□ За правилом Непера 3

50 71 2572222 2
A
,
ε
− =
o
;
0 9469706 2
sin A
,
ε


−
=




;
29 8779462 2
B
,
ε
− =
o
;
0 4981540 2
sin B
,
ε


−
=




;
60 1219906 2
C
,
ε
− =
o
;
0 8670880 2
sin C
,
ε


−
=




;
0 8863134
N
,
=
;
41 551000 41 33 04
m
R
'
''
=
=
o o
Відповідь:
37 29 08
'
''
ε
=
o
;
101 21 45
p
'
''
=
o
;
20 00 33
m
r
'
''
=
o
;
41 33 04
m
R
'
''
=
o
3) Знаходимо площу
F
сферичного трикутника в км
2
:
2
F
R
ε
=
⋅
;
0 6542464
,
ε
=
;
6 26 55 10
F
,
=
⋅
км
2
. ■
Приклад 6б. Дано катети
150 52 40
b
'
''
=
o
і
114 15 54
c
'
''
=
o прямокутного сферичного трикутника
ABC
. Знайти:
a
,
B
,
C
□ За правилом Непера (3.3
'
) та (3.3
''
) одержуємо формули для розв’язання трикутника:
– для визначення
a
:
(
) (
)
90 90
cos a
sin
b
sin
c
=
− ⋅
−
o o
;
– для визначення
B
:
(
)
(
)
90 90
cos
c
ctgBctg
b
− =
−
o o
;
– для визначення
C
:
(
)
(
)
90 90
− =
−
o o
cos
b
ctgCctg
c
Звідси:
cos a
cos b cos c
=
;
tgb
tgB
sin c
=
;
=
tgc
tgC
sin b
Шукані величини визначаються за косинусом і тангенсами.
Отже, задача завжди має і при тому єдиний розв’язок.
Для контролю обчислень візьмемо формулу:
cos a
ctgB ctgC
=
⋅
Дано:
150 52 40 150 8777778
b
'
''
,
=
=
o o
;
114 15 54 114 265
c
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
0 8735835
cos b
,
=
;
0 4109575
cos c
,
= −
;
0 4866742
sin b
,
=
;
0 9116545
sin c
,
=
;

51 0 5571010
tgb
,
=
;
2 2183666
tgc
,
= −
Обчислення невідомих:
(
)(
)
0 8735835 0 4109575 0 3590057
cos a
,
,
,
= −
−
=
;
68 9608553 68 57 39
a
,
'
''
=
=
o o
;
0 5571010 0 6110879 0 9116545
,
tgB
,
,
−
=
= −
;
148 5801337 148 34 48
B
,
'
''
=
=
o o
;
2 2183666 4 558217 0 48667212
,
tgC
,
,
−
=
= −
;
102 3737509 102 22 25
C
,
'
''
=
=
o o
Контроль обчислень:
(
) (
)
1 1
0 3590057 0 3590057 0 6110879 4 558217
,
,
,
,
=
⋅
=
−
−
Контроль зійшовся.
Відповідь:
68 57 39
a
'
''
=
o
;
148 34 48
B
'
''
=
o
;
102 22 25
C
'
''
=
o
. ■
Приклад 6в. Дано гіпотенузу
110 46 20
a
'
''
=
o та прилеглий до неї кут
153 58 28
C
'
''
=
o прямокутного сферичного трикутника
ABC
. Знайти:
b
,
c
,
B
□ На основі правила Непера (3.3
'
) та (3.3
''
) запишемо формули:
– для визначення
b
:
(
)
90
cos C
ctga ctg
b
=
⋅
−
o
;
cos C
ctga tgb
=
⋅
;
–для визначення
c
:
(
)
90
cos
c
sin a sin C
− =
⋅
o
;
sin c
sin a sin C
=
⋅
;
– для визначення
B
:
cos a
ctgBctgC
=
Для розв’язання трикутника маємо три формули:
1.
tgb
tga cos C
=
; 2.
sin c
sin a sin C
=
⋅
; 3.
ctgB
cos a tgC
=
Для контролю обчислень візьмемо формулу:
(
)
(
)
90 90
cos
c
ctgBctg
b
− =
−
o o
,
sin c
ctgB tgb
=
⋅
Формула (2) визначає
c
за синусом. Величину для
c
з двох
її значень вибирають таку, щоб вона була в одній чверті з кутом
C
Формули (1) і (3) визначають
b
і
B
за тангенсами і дають для них

52
по одному значенню. Ці два елементи завжди знаходяться в одній чверті. Отже, трикутник завжди можливий і має єдиний розв’язок.
Дано:
110 46 20 110 7722222
a
'
''
,
=
=
o o
;
153 58 28 153 9744444
C
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
0 9349977
sin a
,
=
;
0 4387720
sin C
,
=
;
0 3546537
cos a
,
= −
;
0 8985984
cos C
,
= −
;
2 6363681
tga
,
= −
;
0 4882848
tgC
,
= −
Обчислення невідомих:
(
) (
)
2 6363681 0 8985984 2 3690362
tgb
,
,
,
= −
⋅ −
=
;
67 1147794 67 06 53
b
,
'
''
=
=
o o
;
0 9349977 0 4387720 0 4102508
sin c
,
,
,
=
⋅
=
;
24 2205913 24 13 14
c
,
'
''
=
=
o o
;
2 155 7794087 155 46 46
c
,
'
''
=
=
o o
В одній чверті з кутом
C
буде
2
c
, отже за розв’язок беремо
155 46 46
c
'
''
=
o
(
) (
)
0 3546537 0 4882848 0 1731720
ctgB
,
,
,
= −
⋅ −
=
;
80 1754098 80 10 31
B
,
'
''
=
=
o o
;
Контроль обчислень:
0 4102508 0 1731720 2 3690362 0 4102507
,
,
,
,
=
⋅
=
Контроль зійшовся.
Відповідь:
67 06 53
b
'
''
=
o
;
155 46 46
c
'
''
=
o
;
80 10 31
B
'
''
=
o
. ■
Приклад 6г. Дано катет
37 52 09
b
'
''
=
o та прилеглий до нього кут
45 34 35
C
'
''
=
o
. Знайти:
a
,
c
,
B
□ За правилом Непера (3.3
'
) і (3.3
''
) маємо такі співвідно- шення:
– для визначення
a
:
(
)
90
cos C
ctg
b ctga
=
−
o
,
=
cos C
tgbctga
;
– для визначення
c
:
(
)
(
)
90 90
cos
b
ctg
c ctgC
− =
−
o o
,

53
sin b
tgcctgC
=
;
– для визначення
B
:
(
)
90
cos B
sin
b sin C
=
−
o
,
cos B
cos b sin C
=
⋅
Звідси одержимо для визначення невідомих елементів на- ступні три формули:
1.
tgb
tga
cos C
=
; 2.
tgc
sin b tgC
=
⋅
; 3.
cos B
cos b sin C
=
⋅
Елементи
a
і
c
визначаються за тангенсами і мають по одному значенню. Кут
B
визначається за косинусом і теж має одне значення. Що стосується знаку косинуса
B
, то
cos B
має той же знак, що і косинус
b
. Отже трикутник завжди можливий і задача має єдиний розв’язок.
Для контролю обчислень візьмемо формулу:
tgc
cos B
ctga tgc
tga
=
⋅
=
Дано:
37 52 09 37 8691666
b
'
''
,
=
=
o o
;
45 34 35 45 5763888
C
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
0 6138605
sin b
,
=
;
0 7141843
sin C
,
=
;
0 7894145
cos b
,
=
;
0 6999577
cos C
,
=
;
0 7776148
tgb
,
=
;
1 0203249
tgC
,
=
Обчислення невідомих:
0 7776148 1 1109454 0 6999577
,
tga
,
,
=
=
;
48 0085387 48 00 31
a
,
'
''
=
=
o o
;
0 6138605 1 0203249 0 6263372
tgc
,
,
,
=
⋅
=
;
32 0604428 32 03 38
c
,
'
''
=
=
o o
;
0 7894145 0 7141843 0 5637874
cos B
,
,
,
=
⋅
=
;
55 6818686 55 40 55
B
,
'
''
=
=
o o
Контроль обчислень:
0 6263372 0 5637874 0 5637875 1 1109454
,
,
,
,
=
=
Контроль зійшовся.

54
Відповідь:
48 00 31
a
'
''
=
o
,
32 03 38
C
'
''
=
o
,
55 40 55
B
'
''
=
o
. ■
Приклад 6д. Дано кути:
80 10 32
B
'
''
=
o
;
154 58 28
C
'
''
=
o
Знайти:
b
,
c
,
a
□ Користуючись правилом Непера (3.3
'
) і (3.3
''
), маємо:
– для визначення
b
:
(
)
90
=
−
o
cos B
sin
b sin C
;
– для визначення
c
:
(
)
90
cos C
sin
c sin B
=
−
o
;
– для визначення
a
:
cos a
ctgBctgC
=
Звідси дістаємо для розв’язання трикутника наступні спів- відношення:
=
⋅
cos a
ctgB ctgC
;
=
cos B
cos b
sin C
;
cos C
cos c
sin B
=
Для контролю обчислень візьмемо сферичну формулу Пі- фагора:
cos a
cos b cos c
=
Розв’язок матиме одне значення, тому що всі елементи три- кутника визначаються за косинусами.
Трикутник можливий тільки тоді, коли сума даних кутів знаходиться між
90
o
і
270
o
, а різниця їх між
90
−
o
і
90
o
Насправді: уявимо для даного сферичного прямокутного трикутника полярний, у нього будуть сторони:
90
o
,
180
o
−
B
і
180
o
−
C
Зважаючи на те, що сума сторін сферичного трикутника повинна бути менша за
360
o
, а кожна з них менша за суму двох
інших, маємо чотири наступні нерівності:
1)
(
)
450 360
B C
−
+
<
o o
;
90
B C
< +
o
;
2)
(
)
90 360
B C
<
−
+
o o
;
270
B C
> +
o
;
3)
180 270
B
C
− <
−
o o
;
90
B C
−
< −
o
;
4)
180 270
C
B
− <
−
o o
;
90
B C
> −
o
Об’єднавши першу нерівність з другою, а третю з четвертою, одержимо:

55 90 270
B C
< + <
o o
; o
o
90 90
<
−
<
−
C
B
Дано:
80 10 32 80 1755556
B
'
''
,
=
=
o o
;
154 58 28 154 9744444
C
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
0 9853352
sin B
,
=
;
0 4230225
sin C
,
=
;
0 1706299
cos B
,
=
;
0 9061192
cos C
,
= −
;
5 7746926
tgB
,
=
;
0 4668508
tgC
,
= −
Обчислення невідомих:
1 0 3709309 5 7746926 0 4668508
cos a
,
,
,
−
=
= −
⋅
;
111 7730402 111 46 23
a
,
'
''
=
=
o o
;
0 1706299 0 40335894 0 4230225
,
cos b
,
,
=
=
;
66 2116955 66 12 42
b
,
'
''
=
=
o o
;
0 9061192 0 9196050 0 9853352
,
cos c
,
,
= −
= −
;
156 8684086 156 52 06
c
,
'
''
=
=
o o
Контроль обчислень:
(
)
0 3709309 0 40335894 0 9196050 0 3709490
,
,
,
,
−
=
⋅ −
= −
Контроль хороший.
Відповідь:
111 46 23
a
'
''
=
o
;
66 12 42
b
'
''
=
o
;
156 52 06
c
'
''
=
o
. ■
Приклад 6е. Дано катет
38 27 50
b
'
''
=
o
і протилежний йому кут
56 00 34
B
'
''
=
o
. Знайти:
a
,
c
,
C
□ За правилом Непера одержуємо:
– для визначення
a
:
(
)
90
cos
b
sin B sin a
− =
o
;
sin b
sin B sin a
=
;
– для визначення
c
:
(
)
(
)
90 90
cos
c
ctgBctg
b
− =
−
o o
;
sin c
ctgBtgb
=
;

56
– для визначення
C
:
(
)
90
cos B
sin
b sin C
=
−
o
;
cos B
cos b sin C
=
Звідси невідомі елементи визначають за наступними фор- мулами:
sin b
sin a
sin B
=
;
tgb
sin c
tgB
=
;
cos B
sin C
cos b
=
Для контролю обчислень візьмемо формулу з (3.3
'
):
(
)
90
cos
c
sin a sin C
− =
o
;
=
sin c
sin a sin C
Для існування трикутника необхідно, щоб
sin a
,
sin c
і
sin C
були додатні та менші одиниці. Тобто, щоб
b
та
B
були од- норідними – обидва або більші за
90
o
, або менші за
90
o
. Для вико- нання нерівності
1
sin a
<
, потрібно, щоб
sin b
був менше за
sin B
Виходячи з того, що
b
та
B
повинні знаходитись в одній чверті, то при
90
b
<
o повинно виконуватися
90
b
B
< <
o
, а при
90
b
>
o
– відповідно
90
B
b
< <
o
Якщо задача можлива, то дістанемо два розв’язки, тобто два сферичних трикутники. Сторони
1
a
,
1
c
і кут
1
C
першого трикут- ника будуть доповненнями відповідних сторін
2
a
,
2
c
і кута
2
C
другого трикутника до
180
o
. Ці трикутники матимуть спільний катет
b
, а протилежні цьому катету кути будуть рівні
B
Дано:
38 27 50 38 4638889
b
'
''
,
=
=
o o
;
56 00 34 56 0094444
B
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
0 6220213
sin b
,
=
;
0 8291297
sin B
,
=
;
0 7830003
cos b
,
=
;
0 5590562
cos B
,
=
;
0 7944074
tgb
,
=
;
1 4830882
tgB
,
=
Обчислення невідомих:
0 6220213 0 7502099 0 8291297
,
sin a
,
,
=
=
;
1 48 6085624 48 36 31
a
,
'
''
=
=
o o
;
2 131 3914376 131 23 29
a
,
'
''
=
=
o o
;

57 0 7944074 0 5356441 1 4830882
,
sin c
,
,
=
=
;
1 32 3876012 32 23 15
c
,
'
''
=
=
o o
;
2 147 6123988 147 36 45
c
,
'
''
=
=
o o
;
0 5590562 0 7139923 0 7830003
=
=
,
sin C
,
,
;
1 45 5606768 45 33 38
C
,
'
''
=
=
o o
;
2 134 4393232 134 26 22
C
,
'
''
=
=
o o
Контроль обчислень:
0 5356441 0 7502099 0 789923 0 5356441
,
,
,
,
=
⋅
=
Контроль зійшовся.
Відповідь 1:
Відповідь 2:
1 48 36 31
a
'
''
=
o
;
2 131 23 29
a
'
''
=
o
;
1 32 23 15
c
'
''
=
o
;
2 147 36 45
c
'
''
=
o
;
1 45 33 38
C
'
''
=
o
;
2 134 26 22
C
'
''
=
o
. ■
•