Наталія Карпушина
Батько мій, родом з Пізи, служив Сіндіка на митниці в Бужи, в Африці, куди він мене взяв з собою для вивчення мистецтва вважати. Дивовижне мистецтво вважати за допомогою тільки дев'яти індуських знаків мені так сподобалося, що я неодмінно захотів познайомитися з тим, що відомо про це мистецтво у Єгипті, Греції, Сирії, Сицилії і Провансі. Об'їхавши всі ці країни, я переконався, що індуська система числення є найдосконаліша ... Вивчивши грунтовно цю систему і всі до неї відноситься, додавши свої власні дослідження та почерпнуте з «Начал» Евкліда, я вирішив написати цей твір.
З передмови автора до трактату «Liber abaci»
Леонардо Пізанський (бл. 1180 ... 1240)
Книга-енциклопедія
У 1202 р. з'явилася на світ знаменита «Книга абака» Леонардо Пізанського (більш відомого під прізвиськом Фібоначчі - син Боначчі), найбільшого європейського математика епохи Середньовіччя. Цей об'ємна праця, що нараховує в друкованому варіанті 459 сторінок, став справжньою енциклопедією математичних знань того часу і зіграв важливу роль у їх поширенні в країнах Західної Європи в наступні кілька століть. Робота написана на латині і вважається першим твором такого роду, автор якого був християнином.
«Liber abaci», або трактат з арифметики (а саме так можна витлумачити назву, оскільки під «абаки» Леонардо розумів не лічильну дошку, а арифметику), відрізнялася повнотою охоплення і глибиною викладу. У ній докладно роз'яснювалися не тільки ази науки про числа і дії над ними, але й основи вчення про рівняннях, тобто алгебри. Крім того, в «Liber abaci» була велика кількість завдань практичного змісту, ілюстрованих різні прийоми рішення, як арифметичні - потрійне правило, правило товариства, метод помилкового положення і т.і., так і алгебраїчні, що приводять до одного або кількох рівнянь.
Саме виклад був словесним, позбавленим звичних для сучасного читача символів і формул, а рішення прикладів і завдань, що носили, як ми говоримо сьогодні, приватний характер, зводилося до опису дій, які слід було застосовувати у тій чи іншій конкретній ситуації, і нерідко супроводжувалося роз'ясненнями або корисними коментарями автора.
Книга була адресована не тільки вченим мужам, але і більш широкому колу читачів: купцям, рахівником, продавцям, чиновникам і т.д. У передмові зазначалося, що автор написав свою працю, щоб «рід латинян» не прибував більше в незнанні викладаються в ньому речей. Проте для багатьох з тих, кому призначалася «Liber abaci», книга виявилася важкувата, тому незважаючи на популярність і доопрацьоване автором видання * 1228, не отримала того широкого поширення, якого заслуговувала.
* До нас «Liber abaci» дійшла як раз у другому варіанті. Її перше друковане видання з'явилося на батьківщині математика, в Італії, в середині XIX ст. =
Зате трактат Леонардо долучив до досягнень індійських і арабських математиків європейських вчених і зробив істотний вплив на подальший розвиток алгебри та теорії чисел. «Liber abaci» була затребувана математиками епохи Відродження та Нового часу, що зуміли оцінити її по гідності, адже книга відрізнялася не тільки багатством і різноманітністю розглянутих в ній прикладів і методів, але і строгістю, доказовістю викладу.
Протягом декількох сторіч по праці Фібоначчі вчені знайомилися з двома найважливішими розділами математики - арифметикою і алгеброю і черпали з нього завдання і оригінальні методи вирішення, завдяки чому вже в XV-XVI ст. ті розійшлися по численних італійською, французькою, німецькою, англійською, а пізніше і російською рукописів, друкованим книгам і підручникам. Деякі завдання або їх аналоги можна виявити і в «Сумі арифметики» Пачіолі (1494), і в «Приємних і цікавих задач» Баше де Мізіріака (1612), і в «Арифметиці» Магницького (1703), і навіть у «Алгебрі» Ейлера (1768).
Заслуги і досягнення Леонардо Пізанського
Яке ж було утримання написаної Фібоначчі книги-енциклопедії, в якій нараховувалося цілих п'ятнадцять глав? Виявляється, в ній розглядалося досить велике коло питань:
індуська система нумерації;
правила дій над цілими числами;
дробу і змішані числа;
розкладання чисел на прості множники;
ознаки подільності;
вчення про ірраціональні величини;
способи наближеного обчислення квадратних і кубічних коренів;
властивості пропорції;
арифметична і геометрична прогресії;
лінійні рівняння та їх системи.
Нарешті, окрема глава була присвячена квадратних рівнянь і геометричним завданням на застосування теореми Піфагора.
Основну частину відомостей автор копітко збирав, подорожуючи різними країнами як купець, дещо почерпнув з праць Евкліда (а по суті - з спадщини античних математиків). Особливу цінність являло докладний виклад маловідомої тоді в Європі індуської (десяткового) системи числення і нових методів обчислення, які давали можливість помітно спростити всілякі розрахунки та успішно вирішувати велике коло завдань *.
* У своїй праці Леонардо згадав про різні нумерація, як відомих у нього на батьківщині, так і використовувалися в країнах Сходу, які він відвідав, і показав переваги індуської системи числення. А починався трактат так: «Дев'ять індуських знаків суть наступні: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. За допомогою цих знаків та знака 0, який називається по-арабськи «Сітрі», можна написати який завгодно число ».
Треба сказати, окремі випадки використання цієї системи зустрічалися і раніше. Зі Сходу її привозили паломники, вчені, купці, посланці і військові. Найбільш древній європейський манускрипт, в якому згадуються вигадані індусами цифри, належить ще до кінця X ст. Однак десяткова система числення дуже повільно проникала в західні країни і отримала там широке поширення лише в епоху Відродження.
Відзначимо також, що саме завдяки Фібоначчі європейці познайомилися з загальними правилами розв'язання квадратних рівнянь, описаними в трактаті аль-Хорезмі.
Але Леонардо Пізанський був не тільки автором-упорядником енциклопедії «Liber abaci». У ній математик відбив і результати власних наукових пошуків. Зокрема, в цій праці він вперше:
сформулював правило для знаходження суми членів довільної арифметичної прогресії;
розглянув поворотну послідовність, в якій кожне число, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх йому чисел;
ввів термін «приватне» для позначення результату ділення;
описав спосіб приведення дробів до спільного знаменника з допомогою знаходження найменшого спільного кратного знаменників (більш раціональний, ніж використовували арабські математики).
Крім того, Фібоначчі самостійно розробив ряд алгебраїчних прийомів вирішення завдань, досліджував деякі рівняння вищих ступенів, що зводяться до квадратних, і першим серед європейських учених підійшов до введення від'ємних чисел і їх тлумачення як боргу, що на ті часи було величезним досягненням.
Універсальний задачник
Чималу цінність «Liber abaci» надавало наявність в ній безлічі різноманітних завдань, одні з яких були запозичені з арабських та інших джерел, а інші придумані самим автором. Велику групу становили чисто арифметичні й алгебраїчні приклади: на виконання дій над числами, витяг коренів, рішення рівнянь або систем і т.д. В іншу групу входили сюжетні завдання (у тому числі пов'язані з життєвими ситуаціями): на змішання, визначення вартості або кількості купленого товару, розділ майна і різного роду фінансові розрахунки між людьми (завдання комерційної арифметики) і т.п.
Наприклад, до завдань на змішання ставилися два види завдань «на сплави»: на визначення проби сплаву, зробленого з інших сплавів відомого складу і кількості, і на з'ясування того, що кожного з даних сплаву буде потрібно, щоб одержати сплав потрібної проби. А однією з типових завдань комерційної арифметики було завдання на розділ деякої суми грошей пропорційно часткам учасників.
У трактат Фібоначчі ввійшли також текстові задачі на відтворення певної дії, наприклад знаходження числа за його частини. Ось одна з них. Четверта і третя частини дерева знаходяться під землею і складають 21 фут. Чому дорівнює довжина всього дерева?
Деякі з порушених у праці Леонардо питань в різний час привертали увагу вчених-математиків і не раз згадувалися в більш пізніх творах. Так сталося, зокрема, з популярною в середні століття завданням на відшукання найменшого набору різних гир, за допомогою якого можна врівноважити будь-який вантаж з целочисленной масою, не перевершує заданого числа.
Але найбільш відомою донині залишається, звичайно ж, завдання про розмноження кроликів, що вперше з'явилася саме в «Liber abaci». Питається, скільки пар кроликів народиться за рік від однієї пари, якщо кролики починають приносити потомство з другого місяця і кожна пара через місяць проводить на світ ще одну пару? Її рішення призвело Фібоначчі до відкриття чи ні самої знаменитої числової послідовності
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ,
названої згодом його ім'ям і породила безліч досліджень, особливо пов'язаних з вивченням властивостей золотої пропорції.
Знайомі завдання з трактату Фібоначчі
А тепер поговоримо детальніше про деякі арифметичних і алгебраїчних задачах з «Liber abaci», з якими повинні легко впоратися (на відміну від перших читачів книги Леонардо) і нинішні школярі. Завдання ці цікаві не тільки, а іноді і не стільки своїми рішеннями або конкретним математичним змістом. Багато в чому вони цікаві з історичної точки зору, оскільки мають свою біографію, витримали випробування часом, «прижилися» і благополучно дійшли до наших днів. До того ж, розглядаючи запропоновану кимось завдання, ніколи не буває зайве ознайомитися з чужим міркуванням і порівняти його з власним рішенням. Тим більше, коли читача і автора поділяють сторіччя, а то і тисячоліття!
Завдання 1. Знайти число, 19/20 якого рівні квадрату самого числа.
Відповідь: 19/20.
Коментар. Відповідь очевидна кожному, хто знайомий з поняттям квадрата числа. Вирішуючи завдання за допомогою квадратного рівняння 19/20 x = x2 ми отримаємо ще одне задовольняє умові завдання число - 0.
Автор же, очевидно, мав на увазі число, відмінне від нуля. Що взагалі-то не дивно. За часів Леонардо Пізанського нуль не визнавався за корінь рівняння, тобто за число. Втім, це не заважало деяким математикам і до, і після Фібоначчі виконувати найпростіші операції з нулем, який сприймався ними як символ, що позначав «ніщо».
Завдання 2. Хтось помістив пару кроликів в якомусь місці, обгородженому з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року. Природа кроликів така, що через місяць пара кроликів виробляє світ іншу пару, а народжуються кролики з другого місяця. Скільки пар кроликів буде через рік?
Відповідь: 377 пар.
Коментар. Навіть однієї цієї задачі вистачило б Фібоначчі, щоб залишити слід в історії науки. Саме у зв'язку з нею сьогодні найчастіше і згадується ім'я вченого. Вирішуючи задачу про розмноження кроликів, Леонардо описав нескінченну числову послідовність (an), будь-який член якої, починаючи з третього, виражається через попередні члени:
a1 = 1, a2 = 1, an +2 = an +1 + an, де n ≥ 1.
Для математиків вона є перш за все класичним прикладом рекурентної послідовності, елементи якої, числа Фібоначчі, володіють багатьма дуже цікавими і знайшли несподівані застосування властивостями. З них широко відомо наступне: границя відношення an +1 до an при необмеженому зростанні n спрямовується до знаменитого числу Ф ≈ 1,618, виражає божественну пропорцію.
Що ж стосується відповіді в задачі про кроликів, то (відповідно до зазначених у тексті умовами) він співпадає з 13-м членом побудованої Леонардо послідовності 1, 2, 3, 5, 8, ... - Числом 377. Тут кожне число, починаючи з другого, показують, скільки всього пар кроликів буде налічуватися до початку чергового місяця.
Зауважимо, що Фібоначчі розглядав своє завдання для дорослої пари кроликів (на це вказують слова «народжуються кролики з другого місяця»). Якщо ж вирішувати її для новонародженої пари, вийде послідовність (1); в такому випадку рівно через рік кількість тварин збільшиться до 233 пар особин *.
* Через півтора століття індійський математик нарайан розглядав схожу завдання: знайти число корів та телиць, що походять від однієї корови протягом 20 років, за умови, що корова на початку кожного року приносить телицю, а телиця, досягнувши трьох років, дає таке ж потомство в початку року. Якщо вирішувати завдання, складаючи рекурентне співвідношення, прийдемо до послідовності 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ... .
Завдання 3. Сім бабусь відправляються до Риму. У кожної по сім мулів, кожен мул несе по сім мішків, в кожному мішку по сім хлібів, в кожному хлібі по сім ножів, кожен ніж в семи піхвах. Скільки всього предметів?
Відповідь: 137 256 предметів.
Коментар. Перед нами добре відома, що зустрічається у різних народів завдання-жарт, як її часто називають історики математики, вважаючи, що в минулі часи вона була всього лише нехитрої забавою для учнів. Але ж ця висхідна ще до стародавнім єгиптянам завдання, вірніше її рішення, служить прекрасною наочною ілюстрацією побудови геометричної прогресії і знаходження суми перших n її членів за відомим перший члену і знаменника. І саме в такій якості її цілком можна використовувати у навчанні дітей математики.
Від аналогічної задачі з папірусу Рінда * завдання з трактату Фібоначчі по суті відрізняється лише тим, що в ній підсумовуються не п'ять, а шість чисел:
S6 = 7 + 72 + ... 76 = [7 · (76 - 1)] / 6 = 137256
* Нагадаємо її умова: «У семи осіб по семи кішок, кожна кішка з'їдає по семи мишей, кожна миша з'їдає по семи колосків ячменю, з кожного колоса може вирости по сім заходів зерна. Які великі числа цього ряду і як велика їх сума? »А ось для порівняння російський варіант завдання, розглянутої в книзі Леонардо:« Йшли сім старців, у кожного старця по сім милиць, на кожному милиці по сім сучків, на кожному сучку по сім Кошелев , в кожному кошіль по сім пирогів, в кожному пирозі по сім горобців. Скільки? »
Завдання 4. Вибрати п'ять гир так, щоб з їх допомогою можна було зважити будь-який вантаж масою від 1 до 30 цілих вагових одиниць. При зважуванні всі гирі дозволяється класти тільки на одну чашку ваг.
Відповідь: треба взяти гирі з масами 1, 2, 4, 8 і 16 вагових одиниць.
Коментар. Порушене у задачі питання рівносильний питання про подання натурального числа n ≤ 30 в вигляді суми не більше п'яти різних натуральних чисел з набору m1, ..., m5, що не перевершують n:
n = a1 · m1 + a2 · m2 + a3 · m3 + a4 · m4 + a5 · m5,
де кожен із множників a1, ..., a5 дорівнює 1 або 0 (гиря або кладеться на чашку ваг, або ні). Але тоді, природно перейти до двійковій системі числення:
n = a5 · 24 + a4 · 23 + a3 · 22 + a2 · 21 + a1 · 20.
Таким чином, в набір повинні входити гирі, маси яких виражаються числами 1, 2, 4, 8 і 16.
Хоча це завдання часто пов'язують з ім'ям французького математика і поета Баше де Мезіріаком *, вона зустрічається ще у Фібоначчі. Ймовірно, і той не сам її придумав. А справжнім автором цієї до недавнього часу актуальною практичного завдання міг бути який-небудь кмітливий торговець, якому частенько доводилося зважувати свій товар.
* Клод Гаспар Баше де Мезіріаком (1581 ... 1638) відомий, зокрема, як автор книг по цікавою математики. В одній з них і наведена завдання про оптимальну системі гир.
У «Liber abaci» містився також більш складний варіант розглянутої задачі. У ньому дозволяється класти гирі на обидві чашки ваг, а значить, треба буде думати не тільки про вибір гир, але і про те, куди і якій кількості їх додавати. Ясно, що в даному випадку кожне з чисел ai може приймати три різні значення (гиря додається або на вільну чашку ваг, або на чашку з вантажем або взагалі не використовується) і доводиться звертатися вже до трійкової системі числення. Вирішивши завдання для n ≤ 40, Леонардо отримав у відповіді набір гир масами 1, 3, 9 і 27 вагових одиниць.
Обидва варіанти завдання цікаві ще й тим, що знайдені числа є членами геометричних прогресій із знаменниками q = 2 і q = 3 відповідно. А до системи з п'яти гир, що згадується в задачі 4, можна прийти, розглядаючи нерівність
30 ≤ 1 + 2 + 22 + ... + 2m-1, або 30 ≤ 2m - 1.
Його найменше натуральне рішення m = 5.
Завдання 5. Якщо перша людина отримає від другого липня денаріїв, то стане в п'ять разів багатші другого, а якщо друга людина отримає від першого 5 денаріїв, то стане в сім разів багатший першого. Скільки грошей у кожного?
Відповідь: 7 2 / 17 і 9 14/17 денаріїв.
Коментар. Позначивши літерами x і y кількість грошей, наявних у першого і в другої людини, отримаємо систему
з якої знайдемо x = 7 2 / 17 і y = 9 14/17. Такий спосіб вирішення напрошується сам собою, оскільки в задачі йдеться про двох невідомих.
А ось Леонардо Пізанський у своїх міркуваннях обмежився однією невідомою, назвавши її за давно вкоріненою серед математиків традиції «річчю». Прийнявши майно другої людини за річ і сім денаріїв, тобто за (x + 7), він висловив майно першого як (5x - 7) та в подальшому прийшов до лінійного рівняння
x + 12 = 7 (5x - 12).
Принагідно зауважимо, що в трактаті Фібоначчі містяться аналогічні завдання і з більшим числом людей.
Завдання 6. 30 птахів коштують 30 монет. Куріпки стоять по 3 монети, голуби по 2, а пара горобців - по монеті. Скільки птахів кожного виду?
Відповідь: 3 куріпки, 5 голубів, 22 горобця.
Коментар. З-за великої кількості невідомих це завдання цілком логічно вирішувати алгебраїчно. Якщо число куріпок, голубів і горобців позначити буквами x, y, z відповідно, то рішення зведеться до знаходження трійки натуральних чисел, які відповідають системі рівнянь
Виключивши z і висловивши потім x через y, отримаємо x = 6 - 3 / 5 y. Єдине можливе значення y дорівнює 5, тоді x = 3, z = 22.
Цікаво, що це завдання автор «Liber abaci» розглядав як завдання на сплав гідності 1, який повинен вийти з трьох цілочисельних кількостей гідністю 3, 2 і 1 / 2. Це ж завдання, але з трохи зміненими числовими даними (вартість птиці різного виду виражається зворотними числами: 1 / 3, 1 / 2 і 2) розбиралася ще в одному творі Леонардо.
Завдання 7. Вирішити систему рівнянь
Відповідь: (15 - 5 √ 5; 5 √ 5 - 5).
Коментар. Насправді дана система є симетричною і має ні одне, як зазначив Фібоначчі, а два рішення, друге - (5 √ 5 - 5, 15 - 5 √ 5).
Але цікава завдання не тільки цим. У «Liber abaci» наведені різні способи її вирішення.
По-перше, «стандартний» в нашому розумінні: з допомогою підстановки y = 10 - x. Виключаємо y і зводимо задачу до вирішення квадратного рівняння
x2 + 100 √ 5 - 200 = 10x.
По-друге, за допомогою заміни. Нехай y / x = z, тоді x / y = √ 5 - z. Так як y / x · x / y = 1, приходимо до рівняння z (√ 5 - z) = 1, з якого визначаємо z. З іншого боку, y = 10 - x, z = (10 - x) / x, звідки легко знайти x, а потім вже обчислити y.
Ідея першого способу розв'язання виглядає, звичайно, прозоріше і звичніше, однак вирішувати їм систему технічно не простіше, ніж другим способом. А, як відомо, в подібних завданнях простота обчислень, особливо якщо ті пов'язані з корінням, грає не останню роль!
Випередив час
Як відзначають дослідники, «Liber abaci» не просто виділяється, а різко піднімається над середньовічної літературою з арифметики і алгебри. Перш за все завдяки фундаментальності викладу і різноманіттю розглянутих у ній методів і завдань. Рівень твори виявився настільки високий, що осилити і скористатися викладеними в ньому відомостями змогли головним чином вчені-математики, почасти сучасники Леонардо, і в ще великою мірою - представники наступних поколінь.
Фактично лише через три століття після виходу в світ «Liber abaci» стало помітно її вплив на роботи інших авторів. З появою праці Фібоначчі європейські вчені епохи Середньовіччя, колишні часто філософами-схоластами чи духовними особами, для кого математика не була основним заняттям, стали приділяти більше уваги алгебри та торкатися у своїх дослідженнях її нові питання. Однак перших серйозних результатів вдалося досягти тільки в епоху Відродження, до початку XVI століття, коли група італійських математиків (Сципіон дель Ферро, Нікколо Тарталья, Ієронім Кардано, Людовіко Феррарі) отримала загальне рішення кубічних рівнянь, поклавши тим самим початок вищої алгебри.
Виходить, що як учений Леонардо Пізанський не тільки перевершив, але і на багато десятиліть випередив західноєвропейських математиків свого часу. Подібно Піфагору, котрий привніс у грецьку науку знання, колись отримані від єгипетських і вавілонських жерців, Фібоначчі багато в чому сприяв передачі придбаних ним у молодості математичних знань індусів і арабів в західноєвропейську науку і заклав фундамент для її подальшого розвитку.