Операційне числення та деякі його застосування Нехай задана функція дійсного змінного t, яка задовольняє умовам: Функція f (t) кусково-безперервна (має кінцеве число точок розриву першого роду). Для будь-якого значення параметра t> 0 існує M> 0 і S0 ³ 0 такі, що виконується умова: | f (t) | <Me S0t Розглянемо функцію f (t) × e-pt, де р - комплексне число р = (а + ib). (1) Застосуємо до цього співвідношенню формулу Ейлера: Проінтегрувавши це рівність отримаємо: (2) Оцінимо ліву частину рівності (2): А відповідно до властивості (3) | f (t) | <Me S0t У разі якщо a> S0 маємо: Аналогічно можна довести, що існує і сходиться другий інтеграл в рівності (2). Таким чином при a> S0 інтеграл, що стоїть в лівій частині рівності (2) також існує і сходиться. Цей інтеграл визначає собою функцію від комплексного параметра р: (3) Функція F (p) називається зображенням функції f (t) по Лапласа, а функція f (t) по відношенню до F (p) називається оригіналом. f (t) Ü F (p), де F (p) - зображення функції f (t) по Лапласа. - Це оператор Лапласа. Сенс запровадження інтегральних перетворень. Цей зміст полягає в наступному: за допомогою переходу в область зображення вдається спростити вирішення багатьох завдань, зокрема звести завдання вирішення багатьох завдань диференціального, інтегрального і інтегро-диференціального рівняння до розв'язання алгебраїчних рівнянь. Теорема єдиності: якщо дві функції j (t) і Y (t) мають одне і те ж зображення F (p), то ці функції тотожно рівні. Сенс теореми: якщо при вирішенні завдання ми визначимо зображення шуканої функції, а потім по зображенню знайшли оригінал, то на підставі теореми єдиності можна стверджувати, що знайдена функція є рішенням в області оригіналу і причому єдиним. Зображення функцій s 0 (t), sin (t), cos (t). Визначення: називається одиничною функцією. Одинична функція задовольняє вимогам, які повинні бути накладені на функцію для існування зображення по Лапласа. Знайдемо це зображення: Зображення одиничної функції Міркуючи аналогічним чином одержимо зображення для функції sin (t): інтегруючи по частинах отримаємо: тобто Аналогічно можна довести, що cos (t) перетворюється на функцію в області перетворень. Звідки: Зображення функції зі зміненим масштабом незалежного змінного. де а - константа. Таким чином: і Властивості лінійності зображення. Теорема: зображення суми кількох функцій помножене на постійні дорівнюють сумі зображень цих функцій помножених на ті ж постійні. Якщо , То , Де Теорема зміщення: якщо функція F (p) це зображення f (t), то F (a + p) є зображенням функції e-at f (t) (4) Доказ: Застосуємо оператор Лапласа до лівої частини рівності (4) Що і потрібно було довести. Таблиця основних зображень: F (p) | f (t) | F (p) | f (p) | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Зображення похідних. Теорема. Якщо , То справедливо вираз: (1) Доказ: (2) (3) Підставляючи (3) в (2) та враховуючи третя умова існування функції Лапласа маємо: Що і потрібно було довести. Приклад: Розв'язати диференціальне рівняння: Якщо x (0) = 0 і x '(0) = 0 Припустимо, що x (t) - рішення в області оригіналів та , Де - Рішення в області зображень. Зображає рівняння: Теорема про інтегрування оригіналу. Нехай знаходиться в області оригіналів, , Тоді також оригінал, а його зображення . Таким чином операції інтегрування в області оригіналів відповідає операція поділу в області зображень. Теорема про інтегрування зображень: Нехай - Функція оригінал, яка має зображення і також оригінал, а - Є збіжним інтегралом, тоді . Тлумачення теореми: операція ділення на аргумент в області оригіналів відповідає операції інтегрування в межах від р до ¥ в області зображень. Поняття про згортку функцій. Теорема про згортку. Нехай задані дві функції a (t) і b (t), що задовольняють умовам існування зображення по Лапласа, тоді згорткою таких функцій називається наступна функція: (1) Згортка позначається наступним чином: (1 ') Рівності (1) і (1 ') ідентичні. Згортка функції підпорядковується переместительное законом. Доказ: Теорема про множенні зображень. Нехай і , Тоді твір зображень представляється згорткою оригіналів . Доказ: Хай зображення згортки (1) Інтеграл (1) являє собою повторний інтеграл відносно змінних t і t. Змінимо порядок інтегрування. Змінні t і t входять у вираз симетрично. Заміна змінної проводиться еквівалентно. Якщо в останньому інтегралі зробити заміну змінної, то після перетворень останній інтеграл перетвориться у функцію F2 (p). Операція множення двох функцій в просторі зображень відповідає операції згортки їх оригіналів у області оригіналів. Узагальненням теореми про згортку є теорема Ефроса. Теорема Ефроса. Нехай функція знаходиться в області оригіналів, , А Ф (р) і q (р) - аналітичні функції в області зображень, такі, що , Тоді . У практичних обчисленнях важливу роль відіграє наслідок з теореми про згортку, зв. інтеграл Дюамеля. Нехай всі умови теореми виконуються, тоді (2) Співвідношення (2) застосовується при вирішенні диференціальних рівнянь. Зворотне перетворення Лапласа. - Це пряме перетворення Лапласа. Зворотне перетворення є можливість отримати функцію-оригінал через відому функцію-зображення: , Де s - деяка константа. Користуватися формулою для оберненого перетворення можна при певному виді функції F (p), або для чисельного знаходження функції-оригіналу за відомим зображенню. Теореми розкладання. Відома методика розкладання дробово-раціональних функцій на суму елементарних дробів (1) - (4) може бути представлена у вигляді двох теорем розкладання. Перша теорема розкладу. Нехай F (p) - зображення деякої функції, тоді ця функція представляється у вигляді , K - постійна, може бути як завгодно великим числом, , То можливий почленно перехід у простір оригіналів за допомогою формули: . Друга теорема розкладу. Якщо зображення представляється д робно-раціональної функцією . Ступінь числа s менше ступеня знаменника n, знаменник має коріння a1, a2, ..., an відповідний кратності k1, k2, ..., kn, при цьому k1 + k2 + ... + kn = n. У цьому випадку оригінал функції визначається за формулою: (3) Наприклад: Зв'язок між перетвореннями Фур'є і Лапласа. Перетворення Лапласа має вигляд: (1) На f (t) накладені умови: f (t) визначена і неперервна на всьому інтервалі: (- ¥; ¥) f (t) º 0, t Î (- ¥; 0) При M, S0> 0, для всіх t> 0 виконується умова | f (t) | <Me S0t Якщо відмовитися від умов 2 і 3, і вважати, що f (t) приймає довільне значення при t <0, то замість (1) можна розглянути наступний інтеграл: (2) Формула (2) - двостороннє перетворення Лапласа. Нехай в (1) і (2) p = a + in, де a і n - дійсні числа. Припустимо, що Re (p) = a = 0, тобто (4) (5) і (5) відповідно односторонні і двосторонні перетворення Фур'є. Для існування перетворення Фур'є, функція має відповідати умовам: Повинна бути визначена на проміжку (- ¥; ¥), неперервна скрізь, за винятком кінцевого числа точок розриву першого роду. Будь-який кінцевий проміжок осі t можна розділити на кінцеве число проміжків, в кожному з яких функція або кусково-гладка, або кусково-монотонна. Функція абсолютно інтегровна: , Ця умова виконується, якщо | f (t) | <Me S0t З існування перетворення Лапласа не слід перетворення Фур'є. Перетворення Фур'є існують для більш вузького класу функцій. Перетворення Фур'є не існують для постійної і обмеженої функції: f (t) = C Аналогічно перетворення Фур'є не існують і для гармонійних функцій: тому що Якщо f (t) = 0 при t> 0 і перетворення для цієї функції існує, то воно може бути отримано з таблиці оригіналів і зображень для перетворення Лапласа шляхом заміни параметра t на iu, але при цьому необхідно переконатися, що F (p) не звертається до числа праворуч від уявної осі. Якщо f (t) ¹ 0, t <0 (6) Позначимо Очевидно, що (6 ') Функція (6) називається спектральною щільністю У зв'язку з викладеним можна вказати два шляхи відшукання спектральної щільності: Обчислення інтеграла (5) Використання перетворення Лапласа або Фур'є. Безпосереднє обчислення спектральної щільності для абсолютно інтегрованою функції. Функція F (iu) може бути представлена, як комплексна функція дійсної змінної (7) | F (iu) | - амплітудне значення спектральної щільності, y (u) - фазовий кут. У алгебраїчній формі: F (iu) = a (u) + ib (u) (8) (9) Для безпосереднього обчислення спектральної щільності обчислюється інтеграл (6), а потім за формулами (8) і (9) визначається амплітудне значення | F (iu) | і фазовий кут y (u). Приклад. Знайти спектральну щільність імпульсу: звідки , Далі Відшукування спектральної щільності для неабсолютно інтегровних функцій. Пряме перетворення Фур'є для таких функцій не існує, існує перетворення Лагранжа. Пряме перетворення Фур'є необхідно: Для полегшення процесу рішення диференціальних та інтегральних рівнянь. Для дослідження амплітудної та частотної характеристик спектральної щільності, визначеної всюди на числовій осі. Введемо таке визначення спектральної щільності для неабсолютно інтегровних функцій: Якщо для заданої функції y = f (t) існує безперервне зображення по Лапласа F (p), то спектральною щільністю функції називається зображення функції по Лапласа при p = iu. Спектральною щільністю F1 (iu) неабсолютно інтегровною функції називається границя від спектральної щільності F2 (iua) абсолютно інтегрованою функції. |