Ім'я файлу: 41, 42.docx
Розширення: docx
Розмір: 19кб.
Дата: 30.05.2021
скачати

1) Модель Пуанкаре.

У моделі Пуанкаре на евклідової площини E фіксується горизонтальна пряма x. Вона носить назву «абсолюту». Точками площині Лобачевського вважаються точки площини E, що лежать вище абсолюту x. Таким чином, в моделі Пуанкаре площину Лобачевського - це полуплоскость L, що лежить вище абсолюту.

Прямими площині L вважаються півкола з центрами на абсолюті або промені з вершинами на абсолюті і перпендикулярні йому.

Ф ігура на площині Лобачевского - це фігура напівплощини L. Належність точки фігурі розуміється так само, як і на евклідової площини E. При цьому відрізком площині L вважається дуга кола з центром на абсолюті або відрізок прямої, перпендикулярної абсолюту (рис. 1). Точка K лежить між точками C і D, означає, що K належить дузі CD. В умовах нашої моделі це еквівалентно тому, що K 'лежить між C' і D ', де C', K 'і D' - проекції точок C, K і D відповідно на абсолют. Щоб ввести поняття рівності неевклідових відрізків в моделі Пуанкаре, визначають неевклидова руху в цій моделі. Неевклідових рухом називається перетворення L, яке є композицією кінцевого числа інверсій з центрами на абсолюті і осьових симетрій площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту. Інверсії з центром на абсолюті і осьові симетрії

Рисунок 1 площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту, називають неевклідових симетріями. Два неевклідових відрізки називають рівними, якщо один з них неевклідових рухом можна перевести в другій.

2) Модель Клейна.

За площину приймається будь-якої коло (рис. 2.1), за точки - точки належать цьому колі, за прямі - хорди - звичайно, з виключенням решт, оскільки розглядається тільки внутрішність круга. За переміщення приймаються перетворення кола, що переводять його в себе і хорди - в хорди. Відповідно, "конгруентними" називаються фігури, перекладні один в одного такими перетвореннями.



Рисунок 2

Очевидно, що в межах певної частини площині (кола), як би ця частина не була велика, можна провести через дану точку С безліч прямих, не перетинають даної прямої. Всередині кола будь-якого кінцевого радіуса існує безліч прямих (тобто хорд), що проходять через т. С і не зустрічаючих прямий АВ (рис.2.2). Будь-яка теорема планіметрії Лобачевского є в цій моделі теоремою геометрії Евкліда і, назад, всяка теорема геометрії Евкліда, що говорить про фігури всередині даного кола, є теоремою геометрії Лобачевського. Це загальне твердження доводиться перевіркою справедливості в моделі аксіом геометрії Лобачевського. Тому, якщо в геометрії Лобачевського є протиріччя, то це ж протиріччя є і в геометрії Евкліда.

Далі, всяка теорема геометрії Лобачевського описує в моделі Клейна деякі факти, що мають місце всередині кола. Саме факти, якщо ми беремо не абстрактний коло, а реальний коло і реальні хорди і інтерпрітіруем теореми як твердження про ці реальні речі, взяті, звичайно, з тією точністю, яка доступна для наших побудов. Таким чином, геометрія Лобачевського в моделі Клейна має цілком реальний сенс з тією точністю, з якою взагалі має сенс геометрія в застосуванні до реальних тіл.
скачати

© Усі права захищені
написати до нас