![]() | 1 2 3 4 5 6 7 1.Предмет теорії ймовірності.Класифікація подійПредмет теорії ймовірностей– вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.Математична наука, яка вивчає загальні закономірності випадкових явищ, незалежно від їх конкретної природи і дає методи кількісної оцінки впливу випадкових факторів на різні явища,називається теорієюймовірностей.Класифікаціяподій:Подія А називається достовірною, якщо вона обов’язково відбудеться при заданих умовах і неможливою, якщо вона при цих умовах відбутися не може.Подія А, яка може відбутися або не відбутися в одному випробуванні, називається випадковою.Події А1, А2, А3, ..., Аn називаються рівноможливими, якщо при виконанні комплексу умов, кожна з них має однакову можливість відбутися.Події А1, А2, А3, ..., Аn називаються сумісними, якщо поява однієї із них не виключає можливості появи інших, або відбуваються одночасно.Приклад № 1: 1) А – поява трьох очок при підкиданні грального кубика; В – поява непарної кількості очок при підкиданні грального кубика; 2) постріл по мішені із 3-х гармат – влучення кожної з них не виключає можливість влучення іншої. Вони можуть влучити всі три одночасно при одному пострілі.Події А і В називаються несумісними, якщо вони не можуть відбутися разом (одночасно) в одному випробуванні. (П-д: підкидання монети – якщо випав герб, то решка вже в одному випробуванні з’явитися не може).Якщо в одному випробуванні обов’язково відбудеться одна із несумісних подій A1,..., An, то ці події утворюють повну групу подій. Дві події, які утворюють повну групу, називаються протилежними. Подію, протилежну до події А, позначають A (чит. „не А”). 2.Класичне означення ймовірності.Відносна частота………………………..Відношення числа m елементарних подій, які сприяють події А, до загальної кількості n подій простору називається ймовірністю випадкової події А і позначається Р(А), тобто ![]() ![]() ![]() 3. Статистичне означення ймовірності.Практично неможливі подіїНехай n – кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, а m – кількість тих випробувань, у яких відбулася подія А.Статистичною ймовірністю події А називається границя, до якої наближається відносна частота ![]() ![]() 4.Теорема додавання ймовірності несумисних подій……Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5.Теорема додавання ймовірностей сумісних подій……Розглянемо питання про ймовірність суми сумісних подій.Нагадаємо, що дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої події в одному і тому ж випробуванні.Має місце така теорема про ймовірність суми сумісних подій.Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи.Дійсно, подію ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6.Теорема множення ймовірностей незалежних подій………Означення: подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулась чи ні подія В.Теорема: Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто Р(АВ) = Р(А) Р(В).Наслідок.Твердження справджується і для подій. Тобто, якщо події Аі , де , попарно незалежні та здійснення довільної кількості із них не змінює ймовірності здійснення інших, то . 7.Умовна ймовірності.Теорема множення ймовірностей залежних подій……..Умовна ймовірність.Означення ймовірності події ґрунтується на припущенні про існування деякого незмінного комплексу умов S. Якщо жодних інших обмежень, крім умов S, під час обчислення ймовірності Р(А) не накладається, то таку ймовірність називають безумовною. Однак часто доводиться розглядати ймовірності випадкових подій із додатковою умовою, що відбулася деяка подія В, яка має додатну ймовірність. Такі ймовірності будемо називати умовними і позначати P(A B) або Р(А / В), або P (A) B – це означає ймовірність події А за умови, що подія В відбулася. Пояснимо спочатку на прикладі суть умовної ймовірності та пов’язані з нею питання. Теорема множення ймовірностей залежних подій.Означення. Умовною ймовірністю ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 8.Формула повної ймовірності та формула БейссаНехай подія А може відбутись тільки разом з однією із попарно несумісних подій ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() З теореми множення ймовірностей ![]() ![]() Одержана формула (1.1) називається формулою повної імовірності. Після цього нас цікавить питання про те, як зміняться ймовірності гіпотез , і= 1, 2…, n, якщо подія А відбулась. Тобто, як обчислити ![]() ![]() ![]() Ця формула називається формулою Байєса. 9.Повторні випробування .Формула Бернуллі…….Коли виконуються послідовні випробування, то за результатом кожного з них може відбутися або не відбутися деяка подія A.Нехай проводиться п випробувань (одноразових експериментів), причому ймовірність настання події А у кожному випробуванні Р(А) = р і не залежить від результатів інших випробувань. Такі випробування називаються незалежними. Оскільки ймовірність настання події А в одному випробуванні дорівнює p, то ймовірність її ненастання Р(Ặ) = 1 - р = q.Знайдемо ймовірність того, що при п випробуваннях подія А настане рівно k разів (0<k<п). Виконавши п послідовних випробувань, матимемо різні комбінації результатів. Ті комбінації результатів, в яких подія відбудеться к разів, називатимемо сприятливими.Визначимо ймовірність Р однієї сприятливої комбінації. Сприятливою комбінацією є добуток п незалежних у сукупності подій: k появ події Ặ і п - k появ події Ặ. Отже, за теоремою про ймовірність добутку подій, незалежних у сукупності, дістанемо, що ймовірність однієї сприятливої комбінації дорівнює ![]() ![]()
1 2 3 4 5 6 7 |