Ідея пропонованого увазі читача елементарного
докази Великої теореми Ферма виключно проста: після розкладання чисел a, b, c на пари доданків, потім угруповання з них двох сум
U 'і U''і множення рівності
a ^ n + b ^ n - c ^ n = 0 на
11 ^ n (тобто на
11 в ступені
n, а чисел
a, b, c на
11) (k +3)-я цифра в числі
a ^ n + b ^ n - c ^ n (де
k - число нулів на кінці числа
a + b - c) не дорівнює 0 (числа
U 'і U''множаться по-різному!). Для осягнення докази потрібно знати лише формулу бінома
Ньютона, найпростішу формулювання малої теореми Ферма (наводиться), визначення простого числа, складання двох-трьох чисел і множення двозначного числа на
11. Ось, мабуть, і ВСЕ! Найголовніше (і важкий) - не заплутатися в десятці цифр, позначених буквами. Формальний
опис історії теореми і
бібліографія в російській тексті опущені.
Доказ приводиться в редакції від 1 червня 2005 року (з урахуванням
дискусії на мехматовском сайті).
В.С.
Елементарне доказ Великої теореми Ферма
ВІКТОР СОРОКІН
ІНСТРУМЕНТАРІЙ: [У квадратних дужках наводиться пояснює, не обов'язкова інформація.]
Використані позначення: Всі числа записані в системі числення з простим
підставою n> 10. [Всі випадки зі складеним n, крім
n = 2 k (який зводиться до випадку
n = 4), зводяться до випадку
простого n за допомогою простої підстановки. Випадки n = 3, 5 і 7 тут не розглядаються.]
a k - K-а цифра від кінця в числі
a (a 1 - остання цифра).
[Приклад для a = 1043: 1043 =
1 x5
3 +
0 x5
2 +
4 x5
1 +
3 x5
0; a
1 =
3, a
2 =
4, a
3 =
0, a
4 =
1.] a
(k) - закінчення (число) з
k цифр числа
a (a (1) = a 1; 1043 (3) = 043). Скрізь у тексті
a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0. [Якщо всі три числа
a, b і
c закінчуються на нуль, слід розділити рівність 1 ° на
n n.] (A i n) 1 = a i і
(a i n - 1) 1 = 1 (див.
Малу теорему Ферма для
a i SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0). (0.1 °)
(N + 1) n = (10 + 1) n = 11 n = ... 101 (див.
Біном Ньютона для простого
n). Простий наслідок з бінома Ньютона і малої теореми Ферма для
s SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 1 [a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0]: якщо цифра
a s збільшується / зменшується на
0 <d <n, то цифра
a n s +1 збільшується / зменшується на
d (або
d + n, або
d - n). (0.2 °)
[У негативних числах
цифри вважаються негативними.]
*** (1 °) Припустимо, що
a n + b n - c n = 0. Випадок 1: (bc) 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0. (2 °) Нехай
u = a + b - c, де
u (k) = 0, u k +1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0, k> 0 [відомо, що в 1 °
u> 0 і
k> 0]. (3 °) Помножимо рівність 1 ° на число
d 1 n (див. § § 2 і 2a в Додатку) з метою перетворити
цифру
u k +1 в
5. Після цієї операції позначення чисел не змінюються
і рівність продовжує йти під тим же номером (1 °).
Очевидно, що і в новому рівність (1 °)
u = a + b - c, u (k) = 0, u k +1 = 5. (1 * °) І нехай
a * n + b * n - c * n = 0, де знаком "*" позначені записані в канонічному вигляді числа в рівності (1 °) після множення рівності (1 °) на
11 n. (4 °) Введемо у вказаній тут черговості наступні числа:
u, u '= a (k) + b (k) - c (k), u''= u - u '= (a - a (k)) + (b - b (k)) - (c - c (k)), v = (a k +2 + b k +2 - c k +2) 1, u * '= a * (k) + b * (k) - c * (k), u *''= u * - u * '= (a * - a * (k)) + (b * - b * (k)) - (c * - c * (k)), 11u', 11u ' ', v * = (a * k +2 + b * k +2 - c * k +2) 1, і обчислимо дві останні значущі цифри в цих числах:
(3a °)
u k +1 = (u 'k +1 + u''k +1) 1 = 5; (5 °)
u 'k +1 = (-1, 0 або
1) - так як -
n k <a' (k) <n k, -
N k <b '(k) <n k, -
N k <c '(k) <n k і числа
a, b, c мають різні знаки;
(6 °)
u''k +1 = (4, 5 або
6) (Див. 3a ° і 5 °)
[важливо: 1 <u''k +1 <N - 1]; (7 °)
u 'k +2 = 0 [завжди!] - Так як
\ u '\ <2 n k ;
(8 °)
u''k +2 = u k +2 [Завжди!];
(9 °)
u''k +2 = [V + (a k +1 + b k +1 - c k +1) 2] 1, де
(a k +1 + b k +1 - c k +1) 2 = (-1, 0 або
1 );
(10 °)
v = [u k +2 - (a (k +1) + b (k +1) - c (k +1)) k +2] 1 [де
(a (k +1) + b (k +1) - c (k +1)) k +2 =
(-1, 0 або
1)] =
=
[U k +2 - (-1, 0 або
1)] 1; (11 °)
u * k +1 = U k +1 = 5 - тому що
u * k +1 і
u k +1 - Останні значущі цифри в числах
u * і
u; (12 °)
u * 'k +1 = U 'k +1 - тому що
u *' k +1 і
u 'k +1 - Останні значущі цифри в числах
u * 'і u'; (13 °)
u *''k +1 = (u * k +1 - u * 'k +1) 1 = (3 - u *' k +1) 1 = (4, 5 або
6) [Важливо: 1 <u *''k +1 <n - 1]; (14 °)
(11 u ') k +2 =
(U 'k +2 +
u' k +1) 1 (потім - в результаті приведення чисел до канонічного виду -
величина
u 'k +1 «йде» в
u *''k +2, оскільки
u *' k +2 =
0); (14a °)
важливо: числа
(11 u ') (k +2) і
u * '(k +2) відрізняються тільки
k +2-ми цифрами, а саме:
u * 'k +2 =
0, але
(11 u') k +2 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0 у загальному випадку;
(15 °)
(11 u'') k +2 = (u''k +2 +
U''k +1) 1; (16 °)
u * k +2 = (u k +2 + u k +1) 1 = (u''k +2 + u k +1) 1 = (u''k +2 + 5) 1; (16а °) до відома:
u * 'k +2 = 0 (див. 7 °);
(17 °)
u *''k +2 = (u * k +2 +
1, u * k +2 або
u * k +2 -
1) 1 = (см. 9 °)
= (u''k + 2 + 4, u''k +2 + 5 або
u''k +2 + 6) 1; (18 °)
v * = [u * k +2 - (a * (k +1) + b * (k +1) - c * (k +1)) k +2] 1 [Де
u * k +2 = (u k +2 + u k +1) 1 (див. 16 °), а
(a * (k +1) + b * (k +1) - c * (k + 1)) k +2 =
(-1, 0 або
1) - див 10 °] =
=
[(U k +2 + u k +1) 1 - (-1, 0 або
1)] 1. (19 °) Введемо числа
U '= (a k +1) n + (b k +1) n - (c k +1) n, U''= (a n + b n - c n) - U' ,
U = U '+ U'', U * '= (a * k +1) n + (b * k +1) n - (c * k +1) n, U *''= (a * n + b * n - c * n) - U * ', U * = U *' + U *''; (19а °) до відома:
U '(k +1) = U *' (k +1) = 0. (20 °) Лема:
U (k +2) = U '(k +2) = U''(k +2) = U * (k +2) = U *' (k +2) = U * ' '(k +2) = 0 [завжди!].
Дійсно, з 1 ° ми маємо:
U = a n + b n - c n = = (A (k +1) + n k +1 a k +2 + n k +2 P a) n + (b (k +1) + n k +1 b k +2 + n k +2 P b ) n - (c (k +1) + n k +1 c k +2 + n k +2 P c) n = = (A (k +1) n + b (k +1) n - c (k +1) n) + n k +2 (a k +2 a (k +1) n - 1 + b k +2 b (k +1) n - 1 - c k +2 c (k +1) n - 1) + n k +3 P = = U '+ U''= 0, де
U '= a (k +1) n + b (k +1) n - c (k +1) n, (20a °)
U''= n k +2 (a k +2 a (k +1) n -1 + b k +2 b (k +1) n -1 - c k +2 c (k +1) n -1) + n k +3 P, де
(a k +2 a (k +1) n -1 + b k +2 b (k +1) n -1 - c k +2 c (k +1) n -1) 1 = (див. 0.1 °)
= (20b °)
= (a k +2 + b k +2 - c k +2) 1 = U''k +3 = v (див. 4 °).
(21 °) Слідство:
(U 'k +3 + U''k +3) 1 = (U *' k +3 + U *''k +3) 1 = 0. (22 °) Обчислимо цифру
(11 n U ') k +3: [Так як числа
(11 u ') (k +2) і
u * '(k +2) відрізняються тільки k +2- ми цифрами на величину
(11 u ') k +2), то на цю величину будуть відрізнятися і цифри
(11 n U') k +3 і
U * 'k +3, це означає,
що цифра
(11 n U ') k +3 буде на
(11 u ') k +2 перевищувати цифру
U *' k +3 (див. 0.2 °)]
(11 n U ') k +3 = U' k +3 = (U * 'k +3 + (11u') k +2) 1 = (U * 'k +3 + u' k +1) 1. (23 °) Звідки
U * 'k +3 = U' k +3 - u 'k +1. (24 °) Обчислимо цифру
U *'' k +3 :
U *''k +3 = v * =
(u k +2 + u k +1) 1 - (-1, 0 або
1) - див (18 °);
(25 °) Нарешті, обчислимо цифру
(U * 'k +3 + U *''k +3) 1: (U * 'k +3 + U *''k +3) 1 = (U *' k +3 + U *''k +3 - U 'k +3 - U''k +3) 1 = ( U * 'k +3 - U' k +3 + U *''k +3 - U''k +3) 1 = (См. 23 ° і 24 °) =
(- u 'k +1 + v *
- v) = (див. 18 ° і 10 °) =
=
(- U 'k +1 +
[u k +2 + u k +1 - (-1, 0 або
1)] - [u k +2 - (-1, 0 або
1)]) 1 = = (- U 'k +1 +
u k +1 + (-2, -1, 0, 1, або
2)) 1 = (див. 3a °) =
(U''k +1 + (-2, -1, 0, 1, або
2)) 1 = (див. 6 °) =
(2, 3, 4, 5, 6, 7 або
8) SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0, що
суперечить 21 °
і, отже, вираз 1 ° є
нерівність. Випадок 2 [доводиться аналогічно, але набагато
простіше]: b (Або
c) =
n t b ', де
b 1 = 0 і
b t +1 = b' 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0. (26 °) Введемо число
u = c - a> 0, де
u (nt - 1) = 0, а
u nt SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0 (див. § 1 у Додатку).
(27 °) Після множення рівності 1 ° на число
d 1 n (з метою перетворити цифру
u nt у
5) (Див. § § 2 і 2a в Додатку) позначення чисел зберігаються.
(28 °) Нехай:
u '= a (nt - 1) - c (nt - 1), u''= (a - a (nt - 1)) - (c - c (nt - 1)) (де, очевидно,
u''nt = (a nt - c nt) 1); U '= a (nt) n + b n - c (nt) n (де
U '(nt + 1) = 0 - див 1 ° і 26 °),
U''= (a n - a (nt) n) - (c n - c (nt) n), U * '= a * (nt) n + b * n - c * (nt) n (де
U * '(nt + 1) = 0), U *''= (a * n - a * (nt) n) - (c * n - c * (nt) n), v = a nt +1 - c nt +1. Обчислення, повністю аналогічні
розрахункам в разі 1, показують, що nt +2- я цифра в рівності Ферма не дорівнює нулю. Число
b в усіх
розрахунках (крім самої останньої операції і в п. 27 °) можна проігнорувати, оскільки
цифри b n nt +1 і
b n nt +2 при множенні рівності 1 ° на 11
n не змінюються (тому що 11
n (3) = 101).
Таким чином, для простих n> 7
теорема доведена. ==================
ДОДАТОК
§ 1. Якщо числа
a, b, c не мають спільних співмножників і
b 1 = (c - a) 1 = 0, тоді з числа
R = (c n - A n) / (c - a) = = C n -1 + c n -2 a + c n -3 a 2 + ... c 2 a n - 3 + ca n - 2 + a n - 1 = = (C n -1 + a n -1) + ca (c n -3 + a n -3) + ... + c (n -1) / 2 a (n -1) / 2 = = (C n -1 - 2c (n -1) / 2 a (n -1) / 2 + a n -1 + 2c (n -1) / 2 a (n -1) / 2) + ca (c n -3 - 2c (n -3) / 2 a (n -3) / 2 + a n -3 + 2c (n -3) / 2 a (n -3) / 2) + + ... + C (n -1) / 2 a (n -1) / 2 = (c - a) 2 P + nc (n -1) / 2 a (n -1) / 2 випливає, що:
c - a ділиться на
n 2, отже
R ділиться на
n і не ділиться на
n 2; так як
R> n, то число
R має простий співмножник
r не рівний
n; c - a не ділиться на
r; якщо
b =
N t b ', де
b' 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0, то число c - a ділиться на
n tn - 1 і не ділиться
n tn. § 2.
Лема. Всі n цифр
(a 1 d i) 1, де
d i = 0, 1, ... n - 1, різні.
Дійсно, припустивши, що
(a 1 d 1 *) 1 = (a 1 d 1 **) 1, ми знаходимо:
((d 1 * - d 1 **) a 1) 1 = 0. Звідки
d 1 * = d 1 **. Отже, безлічі цифр
a 1 (тут разом з
a 1 = 0) і
d 1 збігаються.
[Приклад для a 1 = 2: 0:
2 x0 =
0; 1:
2 x3 = 1
1, 2:
2 x1 =
2, 3:
2 x4 = 1
3; 4:
2 x2 =
4. При складеному n
Лемма несправедлива: у базі
10 і (2х2)
1 =
4, і (2х7)
1 =
4.] § 2a.
Слідство. Для будь-якої цифри a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0 Існує така цифра d i, що (a 1 d i) 1 = 1. [Приклад для a 1 = 1, 2, 3, 4: 1x
1 =
1; 2x
3 = 1
1; 3x
2 = 1
1; 4x
4 = 3
1.] ВІКТОР СОРОКІН
e - mail: victor.sorokine @ wanadoo.fr
4 листопада 2004, Франція
PS Доказ для випадків
n = 3, 5 , 7 аналогічно, але в (3 °) цифра
u k