Ім'я файлу: індз.docx
Розширення: docx
Розмір: 106кб.
Дата: 11.05.2020
скачати
Пов'язані файли:
Задача.docx
Курсова ФХ.docx

Зміст


Зміст 2

Вступ 3

1.Пучки прямих на площині Лобачевського 4

2.Січні рівного нахилу 4

3.Криві сталої кривини 6

Висновки 11

Список використаної літератури 12

Вступ 3

1. Пучки прямих на площині Лобачевського 4

2. Січні рівного нахилу 4

3. Криві сталої кривини 6

Висновки 11

Список використаної літератури 12


Вступ


Микола Іванович Лобачевський народився 1 грудня 1792 р. в Нижньому Новгороді, в сім’ї дрібного чиновника.

З нової геометрії Лобачевський написав такі твори:

1. О началах геометрии (1829-1830рр.)

2. Воображаемая геометрия (1835 р.,на французькій мові в 1837р.)

3. Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам (1836 р.)

4. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных (1835-1838 рр.)

5. Геометрические исследования по теории параллельных (на нім. мові в 1840 р.)

6. Пангеометрия (1855 р.).

Лобачевський може бути прикладом, мабуть, найвеличнішої людини, і навіть якби він не написав ні одного рядка самостійних наукових досліджень, ми повинні були б згадувати про нього, як про визначного університетського діяча. Але в тому то справа, що ,Лобачевський, крім того, був ще геніальним вченим. Право на безсмертя в історії науки він ,без сумніву, завоював своїми геометричними працями.
  1. Пучки прямих на площині Лобачевського


На площині Евкліда є дві лінії – пряма і коло, характерною особливістю яких є те, що кожна з них може без деформації ковзати сама по собі. Такі криві називаються кривими сталої кривини. Факт існування лише двох кривих сталої кривини пов'язаний із тим, що на площині Евкліда можливі лише два випадки взаємного розміщення двох прямих: дві прямі або перетинаються в одній точці, або паралельні. Звідси і випливає існування лише двох видів пучків прямих:

  1. пучка прямих, що проходять через одну точку, яка називається центром пучка;

  2. пучка паралельних прямих.

Ортогональні траєкторії пучка збіжних прямих є колами, а орто­гональні траєкторії пучка паралельних прямих є прямі.

На площині Лобачевського дві прямі можуть або перетинатись, або бути паралельними в деякому напрямі, або розбіжними. Тому на площині Лобачевського існує три види пучків прямих:

    1. пучок прямих, що перетинаються в одній точці, яка називається центром пучка. Такий пучок називається еліптичним;

    2. пучок прямих, паралельних у заданому напрямі деякій прямій., що називається віссю пучка; такий пучок називається параболічним;

    3. пучок розбіжних прямих — це пучок прямих, які перпенди­кулярні до деякої прямої, що називається базою пучка; такий пучок називається гіперболічним.
  1. Січні рівного нахилу


Означення. Січною рівного нахилу до двох даних прямих нази­вається пряма, яка при перетині з даними утворює конгруентні внут­рішні односторонні кути.

Доведемо теорему, з якої випливає існування січних рівного нахилу.

Теорема 1. Нехай на площині заданий пучок орієнтованих пря­мих. Тоді для будь-якої пари прямих пучка через кожну точку однієї з них проходить січна рівного нахилу до обох прямих і до того ж одна.

Доведення. Розглянемо різні види пучків прямих.

      1. Нехай дві прямі а і b перетинаються в точці О (рис. 1), Січні рівного нахилу можна одержати, відкладаючи від точки О кон­груентні відрізки OA і ОВ на променях а і b. Тоді АВ - січна рівного нахилу.

      2. Нехай прямі а і b - розбіжні. Тоді вони мають єдиний спільний перпендикуляр CD, який і буде січною рівного нахилу (рис. 2). Відкладаючи [СА] [DB], [CA1] [DB1] і т.д., одержимо січні рівного нахилу АВ, A1B1 і т.д.



Рис. 1Рис. 2

3. Нехай прямі а іb - паралельні. Візьмемо на прямих а іb дві точки С і D і проведемо січну CD (рис. 3).

Проведемо бісектриси кутівC'CD іD'DC, які перетнуться в деякій точці О, яка лежить між прямими а і b. З точки О опустимо перпендикуляри OA, OB на прямі а іb.



Рис. 3
За властивістю бісектрис матимемо, що ОА=ОВ=ОЕ (ОЕ — перпендикуляр до CD). Доведемо, що АВ - січна рівного нахилу. Справді, трикутник ОАВ - рівнобедрений, огже, ОАВ OBA, а тому і САВ DBA.

Якщо одна січна рівного нахилу побудована, то щоби знайти січну рівного нахилу до двох прямих а, b, що проходить через точку А прямої а, потрібно на прямій відкласти відрізок [ВB1] [АА1], обидва в сторону паралельності або обидва в протилежному напрямі. Тоді A1B1 — січна рівного нахилу.

З єдиності побудов січної рівного нахилу в кожному випадку і випливає її єдиність.

Властивості:

  1. Якщо до орієнтованих прямих а іb проведені дві січні рівного нахилуАВ і A1B1 , тоAA1=BB1



Рис. 4 Рис. 5

2) Якщо на площині дані три пряміа, b, с, які належать одному пучку і проходять відповідно через точки А, В, С, і якщо А В - січна рівного нахилу доа іb, ВС - січна рівного нахилу доb і с, то АС є січна рівного нахилу доа і с (рис. 4).

  1. Якщо АВ - січна рівного нахилу до паралельних прямиха і b, то перпендикуляр до відрізка АВ у його середині паралельнийа іb в тому ж напрямі (рис. 5).
  1. Криві сталої кривини


Означення 1. Якщоа іb — дві прямі пучка і АВ - яка-набудь січна рівного нахилу, яка перетинаєаib в точках А і В. то ці точки нали­ваютьсявзаємно відповідними відносно пучка.

Візьмемо яку-небудь прямуа пучка і на ній довільну точку А. Тоді, проводячи через точку А січні рівного нахилу до всіх прямих пучка, ми на кожній прямій пучка знайдемо точку, відповідну точці А. Геометричне місце всіх таких точок визначить на площині деяку лінію. В залежності від того, якого виду пучок розглядаємо, ми одержимо різні лінії, побудовані вказаним вище способом.

Означення 2. Геометричне місце точок, відповідних деякій точці А, взятій на одній прямій пучка, називаєтьсяколом, орициклом або еквідистантою в залежності від того, чи буде даний пучок прямих відповідноеліптичним, параболічним чигіперболічним. Сама точка А також включається у відповідне геометричне місце.

Основні властивості

Теорема 1. Ніякі три точки кола, орицикла і еквідистанти, відмін­ної від прямої, не лежать на одній прямій.

Доведення. Припустимо, що три точки А, В, С, які належать колу або орициклу, лежать на одній прямій (рис. 6). За означенням цих кривих АВ, ВС, АС є січні рівного нахилу до відповідних пар прямих пучка АА, В В', СС.



Рис. 6Рис. 7

Тому Отже, , тобто всі три пряміАА, В В', ССперпен­дикулярні до АС. А це означає, що прямі АА, В В', СС’ – розбіжні прямі, що суперечить умові.

Припустимо тепер, що три точки А, В, С еквідистанти лежать на одній прямій (рис. 7). Нехай DF - база гіперболічного пучка. Як і в попередньому випадку, покажемо, що

Але тоді чотирикутники Саккері ABED, BCFE мають всі кути прямі, що неможливо.

Теорема доведена.

Для гіперболічного пучка база DF є січна рівного нахилу. Щоби побудувати січну рівного нахилу, що проходить через точку А, від­носно прямих пучка, потрібно від бази відкладати однакові відрізки. Звідси бачимо, щоеквідистанта — геометричне місце точок, рівно- віддалених від прямої (бази пучка).

Таким чином, у геометрії Лобачевського геометричне місце то­чок, рівновіддалених від даної прямої є крива - еквідистанта.

Довжина h перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки екві­дистанти на її базу, називається висотою еквідистанти. Пряму, як частковий випадок еквідистанти, можна розглядати як еквідистанту з висотою h=0.

Теорема 2. Нехай для даного пучка, в залежності від його виду, побудоване або коло, або орицикл, або еквідистанта. Тоді кожна пряма пучка є нормаллю до відповідної кривої.

Доведення. Для кола теорема очевидна. Розглянемо випадки ори- цикла й еквідистанти. Будемо проводити доведення одночасно для двох кривих. Нехай А - довільна точка орицикла (рис. 8) або екві­дистанти (рис. 9), яка лежить на прямійа параболічного або відпо­відно гіперболічного пучка.



Рис. 8Рис. 9

Нехай t - пряма, яка проходить через точку А перпендикулярно до а. Візьмемо довільну точку В кривої і проведемо хорду АВ, що є січною рівного нахилу до а і прямоїb пучка, яка проходить через точку В. Через середину хорди АВ проведемо перпендикуляр с до цієї хорди. У випадку орицикла , тому кут а між хордою АВ і прямими а іb є кут паралельності, який відповідає відрізку

У випадку еквідистанти, відмінної від прямої, кути при січній рівного нахилу гострі, як кути при верхній основі чотирикутника Саккері , тобто Але оскільки а іb- розбіжні прямі, то Отже, для обох кривих маємо



причому для орицикла



для еквідистанти



Зі співвідношення (1) випливає, що всі точки В обох кривих відмінні від А, лежать по один бік від прямої t.

Нехай точка В необмежено наближається до А. Тоді АВ—>0 і зі співвідношень (2), (3) одержимо



А це означає, що перпендикуляр t є граничне положення січної АЕ і при необмеженому наближенні точки В до точки А, тобто t - дотична до кривої в точці А. А тому пряма а пучка є нормаль кривої. Отже, коло, орицикл, еквідистанта є ортогональними траєкторіями відповідних пучків.

Теорема доведена.

Своєрідні властивості має орицикл.

      1. Орицикл симетричний відносно будь-якої своєї нормалі. Тому нормалі орицикла називаються його осями.

      2. Всі орицикли конгруентні між собою. Звідси випливає, що орицикл може ковзати сам по собі без деформації, подібно до тою, як це має місце для прямої і кола.

Таку властивість має і еквідистанта.

Таким чином, в геометрії Лобачевського є чотири типи ліній сталої кривини: пряма, коло, орицикл і еквідистанта.

Висновки



1. Лобачевський довів, що V постулат Евкліда не залежить від інших аксіом, а тому є твердженням, яке не може бути доведене за допомогою їх.

Значення геометрії Лобачевського не зводиться лише до доведення незалежності V-ого постулату. Значно важливішим результатом є доведення Лобачевським того, що геометрія Евкліда не є єдино можливою, а тільки однією з можливих.

Цей факт був першим в історії геометрії видатним досягненням, який зламав догми евклідової системи. Лобачевський поклав початок створення нових неевклідових геометрій.

2. Ідеї Лобачевського послужили джерелом розвитку важливих ідей сучасної математики. Передусім вони лягли в основу розвитку сучасного вчення про основи геометрії і привели до розробки повної системи аксіом геометрії і сучасного аксіоматичного методу в геометрії, який потім поширився в інших галузях математики.

Досить важливим результатом ідей Лобачевського є розвиток нових неевклідових геометрій. Математики поряд з тривимірним евклідовим простором і простором Лобачевського вивчають афінний, проективний простір, різні n-вимірні, ріманові, топологічні простори і т.д., кожен з яких має свою аксіоматику, свою «геометрію».

Геометрія Лобачевського була поворотним пунктом від геометрії Евкліда, яка ще оперувала наочними образами, до сучасної геометрії узагальнених просторів, яка увібрала в себе ідеї алгебри, аналізу, інших розділів математики.

3. Важко переоцінити вплив ідей Лобачевського і на теоретичну фізику.

Досить сказати, що гіпотеза Лобачевського про можливу неевклідовість реального простору знайшла своє втілення в створеній А. Ейнштейном теорії відносності.

Список використаної літератури


1. Трайнин Я. Л. Основания геометрии. – М: Учпедгиз 1972, гл. 2, §§7–8.

2. Смогоржевський О. С. Основи геом. – К: Рад. школа, 1947, р. 2, §1-2.

3. Боровик В. Н., Яковець В. П. Курс вищої геометрії: навч. посіб. -Суми: ВТД «Унів. кн.», 2004, р. 2, §14-15 С. 46-51.

4. Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского: Кн. для учахщихся. - М.: Просвещение, 2001, ч. І, гл. IV С. 82-107.


скачати

© Усі права захищені
написати до нас