[
Організація та утримання елективного курсу Основи теорії ймовірностей і математичної статистики
]
<div style="font-size:16px;text-align:justify;"> <div> <a href="Федералізм" title="Федералізм"> Федеральне</a> агентство з освіти <br /> <a href="Держава" title="Держава"> Державна</a> освітня установа вищої професійної освіти <br /> «Вятський державний гуманітарний університет» <br /> Фізико-математичний факультет <br /> Кафедра дидактики фізики і математики <br /> Випускна кваліфікаційна <a href="робота" title="робота">робота</a> <br /> <a href="Організація" title="Організація"> Організація</a> та утримання елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і <a href="Математика" title="Математика">математичної</a> статистики» в класах оборонно-спортивного профілю <br /> Виконав <br /> <a href="Студент" title="Студент"> студент</a> V курсу фізико-математичного факультету <br /> (Спеціальність 050201.65 <a href="Математика" title="Математика">Математика</a>) <br> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Селюнін Олександр Геннадійович</i> <br /> Науковий керівник: <br /> канд. пед. наук, ст. преп. кафедри <br /> <a href="Дидактика" title="Дидактика"> дидактики</a> фізики і математики <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Горєв Павло Михайлович</i> <br /> Рецензент: <br /> канд. пед. наук, доцент кафедри <br /> дидактики фізики і математики <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Шилова Зоя Вениаминовна</i> <br /> <a href="робота" title="робота"> Робота</a> допущена до захисту в державної атестаційної комісії <br /> «___»__________ 2008 Заст. зав. кафедройМ.В. Крутіхін <br /> «___»__________ 2008 Декан факультетаЕ.В. Кантор <br /> <a href="Кіров" title="Кіров"> Кіров</a>, 2008 <br /><br clear=all style=page-break-before:always> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Зміст</b> <br /> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Введення</b> <br /> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Глава 1.</b> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Курси за вибором у профільній школі</b> <br /> 1.1 ..................... Профільна <a href="Школа" title="Школа">школа</a> в умовах <a href="Модернізм" title="Модернізм">модернізації</a> освіти <br /> 1.2 ........................... Передпрофільне підготовка учнів середньої школи <br /> 1.3 ................................................. ........ Елективні і <a href="Факультатив" title="Факультатив">факультативні</a> курси <br /> 1.4 ......................................... Особливості елективних курсів з математики <br /> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Глава 2.</b> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Методика вивчення елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» в класах оборонно-спортивного профілю</b> <br /> 2.1. Зміст елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» <br /> 2.2. Основні принципи побудови методики вивчення елективного курсу <br /> 2.3 ....................<a href="Методичка" title="Методичка"> Методика</a> використання практико-орієнтованих завдань <br /> 2.4. <a href="Методика_викладання" title="Методика викладання">Методика викладання</a> теорії ймовірностей і математичної статистики в середній школі <br /> 2.5. Зміст і аналіз результатів дослідної <a href="Роботи" title="Роботи">роботи</a> <br /> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Висновок</b> <br /> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Бібліографічний список</b> <br /> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Програми</b> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal><br clear=all style=page-break-before:always></b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Введення</b> <br /> В даний час неможливо уявити <a href="Спорт" title="Спорт">спорт</a> і фізичну культуру без <a href="Науки" title="Науки">науки</a>. Правильно організоване <a href="Фізичне_виховання" title="Фізичне виховання">фізичне виховання</a> <a href="Школяр" title="Школяр">школяра</a>, що сприяє зміцненню його здоров'я, ефективна тренування спортсмена, результатом якої є зростання спортивних рекордів, будується на наукових засадах. <br /> <a href="Наука" title="Наука"> Наука</a> - це точне <a href="Знання" title="Знання">знання</a>, що збирає факти, і в усіх них присутні <a href="Цифри" title="Цифри">цифри</a>. При оцінці успішності учнів вчителем, при підрахунку результатів на змаганнях і т.д. - При всьому цьому оперують числами, і в цьому вже є зачатки науки. Ще більш науковою є збір матеріалу для <a href="Того" title="Того">того</a>, щоб виявити деяку закономірність, систему. Наприклад, при систематизації спортивних рекордів у бігу, плаванні, ковзанярському спорті призвело до встановлення загального математичного закону. Підрахунок кількості кілограмів, що піднімаються важкоатлети на тренуваннях, і зіставлення його зі спортивними досягненнями дозволили визначити тренувальне навантаження, яка дає найкращий результат. При аналізі індивідуальної тренувального навантаження елементами досліджуваної сукупності можуть бути окремі значення інтенсивності або обсягу навантаження, зареєстровані у конкретного спортсмена в різні періоди часу. Кожен елемент сукупності може <a href="Мати" title="Мати">мати</a> поруч ознак, при цьому одні ознаки можуть бути однорідними, а інші можуть змінюватися. Наприклад, елементами сукупності можуть бути спортсмени - представники одного виду спорту, однакової кваліфікації, однакового віку, але різними можуть бути показники росту, ваги, швидкості руху і т.д. <br /> Предметом вивчення як раз і є змінюються ознаки. Значення, яке приймається даною величиною, в кожному випадку залежить від ряду факторів, які зазвичай заздалегідь не відомі. Закономірності властиві подібним величинам, отримали назву випадкових, вивчаються теорією ймовірностей та <a href="Математика" title="Математика">математичною</a> <a href="Статистика" title="Статистика">статистикою</a> [15]. <br /> <a href="Математика" title="Математика"> Математична</a> <a href="Статистика" title="Статистика">статистика</a> <a href="Встанови" title="Встанови">встановлює</a> перспективність спортсменів, умови більш сприятливі для тренувань та їх ефективність. Також <a href="Статистика" title="Статистика">статистика</a> допомагає зробити об'єктивні і науково обгрунтовані висновки при аналізі спортивної діяльності. Використання методів математичної статистики допомагає зробити об'єктивні, науково обгрунтовані висновки при аналізі спортивної діяльності. <br /> Все сказане вище дозволяє зробити висновок про актуальність ймовірнісно-статистичної лінії для осіб, що займаються спортом високих досягнень та необхідності включення в програму класів оборонно-спортивного профілю елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики». <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Мета даної роботи</b> - на основі аналізу психолого-педагогічної, математичної та <a href="Методичка" title="Методичка">методичної</a> літератури визначити зміст і розробити методику вивчення основ теорії ймовірностей і математичної статистики для шкіл і класів оборонно-спортивного профілю. <br /> Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі <b style="mso-bidi-font-weight: normal">завдання:</b> <br /> 1) вивчити психолого-педагогічну та математико-методичну літературу з теми дослідження; <br /> 2) розробити методичні рекомендації для викладання елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» для класів оборонно-спортивного профілю; <br /> 3) розробити систему завдань елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» і адаптувати її до умов, близьким до класів оборонно-спортивного профілю; <br /> 4) перевірити ефективність пропонованої методики в дослідному викладанні в умовах, близьких до класів оборонно-спортивного профілю. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Гіпотеза дослідження</b> полягає в тому, що систематичне і цілеспрямоване вивчення теорії ймовірностей і математичної статистики в класах оборонно-спортивного профілю сприяє усвідомленому вмінню застосовувати отримані знання на практиці, підвищує рівень ефективності <a href="Навчання" title="Навчання">навчання</a>, сприяє розвитку і підтримці інтересу до математики, а як і розвитку різних форм розумової діяльності <a href="Школяр" title="Школяр">школярів</a>. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Об'єкт дослідження</b> - <a href="Процес_навчання" title="Процес навчання">процес навчання</a> математики в класах оборонно-спортивного профілю в середній школі. <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Предмет дослідження</b> - вивчення ймовірнісно-статистичної лінії в профільних класах. <br /> Для реалізації поставленої мети та доведення сформульованої гіпотези при здійсненні дослідження застосовувалися такі <b style="mso-bidi-font-weight: normal">методи дослідження:</b> <br /> · Вивчення навчальних посібників та <a href="Методичка" title="Методичка">методичних</a> <a href="Матеріали" title="Матеріали">матеріалів</a> з теми дослідження; <br /> · Аналіз <a href="Психологія" title="Психологія">психологічної</a>, <a href="Педагогіка" title="Педагогіка">педагогічної</a> та математико-методичної літератури з даної проблеми дослідження; <br /> · Спостереження за діяльністю учнів; <br /> · Дослідне викладання. <br /> <a href="робота" title="робота">Робота</a> складається з вступу, двох розділів, висновків, бібліографічного списку (27 джерел) та додатків. <br /><br clear=all style=page-break-before:always> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Глава 1.</b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Курси за вибором у профільній школі</b> <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 1.1. Профільна школа в умовах модернізації освіти </h2> В останні роки різко підвищилася роль освіти в житті кожної людини. Вчення протягом усього <a href="Життя" title="Життя">життя</a> як єдино можливий у сучасних умовах спосіб життєдіяльності людини - необхідна передумова і умова для ефективної діяльності в усіх сферах суспільного і особистого буття, а також поступального розвитку людського суспільства. Для виконання даних завдань потрібне утворення іншої якості, ніж раніше [13]. <br /> В умовах постійного зростання обсягу інформації людині потрібно вміти орієнтуватися в ній, вміти ставити перед собою мету, досягати її, вміти адекватно оцінювати себе і прогнозувати <a href="Розвиток" title="Розвиток">розвиток</a> подальших подій. Але в масовій школі переважає традиційна модель <a href="Навчання" title="Навчання">навчання</a>, орієнтована на засвоєння знань, умінь і навичок в кожній галузі знань. У результаті цього в освіті з'являються різні протиріччя. Також у багатьох учнів шкіл не сформована потреба в своєму подальшому саморозвитку та отриманні освіти після закінчення школи, немає також стійкої <a href="Мотивації" title="Мотивації">мотивації</a> на додаток зусиль для здобуття якісної професійної освіти, занадто рано, вже в шкільний період, настає уповільнення <a href="Процес" title="Процес">процесів</a> розвитку учнів як особистості. Це і є незадовільні результати, які повинна усунути профільна школа. <br /> У наш час активно модернізується вся <a href="Система_ОСВІТИ" title="Система ОСВІТИ">система освіти</a>. Дана <a href="Модернізм" title="Модернізм">модернізація</a> спрямована на значне оновлення змісту і <a href="Процес" title="Процес">процесу</a> навчання, а <a href="Саме" title="Саме">саме</a>: <br /> · Введення системно-діяльнісного та особистісно-орієнтованого підходів до навчання і виховання; <br /> · Формування самостійної навчально-пізнавальної активності учнів. <br /> Таким чином, після модернізації школа повинна буде надати учням можливість самонавчання, саморозвитку й самовдосконалення в різних напрямках. <br /> Одним з напрямків для модернізації є перехід до профільної школи. Профільне навчання надає нові можливості в організації навчально-виховного процесу в школі. Профільна школа може сприяти усвідомленому професійному самовизначенню і необхідної соціальної зрілості учня. <br /> <a href="Відповідь" title="Відповідь"> Відповідно</a> до реформи освіти в двох останніх класах кожному громадянину Росії повинна бути надана можливість вибору однієї з 5-6 програм: гуманітарної, природничо-наукової, математики та інформатики, економіки і права, технічної, еколого-аграрною. Кожен <a href="Школяр" title="Школяр">школяр</a> повинен мати можливість здобути профільну освіту за рахунок держави. Профільна школа дозволить подолати не тільки формальний універсалізм старшої школи, а й об'єктивний розрив між вимогами вузу і можливостями системи загальної освіти. Таку школу передбачалося зробити до 2004-2005 років. На даний момент у багатьох школах зроблені профільні класи, проте питання переходу до профільної освіти не достатньо опрацьовані. <br /> Дослідження показали, що в школах по-різному розуміють особливості профільного навчання, як правило, труднощі пов'язані з подоланням його змісту, комплектування методичного супроводу. Також, згідно з дослідженнями, профільне навчання дає позитивні результати [13]. <br /> <a href="Відповідь" title="Відповідь">Відповідно</a> до схваленої Міносвіти Росії «Концепцією профільного навчання на старшій ступені загальної освіти» диференціація змісту навчання у старших класах здійснюється на основі різних сполучень курсів трьох типів: базових, профільних, елективних. Кожен з курсів цих трьох типів вносить свій внесок у вирішення завдань профільного навчання. Однак можна виділити коло завдань, пріоритетних для курсів кожного типу [9]. <br /> Базові загальноосвітні курси відображають обов'язкову для всіх школярів інваріатівную частину освіти і спрямовані на завершення загальноосвітньої підготовки учнів. <br /> Профільні курси забезпечують поглиблене вивчення окремих предметів і орієнтовані, в першу чергу, на підготовку випускників школи до подальшого професійного утворення. <br /> Елективні ж курси пов'язані, перш за все, із задоволенням індивідуальних освітніх інтересів, потреб і схильностей кожного школяра. <a href="Саме" title="Саме"> Саме</a> вони по суті і є найважливішим засобом побудови індивідуальних освітніх програм, так як в найбільшою мірою пов'язані з вибором кожним <a href="Школяр" title="Школяр">школярем</a> змісту освіти в залежності від його інтересів, <a href="Здібності" title="Здібності">здібностей</a>, наступних життєвих планів. Курси за вибором як би «компенсують» багато в чому досить обмежені можливості базових та профільних курсів у задоволенні різноманітних освітніх потреб старшокласників. <br /> Раніше було сказано, що профільне навчання спрямоване на реалізацію особистісно-орієнтованого навчального процесу, таким чином, перехід до профільного навчання переслідує такі цілі: <br /> · Забезпечити поглиблене вивчення окремих дисциплін програми повної загальної освіти; <br /> · Створити умови для значної диференціації змісту навчання старшокласників, з широкими і гнучкими можливостями побудови школярами індивідуальних освітніх програм; <br /> · Сприяти встановленню рівного доступу до повноцінної освіти різним категоріям учнів <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідно</a> до їх індивідуальними схильностями і потребами; <br /> · Розширити можливості <a href="Соціалізм" title="Соціалізм">соціалізації</a> учнів, забезпечити наступність між загальним і професійною освітою, у тому числі більш ефективно підготувати випускників школи до освоєння програм вищої професійної освіти. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 1.2. Передпрофільне підготовка учнів середньої школи </h2> Як вже було сказано, у старшій школі кожен учень може вибрати один з 5-6 профілів: гуманітарний, природничо-науковий, математики та інформатики, економіки і права, технічний, еколого-аграрний. У багатьох школярів <a href="Вибір" title="Вибір">вибір</a> є випадковим, не цілком співвідноситься з реальними <a href="Здібності" title="Здібності">здібностями</a> і можливостями. Недостатні знання випускників про <a href="Ринок_праці" title="Ринок праці">ринок праці</a> і затребуваних <a href="Професія" title="Професія">професіях</a>, про ті способи освіти, якими їх можна отримати. <a href="Школяр" title="Школяр"> Школярі</a> не володіють <a href="Знання" title="Знання">знаннями</a>, необхідними для вибудовування реалістичних життєвих планів [22]. <br /> <a href="Саме" title="Саме">Саме</a> на вирішення таких проблем і спрямована передпрофільне підготовка. Для початку з'ясуємо, що розуміється під цими словами. <br /> Під передпрофільне підготовкою розуміється система педагогічної, психолого-педагогічної, <a href="Інформація" title="Інформація">інформаційної</a> та <a href="Організація" title="Організація">організаційної</a> діяльності, яка сприяє самовизначенню учнів щодо профілів подальшого навчання та сфери професійного розвитку. <br /> У зв'язку з цим можна виділити завдання передпрофільне підготовки: <br /> · Підготувати учня до свідомого вибору профілю; <br /> · Організувати проби вибору; <br /> · Познайомити учнів з різними професіями. <br /> У передпрофільне підготовці велике значення мають курси за вибором, серед них виділяють предметні, міжпредметні та орієнтовні. <br /> Зміст предметних курсів грунтується на певній предметній області і своєю метою має поглиблення або розширення програмного матеріалу або його істотне доповнення, мета таких курсів - підготувати до вступу в профільні класи і зробити усвідомлений вибір. <br /> У міжпредметних курсах зміст інтегрує різні предметні області: російську мову та літературу; історію та літературу; математику і фізику. Метою цих курсів є розширення пізнавального інтересу учня,<a href="Розвиток" title="Розвиток"> розвиток</a> інтересу до предмета, створення умов для усвідомленого вибору профілю в 10-11 класах. <br /> Останній вид курсів за вибором - це орієнтовні курси зміст таких курсів орієнтоване на створення умов для ознайомлення з якою-небудь областю майбутньої профільної підготовки або занурення в специфічну <a href="Професія" title="Професія">професійну</a> область. Мета - допомогти визначитися з вибором профілю навчання в 10-11 класах або з вибором майбутньої професії. <br /> Курси за вибором можуть реалізовуватися у різних формах: урок, практикум, занурення і так далі. Їх тривалість може бути різною (від 7 до 28 навчальних годин), але вони повинні укладатися в рамки однієї чверті, з тим, щоб після проведення проміжної атестації учень міг вибрати інші курси. <br /> Учневі старшої школи не може бути відмовлено у виборі того чи іншого курсу, пропонованого даним освітнім закладом. Враховуючи різний рівень якості освітніх послуг у силу <a href="Ресурси" title="Ресурси">ресурсів</a>, якими володіє та чи інша школа, а також інших причин, можна припустити, що, в першу чергу в містах зарахування всіх бажаючих учнів у тому чи іншому навчальному році в конкретний освітня установа може виявитися неможливим. <br /> Для того щоб зробити процедуру <a href="Прийому" title="Прийому">прийому</a> в конкретний освітній заклад для навчання на старшій ступені при наявності конкурсу прозорою і об'єктивною, необхідна додаткова форма підсумкової атестації учнів по закінченню основної школи. Оскільки дані цієї атестації можуть знадобитися лише в окремих випадках, вона повинна бути мінімально ресурсозатратної для учня та освітнього закладу. Пропонується комплексний «внутришкольная» і «зовнішня» атестації. До «внутрішкільної» відносяться: підсумкові оцінки, портфоліо, портфелі особистих досягнень. До «зовнішньої» атестації відноситься ЄДІ. <br /></div><div><div></div> Обчислені групові середні зобразимо графічно у вигляді ламаної, званої емпіричної лінією регресії. <br /> По виду ламаної можна припустити наявність лінійної <a href="Функціоналізм" title="Функціоналізм">функціональної</a> залежності між випадковими величинами Х і У, тобто є <a href="функція" title="функція">функція</a> y = kx + b, де <br /><img border=0 width=177 height=52 src=dopb443325.zip v:shapes=_x0000_i1147><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1147 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436734></o:OLEObject></xml><br /> Де <img border=0 width=17 height=19 src=dopb443326.zip v:shapes=_x0000_i1148><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1148 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436735></o:OLEObject></xml> вибіркова коваріація і дорівнює: <br /><img border=0 width=240 height=48 src=dopb443362.zip v:shapes=_x0000_i1149><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1149 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436736></o:OLEObject></xml><br /><img border=0 width=444 height=47 src=dopb443363.zip v:shapes=_x0000_i1150><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1150 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436737></o:OLEObject></xml><br /><img border=0 width=432 height=47 src=dopb443364.zip v:shapes=_x0000_i1151><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1151 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436738></o:OLEObject></xml><br /><img border=0 width=588 height=49 src=dopb443365.zip v:shapes=_x0000_i1152><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1152 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436739></o:OLEObject></xml><br /><img border=0 width=107 height=23 src=dopb443366.zip v:shapes=_x0000_i1153><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1153 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436740></o:OLEObject></xml> До =- 46,09 В = 2471,02 У =- 46,09 х +2471,02 <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 19-20 </h2> 1. У ході дослідження результатів забігу на <st1:metricconverter ProductID="100 метров" w:st=on> 100 метрів </st1:metricconverter> юнаками одинадцятих класів двох груп - експериментальної та <a href="Контроль" title="Контроль">контрольної</a> - були отримані дані, представлені в <a href="Таблиці" title="Таблиці">таблиці</a>. <br /> 2. <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="margin-left:-21.6pt;border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Час (секунди) <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 12,3-13,9 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 13,9-15,5 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 15,5-17,1 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 17,1-17,7 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Число юнаків експериментальної групи <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 20 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 20 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Число юнаків контрольної групи <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 8 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 18 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td></tr></table></div> 1) Зобразити дані графічно, побудувавши гістограму для кожної групи. <br /> 2) Для кожної групи визначити середнє значення, дисперсію, моду і медіану. <br /> 3) Перевірити гіпотезу про рівність середніх двох груп учнів, використовуючи критерій Стьюдента і вважаючи критичне значення статистики 1,67. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Домашня робота.</b> <br /> У ході дослідження результатів висоти стрибка з місця спортсменів - велосипедистів двох груп - експериментальної та контрольної - були отримані дані, представлені в таблиці. <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="margin-left:-21.6pt;border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Висота стрибка (см) <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 37-45 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 45-53 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 53-61 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 61-69 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Число юнаків експериментальної групи <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 4 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 20 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 10 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Число юнаків контрольної групи <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 15 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 20 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td></tr></table></div> 1) Зобразити дані графічно, побудувавши гістограму для кожної групи. <br /> 2) Для кожної групи визначити середнє значення, дисперсію, моду і медіану. <br /> 3) Перевірити гіпотезу про рівність середніх двох груп учнів, використовуючи критерій Стьюдента і вважаючи критичне значення статистики 1,67. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 21-22 </h2> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Підготовка до контрольної роботи.</b> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Комбінаторика:</b> <br /> 1. Скільки чотиризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, якщо кожна цифра входить до зображення числа тільки один раз. <br /> 2. Скільки можна скласти <a href="Сигнал" title="Сигнал">сигналів</a> з 6 прапорців різного кольору, взятих по 2? <br /> 3. Скількома способами можна вибрати 2 деталі з ящика, що містить 10 деталей? <br /> 4. Скільки існує двозначних чисел, у яких цифра десятків менше цифри одиниць? <br /> 5. У нашому розпорядженні є три різних прапора. На флагштоку піднімається <a href="Сигнал" title="Сигнал">сигнал</a> складається не менше, ніж з двох прапорів. Скільки різних сигналів можна підняти на флагштоку, якщо порядок прапорів у <a href="Сигнал" title="Сигнал">сигналі</a> враховується. <br /> 6. У картці гри «Російське лото» потрібно закреслити 6 чисел від 1 до 99. Скількома способами це можна зробити? <br /> 7. Скільки різних імен - по батькові можна скласти з імен Надія, Іван, Андрій, Наталя, Дмитро, Людмила, Олександре? <br /> 8. Шість ящиків занумеровані числами від 1 до 6. Скількома способами можна розкласти по цим скриньок 20 однакових кульок так, щоб жоден ящик не виявився порожнім? <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Імовірність:</b> <br /> 1. У партії 10 з деталей 7 <a href="Стандарт" title="Стандарт">стандартних</a>. Знайти ймовірність того, що серед шістьох взятих навмання деталей 4 стандартних. <br /> 2. У конверті серед 100 фотокарток знаходиться одна розшукується. З конверта навмання витягнули 10 карток. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться потрібна. <br /> 3. У групі 12 <a href="Студент" title="Студент">студентів</a>, серед яких 8 відмінників. За списком навмання відібрано 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів п'ять відмінників. <br /> 4. В урні 30 куль: 10 червоних, 5 синіх, 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорового кулі. <br /> 5. Стрілець стріляє по мішені, розділеної на 3 області. Вірогідність потрапляння в першу область дорівнює 0,45, в другу 0,35. Знайти ймовірність, того, що стрілець при одному <a href="ПОСТРІЛ" title="ПОСТРІЛ">пострілі</a> потрапить або в першу область, або в другу. <br /> 6. Кинуто дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що: а) на кожній з випали граней з'явитися п'ять очок. Б) на всіх випали гранях з'явитися однакову кількість очок. <br /> 7. Знайти ймовірність спільного ураження цілі двома гарматами, якщо ймовірність ураження цілі перших знаряддям 0,8, а другим 0,7. <br /> 8. Є 3 ящики, що містять по 10 деталей. У першому ящику 8, у другому 7 і в третьому 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три вийняті деталі виявляться стандартними. <br /> 9. В урні 5 білих, 4 чорних, 3 синіх кулі. Кожне <a href="Випробування" title="Випробування">випробування</a> полягає в тому, що навмання витягують одну кулю, не повертаючи його назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з'явитися біла куля, при другому - чорний і при третьому - синій. <br /> 10. У мішечку є 10 однакових кубиків з номерами від 1 до 10. Навмання витягують по одному три кубики. Знайти ймовірність того, що послідовно з'являться кубики з номерами 1, 2, 3, якщо кубики витягуються: а) без <a href="Повернення" title="Повернення">повернення</a>; б) з поверненням. <br /> 11. Вірогідність попадання в ціль при стрільбі з трьох гармат: 0,8, 0,7, 0,9. Знайти ймовірність хоча б одного влучення при одному пострілі з усіх гармат. <br /> 12. ймовірності влучення в ціль при стрільбі першого і другого знарядь рівні 0,7 і 0,8. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі хоча б одним знаряддям. <br /> 13. Є два набори деталей. Імовірність того, що деталь першого набору <a href="Стандарт" title="Стандарт">стандартна</a>, дорівнює 0,8, а другого 0,9. Знайти ймовірність того, що взята на удачу деталь (з навмання взятої набору) - стандартна. <br /> 14. У першій коробці міститься 20 радіоламп, з них 18 стандартних, у другій коробці 10 ламп, з них 9 стандартних. З другої коробки навмання взята лампа і <a href="Переклад" title="Переклад">перекладена</a> в першу. Знайти ймовірність того, що лампа, навмання витягнута з першої коробки, буде стандартною. <br /> 15. Деталі, виготовлені цехом заводу, потрапляють для перевірки їх на стандартність до одного з двох <a href="Контролери" title="Контролери">контролерів</a> Імовірність того, деталь потрапить до першого <a href="Контроль" title="Контроль">контролеру</a> дорівнює 0,6, а до другого 0,4. Імовірність того, що придатна деталь буде визнана <a href="Стандарт" title="Стандарт">стандартної</a> першим <a href="Контролери" title="Контролери">контролером</a> 0,94, а другим 0,98. Придатна деталь при перевірки була визнана стандартної. Знайти ймовірність того, що цю деталь перевірив перший контролер. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>16.</b> Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряда попали в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала попадання, якщо ймовірність попадання мета першим, другим і третім знаряддями рівні: 0,4, 0,3 і 0,5. <b style=mso-bidi-font-weight:normal> </b><br /><br clear=all style=page-break-before:always> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Додаток 2</b> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Самостійна робота № 1</b> <br /> 1. Скільки існує двозначних чисел, у яких цифра десятків менше цифри одиниць? <br /> 2. У нашому розпорядженні є три різних прапора. На флагштоку піднімається сигнал складається не менше, ніж з двох прапорів. Скільки різних сигналів можна підняти на флагштоку, якщо порядок прапорів у сигналі враховується. <br /> 3. У картці гри «Російське лото» потрібно закреслити 6 чисел від 1 до 99. Скількома способами це можна зробити? <br /> 4. Скільки різних імен - по батькові можна скласти з імен Надія, Іван, Андрій, Наталя, Дмитро, Людмила, Олександре? <br /> 5. Шість ящиків занумеровані числами від 1 до 6. Скількома способами можна розкласти по цим скриньок 20 однакових кульок так, щоб жоден ящик не виявився порожнім? <br /><img border=0 width=303 height=208 src=dopb443367.zip v:shapes=_x0000_i1154><br /><img border=0 width=303 height=208 src=dopb443368.zip v:shapes=_x0000_i1155><br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Самостійна робота № 2</b> <br /> 1. Знайти ймовірність того, що при киданні трьох гральних кісток шістка випадає на одній (байдуже який) кістки, якщо на гранях двох інших кісток випадуть числа очок, що не збігаються між собою (і не рівні шести). <br /> 2. Набираючи номер <a href="Телефон" title="Телефон">телефону</a>, абонент забув останні три цифри і, пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх на удачу. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри. <br /> 3. З партії виробів товарознавець відбирає вироби вищого сорту. Імовірність того, що навмання взятий виріб виявиться вищого гатунку, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки два вироби вищого сорту. <br /> 4. Вірогідність попадання в ціль при стрільбі першого і другого знарядь відповідно рівні: 0,7 і 0,8. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі (з обох знарядь) хоча б одним із знарядь. <br /> 5. У збирача є 3 конусних і 7 еліптичних валиків. Складальник взяв один валик, а потім другий. Знайти ймовірність того, що перший з узятих валиків - конусний, а другий еліптичний. <br /><img border=0 width=235 height=161 src=dopb443369.zip v:shapes=_x0000_i1156><br /><img border=0 width=229 height=157 src=dopb443370.zip v:shapes=_x0000_i1157><br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal><br clear=all style=page-break-before:always></b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Самостійна робота № 3</b> <br /> 1. У складальний цех заводу надходить 40% деталей з першого цеху і 60 відсотків з другого. У цеху номер 1 проводитися 90% стандартних деталей, а в другому 95%. Знайти ймовірність, того, що навмання взята деталь виявиться стандартної? Знайти ймовірність того, що стандартна деталь виготовлена друга цехом. <br /> 2. З 40 екзаменаційних квитків <a href="Студент" title="Студент">студент</a> вивчив тільки 30. Яким вигідніше йому зайти на <a href="Іспит" title="Іспит">іспит</a>, першим або другим? <br /> 3. Прилад містить дві мікросхеми. Імовірність виходу з ладу протягом 10 років першій мікросхеми дорівнює 0.007, а другий 0.1. Відомо, що з ладу вийшла одна мікросхема. Яка ймовірність того, що вийшла з ладу перша мікросхема? <br /><img border=0 width=316 height=216 src=dopb443371.zip v:shapes=_x0000_i1158><br /><img border=0 width=334 height=229 src=dopb443372.zip v:shapes=_x0000_i1159><br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal><br clear=all style=page-break-before:always></b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Самостійна робота № 4</b> <br /> 1. Монета кидається 4 рази. Побудувати багатокутник розподілу випадкової величини Х - числа випадань герба. <br /> 2. В урні 8 куль, з яких 5 білих, інші - чорні. З неї навмання виймають 3 кулі. Знайти закон розподілу числа білих куль. Обчислити <a href="Математика" title="Математика">Математичне</a> сподівання і дисперсію. <br /> 3. Імовірність складання іспиту першим <a href="Студент" title="Студент">студентом</a> 0.6, а другим 0.9. Скласти ряд розподілу і обчислити її <a href="Математика" title="Математика">математичне</a> сподівання і дисперсію випадкової величини Х - числа студентів, які успішно склали іспит у разі, коли: а) іспити перездавати не можна, б) іспит можна один раз перездати. <br /><img border=0 width=248 height=170 src=dopb443373.zip v:shapes=_x0000_i1160><br /><img border=0 width=272 height=187 src=dopb443374.zip v:shapes=_x0000_i1161><br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Контрольна робота</b> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>1.</b> На кожній з семи однакових карток надрукована одна з таких літер о, п, т, к, н, і, с. Знайти ймовірність того, що на чотирьох, вийнятих по одній і розташованих в одну лінію, картках можна буде прочитати <a href="Слово" title="Слово">слово</a> «кіно». <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>2.</b> У фірмі працюють 9 чоловіків і 4 <a href="Жінки" title="Жінки">жінки</a>. За табельною номерами навмання відібрали 7 осіб. Знайти ймовірність того, що серед відібраних осіб виявляться 2 жінки. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>3.</b> Два стрільці стріляють по мішенях. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0.7, для другого 0.85. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі в мішень потрапляє лише один із стрільців. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>4.</b> У магазин завезли 3 коробки імпортного <a href="Взуття" title="Взуття">взуття</a> та 5 коробок вітчизняної. Імовірність того, що імпортна взуття без шлюбу - 0.8; вітчизняна - 0.7. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута пара взуття з навмання взятої коробки без шлюбу. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>5.</b> У ході дослідження результатів забігу на <st1:metricconverter ProductID="100 метров" w:st=on> 100 метрів </st1:metricconverter> юнаками одинадцятих класів двох груп - експериментальної та контрольної - були отримані дані, представлені в таблиці. <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="margin-left:15.6pt;border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td width=321 valign=top style="width:240.95pt;border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> Час (секунди) <br /></td><td width=85 valign=top style="width:64.1pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 12,3-13,9 <br /></td><td width=86 valign=top style="width:64.15pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 13,9-15,5 <br /></td><td width=85 valign=top style="width:64.1pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 15,5-17,1 <br /></td><td width=86 valign=top style="width:64.15pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 17,1-17,7 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td width=321 valign=top style="width:240.95pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> Число юнаків експериментальної групи <br /></td><td width=85 valign=top style="width:64.1pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 3 <br /></td><td width=86 valign=top style="width:64.15pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 20 <br /></td><td width=85 valign=top style="width:64.1pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 20 <br /></td><td width=86 valign=top style="width:64.15pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 2 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2;mso-yfti-lastrow:yes><td width=321 valign=top style="width:240.95pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> Число юнаків контрольної групи <br /></td><td width=85 valign=top style="width:64.1pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 1 <br /></td><td width=86 valign=top style="width:64.15pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 8 <br /></td><td width=85 valign=top style="width:64.1pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 18 <br /></td><td width=86 valign=top style="width:64.15pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 1.4pt 0cm 1.4pt"> 3 <br /></td></tr></table> Зобразити дані графічно, побудувавши гістограму для кожної групи. Для кожної групи визначити середнє значення, дисперсію, моду і медіану. Перевірити гіпотезу про рівність середніх двох груп учнів, використовуючи критерій Стьюдента і вважаючи критичне значення статистики 1,67. <br /><img border=0 width=309 height=182 src=dopb443375.zip v:shapes=_x0000_i1162><br /><img border=0 width=328 height=212 src=dopb443376.zip v:shapes=_x0000_i1163><br /></div> Таким чином, освоюючи пробні курси, учні пристосовуються до вибору профілю навчання. Очевидно, що присутність курсів за вибором підвищує ймовірність того, що учень зробить усвідомлений вибір майбутнього профілю навчання у старшій школі. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 1.3. Елективні і факультативні курси </h2> Перспективи введення профільного навчання у старшій школі викликали інтерес до такої форми освітньої діяльності як елективні курси. Це досить новий вид додаткових занять у школі, тому з'ясуємо, чим вони відрізняються від <a href="Факультатив" title="Факультатив">факультативних</a> курсів. <br /> З'ясуємо що таке <a href="Факультатив" title="Факультатив">факультативний</a> курс. Це курс, в якому представляється <a href="Матерія" title="Матерія">матеріал</a>, що виходить за рамки програм основних курсів, або поглиблюючи вимоги програм основних курсів. Також перед <a href="Факультатив" title="Факультатив">факультативним</a> курсом звичайно ставилися завдання навчання учнів вирішення певного типу завдань, на оволодіння яким не залишається часу в основні години [2]. В останні роки, в ситуації скорочення годин на систематичні курси з багатьох предметів, факультативні курси використовувалися вже для освоєння основного навчального матеріалу. Якщо говорити про місце <a href="Факультатив" title="Факультатив">факультативів</a> у сітці <a href="Розклад" title="Розклад">розкладу</a>, то слід зазначити, що факультативні курси проводилися за рахунок регіонального та шкільного компоненту. Відвідування факультативних курсів учнями будувалося на їх вільний вибір. <br /> Визначимо, що таке елективні курси. <br /> Згідно з проектом <a href="Стандарт" title="Стандарт">стандарту</a> загальної освіти, елективні курси повинні забезпечити як підготовку до вибору профілю в основній школі, так і сам <a href="Процес" title="Процес">процес</a> профільного навчання у старшій школі. <br /> У них, дійсно, є спільні риси з факультативами. За своїм змістом, вони також орієнтовані на поглиблення або доповнення матеріалу систематичних курсів, тобто на реалізацію принципу додатковості матеріалу. За місцем у сітці годин, вони також схожі. Але орієнтація елективних курсів багато в чому інша. Курси за вибором в основній школі повинні допомогти учням сформувати культуру вибору освітнього профілю. Цьому має слугувати курси, з якими знайомляться учні у 8, 9 класах основної школи. На цю ж мету, в кінцевому рахунку, повинні бути зорієнтовані і елективні курси пропедевтичного <a href="Характер" title="Характер">характеру</a>, що реалізуються в 6, 7 класах. У старших класах елективні курси, з одного боку, повинні виконувати функцію поглиблення знань (в цьому вони схожі з <a href="Факультатив" title="Факультатив">факультативними</a> курсами). З іншого боку, елективні курси продовжують грати роль своєрідного компаса у виборі освітньо-професійної траєкторії. <br /> Формування культури вибору у людини ще на шкільній лаві - це серйозна проблема сьогоднішнього суспільства. Наприклад, найбільш типові фактори вибору. Цей вибір визначається часто сім'єю, батьками. Симптоматичні і чинники вибору самих батьків. Часто вони не допомагають дитині самовизначитися в цій ситуації, а вирішують за нього виходячи з власних уявлень про майбутнє дитини. Часто учень в ситуації вибору діє за принципом наслідування: «Мій <a href="Друг" title="Друг">друг</a> пішов в гуманітарний клас - і я з ним», «Сусід по майданчику йде у фізико-математичний клас - а чим я гірший?». Типовою так само є <a href="Ситуація" title="Ситуація">ситуація</a>, коли діти пов'язують вибір освітнього профілю не зі змістом профілю освіти, і не зі своїми власними здібностями і ціннісними орієнтирами, а з особистістю вчителя, провідного той чи інший предмет. <a href="Любов" title="Любов"> Любов</a> до вчителя, захоплення ним, обожнювання його - є часом вирішальними факторами вибору для учня. Це особливий варіант <a href="Особистість" title="Особистість">особистісного</a> наслідування. Таким чином, провідними факторами вибору освітнього профілю учня є зовнішні, по відношенню до особистісного «я» школяра, фактори [19]. <br /> Курси за вибором покликані допомогти розвинути навички вибору освітнього профілю в учнів. Передбачені невеликі обсяги елективних курсів (від 8 до 36 годин) дозволяють учню протягом року познайомитися з декількома елективних курсів. Це фактор варіативності інформації. Завершення навчання за елективний курсів передбачає <a href="Звітність" title="Звітність">звітність</a> за результатами навчання, але в різноманітних і безотметочних формах. Однією з головних відмінних рис елективних курсів є те, що вони є обов'язковими за вибором. <br /> Головна <a href="Педагогіка" title="Педагогіка">педагогічна</a> завдання вчителя полягає в тому, щоб в учня на зміну цінностям запозиченим - від батьків, дорослих, друзів, - з'являлися свої власні орієнтири. І це вже - реалізація аксіологічного підходу в освіті. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 1.4. Особливості елективних курсів з математики </h2> Як правило, елективний курс представляє собою глибоко розглянуту окремо взяту тему, яка розглядається протягом однієї чверті. Прикладом тим елективних курсів можуть бути: «Системи числення», «Завдання з параметрами», «Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей» і т.д. <br /> Елективний курс може поглиблювати знання учнів в темах загального курсу, але також зміст курсу може не мати спільних тем з основним курсом. Будь-який елективний курс не можна уявити без системи завдань, <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідних</a> даним курсом. Завдання використовуються, як дуже ефективний засіб засвоєння учнями понять, методів, теорії, умінь і навичок у практичному застосуванні. Для успішного створення системи завдань у літературі виділяють наступні принципи її побудови. <br /> 1. <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Принцип наступності.</b> За допомогою завдань встановлюються взаємозв'язки між різними <a href="Поняття" title="Поняття">поняттями</a>, судженнями, між різними темами і різними предметами. Рішення задач допомагає учням краще зрозуміти і легше засвоїти досліджуваний матеріал. Все це говорить, про те, що завдання грають важливу роль у вивченні математики. <br /> 2. <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Принцип зв'язку теорії з практикою.</b> Завдання мають передувати і супроводжувати вивчення теорем і понять, тобто повинні виступати в якості засобу засвоєння знань. <br /> 3. <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Принцип повноти.</b> Прагнути повно, відображати в системі завдань <a href="Математика" title="Математика">математичні</a> ідеї, а також встановлювати міжпредметні зв'язки. <br /> 4. <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Принцип контрастності.</b> <a href="Він" title="Він"> Він</a> орієнтований на те, що при підборі завдань треба не допускати повторюваності одних і тих же видів, при цьому завдання повинні бути як з позитивними і негативними відповідями. Даний принцип передбачає вже на початковому етапі вирішувати нестандартні вправи. Кількість нестандартних завдань має бути не менше третини від загальної кількості завдань. <br /> 5. <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Принцип навчання магічними прийомам.</b> У <a href="Процес" title="Процес">процесі</a> вирішення завдань відбувається оволодіння методами наукового <a href="Пізнання" title="Пізнання">пізнання</a>. Серед евристичних <a href="Прийому" title="Прийому">прийомів</a> часто зустрічаються наступні: аналогія, <a href="Індукція" title="Індукція">індукція</a>, прийом елементарних завдань, прийом <a href="Моделювання" title="Моделювання">моделювання</a>, введення допоміжного елемента, нового невідомого, узагальнення, підстановки, і так далі. При цьому одні прийоми є способом вирішення завдання, а інші показують вирішення окремих фрагментів завдання. <br /> 6. <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Принцип формування дослідницьких умінь.</b> Під навчальними дослідженнями будемо розуміти вид пізнавальної діяльності, який пов'язаний з виконанням навчальних завдань, які передбачають самостійний пошук учнями нових для них знань. Навчальні дослідження складаються з таких етапів: постановка проблеми, висунення гіпотез, <a href="Доказ" title="Доказ">доказ</a> або спростування гіпотез.<a href="Як" title="Як"> Як</a> правило, проблема формулюється самим учителем, доказ або спростування зводитися до доведення математичного факту. Основне завдання учня це висування гіпотез. Дане завдання в навчальних дослідженнях грунтується на основних евристичних <a href="Прийому" title="Прийому">прийомах</a> (аналогія, <a href="Порівняння" title="Порівняння">порівняння</a>, аналіз і так далі). Завдання дослідницького характеру мають великий розвиваючої цінністю і мають велику методичну значимість. Вони допомагають учневі глибше освоїти матеріал, також дають поштовх до самостійного вивчення матеріалу необхідного для даного дослідження [12]. <br /> По завершенню всього матеріалу необхідно провести <a href="Контроль" title="Контроль">контроль</a> засвоєння вивченого матеріалу. Він може бути здійснено виконанням учнями проекту з вивченої теми, виконанням контрольної роботи. <br /> Створення елективних курсів - найважливіша частина забезпечення введення профільного навчання. <br /><br clear=all style=page-break-before:always> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Глава 2.</b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Методика вивчення елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» в класах оборонно-спортивного профілю</b> <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 2.1. Зміст елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» </h2> Як уже раніше говорилося, в науково-методичної літературі виділяють три типи елективних курсів: предметні, міжпредметні і не входять до базового навчального плану. <br /> Наше завдання скласти зміст елективного курсу, який не входить до базового навчального плану. Для того, щоб визначити зміст елективного курсу на тему «Ймовірносно-статистичні методи в спорті», необхідно з'ясувати, як і де <a href="Теорія_ймовірностей" title="Теорія ймовірностей">теорія ймовірностей</a> і статистика застосуються в спорті. <br /> 1) Графічне представлення результатів вимірювань. Застосовується для підвищення наочності емпіричних розподілів. <br /> 2) Розрахунок основних <a href="Статистика" title="Статистика">статистичних</a> характеристик. Графічне представлення результатів дає тільки наочне уявлення про те, як варіює ознака в вибіркової сукупності. Числові характеристики дають кількісне уявлення про емпіричних даних і дозволяють порівнювати їх між собою. <br /> 3) Перевірка статистичних гіпотез. Застосовується для перевірки будь-яких теоретичних припущень, пов'язані з ефективністю заходів, спрямованих на вчинення будь-якого процесу. Дослідник висуває припущення виходячи з аналізу конкретного явища, потім <a href="Справедливість" title="Справедливість">справедливість</a> припущень перевіряється на підставі даних <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідного</a> експерименту, умови якого контролюються. <br /> 4) Кореляційний і регресійний аналіз. Застосовується з метою встановлення наявності та ступеня зв'язку, наприклад, між спортивним результатом і певним показником тренованості, між силою м'язів і швидкістю їх скорочення, між спортивним досягненням в одному і іншому виді спорту і так далі. <br /> Тепер можна скласти зміст елективного курсу «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» для класів оборонно-спортивного профілю. <br /> 1. <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Комбінаторика.</b> Основні формули комбінаторики: про перемножуванні шансів, про вибір з урахуванням порядку, перестановки з повтореннями, розміщення з повтореннями, вибір без урахування порядку. Правило суми, правило <a href="Твори" title="Твори">твори</a>. <br /> 2. <b>Ймовірність.</b> <a href="Основні_поняття_Теорії_ймовірностей" title="Основні поняття Теорії ймовірностей">Основні <a href="Поняття" title="Поняття">поняття</a> теорії ймовірностей</a>. <a href="Операція" title="Операція"> Операції</a> над подіями. Класичний, <a href="Статистика" title="Статистика">статистичний</a> підхід до <a href="Визначення_ймовірності" title="Визначення ймовірності">визначення ймовірності</a>. Основні правила обчислення ймовірностей. Формули повної ймовірності, Бейеса. <br /> 3. <b>Випадкові величини.</b> <b> </b> <a href="Поняття" title="Поняття"> Поняття</a> дискретної та неперервної випадкової величини. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Обчислення математичного сподівання і дисперсії. <br /> 4. <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Математична статистика.</b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal> </b> Загальні відомості. Варіаційні <a href="Ряди" title="Ряди">ряди</a> та їхні графічні уявлення. Дискретні та безперервні ряди. Перевірка статистичних гіпотез. Основи кореляційно-регресійного аналізу. <br /> У результаті вивчення даного елективного курсу учні повинні оволодіти наступними вміннями: <br /> · Раціонально вирішувати <a href="Комбінаторні_задачі" title="Комбінаторні задачі">комбінаторні задачі</a>, застосовуючи формули; <br /> · Раціонально вирішувати завдання, застосовуючи формули комбінаторики та основні правила обчислення ймовірностей; <br /> · Обчислювати математичне сподівання і дисперсію дискретної випадкової величини; <br /> · Зображати варіаційні ряди; <br /> · Знаходити емпіричні лінії регресії і рівняння лінії регресії. Також застосовувати на практиці отримані знання та вміння. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 2.2. Основні принципи побудови методики вивчення елективного курсу </h2> Так як вивчення теорії ймовірностей і статистики в шкільний курс було введено недавно, то в даний час існують проблеми з реалізацією цього матеріалу в шкільних <a href="Підручник" title="Підручник">підручниках</a>. Також, у зв'язку зі специфічністю елективного курсу, кількість методичної літератури теж невелика. <br /> Практично у всій літературі вважається, що головним при вивченні даної теми має стати практичний досвід учнів, тому навчання бажано починати з питань, в яких потрібно знайти рішення поставленої проблеми на тлі реальної ситуації. У процесі навчання не слід доводити всі теореми, так як на це витрачатися велику кількість часу, крім того, наше завдання сформувати <a href="Професія" title="Професія">професійно</a> значущі навички, а вміння доводити теореми до таких навичок не відноситься. <br /> Вивчення повинно починатися з вивчення основ комбінаторики, причому паралельно має вивчатися <a href="Теорія" title="Теорія">теорія</a> ймовірностей, так як <a href="Комбінаторика" title="Комбінаторика">комбінаторика</a> використовується при підрахунку ймовірностей. Починати навчання комбінаториці доцільно з вирішення простих комбінаторних задач методом перебору. <a href="Операція" title="Операція"> Операція</a> перебору розкриває ідею комбінування, служить основою для формування комбінаторних понять. Основними <a href="Комбінаторіка" title="Комбінаторіка">комбінаторними</a> поняттями є: поєднання, перестановки, розміщення. На першому етапі самі <a href="Терміни" title="Терміни">терміни</a> можна не вводити, головне щоб учень усвідомлював набори якого типу потрібно скласти в даній задачі. <br /> Після того як учні навчаться складати набори з елементів заданої <a href="Множини" title="Множини">множини</a> по заданому властивості, з'являється наступне завдання - підрахунок кількості можливих наборів. Такі завдання вирішуються за допомогою застосування принципу множення. Доброю наочною ілюстрацією правила множення є <a href="Дерево" title="Дерево">дерево</a> можливих варіантів. Дана тема добре викладена в підручниках [4] та [27]. <br /> Далі пропонується перейти до теорії ймовірностей. Однією з головних завдань є формування <a href="Поняття" title="Поняття">поняття</a> випадкової події. Сформувати дане поняття зручно на різних прикладах з життя. Також необхідно сформувати в учнів уявлення про <a href="Основні_поняття_Теорії_ймовірностей" title="Основні поняття Теорії ймовірностей">основні поняття теорії ймовірностей</a>, а саме: достовірні події, неможливі, рівноімовірні. Всі ці поняття треба вводити, спираючись на зрозумілі приклади з життя. <br /> Необхідно розвинути в учнів <a href="Розуміння" title="Розуміння">розуміння</a> ступеня випадковості різних явищ і подій. Для цього можна використовувати емпіричні методи, для того щоб витягти очевидні закономірності. Наступним кроком у продовження ймовірнісної лінії йде введення класичного і статистичного визначення ймовірності. Необхідно щоб учні розуміли різницю між цими двома підходами. Щоб усвідомлювали, що одне це визначення ймовірності, а <a href="Інше_-" title="Інше -">інше -</a> спосіб обчислення ймовірності. Таким чином, можна зробити висновок, що визначення класичної імовірності не вимагає, щоб <a href="Випробування" title="Випробування">випробування</a> проводилися в дійсності, визначення ж <a href="Статистика" title="Статистика">статистичної</a> ймовірності припускає, що випробування були проведені. <br /> Після введення класичного визначення ймовірності в підручниках зазвичай вводитися <a href="Геометрия" title="Геометрия">геометрична</a> ймовірність, але в нашому випадку її можна не розглядати, оскільки вона не використовується для вирішення завдань у галузі спорту. <br /> На наступному етапі вивчаємо формулу повної ймовірності та формулу Бейеса. Важливо розглянути застосування даних формул на різних прикладах, для того щоб сформувати в учнів уміння застосовувати дані формули до розв'язання задач. <br /> Також вивчається поняття дискретної випадкової величини і неперервної випадкової величини. Правила обчислення основних характеристик цих величин. Важливо показати практичний сенс цих характеристик. Так як обчислення математичного сподівання і дисперсії не викликає ніякої складності, то витрачати більшу кількість часу на цю тему не варто. <br /> На останньому етапі переходимо до вивчення статистики, використовуючи раніше отримані знання. На цьому етапі з'являється багато нових <a href="Терміни" title="Терміни">термінів</a>, тут вчителю можна <a href="Поради" title="Поради">порадити</a> наступне: попросити учнів завести <a href="Словник" title="Словник">словники</a>, куди б вони заносили нові поняття і в міру потреби могли б туди заглядати, також можна запропонувати зробити таблицю, аналогічну таблиці наведеної в <a href="Підручник" title="Підручник">підручнику</a> [17]. <br /> <a href="Статистика" title="Статистика"> Статистичні</a> дослідження є завершальним етапом вивчення елективного курсу. Тут розглядаються приклади статистичних досліджень у галузі спорту, отримані раніше. Вивчаються основні методи оцінки статистичних гіпотез, регресійний аналіз. Також учням може бути запропоновано самостійно провести нескладне <a href="Статистика" title="Статистика">статистичне</a> дослідження. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 2.3. Методика використання практико-орієнтованих завдань </h2> Для успішного освоєння учнями матеріалу необхідно показати, що отримуються на заняттях з математики знання та вміння, їм знадобляться у їх практичній діяльності. <br /> Було встановлено, що негативне ставлення студентів до математики багато в чому пояснюється тим, що вони не бачать практичного застосування <a href="Математика" title="Математика">математичних</a> знань умінь [11]. <br /> Легше за все показати значимість вивчення теорії ймовірності та статистики на сюжетних завданнях, сформульованих у вигляді професійних проблемних ситуацій. Для спортсменів це можуть бути різні ситуації в різних видах спорту. Завдання повинні підбиратися таким чином, щоб для їх вирішення потрібні певні <a href="Математика" title="Математика">математичні</a> вміння. Крім того,<a href="Математика" title="Математика"> математичні</a> задачі є одним із засобів формування професійно значущих умінь. Такі завдання можна знайти в підручниках [10], [15]. Так як дані у цих підручниках сильно застаріли, вчителю можна використовувати різні дані з області спорту з [20], також досить нові дані можна знайти в підручнику [24]. <br /> Наприклад, однією з проблемної завдань може бути наступна. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Відомо, що серед 40 учасників є 10 майстрів спорту.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Серед усіх учасників випадковим чином вибрали першу п'ятірку, знайдіть ймовірність, що в цій п'ятірці присутні рівно 2 майстри спорту.</i> <br /> Для вирішення такого завдання необхідні знання в області комбінаторики та теорії ймовірності. <br /> При використанні таких завдань досягаються наступна мета: <a href="Студент" title="Студент">студентам</a> наочно демонструються проблемні ситуації, отже, у них з'являється зацікавленість у вивченні математики. <br /> Доцільно використовувати завдання, в яких пропонується відсутні дані отримати самостійно. Наприклад, для спортсменів такими даними можуть служити результати змагань або тренувань. Таким чином, при вирішенні завдань передбачають самостійне отримання даних, створюється передумова для розвитку професійних умінь проводити опитування, працювати з довідковою <a href="Література" title="Література">літературою</a> і так далі. Крім того, вирішуючи такі завдання, учні реально бачать зв'язок досліджуваного ними матеріалу з практикою [11]. <br /> Серед способів самостійного отримання вихідної інформації виділяють наступні. <br /> · Використання опублікованої <a href="Інформація" title="Інформація">інформації </a>(довідкова <a href="Література" title="Література">література</a>, журнали, <a href="Інтернет" title="Інтернет">Інтернет</a> і т.д.). Вирішення таких завдань розвиває в учнів уміння працювати зі спеціальною літературою. Також модно пропонувати завдання, пов'язані з динамічним <a href="Прогнозування" title="Прогнозування">прогнозуванням</a>: студентам потрібно взяти опубліковані відомості про <a href="Розвиток" title="Розвиток">розвиток</a> певного явища (спортивного результату, росту дітей, кількість дітей, які займаються у секціях), на їх основі побудувати <a href="Математика" title="Математика">математичну</a> модель розвитку цього явища в часі, спрогнозувати рівень розвитку на поточний період і порівняти з реальним значенням. <br /> · Самостійне отримання даних у результаті експерименту. Даний тип задач рекомендується для спортсменів, так як вони часто здають різні нормативи, тому їм не потрібно проводити досліди спеціально. <br /> Пропоновані завдання підходять для <a href="Аудитория" title="Аудитория">аудиторної</a> і для домашньої роботи, так як збір даних не забирає багато часу і не відволікає від виконання завдання. <br /> Так як немає спеціалізованої літератури, яка б містила завдання, що задовольняє наведеним вище вимогам, то вчителю доведеться самостійно складати задачі. Досить багато цікавих завдань, які після переробки можна використовувати, знаходяться у таких джерелах: [18], [6], [16], [3], [23], [1]. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 2.4. <a href="Методика_викладання" title="Методика викладання">Методика викладання</a> теорії ймовірностей і математичної статистики в середній школі </h2> Вивчення поняття події часто поєднується у учнів з труднощами психологічного характеру. Його зазвичай учні сприймають як одиничне виконання якої-небудь дії. Тому формування уявлення про даному понятті має починатися з розгляду <a href="Найпростіші" title="Найпростіші">найпростіших</a> імовірнісних моделей. <br /> Перші праці, пов'язані з теорією ймовірності належали Галілею [26]. У нашому житті часто доводиться мати справу з випадковими явищами, тобто <a href="Ситуація" title="Ситуація">ситуаціями</a>, результат яких не можна точно передбачити. Наприклад, ми не можемо точно сказати при підкиданні монети впаде вона вгору гербом або цифрою [8]. <a href="Аналогія_2" title="Аналогія 2"> Аналогічно</a> не можемо точно сказати, скільки очок виб'є стрілок на змаганнях. <br /> Тоді випадковим подією буде називатися будь-яка <a href="Подія" title="Подія">подія</a>, пов'язане з випадковим експериментом. <br /> Під <a href="Випробування" title="Випробування">випробуванням</a> в теорії ймовірностей прийнято приймати спостереження якогось явища при дотриманні певного набору умов, який кожен раз повинен виконуватися при повторенні даного випробування. Якщо те ж саме випробування проводитися при іншому наборі умови, то вважається, що це вже інше випробування. <br /> Результати випробувань можна охарактеризувати якісно і кількісно. <br /> Якісна характеристика полягає в реєстрації будь-якого явища, яке може спостерігатися чи ні при даному випробуванні. Будь-яке з явищ називається подією. <br /> Ще одним елементом, що сприяє формуванню уявлення про поняття «подія», є наступна класифікація. <a href="Подія" title="Подія"> Подія</a> буває: <br /> · Достовірним (завжди відбувається в результаті випробування); <br /> · Неможливим (ніколи не відбувається); <br /> · Випадковим (може відбутися або не відбутися в результаті випробування). <br /> Після визначення цих понять слід навести приклад. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>При підкиданні кубика неможлива <a href="Подія" title="Подія">подія</a> - кубик стане на ребро, випадкова подія - випадання будь-якої <a href="Межі" title="Межі">межі</a>.</i> <br /> Кількісна характеристика випробування висловлює значення деяких величин, якими цікавляться при цьому <a href="Випробування" title="Випробування">випробуванні </a>(наприклад, число підтягувань, час на біговій дистанції). До випробування не можна сказати чого буде дорівнює дана величина, тому вона називається випадковою. <br /> Далі спираючись на введені визначення і на життєвий досвід учнів необхідно розглянути задачі на визначення типу події. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Оцініть, які з перерахованих подій є достовірними, неможливими і які випадковими.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Поясніть чому.</i> <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>1. На змаганнях зі стрибків у довжину з місця легкоатлет стрибнув на відстань</i> <st1:metricconverter ProductID="300 метров" w:st=on> <i style=mso-bidi-font-style:normal>300 метрів</i> </st1:metricconverter> <i style=mso-bidi-font-style:normal>.</i> <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>2. <a href="Збірна" title="Збірна">Збірна</a> Росії з <a href="Футбол" title="Футбол">футболу</a> їде на чемпіонат Європи.</i> <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>3. При киданні гральних кубиків випаде парне число очок.</i> <br /> Важливо розглянути велику кількість прикладів подій і випадкових експериментів. <br /> Крім випадкової події, з досвідом пов'язано ще одне важливе поняття - поняття елементарного результату. Коли ми говоримо про дотримання набору умов даного випробування, ми маємо на увазі сталість значень усіх факторів, контрольованих в даному випробуванні. Але при цьому може бути велика кількість неконтрольованих факторів (наприклад, погода, вітер і т.д.), які важко або неможливо врахувати. Отже, значення неконтрольованих факторів можуть бути різними при кожному повторенні випробування, тому результати випробування виявляються випадковими.<a href="Подія" title="Подія"> Подія</a> може відбутися або не відбутися. <br /> <a href="Теорія_ймовірності" title="Теорія ймовірності"> <a href="Теорія" title="Теорія">Теорія</a> ймовірностей</a> розглядає саме такі події, при цьому передбачається, що випробування може бути повторений будь-яку кількість разів. <br /> Наприклад, виконання штрафного кидка в <a href="Баскетбол" title="Баскетбол">баскетболі</a> є іспит, а попадання в кільце - результат. Інший приклад результату - це випадання певного числа очок при киданні гральної кістки. На відміну від інших подій результати ще називають елементарними подіями, бажаючи підкреслити, що ці події складаються тільки з одного результату і не подільні на більш дрібні. <br /> Далі слід сказати, що в теорії ймовірностей події позначаються прописними (заголовними) <a href="Латинська" title="Латинська">латинськими</a> літерами: <i style=mso-bidi-font-style:normal>A, B, C, D</i> ... <br /> Після введення трьох важливих понять: випадковий експеримент, випадкова подія, результат, модно переходити до визначення ймовірності. <br /> Першим має бути розглянуто статистичне поняття ймовірності. <br /> Розглянемо деяку кількість випробувань, в результаті яких з'явилося подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А.</i> Нехай було вироблено <i style=mso-bidi-font-style:normal>N</i> випробувань, в результаті яких подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> з'явилося рівно <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> раз. Тоді відношення <o:lock v:ext=edit aspectratio=t /><img width=23 height=48 src=dopb443261.zip v:shapes=_x0000_i1025><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1025 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436607></o:OLEObject></xml> називають відносною частотою (частість). <br /> При великій кількості повторень випробування частость подій мало змінюється і стабілізується біля певного значення, а при невеликій кількості повторень вона може приймати різні значення. Тому інтуїтивно зрозуміло, що при великій кількості повторень випробування частость події буде прагнути до певного числовому значенню. Таке значення прийнято називати ймовірністю події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> і позначають <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А).</i> <br /> Таким чином, ймовірністю випадкової події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> називається число <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А),</i> до якого наближається відносна частота цієї події при великому повторенні числа експериментів. <br /> У математиці необмежене число повторень прийнято записувати у вигляді межі при <i style=mso-bidi-font-style:normal>N</i> прагне до нескінченності: <img width=109 height=48 src=dopb443262.zip v:shapes=_x0000_i1026><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1026 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436608></o:OLEObject></xml> . <br /> Дане визначення називають статистичними визначенням ймовірності. Далі слід пояснити, що знайти ймовірність з допомогою цього визначення не можна, тому що немає гарантій, що відносна частота буде до чогось наближатися; також не можна сказати, наскільки багато повторень експерименту потрібно зробити, щоб отримана частота досить добре наближала ймовірність. <br /> Виходячи з цього визначення, учні можуть <a href="Встанови" title="Встанови">встановити</a>, що ймовірність укладена в інтервалі: <img width=93 height=24 src=dopb443263.zip v:shapes=_x0000_i1027><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1027 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436609></o:OLEObject></xml> . Так як <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> завжди більше або дорівнює <i style=mso-bidi-font-style:normal>N.</i> <br /> Слід запропонувати завдання на проведення серії експериментів з метою оцінити ймовірності можливих результатів експерименту. При цьому можна використовувати групову форму роботи і в кінці об'єднати результати всіх груп для отримання висновків про відносну частоті подій. Прикладом такого завдання може служити підкидання монети. Це є простим і наочним випробуванням. Практика людини говорить про те, що при великому числі кидання приблизно в 50% випробувань випаде «орел», а в 50% - «решка». <br /> Після цього слід перейти до вивчення класичної ймовірності. Введення іншого визначення можна обгрунтувати тим, що не в кожному випадку можна провести довгу серію експериментів. У деяких випадках ймовірності подій можуть бути легко визначені виходячи з умов випробувань. Тут необхідно згадати поняття елементарного результату. <br /> Нехай випробування має <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> можливих результатів, тобто подій, які можуть з'явитися в результаті даного випробування. При кожному повторенні можливо поява тільки одного з даних результатів (тобто всі <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> результатів несумісні). Крім того, за умовами випробування не можна сказати які результати з'являються частіше за інших, тобто всі результати є <i style=mso-bidi-font-style:normal>рівноможливими.</i> Припустимо тепер що при <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> равновозможних исходах інтерес представляє подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">А,</i> яке з'являється тільки при <i style="mso-bidi-font-style: normal">m</i> випадки і не з'являється при інших результатах. Прийнято говорити, що в даному випробуванні є <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> випадків, з яких <i style=mso-bidi-font-style:normal>m</i> сприяють появі події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А.</i> <br /> У такому випадку ймовірність можна обчислити, як відношення числа випадків сприяють появі події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> (тобто <i style=mso-bidi-font-style:normal>m),</i> до загального числа всіх результатів <i style=mso-bidi-font-style:normal>n:</i> <img width=77 height=48 src=dopb443264.zip v:shapes=_x0000_i1028><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1028 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436610></o:OLEObject></xml> . <br /> Ця формула є визначення ймовірності по Лапласа, яке прийшло з області азартних ігор, де <a href="Теорія_ймовірностей" title="Теорія ймовірностей">теорія ймовірностей</a> застосовувалася для визначення перспективи виграшу. <br /> Після розгляду найпростіших прикладів обчислення ймовірності учням може здатися, що обчислення ймовірностей будь-якої події не викликає особливих труднощів, тому вчителю потрібно застерегти учнів від помилок. Для цього учням може бути запропонований наступний алгоритм при вирішенні завдань на знаходження ймовірності. <br /> 1. Перерахувати можливі результати досвіду (повне або часткове). <br /> 2. Обгрунтувати рівноможливими перерахованих випадків (можна спиратися на прямі вказівки в тексті задачі: випадково, навмання і т.д.). <br /> 3. Обчислити загальна кількість випадків (тобто число <i style="mso-bidi-font-style: normal">n).</i> <br /> 4. Описати сприятливі наслідки для даної події і обчислити їх кількість. <br /> 5. Обчислити ймовірність за формулою. <br /> 6. Оцінити отриманий результат. <br /> На перших етапах слід пропонувати завдання, в яких число фіналів досвіду можна перерахувати вручну, без використання формул комбінаторики. Після отримання відповіді необхідно обговорити з учнями його реальний зміст. З'ясувати чи збігається отримана величина з інтуїтивним уявленням учнів про ймовірність, чи задовольняє основним властивостям. <br /> Для того щоб визначити ймовірність потрібно знати кількість випадків, а також кількість сприятливих результатів. Якщо кількість випробувань мало, то можна вручну перебрати всі результати і виявити серед них сприятливі. <a href="Що_робити" title="Що робити"> Що робити</a> в тому випадку, якщо кількість випробувань велике? <br /> У такому випадку на допомогу приходить <a href="Комбінаторика" title="Комбінаторика">комбінаторика</a>. <br /> <a href="Комбінаторіка" title="Комбінаторіка"> Комбінаторика</a> - розділ математики, який вивчає різні комбінації та перестановки предметів [5]. Починати вивчення комбінаторики слід з введення найпростіших формул. Перед тим як дати учням формулу слід поставити будь-яку проблемну задачу, наприклад, перед тим як дати учням формулу перестановок можна дати вирішити таку задачу. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Скільки чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3?</i> <br /> Вирішуючи цю задачу систематичним перебором, ми знайдемо, що кількість таких чисел буде дорівнює шести. Далі слід змінити умову задачі, збільшивши кількість цифр до 10. І сказати, що вирішувати це завдання перебором нераціонально, так як на це <a href="ПІДЕ" title="ПІДЕ">піде</a> дуже багато часу. Для вирішення завдань такого виду використовується наступна теорема. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Нехай є, k груп елементів, причому кожна група елементів містить певну кількість елементів, наприклад, 1-а містить n <sub>1</sub> елемент, 2-а група - n <sub>2</sub> елементів, тоді i-я група містить n</i> <sub><i style="mso-bidi-font-style: normal">i</i></sub> <i style=mso-bidi-font-style:normal>елементів.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Тоді загальне число N способів, якими можна зробити <a href="Такий" title="Такий">такий</a> вибір, дорівнює</i> <img width=125 height=25 src=dopb443265.zip v:shapes=_x0000_i1029><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1029 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436611></o:OLEObject></xml> . <br /> Учитель повинен звернути увагу учнів на те, що правило множення підраховує впорядковані набори, тобто порядок в них важливий. <br /> Цю формулу можна застосувати до вирішення наступного завдання. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Скільки існує п'ятизначних натуральних чисел.</i> <br /> Рішення. Як відомо всього 10 цифр. Уявімо п'ятизначне число, як, де замість першої зірочки можна <a href="Підстави" title="Підстави">підставити</a> всі цифри крім 0, тому що якщо <a href="Підстави" title="Підстави">підставимо</a> 0, то отримаємо чотиризначне число (нам треба п'ятизначне). Замість другої зірочки можна підставити будь-яку з 10 цифр, аналогічно замість залишилися можна підставляти будь-яку з 10 цифр. Таким чином, у нас є 5 груп елементів, перша група містить 9 елементів, а 4 групи містити по 10 елементів. Тоді, використовуючи формулу, знайдемо кількість п'ятизначних чисел: <img width=217 height=20 src=dopb443266.zip v:shapes=_x0000_i1030><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1030 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436612></o:OLEObject></xml> . <br /> Потрібно дати декілька вправ на обчислення виразів з факторіалом, щоб учні краще оволоділи навичками роботи з ними. <br /> Далі розглядається теорема про вибір з урахуванням порядку. <br /> Загальна кількість вибору <i style=mso-bidi-font-style:normal>k</i> елементів з <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> елементів з урахуванням порядку визначається формулою <img width=105 height=51 src=dopb443267.zip v:shapes=_x0000_i1031><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1031 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436613></o:OLEObject></xml> і називається числом розміщень з <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> елементів по <i style=mso-bidi-font-style:normal>k</i> елементів. <br /> Наведемо приклад. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>В обласних змаганнях з футболу бере участь 8 команд.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Потрібно визначити скількома способами можна скласти групу їх 4 команд.</i> <br /> Іншими словами, нам потрібно вибрати 4 футбольних команди з 8 команд, тобто: <img width=267 height=51 src=dopb443268.zip v:shapes=_x0000_i1032><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1032 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436614></o:OLEObject></xml> . <br /> Далі розглядається теорема про вибір без урахування порядку. <br /> Загальна кількість вибірок в схемі вибору <i style=mso-bidi-font-style:normal>k</i> елементів з <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> без повернення та без урахування порядку визначається формулою <img width=121 height=51 src=dopb443269.zip v:shapes=_x0000_i1033><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1033 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436615></o:OLEObject></xml> і називається числом сполучень з <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> елементів по <i style=mso-bidi-font-style:normal>k</i> елементів. <br /> Розглянемо приклад. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>На занятті з фізкультури були присутні 20 чоловік.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Вчитель попросив двох людей принести з роздягальні м'ячі.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Скількома способами можна вибрати учнів, для того щоб вони принесли м'ячі?</i> <br /> Рішення. Порядок у якому будуть обрані учні не істотний, отже: <img width=267 height=51 src=dopb443270.zip v:shapes=_x0000_i1034><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1034 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436616></o:OLEObject></xml> способів. <br /> Після вивчення основних формул комбінаторики слід дати учням завдання на обчислення ймовірності, для вирішення яких необхідно застосовувати <a href="Комбінаторні_формули" title="Комбінаторні формули">комбінаторні формули</a>. <br /> Далі вводимо основні операції над подіями. При введенні не слід користуватися колами Ейлера, оскільки учні мало знайомі з теорією множин. Після визначення операції можна навести приклад описує дану операцію. <br /> Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>С</i> називається <u>сумою</u> <i style=mso-bidi-font-style:normal>А + В,</i> яке є подія, що складається з появі хоч би однієї з подій <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>В.</i> <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Впадає кубик.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Подія А - випаде число 2.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Подія В - випаде непарне число.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Тоді подія С = А + В.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Буде складатися в випадання двійки або непарного числа.</i> <br /> Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>C</i> називається <u>твором</u> <i style=mso-bidi-font-style:normal>A</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>B,</i> якщо воно складається з усіх подій, що входять і в <i style="mso-bidi-font-style: normal">A,</i> і в <i style=mso-bidi-font-style:normal>B.</i> <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>З = А ∙ В (А - випаде 3, В - випаде непарне число).</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Тоді З полягає у випадання тільки числа 3, так як 3 є непарним числом.</i> <br /> <u>Протилежним</u> події <i style="mso-bidi-font-style: normal">A,</i> називається подія, яке у непоявленія події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А.</i> Позначається протилежне подія символом <img width=17 height=23 src=dopb443271.zip v:shapes=_x0000_i1035><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.2 ShapeID=_x0000_i1035 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436617></o:OLEObject></xml> . <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Протилежними подіями є промах і потрапляння при пострілі, або випаданні герба або цифри при одному підкиданні монети.</i> <br /> Далі дамо визначення спільних, несумісних подій і залежних, незалежних подій. <br /> Події <i style=mso-bidi-font-style:normal>A</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>B</i> називаються <u>несумісними,</u> якщо вони не можуть відбутися в результаті одного випробування. Події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>В</i> називаються <u>спільними,</u> якщо вони можуть відбутися в результаті одного випробування. <br /> Тут також слід розглянути приклади, для кращого засвоєння цих понять. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Випробування - один раз підкидаємо монету.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Події: А - випаде <a href="Орел" title="Орел">орел</a>; В - випаде решка.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Події А і В несумісні, тому що при підкиданні однієї монети одночасно не випаде орел і решка.</i> <br /> Подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> називається <u>незалежною</u> від події <i style="mso-bidi-font-style: normal">В,</i> якщо ймовірність появи події <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> не залежить від того, відбулася подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">В</i> чи ні. Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> називається <u>залежним</u> від події <i style=mso-bidi-font-style:normal>В,</i> якщо ймовірність події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> змінюється в залежності від того, відбулася подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>В</i> чи ні. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Уточнимо поняття незалежних подій.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Будемо кидати дві монети і позначимо як подія A той факт, що перша монета впаде гербом, подія B - друга монета впаде гербом, подія C - на одній (і тільки на одній) монеті випаде <a href="Герб" title="Герб">герб</a>.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Тоді події A, B, C попарно незалежні, але два з них повністю визначають третє.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Дійсно, A і B незалежні, так як результати другого кидка ніяк не залежать від першого кидка, A і C (а також B і C) можуть здатися залежними, але перебором варіантів можна отримати, що</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=183 height=47 src=dopb443272.zip v:shapes=_x0000_i1036></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1036 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436618></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>, Значить, вони за визначенням незалежні.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>З іншого боку, легко переконатися, що будь-які дві події однозначно визначають третє.</i> <br /> На цьому прикладі добре видно, що події можуть бути попарно незалежні, але залежні у сукупності. <br /> Вивчивши основні операції над подіями, можна перейти до ймовірності. А саме привести основні правила, що дозволяють визначити ймовірність появи складної події, що складається з більш простих подій, імовірність яких нам відома. <br /> <u>Імовірність достовірного події</u> дорівнює одиниці: <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р</i> <i style="mso-bidi-font-style: normal">(E)</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>=</i> 1. <br /> <u>Ймовірність суми несумісних подій</u> дорівнює сумі їх імовірностей: <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А <sub>1</sub> + А <sub>2</sub> + ... + А <sub>n)</sub> = Р (А <sub>1)</sub> + Р (А <sub>2)</sub> + ... + Р (А <sub>n).</sub></i> <br /> Ці два рівності є аксіомами, тобто не потребують доказів. На основі цих рівностей будується вся теорія ймовірностей. Наведені нижче формули можна вивести за допомогою цих аксіом. <br /> <u>Імовірність неможливого події</u> дорівнює 0: <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р</i> (Ш) = <i style=mso-bidi-font-style:normal>0.</i> <br /> <u>Можливість протилежного події</u> дорівнює: <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р</i> <i style="mso-bidi-font-style: normal">(Ā)</i> = 1 - <i style="mso-bidi-font-style: normal">Р</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>(А).</i> <i style="mso-bidi-font-style: normal"> </i><br /> <u>Ймовірність суми довільних подій</u> дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності твори подій: <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ).</i> <br /> Тепер згадаємо визначення незалежних подій. <br /> Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> і <i style="mso-bidi-font-style: normal">В</i> називаються <u>незалежними,</u> якщо <i style="mso-bidi-font-style: normal">Р (АВ) = Р (А) Р (В).</i> <br /> На практиці часто плутають незалежні і несумісні події, це різні поняття. Іншими словами можна сказати, якщо події пов'язані незалежними <a href="Експеримент_6" title="Експеримент 6">експериментами</a>, то й самі події будуть незалежними. <br /> Показати застосування вивчених правил можна при вирішенні наступного завдання. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>На змаганнях зі стрільби з лука три стрілка зробили по одному <a href="ПОСТРІЛ" title="ПОСТРІЛ">пострілу</a> по мішені.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Ймовірність влучення в мішень для одного зі стрільців дорівнює 0,6, для іншого - 0,7, для третього - 0,93.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Знайти ймовірність того, що: а) хоча б один з стрільців потрапить у мішень, б) тільки один із стрільців потрапить у мішень, в) ні один із стрільців не потрапить у мішень.</i> <br /> Рішення. Нехай подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> - перший стрілок поцілив у мішень, тоді <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (A)</i> = 0,6; Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>В</i> - другий стрілок поцілив у мішень, тоді <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (В)</i> = 0,7; Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>З</i> - третій стрілок поцілив у мішень, тоді <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (С)</i> = 0,93. <br /> У цьому завданню всі події є незалежними, так як стріляють, незалежно один від одного. <br /> а) Нехай подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>S</i> - хоча б один з стрільців потрапить у мішень. Згадаймо визначення суми подій: подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>С</i> називається сумою <i style="mso-bidi-font-style: normal">А + В,</i> яке є подія, що складається з появі хоч би однієї з подій <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>В.</i> Дане визначення можна застосувати і до більшого числа подій. Отже подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">S</i> = <i style=mso-bidi-font-style:normal>А + В + С.</i> Тобто нам потрібно знайти <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А + В + С).</i> А так як усі події незалежні то, застосовуючи формулу суми і твори незалежних подій, отримуємо: <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С)-Р (АВ)-Р (АС)-Р (ВС) + Р (АВС) = 0,99.</i> <br /> б) Нехай подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>S</i> - тільки один із стрільців потрапить у мішень. Дана подія можна представити як суму наступних подій: <img width=155 height=24 src=dopb443273.zip v:shapes=_x0000_i1037><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1037 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436619></o:OLEObject></xml> . Розглянемо докладно подія <img width=43 height=24 src=dopb443274.zip v:shapes=_x0000_i1038><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1038 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436620></o:OLEObject></xml> , Але для початку згадаємо визначення твору подій: подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>C</i> називається твором <i style=mso-bidi-font-style:normal>A</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>B,</i> якщо воно складається з усіх подій, що входять і в <i style="mso-bidi-font-style: normal">A,</i> і в <i style=mso-bidi-font-style:normal>B.</i> Отже, подія <img width=43 height=24 src=dopb443274.zip v:shapes=_x0000_i1039><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1039 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436621></o:OLEObject></xml> означає, що перший <a href="Гравець" title="Гравець">гравець</a> потрапить, а два інших промажут, аналогічно розглядаються два інших складових. Дані складові є несумісною, оскільки поява одного з них виключає появу двох інших. Значить можна застосувати формулу суми несумісних подій, а потім формулу твори незалежних подій: <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=155 height=24 src=dopb443273.zip v:shapes=_x0000_i1040></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1040 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436622></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) = Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=43 height=24 src=dopb443274.zip v:shapes=_x0000_i1041></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1041 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436623></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) + Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=43 height=24 src=dopb443275.zip v:shapes=_x0000_i1042></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1042 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436624></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) + Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=43 height=24 src=dopb443276.zip v:shapes=_x0000_i1043></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1043 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436625></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) =</i> <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>= Р (А) Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=17 height=21 src=dopb443277.zip v:shapes=_x0000_i1044></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1044 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436626></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=19 height=24 src=dopb443278.zip v:shapes=_x0000_i1045></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1045 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436628></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) + Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=17 height=23 src=dopb443271.zip v:shapes=_x0000_i1046></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1046 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436629></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) Р (В) Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=19 height=24 src=dopb443278.zip v:shapes=_x0000_i1047></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1047 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436630></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) + Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=17 height=23 src=dopb443271.zip v:shapes=_x0000_i1048></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1048 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436631></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=17 height=21 src=dopb443277.zip v:shapes=_x0000_i1049></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1049 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436632></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) Р (С)</i> <br /> Однак таку ймовірність можна обчислити легше. Згадаймо, як обчислюється ймовірність протилежного події: <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (Ā) =</i> 1 - <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А).</i> Застосувавши цю формулу, обчислимо імовірність і в результаті отримаємо, що <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р</i> ( <img width=155 height=24 src=dopb443273.zip v:shapes=_x0000_i1050><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1050 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436633></o:OLEObject></xml> ) = 0,1438. <br /> в) Складемо заперечення до події, що розглядається в пункті а). Якщо подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>S</i> - хоча б один з стрільців потрапить у мішень, то тоді <img width=17 height=24 src=dopb443279.zip v:shapes=_x0000_i1051><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1051 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436634></o:OLEObject></xml> - Жоден із стрільців не потрапить у мішень. Отже для вирішення даного завдання потрібно знайти <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=17 height=24 src=dopb443279.zip v:shapes=_x0000_i1052></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1052 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436635></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>).</i> Обчислимо за допомогою формули протилежного події: <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=17 height=24 src=dopb443279.zip v:shapes=_x0000_i1053></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1053 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436636></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) = 1 - Р (</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><img width=16 height=20 src=dopb443280.zip v:shapes=_x0000_i1054></i> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1054 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436637></o:OLEObject></xml> <i style=mso-bidi-font-style:normal>) =</i> 1 - 0,99 = 0,01. <br /> Виникає питання, як обчислювати ймовірність залежного події. Тобто ймовірність події, за умови, що інша подія вже відбулася. Для цього ввели поняття умовної ймовірності. <br /> <u>Умовною ймовірністю</u> події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А,</i> за умови, що вже відбулася подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>В,</i> називається відношення ймовірностей <i style=mso-bidi-font-style:normal>P (АВ)</i> до <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А)</i> і позначається <img width=51 height=25 src=dopb443281.zip v:shapes=_x0000_i1055><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1055 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436638></o:OLEObject></xml> : <img width=123 height=51 src=dopb443282.zip v:shapes=_x0000_i1056><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1056 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436639></o:OLEObject></xml> . <br /> З цієї формули можна вивести формулу ймовірності добутку двох залежних подій: <img width=168 height=25 src=dopb443283.zip v:shapes=_x0000_i1057><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1057 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436640></o:OLEObject></xml> . <br /> Вирішимо наступне завдання. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Впадає гральний кубик.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Яка ймовірність того, що випало число очок, більше трьох (подія А), якщо відомо, що випала парна грань (подія В)?</i> <br /> Рішення. Події <i style="mso-bidi-font-style: normal">В</i> <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідає</a> випадання чисел 2, 4, 6. Події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> випадання чисел 4, 5, 6. Події <i style=mso-bidi-font-style:normal>АВ</i> - 4, 6. Тому, використовуючи формулу умовної ймовірності, отримаємо: <img width=205 height=51 src=dopb443284.zip v:shapes=_x0000_i1058><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1058 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436641></o:OLEObject></xml> . <br /> Нехай деяка подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> може настати за умови появу одного з несумісних подій <i style="mso-bidi-font-style: normal">В <sub>1,</sub> В <sub>2,</sub> ..., У <sub><i style=mso-bidi-font-style:normal>n.</i></sub></i> Причому відомі ймовірності цих подій і відомі умовні ймовірності <img width=72 height=31 src=dopb443285.zip v:shapes=_x0000_i1059><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1059 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436642></o:OLEObject></xml> , <img width=75 height=31 src=dopb443286.zip v:shapes=_x0000_i1060><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1060 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436643></o:OLEObject></xml> , ..., <img width=76 height=25 src=dopb443287.zip v:shapes=_x0000_i1061><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1061 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436644></o:OLEObject></xml> . Як можна знайти ймовірність події <i style="mso-bidi-font-style: normal">А?</i> <br /> <a href="Відповідь" title="Відповідь"> Відповідь</a> на це питання дає теорема: <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Ймовірність події А, яка може наступити лише за умови появу одного з несумісних подій В <sub>1,</sub> В <sub>2,</sub> ..., У <sub>n,</sub> що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірності кожного з цих подій на власну умовну ймовірність:</i> <img width=374 height=25 src=dopb443288.zip v:shapes=_x0000_i1062><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1062 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436645></o:OLEObject></xml> . <br /> Цю формулу також називають формулою повної ймовірності. <br /> Цю формулу можна застосувати для вирішення наступного завдання. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Для контролю продукції лижної фабрики з трьох партій лиж взята на перевірку одна деталь.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Яка ймовірність виявлення бракованої продукції, якщо в одній партії 2 / 3 лиж браковані, а в двох інших все доброякісні?</i> <br /> Рішення. Нехай подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>В -</i> взята деталь бракована, <i style=mso-bidi-font-style:normal>А <sub>к</sub></i> - деталь береться з <i style=mso-bidi-font-style:normal>к-ой</i> партії, тоді ймовірність <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А <sub>к)</sub> = 1 / 3,</i> де <i style=mso-bidi-font-style:normal>к</i> = 1, 2, 3. <br /> Нехай у першій партії знаходяться браковані лижі, значить <img width=83 height=48 src=dopb443289.zip v:shapes=_x0000_i1063><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1063 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436646></o:OLEObject></xml> , Тоді в двох інших партіях немає бракованих лиж, тобто: <img width=166 height=25 src=dopb443290.zip v:shapes=_x0000_i1064><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1064 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436647></o:OLEObject></xml> . <br /> Застосовуючи формулу повної ймовірності отримаємо: <br /><img width=456 height=48 src=dopb443291.zip v:shapes=_x0000_i1065><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1065 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436648></o:OLEObject></xml> . <br /> Для введення формули Бейеса складемо завдання. Нехай дано подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">А,</i> воно може наступити при появі одного з несумісних Подій <i style=mso-bidi-font-style:normal>В <sub>1,</sub> В <sub>2,</sub> ..., У <sub>n,</sub></i> які утворюють повну групу. Так, як нам заздалегідь не відомо, яка подія настане, їх називають гіпотезами. Припустимо, що проведено випробування в результаті, якого з'явилося подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А.</i> Поставимо своїм завданням визначити, як змінилися ймовірності гіпотез, у зв'язку з тим, що подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> вже настав. Іншими словами визначимо такі умовні ймовірності: <img width=69 height=25 src=dopb443292.zip v:shapes=_x0000_i1066><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1066 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436649></o:OLEObject></xml> , <img width=72 height=25 src=dopb443293.zip v:shapes=_x0000_i1067><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1067 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436650></o:OLEObject></xml> , ..., <img width=72 height=25 src=dopb443294.zip v:shapes=_x0000_i1068><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1068 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436651></o:OLEObject></xml> . <br /> Визначити дані ймовірності можна за допомогою формули Бейеса: <br /><img width=183 height=51 src=dopb443295.zip v:shapes=_x0000_i1069><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1069 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436652></o:OLEObject></xml> . <br /> Замінивши <img width=456 height=25 src=dopb443296.zip v:shapes=_x0000_i1070><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1070 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436653></o:OLEObject></xml> , Отримаємо: <img width=471 height=52 src=dopb443297.zip v:shapes=_x0000_i1071><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1071 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436654></o:OLEObject></xml> . <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Прилад складається з двох вузлів; робота кожного вузла необхідна для роботи приладу в цілому.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) протягом часу t першого вузла дорівнює p <sub>1,</sub> друге р <sub>2.</sub></i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Прилад випробовувався в плині часу t, в результаті чого виявлено, що він відмовив.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Знайти ймовірність того, що відмовив перший вузол, а другий справний.</i> <br /> Рішення. Нехай подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>В</i> - прилад відмовив, подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А <sub>1</sub></i> - обидва вузла справні, <i style=mso-bidi-font-style:normal>А <sub>2</sub></i> - перший вузол відмовив, а другий іспарвен, <i style=mso-bidi-font-style:normal>А <sub>3</sub></i> - перший вузол справний, а другий вузол відмовив, <i style="mso-bidi-font-style: normal">А <sub>4</sub></i> - обидва вузла відмовили. Ці події утворюють повну групу подій. Знайдемо їх ймовірності: <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А <sub>1)</sub> = р <sub>1</sub> р <sub>2;</sub> Р (А <sub>2)</sub> = (1-р <sub>1)</sub> р <sub>2;</sub> Р (А <sub>3)</sub> = р <sub>1 (1-р 2);</sub> Р (А <sub>4)</sub> = (1-р <sub>1)</sub> (1-р <sub>2).</sub></i> Оскільки спостерігалося подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>В,</i> то <img width=83 height=25 src=dopb443298.zip v:shapes=_x0000_i1072><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1072 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436655></o:OLEObject></xml> , <img width=151 height=25 src=dopb443299.zip v:shapes=_x0000_i1073><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1073 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436656></o:OLEObject></xml> . Застосовуючи формулу Бейеса отримаємо: <br /><img width=453 height=52 src=dopb443300.zip v:shapes=_x0000_i1074><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1074 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436657></o:OLEObject></xml> . <br /> Вивчення випадкових величин вимагає зв'язку цих величин з певними подіями, які полягають в попаданні випадкової величини в деякий інтервал і для яких визначені ймовірності. Іншими словами необхідно пов'язати випадкову величину з полем даного випробування. <br /> Для кращого розуміння, вчителю слід навести приклад. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>При киданні кістки могли з'явитися цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Наперед визначити число випали очок неможливо, так як це залежить від багатьох випадкових величин, які повністю не можуть бути враховані.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>У цьому сенсі число очок є величина випадкова, і числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 - є можливі значення цієї величини.</i> <br /> <u>Випадкової</u> називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, наперед невідоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. <br /> Будемо позначати <a href="Випадкові_величини" title="Випадкові величини">випадкові величини</a> прописними (заголовними) літерами: <i style=mso-bidi-font-style:normal>X, Y, Z,</i> а їх можливі значення <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідними</a> малими літерами <i style=mso-bidi-font-style:normal>x, y, z.</i> Якщо величина <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> має три значення то вони будуть позначені так: <i style=mso-bidi-font-style:normal>х <sub>1,</sub> х <sub>2,</sub> х <sub>3.</sub></i> <br /> Зазвичай розглядаються два типи випадкових величин: дискретні і безперервні. Розглянемо наступний приклад. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Число <a href="Хлопчик" title="Хлопчик">хлопчиків</a> пішли в секцію бальних танців серед 100 прийшли туди людей є випадкова величина, яка може приймати такі значення 0, 1, 2, ..., 100.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Ці значення відокремлені один від одного проміжками, в яких немає можливих значень Х.</i> <br /> Таким чином, в цьому прикладі випадкова величина приймає окремі ізольовані значення. Наведемо другий приклад. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Відстань, яку пролетить диск при метанні, є величина випадкова.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Дійсно величина залежить від багатьох чинників, наприклад від вітру, температури та інших факторів, які не можуть бути повністю враховані.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (а; b).</i> <br /> У даному прикладі випадкова величина може прийняти будь-яке із значень проміжку <i style=mso-bidi-font-style:normal>(а; b).</i> Тут не можна відокремити одне можливе значення від іншого проміжком, що не містить можливих значень випадкової величини. <br /> Вже із сказаного можна зробити висновок про те, що доцільно буде розрізняти <a href="Випадкові_величини" title="Випадкові величини">випадкові величини</a>, які приймають лише окремі ізольовані значення, і випадкові величини, можливі значення яких суцільно заповнюють певний проміжок. Далі слід дати чітке визначення дискретної і неперервної випадкової величини. <br /> <u>Дискретної</u> (перервний) називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним. <br /> <u>Безперервної</u> називають випадкову величину, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Очевидно, число можливих значень неперервної випадкової величини нескінченно. <br /> Прикладами неперервних випадкових величин можуть бути спортивний результат в бігу або стрибках, ріст і <a href="Маса" title="Маса">маса</a> тіла людини, сила м'язів та інші. <br /> Для завдання дискретної випадкової величини не достатньо перерахувати всі можливі її значення, потрібно ще вказати їх вірогідність. <br /> Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями; його можна задати таблично, у вигляді формули і графічно. <br /> При табличному завданні перший рядок містить можливі значення, а друга - їх ймовірності: <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>х <sub>1</sub></i> <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>х <sub>2</sub></i> <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>...</i> <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>х <sub>n</sub></i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i><br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>p</i> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>p <sub>1</sub></i> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>p <sub>2</sub></i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i><br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>...</i> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>p <sub>2</sub></i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i><br /></td></tr></table></div> Сума ймовірностей другого рядка таблиці дорівнює одиниці: <img width=148 height=25 src=dopb443301.zip v:shapes=_x0000_i1075><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1075 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436658></o:OLEObject></xml> . Якщо безліч можливих значень <i style="mso-bidi-font-style: normal">Х</i> нескінченно, то ряд <img width=88 height=25 src=dopb443302.zip v:shapes=_x0000_i1076><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1076 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436659></o:OLEObject></xml> збігається і його сума дорівнює одиниці. <br /> Для закріплення слід вирішити завдання. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>У грошовій лотереї випущено 100 квитків.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Розігрується один виграш в 50 р.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>і десять виграшів по 1 р.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Знайти закон розподілу випадкової величини Х - вартості можливого виграшу для власника лотерейного квитка.</i> <br /> Рішення. Напишемо можливі значення <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х: х <sub>1</sub></i> = 50; <i style=mso-bidi-font-style:normal>х <sub>2</sub></i> = 1; <i style="mso-bidi-font-style: normal">х <sub>3</sub></i> = 0. Ймовірності цих можливих значень рівні: <i style=mso-bidi-font-style:normal>р <sub>1</sub></i> = 0,01; <i style="mso-bidi-font-style: normal">р <sub>2</sub></i> = 0,1; <i style=mso-bidi-font-style:normal>р <sub>3</sub></i> = 1 - (0,01 +0,1) = 0,89. <br /> Напишемо вихідний закон розподілу: <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 50 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 10 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>p</i> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,01 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,89 <br /></td></tr></table></div> <a href="Контроль" title="Контроль"> Контроль</a>: 0,01 +0,1 +0,89 = 1 <br /> Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки <i style=mso-bidi-font-style:normal>(х <sub><i style="mso-bidi-font-style: normal">i;</i></sub> p <sub><i style="mso-bidi-font-style: normal">i),</i></sub></i> а потім з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають <u>багатокутником розподілу.</u> Також слід навести приклад побудови такого багатокутника. <br /> Як ми раніше сказали, закон розподілу повністю <a href="Характер" title="Характер">характеризує</a> випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий, і доводиться обмежуватися меншими відомостями. Також для вирішення багатьох завдань не потрібно знати розподілу випадкової величини, а достатньо знати лише деякі узагальнюючі числові характеристики цього розподілу. <br /> Однією з таких характеристик є математичне сподівання. Для більш наочного визначення розглянемо підхід до цього поняття на конкретному прикладі. <br /> Нехай є дискретна випадкова величина <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х,</i> яка може приймати значення <i style=mso-bidi-font-style:normal>x <sub>1,</sub> x <sub>2,</sub></i> ..., <i style=mso-bidi-font-style:normal>x <sub>n.</sub></i> Вірогідність яких відповідно рівні <i style=mso-bidi-font-style:normal>р <sub>1,</sub> р <sub>2,</sub></i> ..., <i style="mso-bidi-font-style: normal">р</i> <sub><i style=mso-bidi-font-style:normal>n.</i></sub> Тоді математичне сподівання <i style=mso-bidi-font-style:normal>М (Х)</i> випадкової величини <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> визначається рівністю: <img width=232 height=25 src=dopb443303.zip v:shapes=_x0000_i1077><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1077 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436660></o:OLEObject></xml> . <br /> Після визначення математичного очікування учням може бути незрозуміло, де воно може стати в нагоді. Насправді математичне сподівання приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини. <br /> Для введення дисперсії можна навести такий приклад. На практиці часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадково величини навколо її середнього значення. Наприклад, в артилерії важливо знати, наскільки купчасто ляжуть снаряди поблизу мети, яка повинна бути вражена.<a href="Саме" title="Саме"> Саме</a> такі завдання вирішує дисперсія. <br /> Дисперсією випадкової величини <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> називається математичне сподівання квадрата відхилень випадкової величини від її математичного сподівання. Дисперсія позначається, як <i style="mso-bidi-font-style: normal">D (x):</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>D (Х) = M [X-М (Х)] <sup>2.</sup></i> <br /> Для обчислення дисперсії часто буває зручно користуватися наступною формулою: дисперсія дорівнює різниці між <a href="Математика" title="Математика">математичним</a> очікуванням квадрата випадкової величини <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> і квадратом її математичного сподівання <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>D (Х) = M (X) 2 - [М (Х)] <sup>2.</sup></i> <br /> Для оцінки розсіяння всіляких значень випадкової величини навколо її середнього значення крім дисперсії служать і інші величини. <br /> Середнім квадратичним відхиленням величини <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> називають квадратний корінь з дисперсії <img width=123 height=31 src=dopb443304.zip v:shapes=_x0000_i1078><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1078 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436661></o:OLEObject></xml> . <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Знайти дисперсію випадкової величини Х, яка задана наступним законом розподілу:</i> <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td width=16 valign=top style="width:12.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td width=60 valign=top style="width:45.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>p</i> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,3 <br /></td><td width=16 valign=top style="width:12.3pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,5 <br /></td><td width=60 valign=top style="width:45.3pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,2 <br /></td></tr></table></div> Рішення. Знайдемо математичне сподівання: <img width=227 height=24 src=dopb443305.zip v:shapes=_x0000_i1079><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1079 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436662></o:OLEObject></xml> . <br /> Знайдемо всілякі значення квадрата відхилення: <img width=191 height=28 src=dopb443306.zip v:shapes=_x0000_i1080><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1080 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436663></o:OLEObject></xml> , <img width=201 height=28 src=dopb443307.zip v:shapes=_x0000_i1081><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1081 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436664></o:OLEObject></xml> , <img width=203 height=28 src=dopb443308.zip v:shapes=_x0000_i1082><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1082 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436665></o:OLEObject></xml> . <br /> Напишемо закон квадрата відхилення: <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>[Х-М (Х)] <sup>2</sup></i> <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1,69 <br /></td><td width=16 valign=top style="width:12.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,09 <br /></td><td width=60 valign=top style="width:45.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 7,29 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>p</i> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,3 <br /></td><td width=16 valign=top style="width:12.3pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,5 <br /></td><td width=60 valign=top style="width:45.3pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,2 <br /></td></tr></table></div> За визначенням <img width=352 height=24 src=dopb443309.zip v:shapes=_x0000_i1083><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1083 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436666></o:OLEObject></xml> . <br /> Використовуючи формулу <i style=mso-bidi-font-style:normal>D (Х) = M (X) <sup>2</sup> - [М (Х)] <sup>2</sup></i> можна знайти дисперсію набагато швидше: <img width=349 height=28 src=dopb443310.zip v:shapes=_x0000_i1084><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1084 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436668></o:OLEObject></xml> . <br /> Далі слід продовжити вивчати статистику.<a href="Математика" title="Математика"> Математична</a> статистика - це розділ математики, в якому вивчаються методи збору, систематизації і обробки результатів спостережень масових випадкових явищ для виявлення існуючих закономірностей [21]. Необхідно грунтовно зупинитися на вивченні статистичних характеристик та їх практичного застосування. Розглянути поняття, складові суть вибіркового методу в статистиці (вибірка, варіанти та ін.) Також слід розглянути способи їх графічного представлення. <br /> У практиці статистичних спостережень розрізняють два види спостережень: <br /> · Суцільне (вивчаються всі об'єкти); <br /> · Вибіркове (не суцільне, коли вивчається частина об'єктів). <br /> Прикладом суцільного спостереження є <a href="Перепис_населення" title="Перепис населення">перепис населення</a>, що охоплює все населення країни. Вибірковими спостереженнями є, наприклад, проводяться <a href="Соціологічні_дослідження" title="Соціологічні дослідження">соціологічні дослідження</a>, що охоплюють частину населення країни, області, району і т.д. <br /> Вся що підлягає вивченню сукупність об'єктів називається <u>генеральною сукупністю.</u> Частину об'єктів, яка відібрана для безпосереднього вивчення з генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю або <u>вибіркою.</u> <br /> Числа об'єктів в генеральній або вибіркової сукупності називають їх обсягами. Генеральна сукупність може мати кінцевий і нескінченний об'єм. <br /> Сутність вибіркового методу полягає в тому, щоб за деякою частини генеральної сукупності (за вибіркою) виносити судження про її властивості в цілому. Зазвичай обмежуються 5-10% всієї досліджуваної сукупності. <br /> Так як надалі ми будемо розглядати вибірковий метод, тому доцільно виділити <a href="Перевал" title="Перевал">переваги</a> вибіркового методу: <br /> · Економія <a href="Витрати" title="Витрати">витрати</a> ресурсів; <br /> · Єдино можливий у випадку нескінченної генеральної сукупності або у випадку, коли дослідженні пов'язано із знищенням спостережуваних об'єктів (наприклад, дослідження довговічності електричних лампочок і т.д.); <br /> · Можливість поглибленого дослідження за рахунок розширення програми дослідження при тих же витратах; <br /> · Зниження помилок реєстрації; <br /> · Неминучі помилки, що виникають у зв'язку з вивченням частини об'єктів, можуть бути заздалегідь оцінені і за допомогою правильної організації вибірки зведені до незначущим величинам. <br /> Між тим, використання суцільного спостереження часто призводить до зниження точності спостереження, а це в ж викликає непереборні помилки, і може призвести до зниження точності суцільного спостереження в порівнянні з вибірковим. Щоб за даними вибірки мати можливість судити про генеральної сукупності, вона повинна бути відібрана випадково. На практиці відбір може виконуватися за допомогою жеребкування (лотереї) або за допомогою випадкових чисел. <br /> Основний недолік вибіркового методу - помилки дослідження, звані помилками репрезентативності. <br /> Вибірка називається <u>репрезентативною</u> (<a href="Представництво" title="Представництво">представницької</a>), якщо вона досить добре відтворює генеральну сукупність. Види вибірок: <br /> · Випадкова вибірка (випадковий вибір елементів без розчленування на частини або групи); <br /> · Механічна вибірка (елементи відбираються через певний інтервал); <br /> · Типова вибірка (вибір випадковим чином елементів з типових груп, на які за деякою ознакою розбивається генеральна сукупність); <br /> · Серійна вибірка (випадковим чином відбираються цілі групи сукупності, а самі серії піддаються суцільному спостереженню). <br /> Способи освіти вибірки: <br /> · Повторний вибір - кожен елемент, випадково відібраний і обстежений, повертається в загальну сукупність і може бути повторно відібраний. <br /> · Бесповторного відбір - коли зворотний елемент не повертається в загальну сукупність. <br /> Потім учням можна дати таблицю з основними характеристиками генеральної сукупності та вибірки. <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=93% style="border-collapse:collapse;mso-table-layout-alt:fixed;border:none; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev: .5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;height:34.2pt><td width=20% style="width:20.68%;border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:34.2pt"> Найменування характеристики <br /></td><td width=40% style="width:40.38%;border:solid windowtext 1.0pt;border-left: none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:34.2pt"> Генеральна сукупність <br /></td><td width=38% style="width:38.96%;border:solid windowtext 1.0pt;border-left: none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:34.2pt"> Вибірка <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;height:38.05pt><td width=20% style="width:20.68%;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:38.05pt"> <a href="Математика" title="Математика"> Математичне</a> сподівання <br /></td><td width=40% style="width:40.38%;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:38.05pt"><img width=201 height=43 src=dopb443311.zip v:shapes=_x0000_i1085><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1085 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436669></o:OLEObject></xml><br /></td><td width=38% style="width:38.96%;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:38.05pt"><img width=140 height=43 src=dopb443312.zip v:shapes=_x0000_i1086><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1086 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436670></o:OLEObject></xml><br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2;height:50.2pt><td width=20% style="width:20.68%;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:50.2pt"> Дисперсія <br /></td><td width=40% style="width:40.38%;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:50.2pt"><img width=252 height=44 src=dopb443313.zip v:shapes=_x0000_i1087><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1087 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436671></o:OLEObject></xml><br /></td><td width=38% style="width:38.96%;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:50.2pt"><img width=237 height=44 src=dopb443314.zip v:shapes=_x0000_i1088><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1088 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436672></o:OLEObject></xml><br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3;mso-yfti-lastrow:yes;height:37.25pt><td width=20% style="width:20.68%;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:37.25pt"> Частка <br /></td><td width=40% style="width:40.38%;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:37.25pt"><img width=49 height=40 src=dopb443315.zip v:shapes=_x0000_i1089><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1089 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436673></o:OLEObject></xml><br /></td><td width=38% style="width:38.96%;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:37.25pt"><img width=47 height=40 src=dopb443316.zip v:shapes=_x0000_i1090><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1090 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436674></o:OLEObject></xml><br /></td></tr></table> Тут <i style=mso-bidi-font-style:normal>х</i> <sub><i style="mso-bidi-font-style: normal">i</i></sub> - значення ознаки; <i style=mso-bidi-font-style:normal>N</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> - обсяги генеральної і вибіркової сукупностей; <i style=mso-bidi-font-style:normal>N <sub>i</sub></i> і <i style="mso-bidi-font-style: normal">n</i> <sub><i style=mso-bidi-font-style:normal>i</i></sub> - число елементів генеральної і вибіркової сукупностей зі значенням ознаки <i style="mso-bidi-font-style: normal">х</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal><sub>i;</sub> M</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>m</i> - число елементів генеральної і вибіркової сукупностей, що володіють даною ознакою. <br /> На нескладному прикладі покажемо, як обчислюються введені характеристики. <br /> Генеральна сукупність задана <a href="Таблиці" title="Таблиці">таблицею</a> розподілу: <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;height:20.7pt><td width=115 valign=top style="width:86.4pt;border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.7pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>X <sub>i</sub></i> <br /></td><td width=114 valign=top style="width:85.85pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.7pt"> 2 <br /></td><td width=114 valign=top style="width:85.85pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.7pt"> 4 <br /></td><td width=116 valign=top style="width:86.65pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.7pt"> 5 <br /></td><td width=115 valign=top style="width:85.9pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.7pt"> 6 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes;height:23.3pt><td width=115 valign=top style="width:86.4pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:23.3pt"> <i style=mso-bidi-font-style:normal>N <sub>i</sub></i> <br /></td><td width=114 valign=top style="width:85.85pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:23.3pt"> 8 <br /></td><td width=114 valign=top style="width:85.85pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:23.3pt"> 9 <br /></td><td width=116 valign=top style="width:86.65pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:23.3pt"> 10 <br /></td><td width=115 valign=top style="width:85.9pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:23.3pt"> 3 <br /></td></tr></table> Знайти дисперсію. <br /><img width=232 height=44 src=dopb443317.zip v:shapes=_x0000_i1091><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1091 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436675></o:OLEObject></xml><br /><img width=433 height=49 src=dopb443318.zip v:shapes=_x0000_i1092><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1092 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436676></o:OLEObject></xml><br /> Найважливішим завданням вибіркового методу є <a href="Оцінка" title="Оцінка">оцінка</a> параметрів генеральної сукупності за даними вибірки. <br /> Далі введемо поняття варіаційного ряду. Для початку розглянемо приклад. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Необхідно вивчити зміну результатів спортсменів, що займаються легкою атлетикою, в порівнянні з попереднім роком.</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Отримано такі дані результатів у відсотках до попереднього року: 97,8; 97,10; 101,17; ...; 142,3; 141,02. (Всього 100 значень.).</i> <br /> Різні значення ознаки (випадкової величини <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х)</i> називається варіантами (позначаємо їх через <i style=mso-bidi-font-style:normal>х).</i> <br /> Перший крок до осмислення - упорядкування. Розташування варіантів у порядку зростання (зменшення), тобто ранжування варіантів ряду. <br /> Наступним кроком зробимо угруповання, тобто розіб'ємо на окремі інтервали. Число інтервалів не слід <a href="Брати" title="Брати">брати</a> великим. Числа показують, скільки разів зустрічаються варіанти з даного інтервалу, називаються частотами <i style=mso-bidi-font-style:normal>(n</i> <sub><i style="mso-bidi-font-style: normal">i),</i></sub> а відношення їх до загального числа спостережень частості <img width=56 height=52 src=dopb443319.zip v:shapes=_x0000_i1093><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1093 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436677></o:OLEObject></xml> . Частоти і частості називають вагами. <br /> Складемо таблицю. <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=79% style="width:79.68%;margin-left:22.6pt;border-collapse:collapse;border:none; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev: .5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;height:49.1pt><td width=9% valign=top style="width:9.78%;border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:49.1pt"> Д <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.18%;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:49.1pt"> Результати у відсотках до попереднього року <i style=mso-bidi-font-style:normal>х</i> <br /></td><td width=18% valign=top style="width:18.0%;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:49.1pt"> Частота (кількість спортсменів) <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> <i style="mso-bidi-font-style: normal"><sub>i</sub></i> <br /></td><td width=15% valign=top style="width:15.9%;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:49.1pt"> Частість (частка робітників) <img width=56 height=52 src=dopb443319.zip v:shapes=_x0000_i1094><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1094 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436678></o:OLEObject></xml><br /></td><td width=17% valign=top style="width:17.54%;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:49.1pt"> Накопичена частота <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>n <sub>i</sub> <sup>нак</sup></i> <sup> </sup><br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.62%;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:49.1pt"> Накопичена частость <img width=85 height=51 src=dopb443320.zip v:shapes=_x0000_i1095><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1095 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436679></o:OLEObject></xml><br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;height:17.9pt><td width=9% valign=top style="width:9.78%;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 1 <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.18%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 94,0-100 <br /></td><td width=18% valign=top style="width:18.0%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 3 <br /></td><td width=15% valign=top style="width:15.9%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 0,03 <br /></td><td width=17% valign=top style="width:17.54%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 3 <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.62%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 0,03 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2;height:17.9pt><td width=9% valign=top style="width:9.78%;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 2 <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.18%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 100,0-106,0 <br /></td><td width=18% valign=top style="width:18.0%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 7 <br /></td><td width=15% valign=top style="width:15.9%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 0,07 <br /></td><td width=17% valign=top style="width:17.54%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 10 <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.62%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 0,10 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3;height:17.9pt><td width=9% valign=top style="width:9.78%;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 3 <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.18%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 106,0-112,0 <br /></td><td width=18% valign=top style="width:18.0%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 11 <br /></td><td width=15% valign=top style="width:15.9%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 0,11 <br /></td><td width=17% valign=top style="width:17.54%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 21 <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.62%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 0,21 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:4;height:16.9pt><td width=9% valign=top style="width:9.78%;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.9pt"> ... <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.18%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.9pt"> ... <br /></td><td width=18% valign=top style="width:18.0%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.9pt"> ... <br /></td><td width=15% valign=top style="width:15.9%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.9pt"> ... <br /></td><td width=17% valign=top style="width:17.54%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.9pt"> ... <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.62%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.9pt"> ... <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:5;height:17.9pt><td width=9% valign=top style="width:9.78%;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 8 <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.18%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 136,0-142,0 <br /></td><td width=18% valign=top style="width:18.0%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 2 <br /></td><td width=15% valign=top style="width:15.9%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 0,02 <br /></td><td width=17% valign=top style="width:17.54%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 100 <br /></td><td width=19% valign=top style="width:19.62%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:17.9pt"> 1,00 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:6;mso-yfti-lastrow:yes;height:19.05pt><td width=9% valign=top style="width:9.78%;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.05pt"></td><td width=19% valign=top style="width:19.18%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.05pt"></td><td width=18% valign=top style="width:18.0%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.05pt"> 100 <br /></td><td width=15% valign=top style="width:15.9%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.05pt"> 1,00 <br /></td><td width=17% valign=top style="width:17.54%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.05pt"></td><td width=19% valign=top style="width:19.62%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.05pt"></td></tr></table> <u>Варіаційним рядом</u> називається ранжируваний в порядку зростання або убування ряд варіантів з відповідними їм вагами (частотами або частості). Накопичена частота <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> <sub><i style="mso-bidi-font-style: normal">i</i></sub> <sup><i style=mso-bidi-font-style:normal>нак</i></sup> показує, скільки спостерігалося варіантів зі значеннями ознаки менших <i style=mso-bidi-font-style:normal>х.</i> Накопичена частость - відношення накопиченої частоти до загального числа спостережень: <img width=85 height=51 src=dopb443320.zip v:shapes=_x0000_i1096><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1096 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436680></o:OLEObject></xml> . <br /> Тепер отриманий варіаційний ряд дозволяє виявити закономірності. <br /> Для завдання варіаційного ряду досить вказати варіанти і <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідні</a> їм частоти або частості. <br /> Аналогічно з визначенням дискретної і неперервної випадкової величини, ми даємо визначення дискретного і безперервного варіаційного ряду. <br /> Варіаційний ряд називається <u>дискретним,</u> якщо будь-які його варіанти відрізняються на постійну величину. Варіаційний ряд називається <u>безперервним,</u> якщо варіанти можуть відрізнятися один від іншого на як завгодно малу величину. <br /> У прикладі ми навели безперервний ряд. <br /> Для графічного зображення варіаційного ряду використовуються: <br /> · <u>Полігон</u> - служить для зображення дискретного варіаційного ряду і являє собою ламану, в якій кінці відрізків мають <i style=mso-bidi-font-style:normal>(х <sub>i,</sub> n <sub>i);</sub></i> <br /> · <u>Гістограма</u> служить для зображення інтервальних варіаційних рядів і являє собою ступінчасту фігуру з прямокутників з <a href="Підстави" title="Підстави">підставами</a>, рівними інтервалами значень ознаки <i style=mso-bidi-font-style:normal>до = х <sub>2-х 1.</sub></i> І висоти рівні частотах. Якщо з'єднати середини верхніх підстав прямокутників відрізками прямої, то можна отримати полігон того ж розподілу; <br /> · <u>Кумулятивна пряма</u> (кумуляту) - крива накопичених частот. Для дискретних рядів кумуляту представляє ламану, що сполучає точки <i style=mso-bidi-font-style:normal>(х <sub>i,</sub></i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>n <sub>i</sub> <sup>нак)</sup></i> або <i style=mso-bidi-font-style:normal>(х <sub>i,</sub> w <sub>i</sub> <sup>нак).</sup></i> Для інтервального варіаційного ряду ламана починається з точки, абсциса, якої дорівнює початку першого інтервалу, а ордината - накопиченої частоті, рівній нулю. Інші точки <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідають</a> кінців інтервалів. <br /> Тепер переходимо ще до однієї важливої теми - перевірка статистичних гіпотез. Сформулюємо принцип практичної впевненості. Якщо ймовірність події <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> в даному випробуванні дуже мала, то при одноразовому виконанні випробування можна бути впевненим у тому, що подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> не станеться, і в практичній діяльності вести себе так, як ніби подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> взагалі неможливо. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Вирушаючи літаком в інше <a href="Місто" title="Місто">місто</a>, ми не розраховуємо на можливість загинути в авіа катастрофі, хоча ймовірність такої події є.</i> <br /> При багаторазовому повторенні випробувань ми не можемо вважати малоймовірне подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> практично неможливим. <br /> <u>Статистичної гіпотезою</u> називається будь-яке припущення про вид або параметрах невідомого закону розподілу. <br /> Проверяемую гіпотезу зазвичай називають нульовою і позначають М <sub>0.</sub> Також розглядають альтернативну (конкуруючу гіпотезу) Н <sub>1,</sub> що є запереченням М <sub>0.</sub> <br /> Суть перевірки <a href="Статистика" title="Статистика">статистичної</a> гіпотези полягає в обчисленні статистики даної вибірки. Потім по вибірковому розподілу визначаться критичне значення. Якщо статистика більше критичного значення, то подію можна вважати практично неможливим. <br /> <a href="Порівняння" title="Порівняння"> Порівняння</a> двох сукупностей має важливе практичне значення. На практиці часто зустрічається <a href="Випадок" title="Випадок">випадок</a>, коли середній результат однієї серії експерименту відрізняється від середнього результату іншої серії. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>У промисловості дана задача виникає при вибірковому контролі якості виробів, виготовлених на різних установках або з різних технологічних режимах.</i> <br /> Розглянемо, як перевірятися гіпотеза. <br /> Нехай є дві сукупності, що характеризуються генеральними середніми <i style=mso-bidi-font-style:normal>х</i> та <i style=mso-bidi-font-style:normal>у.</i> І дисперсіями. Для яких знайдені середні арифметичні і вибіркові дисперсії. Необхідно перевірити гіпотезу Н <sub>0</sub> про рівність генеральних середніх. Тоді статистика знаходиться за наступною формулою: <br /><img width=99 height=74 src=dopb443321.zip v:shapes=_x0000_i1097><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1097 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436681></o:OLEObject></xml><br /> Якщо <i style=mso-bidi-font-style:normal>t> t <sub>кр</sub></i> то гіпотеза Н <sub>0</sub> відкидається. Якщо ні, то робиться висновок, що нульова гіпотеза не <a href="Суперечка" title="Суперечка">суперечить</a> наявним спостереженням. <br /> Ще однією важливою темою для формування професійно значущих навичок в учнів є <a href="Кореляційний_аналіз" title="Кореляційний аналіз">кореляційний аналіз</a>. <br /> <u>Кореляційною залежністю</u> між двома змінними величинами називається функціональна залежність між значеннями однієї з них і умовним математичним очікуванням інший. <br /> Кореляційна залежність може бути представлена у вигляді <img width=71 height=25 src=dopb443322.zip v:shapes=_x0000_i1098><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1098 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436682></o:OLEObject></xml> . <br /> Це рівняння називають рівнянням регресії, а їхні графіки лініями регресії. Для відшукання рівнянь регресій необхідно знати закон розподілу двовимірної випадкової величини. <br /> Дані про статистичної залежності зручно задавати у вигляді кореляційної таблиці. <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="margin-left:32.4pt;border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td rowspan=3 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Вага <br /> (Кг) <br /> (Х) <br /></td><td rowspan=2 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left: none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Середини <br /> інтервалів <br /></td><td colspan=6 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left: none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Зріст (см) (у) <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 155-160 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 160-165 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 165-170 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 170-175 <br /></td><td rowspan=2 valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Всього <br /> (N <sub>i)</sub> <br /></td><td rowspan=2 valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Групова <br /> Середня <img width=17 height=24 src=dopb443323.zip v:shapes=_x0000_i1099><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1099 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436683></o:OLEObject></xml><br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-diagonal-down:.5pt solid windowtext;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <sub>Х i</sub> <sub> </sub> y <sub>j</sub> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 157,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 162,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 167,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 172,5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 40-45 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 42,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 7 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 10 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 168,5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:4><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 45-50 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 47,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 6 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 4 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 6 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 19 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 165,9 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:5><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 50-55 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 52,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 11 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 15 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 166,8 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:6><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 60-65 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 62,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 162,5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:7><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 70-75 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 72,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 172,5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:8><td colspan=2 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Всього n <sub>j</sub> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 7 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 11 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 17 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 15 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 50 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:9;mso-yfti-lastrow:yes><td colspan=2 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Групова середня <br /><img width=17 height=24 src=dopb443324.zip v:shapes=_x0000_i1100><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1100 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436684></o:OLEObject></xml><br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 50,4 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 49,8 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 52,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 47,2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td></tr></table></div> Обчислені групові середні зобразимо графічно у вигляді ламаної, званої емпіричної лінією регресії. <br /> По виду ламаної можна припустити наявність лінійної функціональної залежності між випадковими величинами <i style=mso-bidi-font-style:normal>Х</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>Y,</i> тобто є функція <i style="mso-bidi-font-style: normal">y = kx + b,</i> де <img width=177 height=52 src=dopb443325.zip v:shapes=_x0000_i1101><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1101 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436685></o:OLEObject></xml> . <br /> Тут <img width=17 height=19 src=dopb443326.zip v:shapes=_x0000_i1102><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1102 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436686></o:OLEObject></xml> вибіркова коваріація і дорівнює <img width=205 height=43 src=dopb443327.zip v:shapes=_x0000_i1103><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1103 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436687></o:OLEObject></xml> . <br /> Обчислимо для даної таблиці основні характеристики і знайдемо рівняння лінії регресії. <br /><img width=452 height=47 src=dopb443328.zip v:shapes=_x0000_i1104><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1104 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436688></o:OLEObject></xml> , <br /><img width=440 height=47 src=dopb443329.zip v:shapes=_x0000_i1105><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1105 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436689></o:OLEObject></xml> , <br /><img width=434 height=38 src=dopb443330.zip v:shapes=_x0000_i1106><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1106 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436690></o:OLEObject></xml> , <br /><img width=108 height=23 src=dopb443331.zip v:shapes=_x0000_i1107><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1107 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436691></o:OLEObject></xml> , <i style=mso-bidi-font-style:normal>K</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>= -</i> 46,09, <i style="mso-bidi-font-style: normal">b</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i> <i style="mso-bidi-font-style: normal">=</i> 2471,02. <br /> Тоді рівняння лінії регресії запишеться як: <i style="mso-bidi-font-style: normal">y</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>=</i> <i style="mso-bidi-font-style: normal"> </i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>-</i> <i style="mso-bidi-font-style: normal"> </i> 46,09 <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i> <i style="mso-bidi-font-style: normal">х</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i> <i style="mso-bidi-font-style: normal">+</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i> <i style="mso-bidi-font-style: normal">2471,02.</i> <br /> Якщо побудувати лінію регресії можна буде спрогнозувати які-небудь результати досліджень, на якийсь період часу вперед. Інша важлива область застосування регресійного аналізу в спортивних дослідженнях також пов'язана з прогнозуванням. Дуже часто предметом дослідження є така ознака, який виміряти важко або неможливо, але в той же час відомо, що досліджуваний ознака пов'язана з іншими ознаками. Тоді намагаються підібрати модель передбачуваної залежності по цій моделі спрогнозувати значення неізмеряемих залежного ознаки. Прогнозовані таким чином значення називають предикторами. Спортивне <a href="Прогнозування" title="Прогнозування">прогнозування</a> - одна з важливих галузей застосування регресійного аналізу в спортивних дослідженнях. <br /> На закріплення вивченої теми учням можна дати наступні завдання для вирішення. <br /> <i style="mso-bidi-font-style: normal">У ході дослідження результатів забігу на</i> <st1:metricconverter ProductID="100 метров" w:st=on> <i style="mso-bidi-font-style: normal">100 метрів</i> </st1:metricconverter> <i style="mso-bidi-font-style: normal">юнаками одинадцятих класів двох груп - експериментальної та контрольної - були отримані дані, представлені в таблиці.</i> <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="margin-left:-21.6pt;border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Час (секунди) <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 12,3-13,9 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 13,9-15,5 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 15,5-17,1 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 17,1-17,7 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Число юнаків експериментальної групи <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 20 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 20 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Число юнаків контрольної групи <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 8 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 18 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td></tr></table></div> <i style=mso-bidi-font-style:normal>1. Зобразити дані графічно, побудувавши гістограму для кожної групи.</i> <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>2. Для кожної групи визначити середнє значення, дисперсію, моду і медіану.</i> <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>3. Перевірити гіпотезу про рівність середніх двох груп учнів, використовуючи критерій Стьюдента і вважаючи критичне значення статистики 1,67.</i> <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-pagination:none;mso-hyphenate:none;mso-layout-grid-align: none;text-autospace:none"> 2.5. Зміст і аналіз результатів дослідної роботи </h2> Дослідна робота, проведена нами, полягала в застосуванні даних методичних рекомендацій при навчанні спортсменів теорії ймовірностей і <a href="Математика" title="Математика">математичній</a> статистиці. <br /> Мета дослідної роботи: на основі використання розроблених методичних матеріалів зробити висновок про ефективність їх використання. <br /> У зв'язку з відсутністю в місті шкіл зі спеціалізованими класами дослідно-експериментальної базою став перший курс спеціальності АФК факультету фізичної культури ВятГГУ. <br /> Основні труднощі при проведенні дослідної роботи: <br /> 1) не високий рівень знань студентів в галузі математики; <br /> 2) низька зацікавленість студентів при вивченні даного предмета. <br /> Було проведено 8 годин лекційних занять: <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=593 style="margin-left:5.4pt;border-collapse:collapse;mso-table-layout-alt:fixed; border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh:.5pt solid windowtext; mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;height:4.8pt><td width=34 style="width:25.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:4.8pt"> № <br /></td><td width=228 valign=top style="width:170.95pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:4.8pt"> Тема лекційного заняття <br /></td><td width=331 valign=top style="width:247.9pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:4.8pt"> Зміст заняття <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;height:14.85pt><td width=34 style="width:25.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.85pt"> 1 <br /></td><td width=228 valign=top style="width:170.95pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.85pt"> Основи теорії ймовірності <br /></td><td width=331 valign=top style="width:247.9pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.85pt"> Основні визначення. Класичне і <a href="Статистичне_визначення_ймовірності" title="Статистичне визначення ймовірності">статистичне визначення ймовірності</a>. Обчислення ймовірності. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2;height:9.8pt><td width=34 style="width:25.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:9.8pt"> 2 <br /></td><td width=228 valign=top style="width:170.95pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:9.8pt"> Правила обчислення ймовірностей <br /></td><td width=331 valign=top style="width:247.9pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:9.8pt"> Основні правила обчислення ймовірності. <a href="Формула_повної_ймовірності" title="Формула повної ймовірності">Формула повної ймовірності</a>, формула Бейеса. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3;height:14.6pt><td width=34 style="width:25.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.6pt"> 3 <br /></td><td width=228 valign=top style="width:170.95pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.6pt"> Випадкові величини <br /></td><td width=331 valign=top style="width:247.9pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.6pt"> Визначення та приклади випадкових величин, закон розподілу випадкової величини.<a href="Математика" title="Математика"> Математичне</a> сподівання і дисперсія. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:4;height:4.8pt><td width=34 style="width:25.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:4.8pt"> 4 <br /></td><td width=228 valign=top style="width:170.95pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:4.8pt"> <a href="Статистика" title="Статистика"> Статистика</a>. Загальні відомості <br /></td><td width=331 valign=top style="width:247.9pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:4.8pt"> Основні поняття. Варіаційні ряди. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:5;height:9.8pt><td width=34 style="width:25.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:9.8pt"> 5 <br /></td><td width=228 valign=top style="width:170.95pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:9.8pt"> Дискретні та безперервні ряди <br /></td><td width=331 valign=top style="width:247.9pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:9.8pt"> Графічне зображення варіаційного ряду, дискретні і безперервні ряди. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:6;height:14.85pt><td width=34 style="width:25.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.85pt"> 6 <br /></td><td width=228 valign=top style="width:170.95pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.85pt"> Перевірка статистичних гіпотез. <a href="Кореляційний_аналіз" title="Кореляційний аналіз">Кореляційний аналіз</a>. <br /></td><td width=331 valign=top style="width:247.9pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:14.85pt"> Основні визначення. Приклади. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:7;mso-yfti-lastrow:yes;height:5.05pt><td width=34 style="width:25.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:5.05pt"> 7-8 <br /></td><td width=558 colspan=2 valign=top style="width:418.85pt;border-top:none; border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:5.05pt"> <a href="Контролінг" title="Контролінг"> Контрольна</a> робота <br /></td></tr></table> Паралельно з цим були проведені 16 годин практичних занять. В результаті учні вивчили такі теми. <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=569 style="width:426.95pt;margin-left:5.4pt;border-collapse:collapse;border:none; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev: .5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;height:16.95pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.95pt"> № <br /></td><td width=219 valign=top style="width:164.2pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.95pt"> Тема заняття <br /></td><td width=317 valign=top style="width:238.1pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.95pt"> Зміст заняття <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;height:16.95pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.95pt"> 1-2 <br /></td><td width=219 valign=top style="width:164.2pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.95pt"> Комбінаторика. <br /></td><td width=317 valign=top style="width:238.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:16.95pt"> Основні теореми, застосування їх на практиці. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2;height:33.9pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> 3 <br /></td><td width=219 valign=top style="width:164.2pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> Знаходження імовірності. <br /></td><td width=317 valign=top style="width:238.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> Рішення задач на знаходження ймовірності, використовуючи основні формули комбінаторики. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3;height:50.85pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:50.85pt"> 4-5 <br /></td><td width=219 valign=top style="width:164.2pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:50.85pt"> Знаходження імовірності, що використовують основні правила. <br /></td><td width=317 valign=top style="width:238.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:50.85pt"> Обчислення ймовірності складних подій, умовна ймовірність. Імовірність знаходження хоча б однієї події <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:4;height:33.9pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> 6-7 <br /></td><td width=219 valign=top style="width:164.2pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> <a href="Формула_повної_ймовірності" title="Формула повної ймовірності">Формула повної ймовірності</a> та формула Бейеса. <br /></td><td width=317 valign=top style="width:238.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> Обчислення ймовірностей, використовуючи дані формули. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:5;height:33.9pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> 8 <br /></td><td width=219 valign=top style="width:164.2pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> Випадкові величини. <br /></td><td width=317 valign=top style="width:238.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> Дискретні та неперервні випадкові величини. Закон розподілу дискретної величини та її зображення. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:6;height:33.9pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> 9-10 <br /></td><td width=219 valign=top style="width:164.2pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> Характеристики випадкової величини <br /></td><td width=317 valign=top style="width:238.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> Обчислення основних характеристик дискретної випадкової величини. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:7;height:68.8pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:68.8pt"> 11-14 <br /></td><td width=219 valign=top style="width:164.2pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:68.8pt"> Кореляційний аналіз. <br /></td><td width=317 valign=top style="width:238.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:68.8pt"> Кореляційна таблиця, обчислення основних характеристик закону розподілу двовимірної випадкової величини. Емпіричні лінії регресії і знаходження <a href="Рівняння_регресії" title="Рівняння регресії">рівняння регресії</a>. <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:8;mso-yfti-lastrow:yes;height:33.9pt><td width=33 style="width:24.65pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> 15-16 <br /></td><td width=536 colspan=2 style="width:402.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:33.9pt"> Підготовка до контрольної роботи <br /></td></tr></table> Детальний зміст занять можна знайти в Додатку 1 до цієї роботи. Дослідне викладання проводилося у двох групах студентів. Лекційні заняття проводилися для груп спільно, а практичні заняття для кожної групи окремо. Це дозволило отримати більш об'єктивні результати дослідження. На початку кожного практичного заняття проводився <a href="Контроль" title="Контроль">контроль</a> по засвоєнню знань, отриманих на попередніх заняттях. Даний контроль показав, що матеріал, який пропонувався для вивчення доступний для учнів і практично не викликає ніяких труднощів. У кінці вивчення всього курсу була проведена <a href="Контрольна_робота" title="Контрольна робота">контрольна робота</a>, за всі вивченим темам, з якою всі успішно впоралися. Всі результати, отримані в ході перевірки самостійних робіт та підсумкової контрольної роботи, представлені у вигляді діаграм (Додаток 2). На підставі отриманих результатів дослідного викладання можна вважати, що в цілому розроблені методичні рекомендації сприяють досягненню поставленої їли і підтверджують гіпотезу дослідження. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal><br clear=all style=page-break-before:always></b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Висновок</b> <br /> Випускна кваліфікаційна робота присвячена проблемам методики навчання основам теорії ймовірностей і математичної статистики в рамках елективного курсу для профільної школи, зокрема для оборонно-спортивного профілю. <br /> У першому розділі ми розглянули, що таке профільна школа, для чого вона потрібна. Також було розглянуто значення елективних курсів у сучасній школі, його відмінність від факультативів. <br /> У другому розділі була розглянута методика викладання теорії ймовірностей і математичної статистики для спортсменів на основі аналізу різної навчальної літератури. Також був розроблений елективний курс з даної теми і описано дослідне викладання даного курсу. <br /> Таким чином, цілі роботи були досягнуті. <br /> На наш погляд, розроблений елективний курс з теорії ймовірності та математичної статистики допоможе якісно засвоїти школяреві цей матеріал, а головне, - усвідомлено застосовувати отримані знання у своїй практичній діяльності. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal><br clear=all style=page-break-before:always></b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Бібліографічний список</b> <br /> 1. Афанасьєв, В.В. <a href="Школяр" title="Школяр"> Школярам</a> про ймовірність в іграх. Введення в теорію ймовірностей [Текст]: для учнів 8-11 класів / В.В. Афанасьєв, М.А. Суворова. - <a href="Ярославль" title="Ярославль">Ярославль</a>: Академія розвитку, 2006. - 192 с. <br /> 2. Баранніков, А.В. Курси за вибором у профільному навчанні [Текст]: <a href="Інформація" title="Інформація">інформаційний</a> лист про елективних курсах у системі профільного навчання на старшій ступені загальної освіти / О.В. Баранніков. - 2003. - 3 с. <br /> 3. Вентцель, Є.С. Завдання і вправи з теорії ймовірностей [Текст] / Є.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Вища школа, 2002. - 445 с. <br /> 4. Віленкін, Н.Я.<a href="Комбінаторіка" title="Комбінаторіка"> Комбінаторика</a> [Текст] / Н.Я. Віленкін, О.М. Віленкін, П.А. Віленкін. - М.: МЦНМО, 2006. - 400 с. <br /> 5. Віленкін, Н.Я. Популярна комбінаторика [Текст] / Н.Я. Віленкін. - М.: <a href="Наука" title="Наука">Наука</a>, 1975. - 208 с. <br /> 6. Глеман, М. Вірогідність в іграх і розвагах Елементи теорії ймовірностей в курсі середовищ. школи [Текст]: посібник для вчителя / М. Глеман, Т. Варга. - М.: Просвещение, 1979. - 176 с. <br /> 7. Гмурман, В.Є. Керівництво за рішенням задач з теорії ймовірностей та математичної статистики [Текст] / В.Є. Гмурман. - М.: Вища школа, 1999. - 400 с. <br /> 8. Гмурман, В.Є.<a href="Теорія_ймовірності" title="Теорія ймовірності"> <a href="Теорія" title="Теорія"> Теорія</a> ймовірностей</a> і <a href="Математична_статистика" title="Математична статистика">математична статистика</a> [Текст] / В.Є. Гмурман. - М.: Вища школа, 2000. - 479 с. <br /> 9. Дніпров, Е.Д. Збірник нормативних документів. <a href="Математика" title="Математика"> Математика</a> [Текст] / Е.Д. Дніпров, А.Г. Аркадьєв. - М.: Дрофа, 2004. - 79 с. <br /> 10. <a href="Іванов" title="Іванов"> Іванов</a>, В.С. <a href="Основи_математики" title="Основи математики"> Основи математичної</a> статистики [Текст]: навчальний посібник для інститутів фізичної культури / В. С. <a href="Іванов" title="Іванов">Іванов</a>. - М.: <a href="Фізкультура" title="Фізкультура">Фізкультура</a> і спорт, 1900. - 176 с. <br /> 11. Караулова, Л.В. Математичні завдання, як засіб формування професійно значущих умінь <a href="Студент" title="Студент">студента</a> [Текст]: дис. на здобуття ступеня канд. пед. наук / Л.В. Караулова. - <a href="Кіров" title="Кіров">Кіров</a>, 2004. - 184 с. <br /> 12. Крутіхін, М. В. Курси за вибором з математики [Текст]: навчально-методичні рекомендації / М. В. Крутіхін, З. В. Шилова. - К.: ВятГГУ, 2006. - 40 с. <br /> 13. Маркова, В.І. Діяльнісний підхід у навчанні математики в умовах передпрофільне підготовки та профільного навчання [Текст] / В.І. Маркова. - К.: Кіпке і ПРО, 2006. - 200с. <br /> 14. Маркова, В.І. Елементи комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей в курсі математики основної школи [Текст]: <a href="Методичний_посібник" title="Методичний посібник">методичний посібник</a> / В.І. Маркова. - К.: Вид-во Кіровського ИУУ, 2004. - 58 с. <br /> 15. Масальгін, Н. А. Математико-статистичні методи в спорті [Текст] / Н. А. Масальгін. - М.: Фізкультура і спорт, 1974. - 151 с. <br /> 16. Матальскій, М.А.<a href="Теорія" title="Теорія"> Теорія</a> ймовірностей у прикладах і завданнях [Текст]: навчальний посібник / М.А. Матальскій, Т.В. Романюк. - Гордно: ГрГУ - 2002. - 248 с. <br /> 17. Мордкович, А.Г. Події. Ймовірності. <a href="Статистика" title="Статистика"> Статистична</a> <a href="Обробка" title="Обробка">обробка</a> даних [Текст]: додаткові параграфи до курсу алгебри 7-9кл. загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2003. - 46 с. <br /> 18. Мостеллер, Ф. П'ятдесят цікавих імовірнісних завдань з рішеннями [Текст] / Ф. Мостеллер. - М.: Наука, 1975. - 112 с. <br /> 19. Наша <a href="Освіта" title="Освіта">освіта</a> - Курси за вибором і <a href="Культура" title="Культура">культура</a> вибору [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.gluki-obrnauki.ru/Cult.html. <br /> 20. Паршиков, О.Т. Спортивна школа як соціально-педагогічна система: соціальне проектування [Текст] / А.Т. Паршиков. - М.: Радянський спорт, 2003. - 352 с. <br /> 21. Письмовий, Д.Т. <a href="Конспект" title="Конспект"> Конспект</a> лекцій з теорії ймовірностей і математичній статистиці [Текст] / Д.Т. Письменний. - М.: Айрис-пресс, 2005. - 256 с. <br /> 22. Проект "Профільна школа" Росії [Електронний ресурс]. - Режим доступу: <b> </b> http://www.rkodm.chita.ru/experiment/profil-proekt.htm. <br /> 23. Солодовников, А.С. Теорія ймовірностей [Текст] / А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 1978. - 192 с. <br /> 24. Тюрін, Ю.М. Теорія ймовірностей та статистика [Текст] / Ю.М. Тюрін, А.А. Макаров, І.Р. Висоцький, І.В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2008. - 256 с. <br /> 25. Фадєєв, Д.К. Елементи вищої математики для школярів [Текст] / Д.К. Фадєєв. - М.: Наука, 1987. - 335 с. <br /> 26. Шібасов, Л.П. За сторінками <a href="Підручник" title="Підручник">підручника</a> математики. Мат. аналіз. Теорія ймовірностей. Старин. і займатися. задачі [Текст]: кн. для учнів 10-11 кл. загаль. установ / Л.П. Шібасов, З.Ф. Шібасова. - М.: Просвещение, 1997. - 269 с. <br /> 27. Шихова, А.П. <a href="Навчання" title="Навчання"> Навчання</a> комбінаториці та її додатків в середній школі [Текст] / А.П. Шихова. - К.: Вятка, 1994. - 62 с. <br /><br clear=all style=page-break-before:always> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Додаток 1</b> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Програма елективного курсу з математики</b> <br /> <b style="mso-bidi-font-weight: normal">«Основи теорії ймовірностей і математичної статистики»</b> <br /><b style="mso-bidi-font-weight: normal"> </b><br /> <u><i style="mso-bidi-font-style: normal"><b>Пояснювальна записка</b></i></u> <br /> Елективний курс «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» розроблений для забезпечення старшокласників заняттями з вибору з варіативного компонента базисного навчального плану у старшій профільній школі. Пропонований елективний курс дозволяє здійснювати завдання профільної підготовки старшокласників, які навчаються у класах оборонно-спортивного профілю. <br /> Курс дозволяє випускнику середньої школи придбати необхідний і достатній набір умінь у галузі теорії ймовірностей і статистики. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Мета -</i> <b> </b> формування нових знань в учнів в області комбінаторики, теорії ймовірності та статистики, формування у школярів компетенцій, спрямованих на вироблення навичок самостійної та групової дослідницької діяльності. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Завдання:</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal> </i><br /> 1) навчитися вирішувати основні комбінаторні задачі; <br /> 2) навчитися застосовувати отримані знання в області комбінаторики до вирішення різних завдань теорії ймовірності. <br /> 3) навчитися вирішувати <a href="Найпростіші" title="Найпростіші">найпростіші</a> завдання кореляційного аналізу. <br /> 4) інтелектуальний розвиток учнів, формування якостей <a href="Мислення" title="Мислення">мислення</a>, <a href="Характер" title="Характер">характерних</a> для математичної діяльності та необхідних людині для повноцінного життя в суспільстві. Розвиток розумових здібностей учнів: вміння аналізувати, зіставляти, порівнювати, систематизувати й узагальнювати. <br /> 5) <a href="Виховання_особистості" title="Виховання особистості">виховання особистості</a> в процесі освоєння математики і математичної діяльності, розвиток в учнів самостійності і здатності до самоорганізації. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Вимоги до рівня засвоєння змісту курсу.</i> У результаті вивчення курсу учні опановують такими знаннями, вміннями та способами діяльності: <br /> · Мають уявлення про математику як форму опису та метод пізнання дійсності; <br /> · Вміють аналізувати, зіставляти, порівнювати, систематизувати й узагальнювати; <br /> · Вміють самостійно працювати з математичною літературою; <br /> · Знають основні правила комбінаторики; <br /> · Знають основні поняття теорії ймовірності та статистики; <br /> · Вміють вирішувати задачі з теорії ймовірності та статистики, застосовуючи формули комбінаторики; <br /> · Вміють представляти результат своєї діяльності, брати участь у дискусіях; <br /> · Вміють проводити самоаналіз діяльності та самооцінку її результату. <br /> <u><b>Зміст і вимоги курсу</b></u> <br /> <b>Тема 1.</b> <b>Комбінаторика.</b> <br /> Основні формули комбінаторики: про перемножуванні шансів, про вибір з урахуванням порядку, перестановки з повтореннями, розміщення з повтореннями, вибір без урахування порядку. Правило суми, правило твори. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Учні повинні знати:</i> що таке <a href="Факторія" title="Факторія">факторіал</a> числа, його основні властивості; як записуються формули комбінаторики, і розуміти їх. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Учні повинні вміти:</i> раціонально вирішувати комбінаторні задачі, застосовуючи формули. <br /> <b>Тема 2.</b> <b>Імовірність.</b> <br /> Основні поняття теорії ймовірності.<a href="Операція" title="Операція"> Операції</a> над подіями. Класичний, статистичний підхід до визначення ймовірності. Основні правила обчислення ймовірностей. Формула повної ймовірності, Бейеса. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Учні повинні знати:</i> що така подія, залежні (незалежні) події, спільні (не сумісні) події; визначення суми, твори подій і протилежної події; в чому відмінності між статистичними і класичним підходом до <a href="Визначення_ймовірності_подій" title="Визначення ймовірності подій">визначення ймовірності подій</a>; визначення умовної ймовірності, як обчислювати твір (додавання) незалежних чи залежних (спільних або несумісних) подій; запис формули повної ймовірності та формули Бейеса. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Учні повинні вміти:</i> раціонально вирішувати завдання, застосовуючи формули комбінаторики та основні правила обчислення ймовірностей. <br /> <b>Тема 3.</b> <b>Випадкові величини.</b> <br /> Поняття дискретної та неперервної випадкової величини. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Обчислення математичного сподівання і дисперсії. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Учні повинні знати:</i> що таке випадкова величина; визначення дискретної і неперервної випадкової величини, вміти розрізняти їх; що таке закон розподілу випадкової величини; визначення математичного очікування та дисперсії, розуміти їх практичний сенс. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Учні повинні вміти:</i> обчислювати математичне сподівання і дисперсію дискретної випадкової величини. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Тема 4.</b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Статистика.</b> <br /> Загальні відомості. Варіаційні ряди та їхні графічні уявлення. Дискретні та безперервні ряди. Перевірка статистичних гіпотез. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Учні повинні знати:</i> основні визначення статистики; як обчислювати дисперсію і математичне сподівання для генеральної сукупності та вибірки; визначення статистичної гіпотези та основи кореляційного аналізу. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Учні повинні вміти:</i> зображати варіаційні ряди; знаходити емпіричні лінії регресії і рівняння лінії регресії. <br /> <u><b>Календарно-тематичний план курсу</b></u> <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-padding-alt:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt;mso-border-insideh:.75pt solid windowtext; mso-border-insidev:.75pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:.5pt;mso-border-left-alt: .5pt;mso-border-bottom-alt:.75pt;mso-border-right-alt:.75pt;mso-border-color-alt: windowtext;mso-border-style-alt:solid;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> № <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-left: none;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Тема <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border:solid windowtext 1.0pt;border-left: none;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-top-alt:.5pt; mso-border-left-alt:.75pt;mso-border-bottom-alt:.75pt;mso-border-right-alt: .5pt;mso-border-color-alt:windowtext;mso-border-style-alt:solid;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> тип <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 1 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> <a href="Випадкові_події" title="Випадкові події">Випадкові події</a>, операції над подіями, ймовірність подій. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 2 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Комбінаторика. Основні теореми. Застосування їх на практиці <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 3 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Комбінаторика. Основні теореми. Застосування їх на практиці. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:4><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 4 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Рішення задач, що використовують <a href="Класичне_визначення_ймовірності" title="Класичне визначення ймовірності">класичне визначення ймовірності</a> <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:5><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 5 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Основні правила обчислення ймовірностей, формула повної ймовірності, формула Бейеса. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:6><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 6 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Завдання, які використовують теорему додавання і множення ймовірностей. Імовірність знаходження хоча б однієї події. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:7><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 7 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Завдання, які використовують теорему додавання і множення ймовірностей. Імовірність знаходження хоча б однієї події. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:8><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 8 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Основні правила обчислення ймовірностей, формула повної ймовірності, формула Бейеса. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:9><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 9 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Випадкові величини, дискретні та неперервні випадкові величини. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:10><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 10 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Закон розподілу випадкової величини, побудова полігону частот <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:11><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 11 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Математичне сподівання і дисперсія <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:12><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 12 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Знаходження числових характеристик дискретних випадкових величин <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:13><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 13 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Статистика. Загальні відомості <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:14><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 14 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Варіаційні ряди та їх графічне зображення <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:15><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 15 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Дискретні та безперервні ряди. Перевірка статистичних гіпотез. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:16><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 16 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Дискретні та безперервні ряди. Перевірка статистичних гіпотез. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:17><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 17 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Кореляційний аналіз. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:18><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 18 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Кореляційний аналіз. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Лекція <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:19><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 19 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Кореляційний аналіз. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:20><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 20 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Кореляційний аналіз. <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:21><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 21 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Підготовка до контрольної роботи <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:22><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 22 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Підготовка до контрольної роботи <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:23><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 23 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> <a href="Контрольна" title="Контрольна">Контрольна</a> робота <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-right-alt:solid windowtext .5pt;padding: 0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:24;mso-yfti-lastrow:yes><td style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-top-alt:.75pt;mso-border-left-alt:.5pt; mso-border-bottom-alt:.5pt;mso-border-right-alt:.75pt;mso-border-color-alt: windowtext;mso-border-style-alt:solid;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> 24 <br /></td><td width=509 style="width:382.0pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt; mso-border-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-bottom-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> <a href="Контрольна_робота" title="Контрольна робота">Контрольна робота</a> <br /></td><td width=96 style="width:72.0pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .75pt;mso-border-top-alt: .75pt;mso-border-left-alt:.75pt;mso-border-bottom-alt:.5pt;mso-border-right-alt: .5pt;mso-border-color-alt:windowtext;mso-border-style-alt:solid;padding:0cm 2.0pt 0cm 2.0pt"> Практика <br /></td></tr></table><br clear=all style=page-break-before:always> Заняття 1 <br /> У нашому житті часто доводиться мати справу з випадковими явищами, тобто ситуаціями, результат яких не можна точно передбачити, наприклад ми не можемо точно сказати при підкиданні монети впаде вона вгору гербом або цифрою.<a href="Аналогія_2" title="Аналогія 2"> Аналогічно</a> не можемо точно сказати, скільки очок виб'є стрілок на змаганнях. Говорячи про випадкових події в нашій свідомості виникає уявлення про ймовірність явища. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Під випробуванням</i> в теорії ймовірностей прийнято приймати спостереження якогось явища при дотриманні певного набору умов, який кожен раз повинен виконуватися при повторенні даного випробування. Якщо те ж саме випробування проводитися при іншому наборі умови, то вважається, що це вже інше випробування. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> кидаємо кубик - це випробування. Кидаємо два кубики - інше випробування. <br /> Результатом випробування є подія. <br /> <u><i style=mso-bidi-font-style:normal>Подія буває:</i></u> <br /> · Достовірне (завжди відбувається в результаті випробування); <br /> · Неможливе (ніколи не відбувається); <br /> · Випадкове (може відбутися або не відбутися в результаті випробування). <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Наприклад:</b> <br /> 1) випаде вісім очок (неможливе); <br /> 2) випаде не більше 6 очок (достовірне); <br /> 3) випаде число три (випадкове). <br /> Коли ми говоримо про дотримання набору умов даного випробування, ми маємо на увазі сталість значень усіх факторів, контрольованих в даному випробуванні. Але при цьому може бути велика кількість неконтрольованих факторів (наприклад, погода, вітер і т.д.), які важко або неможливо врахувати. Отже, значення неконтрольованих факторів можуть бути різними при кожному повторенні випробування, тому результати випробування виявляються випадковими. Подія може відбутися або не відбутися. <br /> Теорія ймовірностей розглядає саме такі події, при цьому передбачається, що випробування може бути повторений будь-яку кількість разів. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Наприклад,</b> виконання штрафного кидка в баскетболі є іспит, а попадання в кільце - подія. Інший приклад події - це випадання певного числа очок при киданні гральної кістки. <br /> У теорії ймовірності події позначаються великими латинськими літерами: <i style=mso-bidi-font-style:normal>A, B, C, D</i> ... <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Визначення:</i> Події <i style="mso-bidi-font-style: normal">A</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>B</i> називаються <u>несумісними,</u> якщо вони ніколи не можуть відбутися в результаті одного випробування. <br /> Події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> і <i style="mso-bidi-font-style: normal">В</i> називаються <u>спільними,</u> якщо вони можуть відбутися в результаті одного випробування. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> випробування - один раз підкидаємо монету. Події: а) випаде орел, б) випаде решка. <br /> Події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> і <i style="mso-bidi-font-style: normal">В</i> не спільний так як при підкиданні однієї монети одночасно не випаде орел і решка. <br /> <i style=mso-bidi-font-style:normal>Визначення:</i> Подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> називається <u>незалежною</u> від події <i style="mso-bidi-font-style: normal">В,</i> якщо ймовірність появи події <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> не залежить від того, відбулася подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">В</i> чи ні. <br /> Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> називається <u>залежним</u> від події <i style=mso-bidi-font-style:normal>В,</i> якщо ймовірність події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> змінюється в залежності від того, відбулася подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>В</i> чи ні. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> Уточнимо поняття незалежних подій. Будемо кидати дві монети і позначимо як подія <i style="mso-bidi-font-style: normal">A</i> той факт, що перша монета впаде гербом, подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>B</i> - друга монета впаде гербом, подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>C</i> - на одній (і тільки на одній) монеті випаде герб. Тоді події <i style=mso-bidi-font-style:normal>A, B, C</i> попарно незалежні, але два з них повністю визначають третє. Дійсно, <i style=mso-bidi-font-style:normal>A</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>B</i> незалежні, так як результати другого кидка ніяк не залежать від першого кидка, <i style=mso-bidi-font-style:normal>A</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>C</i> (а також <i style="mso-bidi-font-style: normal">B</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>C)</i> можуть здатися залежними, але перебором варіантів можна отримати, що <i style="mso-bidi-font-style: normal">p (AC)</i> = 1 / 4 = <i style=mso-bidi-font-style:normal>p (A) p (C),</i> значить, вони за визначенням незалежні. З іншого боку, легко переконатися, що будь-які дві події однозначно визначають третє. На цьому прикладі добре видно, що події можуть бути попарно незалежні, але залежні у сукупності. <br /> Операції над подіями <br /> <u>1.Сумма</u> <br /> Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>С</i> називається сумою <i style=mso-bidi-font-style:normal>А + В,</i> яке є подія, що складається з появі хоч би однієї з подій <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>В.</i> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> Впадає кубик подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> - випаде число 2. Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>В</i> - випаде непарне число. Тоді подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>С = А + В.</i> Буде складатися в випадання двійки або непарного числа <br /> 2. <u>Твір</u> <br /> Подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>C</i> називається твором <i style=mso-bidi-font-style:normal>A</i> і <i style=mso-bidi-font-style:normal>B,</i> якщо воно складається з усіх подій, що входять і в <i style=mso-bidi-font-style:normal>A,</i> і в <i style=mso-bidi-font-style:normal>B.</i> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> <i style=mso-bidi-font-style:normal>С = А ∙ В (А</i> - випаде 3, <i style="mso-bidi-font-style: normal">В</i> - випаде непарне число). Тоді <i style="mso-bidi-font-style: normal">З</i> полягає у випадання тільки числа 3, так як 3 є непарним числом. <br /> 3. <u>Протилежне</u> <br /> Подія називається протилежним події <i style=mso-bidi-font-style:normal>A,</i> називається подія, яке у непоявленія події <i style=mso-bidi-font-style:normal>А.</i> Позначається протилежне подія символом <img border=0 width=17 height=20 src=dopb443332.zip v:shapes=_x0000_i1108><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1108 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436693></o:OLEObject></xml> . <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> Протилежними подіями є промах і потрапляння при пострілі, або випаданні герба або цифри при одному підкиданні монети. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Імовірність подій</b> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>а) статистичний підхід.</b> <br /> Розглянемо деяку кількість випробувань, в результаті яких з'явилося подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А.</i> Нехай було вироблено n випробувань, в результаті яких подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А</i> з'явилося рівно <i style=mso-bidi-font-style:normal>m</i> разів. Тоді відношення <img border=0 width=23 height=47 src=dopb443333.zip v:shapes=_x0000_i1109><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1109 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436694></o:OLEObject></xml> - Називають <i style=mso-bidi-font-style:normal>відносною частотою.</i> <br /> Також при великій кількості повторень випробування частость подій мало змінюється і стабілізується біля певного значення, а при невеликій кількості повторень вона може приймати різні значення. Кожне таке значення в конкретному випадку прийнято називати ймовірністю події <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> і позначають <i style=mso-bidi-font-style:normal>Р (А).</i> <br /> Так як <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> завжди більше або дорівнює <i style=mso-bidi-font-style:normal>N,</i> то ймовірність укладена в інтервалі: <img border=0 width=84 height=21 src=dopb443334.zip v:shapes=_x0000_i1110><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1110 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436695></o:OLEObject></xml> . <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Прикладом</b> може служити випадання герба або цифри при киданні монети, що є простим і наочним випробуванням. Практика людини говорить про те, що при великому числі кидання приблизно в 50% випробувань випаде герб, а в 50% - цифра. А це вже певна закономірність. Тут нас цікавить не результат окремого підкидання, а те, що вийде після багаторазових підкидань. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>б) класичне визначення.</b> <br /> У деяких випадку ймовірності подій можуть бути легко визначені виходячи з умов випробувань. Нехай випробування має n можливих результатів, тобто подій, які можуть з'явитися в результаті даного випробування. При кожному повторенні можливо поява тільки одного з даних результатів (тобто всі n результатів несумісні). Крім того, за умовами випробування не можна сказати які результати з'являються частіше за інших, тобто всі результати є <i style=mso-bidi-font-style:normal>рівноможливими.</i> Припустимо тепер що при n равновозможних исходах інтерес представляє подія <i style=mso-bidi-font-style:normal>А,</i> яке з'являється тільки при <i style=mso-bidi-font-style:normal>m</i> випадки і не з'являється при інших <i style=mso-bidi-font-style:normal>n</i> <i style="mso-bidi-font-style: normal">-</i> <i style=mso-bidi-font-style:normal>m</i> результатах. І прийнято говорити, що в даному випробуванні є n випадків, з яких m сприяють появі події <i style="mso-bidi-font-style: normal">А.</i> У такому випадку ймовірність можна обчислити, як відношення числа випадків сприяють появі події <i style="mso-bidi-font-style: normal">А</i> (тобто <i style=mso-bidi-font-style:normal>m),</i> до загального числа всіх результатів <i style=mso-bidi-font-style:normal>n:</i> <img border=0 width=69 height=41 src=dopb443335.zip v:shapes=_x0000_i1111><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1111 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436696></o:OLEObject></xml> . <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад 1.</b> З колоди з 36 перемішаними картами навмання витягується одна карта. Витяг кожної карти з 36 є рівноможливими подією. Тому ймовірність вилучення "короля" становить 4 / 36 = 1 / 9, карти обраної масті - 9 / 36 = 1 / 4, карти вибраного кольору - 18/36 = 1 / 2. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад 2.</b> Кидають два гральні кістки. Потрібно знайти ймовірність того, що сума очок ділиться на 5. Можливі суми очок, що діляться на 5, рівні 5 і 10. Події "сума очок дорівнює 5" сприяють події (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4; 1), а події "сума очок дорівнює 10" - події (4, 6), ( 5; 5), (6, 4). Таким чином, число сприятливих результатів дорівнює 7, загальне число равновозможних результатів - 6 "6 = 36, тому ймовірність події" сума очок ділиться на 5 "буде 7 / 36. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад 3.</b> Імовірність вилучення білого кулі (подія Б) з урни, яка містить три чорних і чотири білі кулі: p (Б) = 4 / 7. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 2 </h2> 1. У 9 класі 10 навчальних предметів. Скількома способами можна поставити в середу перший і другий уроки? <br /> 2. Для складання двох команд з 40 чоловік треба вибрати капітанів команд. Яким числом способів це можна зробити? <br /> 3. На три призових місця претендують Вася, Діма і Коля. Яким числом способів можуть розподілитися призові місця? <br /> 4. Скільки існує тризначних чисел, які трійкою? <br /> 5. У партії 10 лотерейних квитків виграшними є 5. Придбано 3 квитки. У скількох випадках серед них є хоча б один виграшний? <br /> 6. Чотири футболіста, чотири хокеїсти і два <a href="Баскетбол" title="Баскетбол">баскетболіста</a> хочуть сфотографуватися, стоячи в один ряд, але так щоб представники одного виду спорту стояли поруч. Яким числом способів вони можуть зробити це? <br /> 7. У деякому царстві не було двох жителів з однаковим набором зубів. Яка максимальна кількість жителів цієї держави? <br /> 8. В урні лежать 10 жетонів з числами 1, 2, 3, 4, ..., 10. З неї виймають три жетони. У скількох випадках сума написаних на них чисел дорівнює 9? Не менше 9. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 3 </h2> 1. Скількома способами можна розкласти в дві кишені п'ять купюр номіналом 10, 50, 100, 500 і 1000 карбованців? <br /> 2. З десяти <a href="Волейбол" title="Волейбол">волейбольних</a> м'ячів, позначених цифрами від 1 до 10, потрібно вибрати п'ять м'ячів так, щоб серед вибраних був елемент м'яч з номером 5. Скількома способами це можна зробити? <br /> 3. Скільки можна скласти пятібуквенних слів з 7 голосних і 25 приголосних букв, якщо голосні і приголосні повинні чергуватися? <br /> 4. Скількома способами можна розбити 20 футболістів на дві команди так, щоб одна містила 3 людини, а інша 15? <br /> 5. У скількох дев'ятизначних числах всі цифри різні? <br /> 6. Скільки різних п'ятизначних чисел можна записати із цифр числа 273485961 так, щоб парні і непарні цифри в числі чергувалися? <br /> 7. Двадцять різних книг віддане двом продавцям. Скількома способами вони можуть розподілити, якщо всі <a href="Книги" title="Книги">книги</a> можуть бути віддані одному продавцеві? <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 4 </h2> 1. Кинуто дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що: а) сума випали очок дорівнює семи, б) сума випали очок дорівнює 8, а різниця чотирьом; в) сума випали очок дорівнює восьми, якщо відомо, що їх різниця дорівнює чотирьом; г) сума випали очок дорівнює п'яти , а твір - чотирьом? <br /> 2. У ящику є 10 однакових деталей, помічені номерами 1, 2, ..., 10. Навмання витягнуті шість деталей. Знайти ймовірність того, що серед витягнутих деталей виявляться: а) деталь № 1; б) деталі № 1 і № 2. <br /> 3. Яка ймовірність того, що з шести зазначених чисел в картці «Спортлото» (гра з 49) k чисел будуть виграшними. <br /> 4. Відомо, що серед 40 учасників є 10 майстрів спорту. Серед усіх учасників випадковим чином вибрали першу п'ятірку, знайдіть ймовірність, що в цій п'ятірці присутні рівно 2 майстри спорту. <br /> 5. На картках написані літери: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Виймають навмання одну картку за одною і розкладають у тому порядку в якому вони були вийняті. Знайти ймовірність того, що на картках буде написано слово ФІЗКУЛЬТУРА. <br /> 6. У всеросійському дні бігу кожному учаснику надавався певний чотиризначний номер. І була проведена <a href="Акція" title="Акція">акція</a> всім тим у кого на номері зустрічаються два рази цифра 7 одержують у <a href="Подарунок" title="Подарунок">подарунок</a> кружку. Визначте скільки кухлів повинен приготувати спорткомітет. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 5 </h2> Наведемо основні правила, що дозволяють визначити ймовірність появи складної події, що складається з більш простих подій, імовірність яких нам відома. <br /> 1.Вероятность достовірного події дорівнює одиниці: P (E) = 1. <br /> 2. Імовірність неможливого події дорівнює 0: P (Ш) = 0. <br /> 3. Імовірність твори незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р (АВ) = Р (А) Р (В). <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> <a href="Злочинець" title="Злочинець">Злочинець</a> має 3 ключі. У темряві він відкриває двері, вибираючи ключ випадковим чином. На відкриття кожного з дверей він витрачає 5 секунд. Знайти ймовірність того, що він відкриє всі двері за 15 секунд. <br /> Рішення. Нехай подія А - "відкриті всі двері". Розіб'ємо цю подію на більш прості. Нехай В - "відкрита 1-я", С - "відкрита 2-я", а D - "відкрита 3-я". Тоді, А = ВСD за визначенням твору подій. Отже Р (А) = Р (ВСD). По теоремі про ймовірність твори незалежних подій Р (ВСD) = Р (В) Р (C) Р (D). <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Визначення.</b> Умовною ймовірністю події А, за умови, що відбулася подія В, називається відношення ймовірностей P (АВ) до Р (В) і позначається Р <sub>А</sub> (В): <img border=0 width=129 height=51 src=dopb443336.zip v:shapes=_x0000_i1112><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1112 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436697></o:OLEObject></xml> . <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> Впадає гральний кубик. Яка ймовірність того, що випало число очок, більше трьох (подія А), якщо відомо, що випала парна грань (подія В)? <br /> Рішення. Події В відповідає випадання чисел 2,4,6. Події А випадання чисел 4, 5, 6. Події А <img border=0 width=17 height=13 src=dopb443337.zip v:shapes=_x0000_i1113><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1113 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436698></o:OLEObject></xml> В - 4, 6. Тому, використовуючи формулу умовної ймовірності отримаємо: <img border=0 width=216 height=51 src=dopb443338.zip v:shapes=_x0000_i1114><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1114 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436699></o:OLEObject></xml> . <br /> 4. Імовірність твори залежних подій дорівнює: <br /> P (AВ) = Р (А) Р <sub>А</sub> (В). <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> Змінимо завдання: вважаємо, що <a href="Злочинець" title="Злочинець">злочинець</a> - забудькуватий чоловік. Нехай злочинець відкривши двері, залишає ключ в ній. Яка тоді ймовірність, що він відкриє всі двері за 15 сек? <br /> Рішення. Подія А - "відкриті всі двері". Знову, А = ВСD за визначенням твору подій. Отже Р (А) = Р (ВСD). Але, тепер події В, C і D - залежні. По теоремі про ймовірність твори залежних подій Р (ВСD) = Р (В) Р (C | B) Р (D | BC). <br /> Обчислимо ймовірності: Р (В) = 1 / 3, Р <sub>В</sub> (С) = 1 / 2 (ключа залишилося тільки два і один з них підходить!), Р <sub>BC</sub> (D) = 1 / 1 і, значить, Р (А ) = 1 / 6. <br /> 5. Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей. <br /> Р (А <sub>1</sub> + А <sub>2</sub> + ... + А <sub>n)</sub> = Р (А <sub>1)</sub> + Р (А <sub>2)</sub> + ... + Р (А <sub>n).</sub> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> В урні 5 білих, 20 червоних і 10 чорних куль, що не відрізняються за розміром. Кулі ретельно перемішують і потім навмання виймають 1 кулю. Яка ймовірність того, що вийнятий куля виявиться білим або чорним? <br /> Рішення. Нехай подія А - поява білого або чорного кулі. Розіб'ємо цю подію на більш прості. Нехай В1 - поява білої кулі, а В2 - чорного. Тоді, А = В1 + В2 з визначення суми подій. Отже Р (А) = Р (В1 + В2). Так як В1 і В2 - несумісні події, то згідно теореми про ймовірність суми несумісних подій Р (В1 + В2) = Р (В1) + Р (В2). <br /> 6.Вероятность суми довільних подій дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності твори подій <br /> Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ). <br /> У загальному випадку дана формули виглядає так: <br /><img border=0 width=573 height=47 src=dopb443339.zip v:shapes=_x0000_i1115><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1115 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436700></o:OLEObject></xml> . <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> Ведуться пошуки двох злочинців. Кожен з них незалежно від іншого може бути виявлений протягом доби з ймовірністю 0,5. Яка ймовірність того, що протягом доби буде виявлено хоча б один злочинець? <br /> Рішення. Нехай подія А - "виявлено хоча б один злочинець". Розіб'ємо цю подію на більш прості. Нехай В1 - виявлений перший злочинець, а В2 - виявлений другий злочинець. Тоді, А = В1 + В2 з визначення суми подій. Отже Р (А) = Р (В1 + В2). Так як В1і В2 - спільні події, то згідно теореми про ймовірність суми подій <br /> Р (В1 + В2) = Р (В1) + Р (В2)-Р (В1 В2) = 0,5 +0,5 - 0,25 = 0,75. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 6 </h2> 1. <a href="Задума" title="Задума"> Задумано</a> двозначне число. Знайти ймовірність того, що задуманим числом виявиться: а) випадково назване двозначне число: б) випадково назване двозначне число, цифри якого різні? <br /> 2. Монета кинута два рази знайти ймовірність, що хоча б один раз з'явиться герб. <br /> 3. У коробці є шість однакових жетонів з різними номерами. По одному навмання витягують всі кубики. Знайти ймовірність того, що номери витягнутих кубиків з'являться у зростаючому порядку. <br /> 4. У ящику є 15 деталей, серед яких 10 забарвлених. Складальник навмання витягує три деталі. Знайти ймовірність того, що витягнуті деталі виявляться пофарбованими. <br /> 5. У <a href="Волейбол" title="Волейбол">волейбольній</a> команді 6 майстрів спорту і 4 кандидати. Навмання обраних семи людям дали премію. Знайти ймовірність того, що серед отримали премію виявляться три кандидати у майстри спорту? <br /> 6. У коробці п'ять однакових виробів, причому три з них пофарбовані. Навмання витягнули два вироби. Знайти ймовірність того, що серед двох витягнутих виробів виявляться: а) одне забарвлене виріб, б) два забарвлених вироби; в) хоча б одне забарвлене виріб. <br /> 7. У ящику 10 деталей, з яких чотири пофарбовані. Складальник навмання взяв три деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з взятих деталей забарвлена. <br /> 8. Два стрільці стріляють у мішень. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,7, а для другого 0,8. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі в мішень потрапить тільки один зі стрільців. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Домашнє завдання</b> <br /> 1. Монету кидають два рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з'явиться герб. <br /> 2. Яка ймовірність того, що з шести зазначених чисел в картці «Спортлото» (гра з 49) k чисел будуть виграшними. <br /> 3. Імовірність одного влучення в ціль при одному пострілі з двох знарядь дорівнює 0,38. Знайти ймовірність ураження цілі при одному пострілі першим з гармат, якщо відомо, що для другої <a href="ГАРМАТИ" title="ГАРМАТИ">гармати</a> ця ймовірність дорівнює 0,8. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 7 </h2> 1. Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб <a href="Стандарт" title="Стандарт">стандартно</a>, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність, того, що з двох перевірених виробів тільки одне стандартне. <br /> 2. Кинуто три гральні кістки. Знайти ймовірність таких подій: а) на двох випали гранях з'явитися одне очко, а на третій грані - інше число очок. <br /> 3. Ймовірність влучення в мішень стрільцем при одному пострілі дорівнює 0,8. Скільки <a href="ПОСТРІЛ" title="ПОСТРІЛ">пострілів</a> повинен зробити стрілок, щоб з імовірністю, меншою 0,4 можна було очікувати, що не буде жодного промаху? <br /> 4. У читальному залі є шість <a href="Підручник" title="Підручник">підручників</a> з теорії ймовірності, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручники. Знайти ймовірність того, що обидва підручника опиняться в палітурці. <br /> 5. Серед 100 лотерейних квитків є 5 виграшних. Знайти ймовірність того, що 2 навмання вибрані квитка виявляться виграшними. <br /> 6. У цеху працюють 7 чоловіків і три жінки. Навмання відібрано три людини. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками. <br /> 7.<a href="Студент" title="Студент"> Студент</a> знає 20 з 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що <a href="Студент" title="Студент">студент</a> знає запропоновані йому екзаменаторам три питання. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Домашнє завдання</b> <br /> 1. У ящику 10 деталей, серед яких шість забарвлених. Складальник навмання витягує чотири деталі. Знайти ймовірність того, що всі витягнуті деталі виявляться пофарбованими. <br /> 2. Вірогідність того, що потрібна деталь знаходиться в першому, другому, третьому, четвертому ящику відповідно рівні 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірності того, що деталь міститься: а) не більше ніж у трьох ящиках, б) не менш ніж у двох ящиках. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 8 </h2> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Визначення.</b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>З</b> овокупность подій А <sub>1,</sub> А <sub>2,</sub> ..., А <sub>n</sub> <sub> </sub> називається повною групою подій, якщо виконуються наступні умови: <br /> а) вона описує всі можливі результати; <br /> б) події попарно незалежні і не спільний. <br /> Нехай дано подія А, воно може наступити при появі одного з несумісних Подій В <sub>1,</sub> В <sub>2,</sub> ..., У <sub>n,</sub> які утворюють повну групу. Нам також відомі ймовірності <img border=0 width=61 height=23 src=dopb443340.zip v:shapes=_x0000_i1116><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1116 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436701></o:OLEObject></xml> , <img border=0 width=63 height=23 src=dopb443341.zip v:shapes=_x0000_i1117><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1117 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436702></o:OLEObject></xml> , ..., <img border=0 width=64 height=24 src=dopb443342.zip v:shapes=_x0000_i1118><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1118 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436703></o:OLEObject></xml> . Як можна знайти ймовірність події А?<a href="Відповідь" title="Відповідь"> Відповідь</a> на це питання дає. <br /> Ймовірність події А, яка може наступити лише за умови появу одного з несумісних подій В <sub>1,</sub> В <sub>2,</sub> ..., У <sub>n,</sub> що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірності кожного з цих подій на власну умовну ймовірність: <br /><img border=0 width=433 height=28 src=dopb443343.zip v:shapes=_x0000_i1119><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1119 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436704></o:OLEObject></xml> . <br /> Цю формулу також називають формулою повної ймовірності. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> У проведенні операції зі звільнення заручників беруть участь 2 групи снайперів: 10 осіб з гвинтівкою ОП21 і 20 осіб з АКМ47. Можливість поразки з ОП21 - 0,85, а АКМ47 - 0,65. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі довільного снайпера злочинець буде вражений. <br /> Рішення. Нехай подія А - "злочинець вражений". Розіб'ємо цю подію на більш прості. <a href="Злочинець" title="Злочинець"> Злочинець</a> може бути вражений небудь з ОП21, або з АКМ47. Імовірність того, що довільний снайпер озброєний ОП21 (подія Н1) дорівнює 10/30. Імовірність того, що довільний снайпер озброєний АКМ47 (подія Н2) дорівнює 20/30. <br /> Імовірність того, що злочинець вражений дорівнює: <br /><img border=0 width=476 height=47 src=dopb443344.zip v:shapes=_x0000_i1120><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1120 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436705></o:OLEObject></xml><br /> Складемо завдання: Нехай дано подія А, воно може наступити при появі одного з несумісних Подій В <sub>1,</sub> В <sub>2,</sub> ..., У <sub>n,</sub> які утворюють повну групу. Так як нам заздалегідь не відомо, яка подія настане, їх називають гіпотезами. Припустимо, що проведено випробування в результаті, якого з'явилося подія А. Поставимо своїм завданням визначити як змінилися ймовірності гіпотез, у зв'язку з тим що подія А вже настав. Іншими словами визначимо такі умовні ймовірності: <br /><img border=0 width=59 height=25 src=dopb443345.zip v:shapes=_x0000_i1121><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1121 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436706></o:OLEObject></xml> , <img border=0 width=60 height=25 src=dopb443346.zip v:shapes=_x0000_i1122><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1122 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436707></o:OLEObject></xml> , ..., <img border=0 width=61 height=25 src=dopb443347.zip v:shapes=_x0000_i1123><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1123 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436709></o:OLEObject></xml> . <br /> Визначити дані ймовірності можна за допомогою формули <b style="mso-bidi-font-weight: normal">Бейеса:</b> <br /><img border=0 width=176 height=55 src=dopb443348.zip v:shapes=_x0000_i1124><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1124 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436710></o:OLEObject></xml> , <br /> Замінивши <img border=0 width=433 height=28 src=dopb443343.zip v:shapes=_x0000_i1125><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1125 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436711></o:OLEObject></xml> отримаємо: <br /><img border=0 width=449 height=59 src=dopb443349.zip v:shapes=_x0000_i1126><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1126 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436712></o:OLEObject></xml> . <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> На <a href="Склад" title="Склад">склад</a> надійшло 1000 підшипників. З них 200 виготовлені на 1-му заводі, 460-на 2-м і 340 - на 3-му. Імовірність того, що підшипник виявиться нестандартним, для 1-го заводу дорівнює 0,03, для 2-го - 0,02, для 3-го - 0,01. Взятий навмання підшипник виявився нестандартним. Яка ймовірність того, що він виготовлений 1-м заводом? <br /> Рішення: Нехай A - подія, що полягає в тому, що взятий Підшипник нестандартний, а - Н <sub>1,</sub> Н <sub>2,</sub> Н <sub>3,</sub> гіпотези, що він виготовлений відповідно 1-м, 2-м або 3-м заводом. Вірогідність зазначених гіпотез складають: P (H <sub>1)</sub> = 200/1000 = 0.2, P (H <sub>2)</sub> = 460/1000 = 0.46, P (H <sub>1)</sub> = 340/1000 = 0.34. <br /> З умови задачі випливає, що р <sub>1</sub> = Р <sub>Н1</sub> (А) = 0,03; р <sub>2</sub> = Р <sub>Н2</sub> (А) = 0,02; р <sub>3</sub> = Р <sub>Н3</sub> (А) = 0,01. <br /> Знайдемо ймовірність того, що підшипник, що виявився нестандартним, виготовлений 1-м заводом. За формулою Бейеса маємо: <br /><img border=0 width=433 height=37 src=dopb443350.zip v:shapes=_x0000_i1127><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1127 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436713></o:OLEObject></xml><br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 9 </h2> 1. Серед N екзаменаційних квитків n «щасливих». <a href="Студент" title="Студент"> Студенти</a> підходять за білетами один за іншим. У кого більше ймовірність взяти <a href="Щаслива" title="Щаслива">щасливий</a> квиток: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим? Яка ймовірність взяти "щасливий» квиток в останнього студента? <br /> 2. Екзаменаційних квитків містять по 2 питання, які не повторюються. Іспитуються може <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповісти</a> тільки на 25 питань. Визначити ймовірність того, що іспит буде зданий, якщо для цього достатньо відповісти на два питання з одного квитка або на одне питання з першого квитка і на вказаний додаткове питання з іншого білету. <br /> 3. Під час випробувань було встановлено, що ймовірність безвідмовної роботи приладу при відсутності ушкоджень дорівнює 0,99, при перегріві - 0,95, при вібрації - 0,9, при вібрації і перегріві - 0,8. Знайти ймовірність P1 відмови цього приладу під час роботи в жарких <a href="Країна" title="Країна">країнах</a> (імовірність перегріву - 0,2, вібрації - 0,1) і ймовірність P2 відмови під час роботи в пересувається лабораторії (імовірність перегріву - 0,1, вібрації - 0,3) , якщо вважати перегрів і вібрацію незалежними подіями. <br /> 4. За каналу зв'язку передають <a href="Символ" title="Символ">символи</a> A, B, C з імовірностями 0,4, 0,3, 0,3 відповідно. Імовірність спотворення <a href="Символ" title="Символ">символу</a> дорівнює 0,4, і всі спотворення рівноймовірні. Для збільшення надійності кожен <a href="Символ" title="Символ">символ</a> повторюють чотири рази. На виході сприйняли послідовність Васві. Яка ймовірність того, що передали АААА, ЧВВВ, сссс? <br /> 5. На спостережної станції встановлено 4 <a href="Радіолокатор" title="Радіолокатор">радіолокатора</a> різних конструкцій. Ймовірність виявлення цілей з допомогою першого локатора дорівнює 0,86, другого 0,9, третій 0,92, четвертого 0,95. Спостерігач навмання включає один з локаторів. Яка ймовірність виявлення цілі? <br /> 6. Імовірність того, що <a href="Двоє" title="Двоє">двоє</a> близнюків будуть однієї статі 0,64, а ймовірність народження в двійні першого <a href="Хлопчик" title="Хлопчик">хлопчика</a> 0,51. Знайти ймовірність того, що другий з близнят буде <a href="Хлопчик" title="Хлопчик">хлопчиком</a>, за умови, що перший з них хлопчик. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Домашнє завдання</b> <br /> 1. Деяка деталь проводитися на двох заводах. Відомо, що обсяг продукції першого заводу в к разів перевищує обсяг другого. Частка шлюбу на першому заводі 0,3, на другому 0,2. Навмання взята деталь виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що ця деталь випущена першим заводом? <br /> 2. Серед жінок - виборців 70% підтримують кандидата А, а серед чоловіків 60%. Використовуючи дані перепису, згідно з якими частка жінок виборців становить 55%, оцінити ймовірність перемоги на виборах кандидата О. <br /> 3. Троє співробітників <a href="Фірми" title="Фірми">фірми</a> видають відповідно 30%, 50%, 20% всіх виробів, виробленої фірмою. У першого шлюб 2%, другого 5%, третього 1%. Яка ймовірність, що випадково обраний виріб дефектно? <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 10 </h2> Вивчення випадкових величин вимагає зв'язку цих величин з певними подіями, які полягають в попаданні випадкової величини в деякий інтервал і для яких визначені ймовірності. Іншими словами необхідно пов'язати випадкову величину з полем даного випробування. <br /> Для кращого розуміння розглянемо приклад. При киданні кістки могли з'явитися цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед визначити число випали очок неможливо, так як це залежить від багатьох випадкових величин, які повністю не можуть бути враховані. У цьому сенсі число очок є величина випадкова, і числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 - є можливі значення цієї величини. <br /> <u>Визначення: Випадкового</u> називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, наперед невідоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. <br /> Будемо позначати випадкові величини прописними (заголовними) літерами: X, Y, Z, а їх можливі значення відповідними малими літерами x, y, z. Якщо величина Х має три значення то вони будуть позначені так: х <sub>1,</sub> х <sub>2,</sub> х <sub>3.</sub> <br /> Зазвичай розглядаються два типи випадкових величин: дискретні і безперервні. <br /> Розглянемо наступний <b style=mso-bidi-font-weight:normal>приклад:</b> Число хлопчиків пішли в секцію бальних танців серед 100 прийшли туди людей є випадкова величина, яка може приймати такі значення 0, 1, 2, ..., 100. Ці значення відокремлені один від одного проміжками, в яких немає можливих значень Х. таким чином в цьому прикладі випадкова величина приймає окремі ізольовані значення. <br /> Наведемо <b style=mso-bidi-font-weight:normal>другий приклад:</b> відстань, яку пролетить диск при метанні, є величина випадкова. Дійсно величина залежить від багатьох чинників, наприклад від вітру, температури та інших факторів, які не можуть бути повністю враховані. Можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (а; b). <br /> У даному прикладі випадкова величина може прийняти будь-яке із значень проміжку (а; b). Тут не можна відокремити одне можливе значення від іншого проміжком, що не містить можливих значень випадкової величини. <br /> Вже із сказаного можна зробити висновок про те, що доцільно буде розрізняти випадкові величини, які приймають лише окремі ізольовані значення, і випадкові величини, можливі значення яких суцільно заповнюють певний проміжок. <br /> Дискретної (перервний) називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним. <br /> Безперервної називають випадкову величину, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Очевидно, число можливих значень неперервної випадкової величини нескінченно. <br /> Ще прикладами безперервних випадкових величин можуть бути спортивний результат в бігу або стрибках, ріст і маса тіла людини, сила м'язів та інші. <br /> Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. <br /> Для завдання дискретної випадкової величини не достатньо перерахувати всі можливі її значення, потрібно ще вказати їх вірогідність. <br /> Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями; його можна задати таблично, у вигляді формули і графічно. <br /> При табличному завданні перший рядок містить можливі значення, а друга - їх ймовірності: <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Х <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> x <sub>1</sub> <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> x <sub>2</sub> <sub> </sub><br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> ... <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> x <sub>n</sub> <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> p <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> p <sub>1</sub> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> p <sub>2</sub> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> ... <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> p <sub>n</sub> <br /></td></tr></table></div> Сума ймовірностей другого рядка таблиці равнеа одиниці: <br /><img border=0 width=129 height=24 src=dopb443351.zip v:shapes=_x0000_i1128><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1128 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436714></o:OLEObject></xml> . <br /> Якщо безліч можливих значень Х нескінченно, то ряд <img border=0 width=76 height=23 src=dopb443352.zip v:shapes=_x0000_i1129><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1129 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436715></o:OLEObject></xml> збігається і його сума дорівнює одиниці. <br /> Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки (х <sub>i;</sub> p <sub>i),</sub> а потім з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу. <br /> Для неперервної випадкової величини графік виглядає у вигляді кривої неперервної на даному проміжку. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 11 </h2> Як відомо закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватися меншими відомостями. Також для вирішення багатьох завдань не потрібно знати розподілу випадкової величини, а достатньо знати лише деякі узагальнюючі числові характеристики цього розподілу. <br /> Однією з таких характеристик є математичне сподівання. Для більш наочного визначення розглянемо підхід до цього поняття на конкретному прикладі. <br /> Нехай є дискретна випадкова величина Х, яка може приймати значення х <sub>1,</sub> х <sub>2,</sub> ..., х <sub>n.</sub> Вірогідність яких відповідно рівні р <sub>1,</sub> р <sub>2,</sub> ..., р <sub>n.</sub> Тоді математичне сподівання М (Х) випадкової величини Х визначається рівністю: <br /><img border=0 width=203 height=24 src=dopb443353.zip v:shapes=_x0000_i1130><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1130 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436716></o:OLEObject></xml> . <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, заданої законом розподілу: <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;height:19.4pt><td width=148 valign=top style="width:111.05pt;border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.4pt"> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Х</b> <br /></td><td width=148 valign=top style="width:111.1pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.4pt"> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>-4</b> <br /></td><td width=148 valign=top style="width:111.1pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.4pt"> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>6</b> <br /></td><td width=148 valign=top style="width:111.1pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:19.4pt"> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>10</b> <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes;height:20.55pt><td width=148 valign=top style="width:111.05pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.55pt"> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Р</b> <br /></td><td width=148 valign=top style="width:111.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.55pt"> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>0,2</b> <br /></td><td width=148 valign=top style="width:111.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.55pt"> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>0,3</b> <br /></td><td width=148 valign=top style="width:111.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:20.55pt"> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>0,5</b> <br /></td></tr></table> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Рішення:</b> М (Х) =- 4 ∙ 0,2 +6 ∙ 0,3 +10 ∙ 0,5 = 6 <b style=mso-bidi-font-weight:normal> </b><br /> Математичне сподівання приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини. <br /> На практиці часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадково величини навколо її середнього значення. Наприклад, в артилерії важливо знати, наскільки купчасто ляжуть снаряди поблизу мети, яка повинна бути вражена. Саме такі завдання вирішує дисперсія. <br /> Визначення: дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилень випадкової величини від її математичного сподівання. Дисперсія позначається, як D (x) <br /> D (Х) = M [X-М (Х)] <sup>2</sup> = M <u>[(x-x)</u> <sup>2]</sup> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> Знайти дисперсію випадкової величини Х, яка задана наступним законом розподілу: <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Х <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <sub> </sub><br /></td><td width=34 valign=top style="width:25.8pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <sub> </sub><br /></td><td width=60 valign=top style="width:45.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> p <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,3 <sub> </sub><br /></td><td width=34 valign=top style="width:25.8pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,5 <sub> </sub><br /></td><td width=60 valign=top style="width:45.3pt;border-top:none;border-left:none; border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,2 <br /></td></tr></table></div> Рішення. Знайдемо математичне сподівання: <br /><img border=0 width=285 height=24 src=dopb443354.zip v:shapes=_x0000_i1131><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1131 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436717></o:OLEObject></xml> . <br /> За визначенням: <br /><img border=0 width=607 height=28 src=dopb443355.zip v:shapes=_x0000_i1132><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1132 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436718></o:OLEObject></xml> . <br /> Використовуючи формулу D (Х) = M (X) <sup>2</sup> - [М (Х)] <sup>2</sup> можна знайти дисперсію набагато швидше: <br /><img border=0 width=304 height=24 src=dopb443356.zip v:shapes=_x0000_i1133><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1133 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436719></o:OLEObject></xml> . <br /> Для оцінки розсіяння всіляких значень випадкової величини навколо її середнього значення крім дисперсії служать і інші величини. <br /> Середнім квадратичним відхиленням величини Х називають квадратний корінь з дисперсії <img border=0 width=107 height=27 src=dopb443357.zip v:shapes=_x0000_i1134><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1134 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436720></o:OLEObject></xml><br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 12 </h2> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>1.</b> Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х і побудувати багатокутник розподілу, заданої законом розподілу: <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=left style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-table-lspace:9.0pt;margin-left:6.75pt;mso-table-rspace: 9.0pt;margin-right:6.75pt;mso-table-anchor-vertical:paragraph;mso-table-anchor-horizontal: page;mso-table-left:107.85pt;mso-table-top:28.8pt;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Х <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> -4 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 6 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 10 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> р <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,3 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,5 <br /></td></tr></table> а) б) <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=left style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-table-lspace:9.0pt;margin-left:6.75pt;mso-table-rspace: 9.0pt;margin-right:6.75pt;mso-table-anchor-vertical:paragraph;mso-table-anchor-horizontal: page;mso-table-left:340.65pt;mso-table-top:2.7pt;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Х <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,21 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,54 <br /></td><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left:none; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,61 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> р <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,4 <br /></td></tr></table> У грошовій лотереї випущено 100 квитків. Розігрується один виграш в 50 р. і десять виграшів по 1 р. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - вартості можливого виграшу для власника лотерейного квитка. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>2.</b> Дискретна випадкова величина має тільки 2 можливих значення х і у, причому x <y. Імовірність того, що Х прийме значення х = 0,6. Знайти закон розподілу величини Х, якщо математичне сподівання і дисперсія відомі: М (Х) = 1,4, D (X) = 0.24. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 13 </h2> У практиці статистичних спостережень розрізняють два види спостережень: <br /> · Суцільне (вивчаються всі об'єкти); <br /> · Вибіркове (несуцільне, коли вивчається частина об'єктів). <br /> Прикладом суцільного спостереження є перепис населення, що охоплює все населення країни. Вибірковими спостереженнями є, наприклад, проводяться <a href="Соціологія" title="Соціологія">соціологічні</a> дослідження, що охоплюють частину населення країни, області, району і т.д. <b style=mso-bidi-font-weight:normal> </b><br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Визначення:</b> Вся підлягає вивченню сукупність об'єктів називається <b style=mso-bidi-font-weight:normal>генеральною сукупністю.</b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal> </b><br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Визначення:</b> Частину об'єктів, яка відібрана для безпосереднього вивчення з генеральної сукупності, називається <b style=mso-bidi-font-weight:normal>вибірковою сукупністю або вибіркою.</b> <br /> Числа об'єктів в генеральній або вибіркової сукупності називають їх <b style=mso-bidi-font-weight:normal>обсягами.</b> Генеральна сукупність може мати кінцевий і нескінченний об'єм. <br /> Сутність вибіркового методу полягає в тому, щоб за деякою частини генеральної сукупності (за вибіркою) виносити судження про її властивості в цілому. <br /> <a href="Перевал" title="Перевал"> Переваги</a> вибіркового методу: <br /> · Економія витрати ресурсів <br /> · Єдино можливий у випадку нескінченної генеральної сукупності або у випадку, коли дослідженні пов'язано із знищенням спостережуваних об'єктів (наприклад дослідження довговічності електричних лампочок і т.д) <br /> · Можливість поглибленого дослідження за рахунок розширення програми дослідження при тих же витратах. <br /> · Зниження помилок реєстрації. <br /> Неминучі помилки, що виникають у зв'язку з вивченням частини об'єктів, можуть бути заздалегідь оцінені і за коштами правильної організації вибірки зведені до незначущим величинам. <br /> Тим часом використання суцільного спостереження часто призводить до зниження точності спостереження, а це в ж викликає непереборні помилки, і може призвести до зниження точності суцільного спостереження в порівнянні з вибірковим. <br /> Щоб за даними вибірки мати можливість судити про генеральної сукупності, вона повинна бути відібрана випадково. На практиці відбір може виконуватися за допомогою жеребкування (лотереї) або за допомогою випадкових чисел. <br /> Основний недолік вибіркового методу - помилки дослідження, звані помилками репрезентативності. <br /> Вибірка звана репрезентативною (представницької), якщо вона досить добре відтворює генеральну сукупність. <br /> Види вибірок: <br /> · Власне - випадкова вибірка (випадковий вибір елементів без розчленування на частини або групи) <br /> · Механічна вибірка (елементи відбираються через певний інтервал) <br /> · Типова вибірка (вибір випадковим чином елементів з типових груп, на які за деякою ознакою розбивається генеральна сукупність) <br /> · Серійна вибірка (випадковим чином відбираються цілі групи сукупності, а самі серії піддаються суцільному спостереженню) <br /> Способи освіти вибірки: <br /> · Повторний вибір - кожен елемент, випадково відібраний і обстежений, повертається в загальну сукупність і може бути повторно відібраний. <br /> · Бесповторного відбір - коли зворотний елемент не повертається в загальну сукупність. <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=631 style="border-collapse:collapse;mso-table-layout-alt:fixed;border:none; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh:.5pt solid windowtext;mso-border-insidev: .5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td width=115 valign=top style="width:86.4pt;border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Найменування характеристики <br /></td><td width=264 valign=top style="width:198.0pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Генеральна сукупність <br /></td><td width=252 valign=top style="width:189.0pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Вибірка <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td width=115 valign=top style="width:86.4pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Математичне сподівання <br /></td><td width=264 valign=top style="width:198.0pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"><img border=0 width=201 height=43 src=dopb443311.zip v:shapes=_x0000_i1135><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1135 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436721></o:OLEObject></xml><br /></td><td width=252 valign=top style="width:189.0pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"><img border=0 width=185 height=43 src=dopb443358.zip v:shapes=_x0000_i1136><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1136 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436722></o:OLEObject></xml><br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2><td width=115 valign=top style="width:86.4pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Дисперсія <br /></td><td width=264 valign=top style="width:198.0pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"><img border=0 width=252 height=44 src=dopb443313.zip v:shapes=_x0000_i1137><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1137 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436723></o:OLEObject></xml><br /></td><td width=252 valign=top style="width:189.0pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"><img border=0 width=237 height=44 src=dopb443314.zip v:shapes=_x0000_i1138><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1138 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436724></o:OLEObject></xml><br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3;mso-yfti-lastrow:yes><td width=115 valign=top style="width:86.4pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Частка <br /></td><td width=264 valign=top style="width:198.0pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"><img border=0 width=49 height=40 src=dopb443315.zip v:shapes=_x0000_i1139><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1139 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436725></o:OLEObject></xml><br /></td><td width=252 valign=top style="width:189.0pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"><img border=0 width=47 height=40 src=dopb443316.zip v:shapes=_x0000_i1140><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1140 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436726></o:OLEObject></xml><br /></td></tr></table> Де х <sub>i</sub> - значення ознаки. <br /> N і n - обсяги генеральної і вибіркової сукупностей. <br /> N <sub>i</sub> і n <sub>i</sub> - число елементів генеральної і вибіркової сукупностей зі значенням ознаки х <sub>i</sub> <br /> M і m - число елементів генеральної і вибіркової сукупностей, що володіють даними ознакою <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> генеральна сукупність задана таблицею розподілу: <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;height:24.5pt><td width=120 valign=top style="width:89.95pt;border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:24.5pt"> X <sub>i</sub> <br /></td><td width=119 valign=top style="width:89.05pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:24.5pt"> 2 <br /></td><td width=119 valign=top style="width:89.05pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:24.5pt"> 4 <br /></td><td width=120 valign=top style="width:90.25pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:24.5pt"> 5 <br /></td><td width=119 valign=top style="width:89.1pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:24.5pt"> 6 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes;height:25.5pt><td width=120 valign=top style="width:89.95pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:25.5pt"> N <sub>i</sub> <br /></td><td width=119 valign=top style="width:89.05pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:25.5pt"> 8 <br /></td><td width=119 valign=top style="width:89.05pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:25.5pt"> 9 <br /></td><td width=120 valign=top style="width:90.25pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:25.5pt"> 10 <br /></td><td width=119 valign=top style="width:89.1pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:25.5pt"> 3 <br /></td></tr></table> Знайти дисперсію. <br /><img border=0 width=232 height=44 src=dopb443317.zip v:shapes=_x0000_i1141><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1141 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436727></o:OLEObject></xml><br /><img border=0 width=418 height=87 src=dopb443359.zip v:shapes=_x0000_i1142><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1142 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436728></o:OLEObject></xml><br /> Найважливішим завданням вибіркового методу є оцінка параметрів генеральної сукупності за даними вибірки. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 14 </h2> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Розглянемо приклад:</b> <br /> Необхідно вивчити зміну результатів спортсменів, що займаються легкою атлетикою, в порівнянні з попереднім роком. Отримано такі дані результатів у відсотках до попереднього року: 97,8; 97,10; 101,17 ;,,,; 142,3; 141,02. (Всього 100 значень.). <br /> Різні значення ознаки (випадкової величини Х) називається варіантами (позначаємо їх через х). <br /> Перший крок до осмислення - упорядкування. Розташування варіантів у порядку зростання (зменшення), тобто <b style=mso-bidi-font-weight:normal>ранжування варіантів ряду.</b> <br /> Наступним кроком зробимо угруповання, тобто розіб'ємо на окремі інтервали. Число інтервалів не слід брати великим. <br /> Числа показують, скільки разів зустрічаються варіанти з даного інтервалу, називаються <b style=mso-bidi-font-weight:normal>частотами</b> (n <sub>i),</sub> а відношення їх до загального числа спостережень <b style=mso-bidi-font-weight:normal>частості</b> w <sub>i</sub> = n / n <sub>i.</sub> Частоти і частості називають <b style=mso-bidi-font-weight:normal>вагами.</b> <br /><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> I <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Результати у відсотках до попереднього року х <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Частота (кількість спортсменів) n <sub>i</sub> <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Частість (частка робітників) w <sub>i</sub> = n / n <sub>i</sub> <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Накопичена частота <br /> n <sub>i</sub> <sup>нак</sup> <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Накопичена частость w <sub>i</sub> <sup>нак</sup> = n <sub>i</sub> <sup>нак</sup> / n <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 94,0-100 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,03 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,03 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 100,0-106,0 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 7 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,07 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 10 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,10 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 106,0-112,0 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 11 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,11 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 21 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,21 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:4><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> ... <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> ... <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> ... <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> ... <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> ... <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> ... <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:5><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 8 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 136,0-142,0 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0,02 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 100 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1,00 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:6;mso-yfti-lastrow:yes><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border:solid windowtext 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 100 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1,00 <br /></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td width=124 valign=top style="width:93.3pt;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td></tr></table> <b style=mso-bidi-font-weight:normal><br clear=all style=page-break-before:always></b> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Визначення:</b> Варіаційним поруч називається ранжируваний в порядку зростання або убування ряд варіантів з відповідними їм вагами (частотами або частості). <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Визначення:</b> накопичена частота n <sub>i</sub> <sup>нак</sup> показує скільки спостерігалося варіантів зі значеннями ознаки менших х. <br /> Накопичена частость - відношення накопиченої частоти до загального числа спостережень: w <sub>i</sub> <sup>нак</sup> = n <sub>i</sub> <sup>нак</sup> / n <br /> Тепер отриманий нами варіаційний ряд дозволяє виявити закономірності. <br /> Для завдання варіаційного ряду досить вказати варіанти і відповідні їм частоти або частості. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 15-16 </h2> Варіаційний ряд називається <b style=mso-bidi-font-weight:normal>дискретним,</b> якщо будь-які його варіанти відрізняються на постійну величину. <br /> Варіаційний ряд називається <b style=mso-bidi-font-weight:normal>безперервним,</b> якщо варіанти можуть відрізнятися один від іншого на як завгодно малу величину. <br /> У прикладі ми навели приклад безперервного ряду. <br /> Для графічного зображення варіаційного ряду використовуються: <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Полігон -</b> служить для зображення дискретного варіаційного ряду і являє собою ламану, в якій кінці відрізків мають (х <sub>i,</sub> n <sub>i).</sub> <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Гістограма</b> служить для зображення інтервальних варіаційних рядів і являє собою ступінчасту фігуру з прямокутників з підставами, рівними інтервалами значень ознаки до = х <sub>2-х 1.</sub> І висоти рівні частотах. Якщо з'єднати середини верхніх підстав прямокутників відрізками прямої, то можна отримати полігон того ж розподілу. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Кумулятивна пряма (кумуляту) -</b> крива накопичених частот. Для дискретних рядів кумуляту представляє ламану, що сполучає точки (хi, n <sub>i</sub> <sup>нак)</sup> або (х <sub>i,</sub> w <sub>i</sub> <sup>нак).</sup> Для інтервального варіаційного ряду ламана починається з точки, абсциса, якої дорівнює початку першого інтервалу, а ордината - накопиченої частоті, рівній нулю. Інші точки відповідають кінців інтервалів. <br /> Сформулюємо принцип практичної впевненості: <br /> Якщо ймовірність події А в даному випробуванні дуже мала, то при одноразовому виконанні випробування можна бути впевненим у тому, що подія А не станеться, і в практичній діяльності вести себе так, як ніби подія А взагалі неможливо. <br /> Наприклад: відправляючись літаком в інше місто, ми не розраховуємо на можливість загинути в авіа катастрофі, хоча ймовірність такої події є. <br /> Але при багаторазовому повторенні випробувань ми не можемо вважати малоймовірне подія А практично неможливим. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Визначення:<a href="Статистика" title="Статистика"> Статистичної</a> гіпотезою</b> називається будь-яке припущення про вид або параметрах невідомого закону розподілу. <br /> Проверяемую гіпотезу зазвичай називають нульовою і позначають М <sub>0.</sub> Також розглядають альтернативну (конкуруючу гіпотезу) Н <sub>1</sub> є запереченням М <sub>0.</sub> <br /> Суть перевірки статистичної гіпотези полягає в обчисленні статистики даної вибірки. Потім по вибірковому розподілу визначаться критичне значення. Якщо статистика більше критичного значення, то подію можна вважати практично не можливим. <br /> <a href="Порівняння" title="Порівняння">Порівняння</a> двох сукупностей має важливе практичне значення. На практиці часто зустрічається випадок, коли середній результат однієї серії експерименту відрізняється від середнього результату іншої серії. <br /> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Приклад:</b> У промисловості дана задача виникає при вибірковому контролі якості виробів, виготовлених на різних установках або з різних технологічних режимах. <br /> Нехай є дві сукупності, що характеризуються генеральними середніми х та у. І дисперсіями для яких знайдені середні арифметичні і вибіркові дисперсії. Необхідно перевірити гіпотезу Н <sub>0</sub> про рівність генеральних середніх. Тоді статистика знаходиться за наступною формулою: <br /><img border=0 width=113 height=85 src=dopb443360.zip v:shapes=_x0000_i1143><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1143 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436729></o:OLEObject></xml><br /> Якщо t> t <sub>кр</sub> то гіпотеза Н <sub>0</sub> відкидається. Якщо ні, то робиться висновок що нульова гіпотеза не суперечить наявним спостереженням. <br /><h2 style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-indent: 35.45pt;line-height:150%;mso-hyphenate:none"> Заняття 17 - 18 </h2> <b style=mso-bidi-font-weight:normal>Визначення:</b> кореляційної залежності між двома змінними величинами називається функціональна залежність між значеннями однієї з них і умовним математичним очікуванням інший. <br /> Кореляційна залежність може бути представлена у вигляді: <br /><img border=0 width=88 height=25 src=dopb443361.zip v:shapes=_x0000_i1144><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1144 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436730></o:OLEObject></xml><br /> Це рівняння називають рівнянням регресії, а їхні графіки лініями регресії. <br /> Для відшукання рівнянь регресій необхідно знати закон розподілу двовимірної випадкової величини. <br /> Дані про статистичної залежності зручно задавати у вигляді кореляційної таблиці. <br /><div align=center><table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-yfti-tbllook:480;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh: .5pt solid windowtext;mso-border-insidev:.5pt solid windowtext"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td rowspan=3 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Вага <br /> (Кг) <br /> (Х) <br /></td><td rowspan=2 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left: none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Середини <br /> інтервалів <br /></td><td colspan=6 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-left: none;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Зріст (см) (у) <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 155-160 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 160-165 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 165-170 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 170-175 <br /></td><td rowspan=2 valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Всього <br /> (N <sub>i)</sub> <br /></td><td rowspan=2 valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom: solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt;mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt: solid windowtext .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Групова <br /> Середня <img border=0 width=17 height=24 src=dopb443323.zip v:shapes=_x0000_i1145><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1145 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436731></o:OLEObject></xml><br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:2><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-diagonal-down:.5pt solid windowtext;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> <sub>Х i</sub> y <sub>j</sub> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 157,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 162,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 167,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 172,5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:3><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 40-45 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 42,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 7 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 10 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 168,5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:4><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 45-50 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 47,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 6 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 4 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 6 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 19 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 165,9 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:5><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 50-55 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 52,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 3 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 11 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 15 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 166,8 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:6><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 60-65 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 62,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 162,5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:7><td valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top:none; mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 70-75 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 72,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 1 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 172,5 <br /></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:8><td colspan=2 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Всього n <sub>j</sub> <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 7 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 11 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 17 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 15 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 50 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td></tr><tr style=mso-yfti-irow:9;mso-yfti-lastrow:yes><td colspan=2 valign=top style="border:solid windowtext 1.0pt;border-top: none;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> Групова середня <br /><img border=0 width=17 height=24 src=dopb443324.zip v:shapes=_x0000_i1146><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.DSMT4 ShapeID=_x0000_i1146 DrawAspect=Content ObjectID=_1352436733></o:OLEObject></xml><br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 50,4 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 49,8 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 52,5 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 47,2 <br /></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td><td valign=top style="border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt; border-right:solid windowtext 1.0pt;mso-border-top-alt:solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt:solid windowtext .5pt;mso-border-alt:solid windowtext .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"></td></tr></table></div> </div>
Будь ласка, не зберігайте тестовий текст.
Ваш ip: 13.59.82.167 буде збережений.
категорії
за типом
за алфавітом
завантажені
© Усі права захищені
написати до нас
