Задача 4 За допомогою методу найменших квадратів підібрати параметри a і b лінійної функції y = a + bx, наближено описує досвідчені дані з відповідної таблиці. Зобразити в системі координат задані точки і отриману пряму. x i
| 0,0
| 0,2
| 0,4
| 0,6
| 0,8
| 1,0
|
y i
| 0,9
| 1,1
| 1,2
| 1,3
| 1,4
| 1,5
|
Рішення
Система нормальних рівнянь
в задачі
n = 6
Тоді
вирішуючи її одержуємо
.
y = 0,5714 x + 0,9476
\ S Задача 5 Знайти невизначений інтеграл Рішення
Відповідь:
Задача 6 Знайти невизначений інтеграл Рішення
Відповідь:
Задача 7 Знайти невизначений інтеграл, застосовуючи метод інтегрування частинами Рішення
Відповідь:
Задача 8 Обчислити площу, обмежену заданими параболами Рішення
Точки перетину по х: х = -1, х = 5.
Площа фігури знайдемо з вираження
Відповідь:
Задача 9 Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння першого порядку Рішення
Розділимо змінні
Проінтегруємо
Відповідь:
Задача 10 Знайти приватне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку, що задовольняє початковому умові Рішення:
Запишемо функцію y у вигляді твору y = u * v. Тоді знаходимо похідну:
Підставимо ці вираження в рівняння
Виберемо
v таким, аби
Проінтегруємо вираз
,
Знайдемо u
,
,
,
,
Тоді
Тоді
Відповідь:
Задача 11 Дослідити на збіжність ряд: а) за допомогою ознаки Даламбера знакододатнього ряд Рішення
Перевіримо необхідний ознака збіжності ряду
Т. к.
, То необхідний ознака збіжності ряду не дотримується, і ряд розбігається.
Використовуємо ознака Даламбера
Відповідь: ряд розходиться
б) за допомогою ознаки Лейбніца знакозмінних ряд Рішення
Перевіримо необхідний ознака збіжності ряду
Т. к.
, То необхідний ознака збіжності ряду дотримується, можна дослідити ряд на збіжність.
За ознакою подібності
даний ряд аналогічний гармонійного ряду починаючи з п'ятого члена, таким чином, тому що гармонійний ряд розбіжний, то й вихідний ряд розбігається.
Відповідь: ряд розходиться
в) Знайти радіус збіжності степеневого ряду і визначити тип збіжності ряду на кінцях інтервалу збіжності Рішення
Використовуємо ознака Даламбера:
При х = 5 одержимо ряд
Ряд знакопостоянний, lim Un = n
Ряд розходиться, тому що складається із суми зростаючих елементів, кожен з яких більше 1.
При х = -5 одержимо ряд
Ряд знакозмінних, lim Un = n
| U
n |> | U
n +1 |> | U
n +2 | ... - не виконується.
По теоремі Лейбніца даний ряд розбігається
Відповідь: Х Î (-5; 5)
Задача 12 Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001 шляхом попереднього розкладу підінтегральної функції в ряд і почленного інтегрування цього ряду Рішення
У розкладанні функції sin (x) в степеневий ряд
замінимо
. Тоді отримаємо
Множачи цей ряд почленно на
будемо мати
Отже
Відповідь: »0,006.