 10 дм, с = 8 дм.

61
Потрібно знати
Піраміда — тіло, основа якого — многокутник, а гранями є трикут- ники, що збігаються в одній точці, яка називається вершиною.
За кількістю кутів основи розрізняють піраміди:
трикутні чотирикутні шестикутні
Основні елементи піраміди, зобра- женої на рисунку.
А — вершина піраміди: точка, що з’єднує бічні ребра, вона не нале- жить основі;
BCDF — основа: многокутник, якому не належить вершина;
АО — висота піраміди: перпен- дикуляр, проведений із вершини піраміди до її основи;
BAC, CAD, DAF, FAB — бічні грані: трикутники, які збігаються у верши- ні піраміди А;
CA, BA, FA, DA — бічні ребра: спільні сторони бічних граней.
Види пірамід:
1 2
3 4
A
D
F
B
C
O

62
1) Довільна піраміда.
2) Зрізана піраміда — многогранник, який знаходиться між основою піраміди та січною площиною, паралельною до основи.
3) У правильної піраміди основа — це правильний многокутник, а вершину можна спроектувати в центр основи.
4) У прямокутної піраміди одне із бічних ребер перпендикулярне до основи, тому воно є одночасно і висотою піраміди.
Найчастіше ми стикаємося і працюємо з правильною і прямокутною пірамідами.
f
118
. Визнач вид піраміди. Познач її буквами. Запиши назви граней.
_______________________________________
_______________________________________
______________________________________
f
119
. Накресли будь-яку піраміду. Синім кольором покажи основу, зеленим — ребра, червоним — вер- шину, жовтим — висоту.

64
Потрібно знати
Якщо ти уважно розглянеш розгортку піраміди, то зрозумієш, як знайти площу поверхні піраміди.
S
п
 S
б
+ S
о
, де S
п
— площа повної поверхні, S
б
— площа бічної поверхні, S
о
— площа основи.
Щоб знайти площу бічної поверхні, треба знайти площу кожної біч- ної трикутної грані і всі їх скласти. Якщо піраміда правильна, то бічні трикутники будуть усі однакові і знаходження
S
б можна спростити:
S
∆ помножити на кількість граней.
А
S
о як площу трикутника або чотирикутника ти вже вмієш зна- ходити.
f
123
. Знайди площу поверхні піраміди, якщо її осно- ва — правильний шестикутник, сторона якого 7 см, а бічні ребра — по 4 см.

65
f
124
. Знайди площу повної поверхні піраміди, якщо її основою є квадрат, сторона якого 5 см, а площа однієї бічної грані дорівнює 12 см
2
f
125
. Знайди площу повної поверхні піраміди за крес- ленням розгортки.
Потрібно знати
Об’єм піраміди дорівнює третині добутку площі його основи на висоту:
V =
1 3 S
о
· h
12 мм
12 мм
10 мм
17 мм
17 мм
17 мм
17 мм
17 мм

66
f
126
. Знайди об’єм піраміди, площа основи якої до- рівнює 27 дм
2
, а висота — 8 дм.
f
127
. Об’єм піраміди дорівнює 216 м
3
, третина площі його основи — 24 м
2
. Обчисли висоту цієї піраміди.
Потрібно знати
Призма — многогранник, у якого дві грані (основи) — рівні n-кутники
(трикутники, чотирикутники і т. ін.), розташовані у паралельних пло- щинах, а решта бічних граней — паралелограми.
висота призми — відстань між площинами її основ.
Призму називають прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи, тобто є прямокутниками.
На рисунках зображено піраміди:
рис. 1 — п’ятикутна, оскільки її основами є прямокутники;
рис. 2 — трикутна, оскільки її основами є трикутники;
рис. 3 — чотирикутна, оскільки її основами є чотирикутники.

67
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Призму називають правильною, якщо вона пряма, а основи є правильні много- кутники.
Інші призми — похилі.
f
128
. Запиши назви бічних граней.
Основи зафарбуй жовтим олівцем, ребра — синім, вершини — чер- воним.
y
Що є висотою цієї призми?
f
129
. Добудуй фігуру до призми. Визнач її вид. По- знач її буквами. Попроси своїх однокласників пока- зати основи цієї призми, бічні грані, ребра, висоту.
D
A
E
B
F
C

68
f
130
. Нарисуй предмети, що мають форму призми.
Наприклад:
f
131
. З’єднай лініями геометричні тіла і розгортки, що їм відповідають.
f
132
. Накресли розгортку чотирикутної прямої (або правильної) призми. Порівняй свою розгортку з роз- горткою твого сусіда по парті.

69
f
133
. Визнач назви геометричних тіл за їх описом.
• 5 граней, 8 ребер, 5 вершин — це _______________ .
• 2 п’ятикутні грані — основи, 5 прямокутників — це
___________________________________________ .
• 6 граней, 12 ребер, 8 вершин — це ______________ , або ________________________________________ .
Потрібно знати
об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту.
o
=
⋅
V S h f
134
. Обчисли об’єм прямої призми, якщо її висо- та — 16 см, а трикутник (основа призми) має висо- ту — 5 см, сторона, до якої проведено висоту — 8 см.
Потрібно знати
Площа поверхні призми дорівнює
S п. п.
= 2 · S
o
+ P · h , де S
о
— основа призми, h – висота призми, P — периметр основи.

70
f
135
. Обчисли площу поверхні призми, якщо S
о

8 см
2
,
P = 12 см, h = 5 см.
f
136
. Обчисли площу поверхні правильної чотирикут- ної призми, якщо сторона квадрата (основи) дорівнює
4 см, а висота призми — 11 см.
Потрібно знати
конус (від грец. — «шишка») — це тіло, яке отримали, обертаючи прямокутний трикутник навколо однієї із перпендику- лярних сторін.
На рисунку зображено конус, утворений обертанням трикутника АВС навколо сторони АВ, яка перпендикулярна до
ВС, де:
A — вершина конуса;
AB — висота;
В — центр круга.
Круг радіуса BC — основа конуса.
Розгортка конуса має такий вигляд:
A
C
B
C
r
A
B
C

71
f
137
. Розгадай ребус.
і = у
____________________________
f
138
. Познач вершину конуса буквою D, бічну поверхню —
DC і DK, висоту — DO, раді- ус основи — OC.
y
Покажи елементи конуса різними кольорами.
f
139
. Дорисуй подані конуси, щоб вони стали конусо- подібними предметами. Наприклад:
f
140
. Поєднай стрілочками тіла з їхніми назвами.
призма конус куб прямокутний піраміда паралелепіпед

72
f
141
. Накресли фігуру, симетричну поданій відносно осі симетрії. Обчисли площу зображеної фігури. Яке це тіло?
Потрібно знати
Циліндр (від грец. «каток»,
«валик») — це тіло, яке утво- рено шляхом обертання пря- мокутника навколо однієї із його сторін.
Уяви прямокутник ABCD, який обертається навколо сторони
AB. Коли цей прямокутник зробить повний оберт, то
A
A
D
C
B
B
C
D

73
отримаємо циліндр — його бічну поверхню. Основи циліндра — це два круги, розміщені у паралельних площинах і перпендикулярні до його бічної поверхні.
Відстань між основами — це висота AD, DC і AB — радіуси основ.
Олівці круглої форми, колоди, труби мають циліндричну форму. f
142
. Нарисуй предмети, які мають форму циліндра.
Наприклад:
f
143
. Накресли таку саму розгортку, як подано ниж- че, на кольоровому папері, виріж усі деталі, виготов циліндр. Покажи всі елементи (смужка і зубчики на прямокутнику подані для зручності склеювання). Роз- міри подані в мм.

74
f
144
. На зображеному циліндрі наведи основи синім кольором, бічну поверхню — зеленим, а висоту — червоним.
f
145
. Розгадай ребус.
Т = НД
____________________________
f
146
. Постав номер фігури біля її назви.
Куб
, піраміда
, прямокутний паралелепіпед
, циліндр
, призма
, конус
1 2 3 4 5 6

75
Потрібно знати
куля — тіло, яке утворилося шляхом обертання напівкруга навколо його діа- метра.
Усі точки поверхні кулі однаково від- далені від однієї точки — центра кулі.
Пряма, що з’єднує центр кулі з будь- якою точкою її поверхні, це радіус кулі.
Пряму, що з’єднує дві точки його поверхні і проходить через центр кола, називають діаметром.
сфера (від. грец. «м’яч») є поверхнею кулі. Як межею круга є коло, так і межею кулі є сфера. Усі точки сфери однаково віддалені від
її центра.
На рисунку О — центр кулі, ОВ, ОА — радіус кулі, АВ — діаметр кулі.
f
147
. Розгадай ребуси.
Х=Ф М=Р
______________________________________________________
f
148
. Нарисуй предмети, які мають форму кулі.
Наприклад:
A
O
B

76
f
149
. Накресли кулю радіусом 3 см. Червоним кольо- ром покажи центр, жовтим — діаметр.
f
150
. Підпиши назви геометричних тіл. Поясни, як відрізнити кулю від сфери.
______________________________________________________
f
151
. Скільки ребер має прямокутний паралелепіпед?
y
Скільки граней має конус? y
Скільки вершин має куб? y
Скільки ребер має куля? y
Яке тіло в основі має круг? __________________
y
Яке тіло в протилежних площинах (основах) має круги? ____________________________________

77
y
Яке тіло не має ні ребер, ні вершин, ні граней? __
___________________________________________
y
Яке тіло в паралельних площинах (основах) має
n-многокутники? ____________________________
y
Чому для того, щоб знайти площу поверхні куба, треба S
□
· 6 ?
y
Скільки граней куба є квадратами? f
152
. З яких геометричних тіл складено кожний ри- сунок? Однакові тіла розфарбуй однаковим кольором.

78
Потрібно знати
На уроках геометрії у старших класах ти, звісно, будеш докладніше вивчати об’єми і площі поверхонь геометричних тіл. Але якщо тобі зараз уже хочеться дізнатися нові формули, розглянь, із дорослими таблицю. Буде чудово, якщо таблиця стане тобі в пригоді під час твоїх геометричних досліджень.
тіло
S — повна поверхня
V — об’єм тіла
Куб
6a
2
a
3
(а — ребро)
Прямокутний паралелепіпед
2 (a · b + b · c = a · c)
(а, b — сторони основи, с — бічне ребро)
a · b · c
(а — довжина,
b — ширина,
с — висота)
Призма
2 · S
o
+ P · h
(S
o
— площа основи,
P — периметр основи,
h — висота)
S
o
· h
Піраміда
S
б
+
S
о
(S
б
— площа бічної поверхні,
S
о
— площа основи)
1 3 S
о
· h

79
тіло
S — повна поверхня
V — об’єм тіла
Циліндр
S
б
+
S
о
, π = 3,14
(S
б
= 2π Rh ,
S
о
= 2π R
2
)
1 4 π d
2
· h
або
π R
2
· h
(площа основи, помножена на висоту)
Конус
S
б
+
S
о
(S
о
= 2π R
2
, S
б
= 2π Rl)
де R — радіус основи
l — довжина твірної
1 3 π R
2
· h
Куля
4π r
2
=π d
2
(r — радіус
d — діаметр)
4 3 π R
3
– π d
3
6
Сфера
4π r
2
=π d
2 1
3 S
(S — поверхня)
S = 4 SOR
(площа круга того самого радіуса, взята чотири рази)

80
С е р і я « В а р і а т и в н и й к у р с »
НЕСТЕРЕНКО ОлЕНА ВІТАлІїВНА
Елементи геометрії. Робочий зошит. 4 клас
Редактор: Юрченко Н. Ф.
Підп. до друку 30.05.2012. Формат 84 108/16. Папір офсет.
Гарн. Шкільна. Ум. друк. арк. 8,4. Зам. № 12-05/19-05.
ТОВ «Видавнича група “Основа”». 61001 м. Харків, вул. Плеханівська, 66.
Тел. (057) 717-99-30 e-mail: office@osnova.com.ua.
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 2911 від 25.07.2007 р.
© Нестеренко О. В., 2012
ISBN 978-617-00-1380-4
© ТОВ «Видавнича група “Основа“», 2013
УДК 37.015.31
ББК 74.200.5
Н56
Н56
нестеренко о. в.
Елементи геометрії. Робочий зошит. 4 клас — Х. : Вид. група «Основа»,
2013. — 80 с. — (Серія «Варіативний курс»).
ISBN 978-617-00-1380-4.
Робочий зошит складено за програмою курсу за вибором «Елементи геометрії» (автори
А. О. Седеревічене, л. І. Нивидома). Користуючись пропонованим робочим зошитом, діти вчи- тимуться розпізнавати геометричні фігури на малюнках, моделях, у навколишньому середовищі, набуватимуть елементарних графічних вмінь.
Робочий зошит стане в пригоді вчителям початкової школи, що працюють за різними програ- мами та підручниками. Пропонований курс може бути інтегровано у базові години з математики, його можна вести як самостійний курс або використати для проведення позакласних занять.
УДК 37.015.31
ББК 74.200.5