[
Диференціальні рівняння вищих порядків
]!
<div style="font-size:16px;text-align:justify;"> <div style="font-size:16px;text-align:justify;"> <div > ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ <br /> Кафедра економічної кібернетики <br /> <a href="звіт" title="звіт"> ЗВІТ</a> <br /> з навчальної практики на тему: <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>«Диференціальні рівняння вищих порядків» </b><br /> Вінниця 2009 <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><br clear=all style='page-break-before:always'> </b> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Зміст </b><br /> Вступ <br /> <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5"> Диференціальне</a> рівняння вищого порядку <br /> <a href="Геометрия" title="Геометрия"> Геометричне</a> тлумачення задачі Коші <br /> Зниження порядку <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5">диференціальних</a> рівнянь другого порядку <br /> <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5"> Диференціальні</a> рівняння є однорідними відносно <a href="Функції" title="Функції">функції</a> у та її похідних <v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:divferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"/> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/> <v:f eqn="sum @0 1 0"/> <v:f eqn="sum 0 0 @1"/> <v:f eqn="prod @2 1 2"/> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/> <v:f eqn="sum @0 0 1"/> <v:f eqn="prod @6 1 2"/> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/> <v:f eqn="sum @8 21600 0"/> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/> <v:f eqn="sum @10 21600 0"/> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:12.75pt; height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image001.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=17 height=24 src="dopb391022.zip" v:shapes="_x0000_i1025"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012336"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image003.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=24 src="dopb391023.zip" v:shapes="_x0000_i1026"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1026" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012350"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Лінійні <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5">диференціальні</a> рівняння другого порядку <br /> Питання для перевірки <br /> <a href="Тестові_завдання" title="Тестові завдання">Тестові завдання</a> <br /> Задачі <br /> <a href="Відповідь" title="Відповідь"> Відповіді</a> на <a href="Тестові_завдання" title="Тестові завдання">тестові завдання</a> <br /> Розв’язок до задач <br /> <a href="Охорона_праці" title="Охорона праці">Охорона праці</a> <br /> Висновки <br /> Література <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><br clear=all style='page-break-before:always'> </b> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Вступ </b><br /> Для успішної участі у сучасному суспільному житті <a href="Особистість" title="Особистість">особистість</a> повинна володіти певними прийомами <a href="Математика" title="Математика">математичної</a> діяльності та навичками їх застосувань до розв’язання практичних задач. Певної математичної підготовки і готовності її застосовувати вимагає і вивчення багатьох навчальних предметів. Значні вимоги до володіння <a href="Математика" title="Математика">математикою</a> у розв’язанні практичних задач ставлять сучасний <a href="Ринок_праці" title="Ринок праці">ринок праці</a>, отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступних етапах. Тому одним з головних завдань цього тренінгу є забезпечення умов для досягнення кожним <a href="Студент" title="Студент">студентом</a> практичної компетентності. <br /> Прикладна спрямованість математичної освіти суттєво підвищується завдяки впровадженню комп’ютерів у <a href="Навчання" title="Навчання">навчання</a> математики, повноцінному введенню ймовірносно-статистичної змістової лінії. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Мета: </b>придбання знань, вмiнь та навичок, необхiдних для розв’язання та обчислення диференціальних рівнянь вищих порядків. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Завдання: </b><br /> § вивчення класичних і сучасних наближених методів розв’язання диференціальних рівнянь та їх систем; <br /> § придбання умінь використання методів розв’язання задач з початковими умовами та крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними при моделюванні систем. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Студент повинен знати: </b><br /> § класифікацію наближених методів розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем; <br /> § методи розв’язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь та їх систем; <br /> § методи чисельного інтегрування і диференціювання. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Студент повинен вміти: </b>самостійно вибирати і обґрунтовувати раціональний метод розв’язування поставленої задачі.<b style='mso-bidi-font-weight: normal'> </b><br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><br clear=all style='page-break-before: always'> </b> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Диференціальне рівняння вищого порядку </b><br /> <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5"> Диференційні</a> рівняння вищого порядку стосовно функції у(х) має вигляд: <br /> <v:shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" style='width:9pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image005.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=12 height=23 src="dopb391024.zip" v:shapes="_x0000_i1027"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1027" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012353"> </o:OLEObject> </xml> <v:shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" style='width:107.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image007.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=143 height=24 src="dopb391025.zip" v:shapes="_x0000_i1028"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1028" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012354"> </o:OLEObject> </xml> (1) <br /> яке називають <i style='mso-bidi-font-style: normal'>диференційованим рівнянням першого поряд</i>ку, якщо рівняння (1) подано у вигляді: <br /> <v:shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" style='width:125.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image009.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=167 height=24 src="dopb391026.zip" v:shapes="_x0000_i1029"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1029" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012355"> </o:OLEObject> </xml> (2) <br /> та його називають <i style='mso-bidi-font-style: normal'>диференційованим рівнянням першого порядку, яке є розв’язком відносно найстаршої похідної</i>, <i style='mso-bidi-font-style:normal'>або явним <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5">диференціальним</a> рівнянням, або нормальним диференційованим рівнянням першого порядку. </i><br /> Оскільки теоретичні <a href="Поняття" title="Поняття">поняття</a> і <a href="Методи_інтегрування" title="Методи інтегрування">методи інтегрування</a> диференціальних рівнянь вищого порядку є споріднені для рівнянь різних порядків, то надалі ми обмежемось розглядом диференціальних рівнянь другого порядку: <br /> <v:shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" style='width:86.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image011.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=115 height=24 src="dopb391027.zip" v:shapes="_x0000_i1030"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1030" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012364"> </o:OLEObject> </xml> (3) <br /> <v:shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" style='width:75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image013.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=100 height=24 src="dopb391028.zip" v:shapes="_x0000_i1031"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1031" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012365"> </o:OLEObject> </xml> (4). <br /> <i style='mso-bidi-font-style:normal'>Функція <v:shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" style='width:45pt; height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image015.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=21 src="dopb391029.zip" v:shapes="_x0000_i1032"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1032" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012366"> </o:OLEObject> </xml>називається розв’язком диференціального рівняння (3)чи (4) проміжну (a,b), якщо вона двічі не перервно диференційованa на цьому проміжку і будучи підставлена у рівняння, перетворює його у тотожність, тобто </i><br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> <v:shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" style='width:134.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image017.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=179 height=24 src="dopb391030.zip" v:shapes="_x0000_i1033"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1033" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012367"> </o:OLEObject> </xml> <i style='mso-bidi-font-style: normal'>x є (a,b) </i><br /> або <br /> <v:shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" style='width:119.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image019.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=159 height=24 src="dopb391031.zip" v:shapes="_x0000_i1034"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1034" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012368"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Графік функції <b style='mso-bidi-font-weight: normal'><v:shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image015.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=21 src="dopb391029.zip" v:shapes="_x0000_i1035"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1035" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012369"> </o:OLEObject> </xml> </b>називається при цьому<b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style:normal'> інтегральною кривою</i></b> диференціального рівняння (3) чи (4). <br /> Зрозуміло, що інтегральна крива повинна міститися в області визначення функції F. <br /> Наприклад, розв’язком диференційованого рівняння <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" style='width:48.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image021.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=65 height=24 src="dopb391032.zip" v:shapes="_x0000_i1036"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1036" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012370"> </o:OLEObject> </xml></b>є <a href="функція" title="функція">функція</a> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" style='width:33.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image023.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=45 height=24 src="dopb391033.zip" v:shapes="_x0000_i1037"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1037" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012372"> </o:OLEObject> </xml></b>на проміжку <v:shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" style='width:47.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image025.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=63 height=23 src="dopb391034.zip" v:shapes="_x0000_i1038"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1038" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012373"> </o:OLEObject> </xml>, бо ця <a href="функція" title="функція">функція</a> є двічі диференційована на цьому проміжутку і <v:shape id="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" style='width:51pt; height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image027.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=68 height=24 src="dopb391035.zip" v:shapes="_x0000_i1039"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1039" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012374"> </o:OLEObject> </xml>Крім <a href="Того" title="Того">того</a>, функція <v:shape id="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" style='width:92.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image029.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=123 height=24 src="dopb391036.zip" v:shapes="_x0000_i1040"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1040" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012375"> </o:OLEObject> </xml> де <i style='mso-bidi-font-style:normal'>C<sub>1,</sub>C<sub>2</sub></i>- довільні сталі, є також розв’язком цього рівняння. <br /> <a href="Аналогія_2" title="Аналогія 2"> Аналогічно</a> переконаємось, що функція <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" style='width:33pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image031.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=44 height=24 src="dopb391037.zip" v:shapes="_x0000_i1041"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1041" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012376"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" style='width:38.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image033.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=51 height=24 src="dopb391038.zip" v:shapes="_x0000_i1042"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1042" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012377"> </o:OLEObject> </xml></b> є розвязками диференціального рівняння <v:shape id="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" style='width:51.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image035.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=69 height=24 src="dopb391039.zip" v:shapes="_x0000_i1043"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1043" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012378"> </o:OLEObject> </xml> на проміжку <v:shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" style='width:47.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image025.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=63 height=23 src="dopb391034.zip" v:shapes="_x0000_i1044"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1044" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012379"> </o:OLEObject> </xml>, бо вони двічі диференційовані на цьому проміжку <br /> <v:shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" style='width:147.75pt;height:21pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image037.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=197 height=28 src="dopb391040.zip" v:shapes="_x0000_i1045"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1045" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012380"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Розвязком цього рівняння є також функції <v:shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" style='width:87.75pt; height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image039.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=117 height=24 src="dopb391041.zip" v:shapes="_x0000_i1046"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1046" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012381"> </o:OLEObject> </xml> де <v:shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" style='width:27pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image041.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=36 height=23 src="dopb391042.zip" v:shapes="_x0000_i1047"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1047" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012382"> </o:OLEObject> </xml>- довільні сталі. <br /> Далі будемо розглядпти основні поняття та означення для диференціального рівняння (4). <br /> <i style='mso-bidi-font-style:normal'>Функція <v:shape id="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" style='width:81.75pt; height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image043.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=109 height=23 src="dopb391043.zip" v:shapes="_x0000_i1048"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1048" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012383"> </o:OLEObject> </xml> де <v:shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1049"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1049" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012384"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1050"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1050" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012385"> </o:OLEObject> </xml>довільні сталі називається загальним розв’язком диференційованого рівняння другого порядку, якщо вона є розв’язком цього рівняння для розв’язком функції <v:shape id="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1051"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1051" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012386"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1052"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1052" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012387"> </o:OLEObject> </xml> і з якої за рахунок вибору значень цих сталих можна отримати будь-який розв’язок цього рівняння (за винятком може окремих). </i> <br /> Розвязок який отримуємо із загального диференціального рівняння 2-го порядку, мадаючи <b style='mso-bidi-font-weight: normal'><v:shape id="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1053"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1053" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012388"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1054"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1054" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012389"> </o:OLEObject> </xml> </b>певних числових значень, називається числовим розвязком цього рівняння.<i style='mso-bidi-font-style: normal'> </i><br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style: normal'>Задача Коші.</i></b> Практичних задач, які зводяться до диференціального рівняння другого порядку, потрібно відшукати розвязок цього рівняння, що задовольняє певні додаткові умови. <br /> Найчастіше ними є умови Коші: <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" style='width:54pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image049.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=72 height=24 src="dopb391046.zip" v:shapes="_x0000_i1055"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1055" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012390"> </o:OLEObject> </xml> <v:shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" style='width:57.75pt;height:18.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image051.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=77 height=25 src="dopb391047.zip" v:shapes="_x0000_i1056"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1056" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012391"> </o:OLEObject> </xml> (</b>5<b style='mso-bidi-font-weight:normal'>) </b><br /> Задача знаходження розвязку диференціального рівняння (4), який задовольняє умови (5), називається задачею Коші для цього рівняння. Цю задачу Коші записуватимемо коротко: <br /> <a href="Геометрия" title="Геометрия"> Геометрично</a>, задача Коші для диференціального рівняння (4) полягає у знаходженні інтегральної кривої <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image053.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=21 src="dopb391029.zip" v:shapes="_x0000_i1057"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1057" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012392"> </o:OLEObject> </xml></b>цього рівняння. Яке проходить через точку <v:shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" style='width:39.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image054.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=53 height=24 src="dopb391048.zip" v:shapes="_x0000_i1058"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1058" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012393"> </o:OLEObject> </xml>і яка дотикається у цій точці до вектора, що утворює кут <v:shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" style='width:50.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image056.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=67 height=21 src="dopb391049.zip" v:shapes="_x0000_i1059"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1059" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012394"> </o:OLEObject> </xml>y, з додатним напрямком осі <v:shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" style='width:17.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image058.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=23 height=24 src="dopb391050.zip" v:shapes="_x0000_i1060"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1060" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012395"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Геометричне тлумачення задачі Коші </b><br /> Зрозуміло, що точки <v:shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" style='width:54.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image060.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=73 height=24 src="dopb391051.zip" v:shapes="_x0000_i1061"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1061" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012396"> </o:OLEObject> </xml> повинні лежати області визначення функції <v:shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" style='width:53.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image062.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=71 height=24 src="dopb391052.zip" v:shapes="_x0000_i1062"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1062" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012397"> </o:OLEObject> </xml>, тобто області визначення диференціального рівняння (4). <br /> Можна показати, що правильне таке твердження: <i style='mso-bidi-font-style:normal'>якщо функція <v:shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" style='width:53.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image062.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=71 height=24 src="dopb391052.zip" v:shapes="_x0000_i1063"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1063" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012398"> </o:OLEObject> </xml> та її частинні похідні <v:shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" style='width:18pt; height:33pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image064.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=24 height=44 src="dopb391053.zip" v:shapes="_x0000_i1064"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1064" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012399"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" style='width:21pt;height:33.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image066.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=28 height=45 src="dopb391054.zip" v:shapes="_x0000_i1065"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1065" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012400"> </o:OLEObject> </xml> є неперервні в деякому околі точки <v:shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" style='width:54.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image060.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=73 height=24 src="dopb391051.zip" v:shapes="_x0000_i1066"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1066" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012401"> </o:OLEObject> </xml>, то існує єдиний розв’язок <b style='mso-bidi-font-weight: normal'><v:shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image053.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=21 src="dopb391029.zip" v:shapes="_x0000_i1067"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1067" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012403"> </o:OLEObject> </xml> </b>задачі Коші (4) – (5), який визначений у певному околі точки <v:shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image068.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=24 src="dopb391055.zip" v:shapes="_x0000_i1068"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1068" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012404"> </o:OLEObject> </xml>. </i><br /> <a href="Геометрия" title="Геометрия">Геометрично</a> це означає, що при виконанні умов сформульованої теореми, через точну <v:shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" style='width:39.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image054.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=53 height=24 src="dopb391048.zip" v:shapes="_x0000_i1069"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1069" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012405"> </o:OLEObject> </xml>проходить єдина інтегральна крива <b style='mso-bidi-font-weight: normal'><v:shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image053.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=21 src="dopb391029.zip" v:shapes="_x0000_i1070"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1070" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012406"> </o:OLEObject> </xml> </b>диференціального рівняння (4), яка замикається у цій точці до вектора, який утворює з додатним напрямом осі <v:shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image070.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=24 src="dopb391056.zip" v:shapes="_x0000_i1071"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1071" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012407"> </o:OLEObject> </xml> кут <v:shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" style='width:50.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image072.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=67 height=21 src="dopb391049.zip" v:shapes="_x0000_i1072"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1072" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012408"> </o:OLEObject> </xml><v:shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" style='width:12.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image073.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=17 height=23 src="dopb391057.zip" v:shapes="_x0000_i1073"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1073" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012409"> </o:OLEObject> </xml>. <br /> З теореми <a href="Існування" title="Існування">існування</a> та розв’язку задачі Коші для рівняння (4) випливає, що при виконанні умов теореми в деякому околі точки <v:shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt; height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image075.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=24 src="dopb391055.zip" v:shapes="_x0000_i1074"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1074" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012410"> </o:OLEObject> </xml> існує загальний розв’язок <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" style='width:80.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image076.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=107 height=23 src="dopb391058.zip" v:shapes="_x0000_i1075"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1075" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012411"> </o:OLEObject> </xml></b>цього рівняння, з розв’язком якого отримати розв’язок задачі Коші, визначивши значення сталих <v:shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1076"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1076" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012412"> </o:OLEObject> </xml>і <v:shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1077"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1077" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012413"> </o:OLEObject> </xml> із системи рівнянь: <br /> <v:shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" style='width:93.75pt;height:39.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image078.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=125 height=53 src="dopb391059.zip" v:shapes="_x0000_i1078"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1078" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012414"> </o:OLEObject> </xml> (6) <br /> Відзначемо, що система рівняння (6) завжди є розв’язком, бо існує розв’язок задачі Коші (4) – (5) <br /> На практиці для диференціального рівняння другого порятку можуть бути задані інші умови замість умов Коші. Ними можуть бути крайові умови: <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style:normal'><v:shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" style='width:57.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image080.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=77 height=24 src="dopb391060.zip" v:shapes="_x0000_i1079"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1079" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012415"> </o:OLEObject> </xml> <v:shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" style='width:56.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image082.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=75 height=23 src="dopb391061.zip" v:shapes="_x0000_i1080"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1080" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012416"> </o:OLEObject> </xml> </i></b>і <a href="Геометрия" title="Геометрия">геометрична</a> задача полягає у знаходженні інтигральної кривої диференціального рівняння (4), яка проходить через дві точки <v:shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" style='width:39.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image084.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=53 height=24 src="dopb391062.zip" v:shapes="_x0000_i1081"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1081" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012417"> </o:OLEObject> </xml>,<v:shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" style='width:38.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image086.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=51 height=23 src="dopb391063.zip" v:shapes="_x0000_i1082"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1082" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012418"> </o:OLEObject> </xml>. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Примітка. </b>Якщо<b style='mso-bidi-font-weight:normal'> </b>диференціального рівняння (3) має один розвязок відносно <v:shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image088.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=21 src="dopb391064.zip" v:shapes="_x0000_i1083"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1083" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012419"> </o:OLEObject> </xml>, то воно рівносильне диференційномурівняню <v:shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" style='width:75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image090.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=100 height=24 src="dopb391065.zip" v:shapes="_x0000_i1084"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1084" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012420"> </o:OLEObject> </xml>, де <v:shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" style='width:128.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image092.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=171 height=24 src="dopb391066.zip" v:shapes="_x0000_i1085"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1085" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012421"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Якщо ж <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5">диференціальне</a> рівняння (3) має декілька розв’язком відносно <v:shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image094.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=21 src="dopb391064.zip" v:shapes="_x0000_i1086"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1086" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012422"> </o:OLEObject> </xml>, то воно рівносильне сукупності диференціальних рівнянь. <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> <v:shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" style='width:93.75pt;height:78pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image095.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=125 height=104 src="dopb391067.zip" v:shapes="_x0000_i1087"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1087" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012423"> </o:OLEObject> </xml> де <v:shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" style='width:129.75pt;height:18.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image097.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=173 height=25 src="dopb391068.zip" v:shapes="_x0000_i1088"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1088" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012424"> </o:OLEObject> </xml> <v:shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" style='width:36.75pt;height:18.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image099.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=49 height=25 src="dopb391069.zip" v:shapes="_x0000_i1089"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1089" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012425"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Зниження порядку диференціальних другого порядку </b><br /> Основним методом інтегрування (знаходження загального розвязку або загального інтеграла)<a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5"> диференціальних</a> рівнянь вищого порядку є зниження їх порядку і зведення до інтегрування диференціальних рівнянь першого порятку. Розглянемо деякі можливі видатки зниження порядку диференціальних рівнянь другого порядку. <br /> 1. <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5">Диференціальне</a> рівняння не містить невідомої функції у, тобто має вигляд: <br /> <v:shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" style='width:78.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image101.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=105 height=24 src="dopb391070.zip" v:shapes="_x0000_i1090"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1090" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012426"> </o:OLEObject> </xml> (7). <br /> У цьому випадку робимо заміну <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" style='width:53.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image103.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=71 height=24 src="dopb391071.zip" v:shapes="_x0000_i1091"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1091" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012427"> </o:OLEObject> </xml> <v:shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" style='width:54pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image105.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=72 height=24 src="dopb391072.zip" v:shapes="_x0000_i1092"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1092" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012428"> </o:OLEObject> </xml> і </b>отримуємо диференціальне рівняння першого порядку стосовно невідомої функції Z: <br /> <v:shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" style='width:72.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image107.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=97 height=24 src="dopb391073.zip" v:shapes="_x0000_i1093"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1093" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012429"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Якщо знайдемо загальний розв’язок <v:shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" style='width:57.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image109.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=77 height=23 src="dopb391074.zip" v:shapes="_x0000_i1094"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1094" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012430"> </o:OLEObject> </xml>, рівнянь (8) то далі інтегруємо рівняння <v:shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" style='width:60pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image111.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=80 height=23 src="dopb391075.zip" v:shapes="_x0000_i1095"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1095" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012431"> </o:OLEObject> </xml>; якщо ж знайдемо загальний інтеграл <v:shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" style='width:71.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image113.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=95 height=23 src="dopb391076.zip" v:shapes="_x0000_i1096"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1096" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012432"> </o:OLEObject> </xml>то для знаходження розв’язків диференціального рівняння (7) отримуємо наявне диференціальних рівнянь першого порятку <v:shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" style='width:75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image115.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=100 height=24 src="dopb391077.zip" v:shapes="_x0000_i1097"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1097" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012433"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 2. Диференціальне рівняння не містить явно аргументах х, тобто має вигляд <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> <v:shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" style='width:77.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image117.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=103 height=24 src="dopb391078.zip" v:shapes="_x0000_i1098"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1098" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012435"> </o:OLEObject> </xml> (9) <br /> У розв’язаному випадку приймаємо за невідому функцію <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" style='width:53.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image119.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=71 height=24 src="dopb391079.zip" v:shapes="_x0000_i1099"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1099" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012436"> </o:OLEObject> </xml></b> а й аргументи вважаємо <i style='mso-bidi-font-style:normal'>у</i>. Тоді маємо: <br /> <v:shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" style='width:224.25pt;height:35.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image121.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=299 height=47 src="dopb391080.zip" v:shapes="_x0000_i1100"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1100" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012437"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <a href="Підстави" title="Підстави"> Підставимо</a> вирази для <i style='mso-bidi-font-style:normal'>у’,y” </i>у рівняння (9), отримаємо відносно функцію <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style: normal'><v:shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" style='width:24.75pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image123.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=33 height=21 src="dopb391081.zip" v:shapes="_x0000_i1101"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1101" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012438"> </o:OLEObject> </xml></i></b>диференціальних рівнянь першого порядку: <br /> <v:shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" style='width:84.75pt;height:33pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image125.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=113 height=44 src="dopb391082.zip" v:shapes="_x0000_i1102"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1102" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012439"> </o:OLEObject> </xml> (10) <br /> Якщо знайдемо загальний розв’язок <v:shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" style='width:62.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image127.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=83 height=23 src="dopb391083.zip" v:shapes="_x0000_i1103"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1103" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012440"> </o:OLEObject> </xml>рівняння (10), то дані інтнгруєм явне диференціальне рівняння першого порядку <v:shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" style='width:1in;height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image129.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=96 height=41 src="dopb391084.zip" v:shapes="_x0000_i1104"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1104" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012441"> </o:OLEObject> </xml> яке є з розв’язком функції змінними; якщо ж знайдено загальний інтеграл <v:shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" style='width:71.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image131.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=95 height=23 src="dopb391085.zip" v:shapes="_x0000_i1105"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1105" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012442"> </o:OLEObject> </xml> рівняння (17.10), то дані інтегруємо наявне диференційне рівняння <v:shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" style='width:75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image133.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=100 height=24 src="dopb391086.zip" v:shapes="_x0000_i1106"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1106" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012443"> </o:OLEObject> </xml> першого порядку. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Диференціальне рівняння (3) є однорідним відносно функції у та її похідних <v:shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" style='width:12.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image001.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=17 height=24 src="dopb391022.zip" v:shapes="_x0000_i1107"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1107" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012444"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image003.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=24 src="dopb391023.zip" v:shapes="_x0000_i1108"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1108" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012445"> </o:OLEObject> </xml> </b><br /> тобто <br /> <v:shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" style='width:165.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image135.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=221 height=24 src="dopb391087.zip" v:shapes="_x0000_i1109"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1109" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012446"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> У цьому випадку виконуємо заміну<v:shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" style='width:48.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image137.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=65 height=24 src="dopb391088.zip" v:shapes="_x0000_i1110"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1110" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012447"> </o:OLEObject> </xml> де z = z (x). Знаходимо <v:shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" style='width:188.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image139.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=251 height=24 src="dopb391089.zip" v:shapes="_x0000_i1111"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1111" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012448"> </o:OLEObject> </xml> Підготовимо вирази для <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" style='width:12.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image001.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=17 height=24 src="dopb391022.zip" v:shapes="_x0000_i1112"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1112" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012449"> </o:OLEObject> </xml> </b>та <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image003.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=24 src="dopb391023.zip" v:shapes="_x0000_i1113"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1113" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012450"> </o:OLEObject> </xml> у </b>рівняння (3) і використовуємо його однорідність: <br /> <v:shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" style='width:213.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image141.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=285 height=24 src="dopb391090.zip" v:shapes="_x0000_i1114"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1114" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012451"> </o:OLEObject> </xml> <br /> У результаті приходимо до диференціальних рівнянь першого порятку стосовно <a href="Функції" title="Функції">функції </a> <br /> <v:shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" style='width:104.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image143.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=139 height=24 src="dopb391091.zip" v:shapes="_x0000_i1115"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1115" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012452"> </o:OLEObject> </xml> (11) <br /> яке з точністюдо розвязку <v:shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" style='width:29.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image145.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=39 height=21 src="dopb391092.zip" v:shapes="_x0000_i1116"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1116" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012453"> </o:OLEObject> </xml> рівносильне рівняню (3) <br /> Якщо знайдемо загальний розвязок <v:shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" style='width:63pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image147.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=84 height=23 src="dopb391093.zip" v:shapes="_x0000_i1117"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1117" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012454"> </o:OLEObject> </xml>рівняння (11), то речі інтегруємо розв’язане дифененційне рівняння першого порядку <v:shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" style='width:72.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image149.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=97 height=24 src="dopb391094.zip" v:shapes="_x0000_i1118"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1118" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012455"> </o:OLEObject> </xml>, яке є з відокремлюваними змінними; якщо ж знайдемо загальний інтеграл <v:shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" style='width:74.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image151.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=99 height=23 src="dopb391095.zip" v:shapes="_x0000_i1119"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1119" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012456"> </o:OLEObject> </xml>то приходимо до інтегрування наявного диференціального рівняння першого порядку: <br /> <v:shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" style='width:80.25pt;height:33pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image153.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=107 height=44 src="dopb391096.zip" v:shapes="_x0000_i1120"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1120" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012457"> </o:OLEObject> </xml> <br /> При зниженні порядку вихідного рівняння міг бути втрачений його розв’язок у=0. Але він не втрачений, отримуємо із загального розв’язку при <v:shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" style='width:36pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image155.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=48 height=23 src="dopb391097.zip" v:shapes="_x0000_i1121"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1121" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012458"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><br clear=all style='page-break-before: always'> </b> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Лінійні <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5">диференціальні</a> рівняння другого порядку </b><br /> <a href="Диференціал_5" title="Диференціал 5"> Диференціальні</a> рівняння розв’язку порядку (3) називається <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style:normal'>лінійним, якщо функція</i></b><i style='mso-bidi-font-style:normal'>,</i><v:shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" style='width:69pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image157.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=92 height=21 src="dopb391098.zip" v:shapes="_x0000_i1122"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1122" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012459"> </o:OLEObject> </xml>є лінійно відносно <v:shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" style='width:39.75pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image159.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=53 height=21 src="dopb391099.zip" v:shapes="_x0000_i1123"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1123" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012460"> </o:OLEObject> </xml>тобто якщо воно має вигляд<i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i><br /> <i style='mso-bidi-font-style:normal'><v:shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" style='width:156pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image161.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=208 height=24 src="dopb391100.zip" v:shapes="_x0000_i1124"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1124" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012461"> </o:OLEObject> </xml> (12) </i><br /> Будемо вважати, що розв’язком<i style='mso-bidi-font-style:normal'> <v:shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" style='width:90pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image163.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=120 height=24 src="dopb391101.zip" v:shapes="_x0000_i1125"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1125" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012462"> </o:OLEObject> </xml></i>і вільний член <i style='mso-bidi-font-style:normal'>q(x) x</i> є(a,b) i <i style='mso-bidi-font-style:normal'><v:shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" style='width:48.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image165.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=65 height=24 src="dopb391102.zip" v:shapes="_x0000_i1126"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1126" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012463"> </o:OLEObject> </xml>. </i><br /> Якщо <v:shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" style='width:45.75pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image167.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=61 height=21 src="dopb391103.zip" v:shapes="_x0000_i1127"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1127" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012464"> </o:OLEObject> </xml> то маємо <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідне</a> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style:normal'>лінійне однорідне рівняння</i></b><i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i><br /> <i style='mso-bidi-font-style:normal'><v:shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" style='width:141pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image169.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=188 height=24 src="dopb391104.zip" v:shapes="_x0000_i1128"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1128" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012466"> </o:OLEObject> </xml> </i>(13) <br /> Якщо <v:shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image171.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=21 src="dopb391105.zip" v:shapes="_x0000_i1129"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1129" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012467"> </o:OLEObject> </xml>,то рівняння (12) називають <i style='mso-bidi-font-style: normal'>лінійним <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>не однорідним диференціальним рівняння другого порядку. </b></i><br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Питання для перевірки </b><br /> 1. Що називається диференціальним рівнянням вищого порядку ? <br /> 2. Задача Коші. <br /> 3. Основні методи інтегрування. <br /> 4. <a href="Лінійні_диференціальні_рівняння" title="Лінійні диференціальні рівняння">Лінійні диференціальні рівняння</a> другого порядку. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Тестові завдання </b><br /> 1. Диференційні рівняння вищого порядку стосовно функції у(х) має вигляд: <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> 1. <v:shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" style='width:134.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image017.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=179 height=24 src="dopb391030.zip" v:shapes="_x0000_i1130"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1130" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012468"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 2. <v:shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" style='width:107.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image007.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=143 height=24 src="dopb391025.zip" v:shapes="_x0000_i1131"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1131" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012469"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 3. <v:shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" style='width:78.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image101.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=105 height=24 src="dopb391070.zip" v:shapes="_x0000_i1132"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1132" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012470"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 2.<i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i>Функція<i style='mso-bidi-font-style:normal'> (вписати <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідь</a>) </i>де <v:shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1133"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1133" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012471"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1134"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1134" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012472"> </o:OLEObject> </xml>довільні сталі називається загальним розв’язком диференційованого рівняння другого порядку, якщо вона є розв’язком цього рівняння для розв’язком функції <v:shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1135"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1135" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012473"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1136"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1136" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012474"> </o:OLEObject> </xml> і з якої за рахунок вибору значень цих сталих можна отримати будь-який розв’язок цього рівняння (за винятком може окремих). <br /> 3. Співвідношення <b style='mso-bidi-font-weight: normal'><v:shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" style='width:93pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image173.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=124 height=23 src="dopb391106.zip" v:shapes="_x0000_i1137"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1137" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012475"> </o:OLEObject> </xml> </b>яким певно додається загальний розв’язок диференціального рівняння 2-го порядку, називається <i style='mso-bidi-font-style:normal'>(вписати відповідь)</i> цього рівняння. <br /> 4. Диференціальне рівняння не містить невідомої функції у, тобто має вигляд: <br /> 1. <v:shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" style='width:78.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image101.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=105 height=24 src="dopb391070.zip" v:shapes="_x0000_i1138"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1138" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012476"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 2. <v:shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" style='width:134.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image017.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=179 height=24 src="dopb391030.zip" v:shapes="_x0000_i1139"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1139" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012477"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 3. <v:shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" style='width:107.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image007.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=143 height=24 src="dopb391025.zip" v:shapes="_x0000_i1140"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1140" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012478"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 5.<i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i>Розв’язок який отримуємо із загального диференціального рівняння 2-го порядку, падаючи <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1141"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1141" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012479"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1142"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1142" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012480"> </o:OLEObject> </xml> </b>певних числових значень, називається числовим <i style='mso-bidi-font-style:normal'>(вписати відповідь)</i> цього рівняння. <br /> 6. Графік функції <b style='mso-bidi-font-weight: normal'><v:shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image015.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=21 src="dopb391029.zip" v:shapes="_x0000_i1143"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1143" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012481"> </o:OLEObject> </xml> </b>називається при цьому<b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i></b><i style='mso-bidi-font-style:normal'>(вписати відповідь)<b style='mso-bidi-font-weight:normal'> </b></i>диференціального рівняння (3) чи (4). <br /> 7. Диференціальні рівняння розв’язку порядку (3) називається лінійним, якщо функція<i style='mso-bidi-font-style: normal'>,</i><v:shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" style='width:69pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image157.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=92 height=21 src="dopb391098.zip" v:shapes="_x0000_i1144"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1144" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012482"> </o:OLEObject> </xml>є лінійно відносно <v:shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" style='width:39.75pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image159.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=53 height=21 src="dopb391099.zip" v:shapes="_x0000_i1145"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1145" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012483"> </o:OLEObject> </xml>тобто якщо воно має вигляд<i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i><br /> <i style='mso-bidi-font-style:normal'><br clear=all style='page-break-before: always'> </i> <i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i>1<i style='mso-bidi-font-style:normal'>. <v:shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" style='width:156pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image161.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=208 height=24 src="dopb391100.zip" v:shapes="_x0000_i1146"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1146" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012484"> </o:OLEObject> </xml></i> <br /> 2. <v:shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" style='width:87.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image039.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=117 height=24 src="dopb391041.zip" v:shapes="_x0000_i1147"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1147" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012485"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 3. <i style='mso-bidi-font-style:normal'><v:shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" style='width:90pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image163.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=120 height=24 src="dopb391101.zip" v:shapes="_x0000_i1148"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1148" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012486"> </o:OLEObject> </xml> </i><br /> 8. Співвідношення <b style='mso-bidi-font-weight: normal'>… </b>яким певно додається загальний розв’язок диференціального рівняння 2-го порядку, називається загальним інтегралом цього рівняння: <br /> 1. <v:shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" style='width:134.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image017.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=179 height=24 src="dopb391030.zip" v:shapes="_x0000_i1149"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1149" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012487"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 2. <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" style='width:93pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image173.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=124 height=23 src="dopb391106.zip" v:shapes="_x0000_i1150"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1150" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012488"> </o:OLEObject> </xml> </b><br /> 3. <v:shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" style='width:54pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image175.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=72 height=24 src="dopb391107.zip" v:shapes="_x0000_i1151"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1151" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012489"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 9. З теореми існування та розв’язку задачі Коші для рівняння (4) випливає, що при виконанні умов теореми в деякому околі точки <v:shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image075.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=24 src="dopb391055.zip" v:shapes="_x0000_i1152"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1152" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012490"> </o:OLEObject> </xml> існує загальний розв’язок <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" style='width:80.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image076.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=107 height=23 src="dopb391058.zip" v:shapes="_x0000_i1153"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1153" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012491"> </o:OLEObject> </xml></b>цього рівняння, з розв’язком якого отримати розв’язок задачі Коші, визначивши значення сталих <v:shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1154"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1154" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012492"> </o:OLEObject> </xml>і <v:shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1155"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1155" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012493"> </o:OLEObject> </xml> із системи рівнянь: <br /> 1. <v:shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" style='width:84.75pt;height:33pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image125.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=113 height=44 src="dopb391082.zip" v:shapes="_x0000_i1156"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1156" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012494"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 2. <v:shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" style='width:57pt;height:54pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image177.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=76 height=72 src="dopb391108.zip" v:shapes="_x0000_i1157"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1157" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012495"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 3.<v:shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" style='width:93.75pt;height:39.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image078.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=125 height=53 src="dopb391059.zip" v:shapes="_x0000_i1158"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1158" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012496"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><br clear=all style='page-break-before: always'> </b> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Задачі </b><br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Задача 1. </b>Знайти розв’язок диференційoваного рівняння <v:shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" style='width:41.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image179.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=55 height=21 src="dopb391109.zip" v:shapes="_x0000_i1159"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1159" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012497"> </o:OLEObject> </xml> що задовольняє умови <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style:normal'><v:shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" style='width:44.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image181.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=59 height=21 src="dopb391110.zip" v:shapes="_x0000_i1160"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1160" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012498"> </o:OLEObject> </xml> <v:shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" style='width:48.75pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image183.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=65 height=21 src="dopb391111.zip" v:shapes="_x0000_i1161"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1161" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012499"> </o:OLEObject> </xml> </i></b><br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><i style='mso-bidi-font-style: normal'>Розв’язання. </i></b>Загальний розв’язок цього рівняння легко знайти шляхом інтегрування заданої рівності, бо тоді розв’язком функції <b style='mso-bidi-font-weight: normal'><i style='mso-bidi-font-style:normal'><v:shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image185.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=21 src="dopb391112.zip" v:shapes="_x0000_i1162"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1162" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012500"> </o:OLEObject> </xml>, </i></b>друга похідна яких дорівнює 6х: <br /> <i style='mso-bidi-font-style:normal'><v:shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" style='width:430.5pt;height:56.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image187.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=574 height=75 src="dopb391113.zip" v:shapes="_x0000_i1163"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1163" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012501"> </o:OLEObject> </xml></i> <br /> загальний розв’язок рівняння. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Задача 2.</b> Знайти розв’язок рівняння <v:shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" style='width:90.75pt;height:21pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image189.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=121 height=28 src="dopb391114.zip" v:shapes="_x0000_i1164"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1164" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012502"> </o:OLEObject> </xml>, який звдовольняє умови: <v:shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" style='width:42pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image191.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=56 height=21 src="dopb391115.zip" v:shapes="_x0000_i1165"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1165" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012503"> </o:OLEObject> </xml> <v:shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" style='width:51pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image193.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=68 height=24 src="dopb391116.zip" v:shapes="_x0000_i1166"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1166" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012504"> </o:OLEObject> </xml>. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Розв’язання</b><i style='mso-bidi-font-style:normal'>. </i>Оскільки у рівнянні явно не входить аргумент <i style='mso-bidi-font-style:normal'>х</i>, то знижуємо його порядок підстановкою <v:shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" style='width:48pt; height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image195.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=64 height=21 src="dopb391117.zip" v:shapes="_x0000_i1167"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1167" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012506"> </o:OLEObject> </xml>з якої випливає, що <br /> <v:shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" style='width:78.75pt;height:35.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image197.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=105 height=47 src="dopb391118.zip" v:shapes="_x0000_i1168"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1168" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012507"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <a href="Підстави" title="Підстави"> Підставити</a> вирази для <v:shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" style='width:12.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image001.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=17 height=24 src="dopb391022.zip" v:shapes="_x0000_i1169"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1169" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012508"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image003.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=24 src="dopb391023.zip" v:shapes="_x0000_i1170"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1170" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012509"> </o:OLEObject> </xml>, у дане рівняння, отримаємо диференціальне рівняння першого порядку <br /> <v:shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" style='width:95.25pt;height:33pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image199.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=127 height=44 src="dopb391119.zip" v:shapes="_x0000_i1171"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1171" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012510"> </o:OLEObject> </xml> <br /> яке рівносильне сукупності рівнянь: <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> <v:shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" style='width:90pt;height:54pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image201.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=120 height=72 src="dopb391120.zip" v:shapes="_x0000_i1172"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1172" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012511"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Інтегруємо друге рівняння, яке є з відокремлюваними змінними: <br /> <v:shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" style='width:426.75pt;height:33pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image203.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=569 height=44 src="dopb391121.zip" v:shapes="_x0000_i1173"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1173" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012512"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <v:shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" style='width:423.75pt;height:33pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image205.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=565 height=44 src="dopb391122.zip" v:shapes="_x0000_i1174"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1174" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012513"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <v:shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" style='width:111pt;height:35.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image207.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=148 height=47 src="dopb391123.zip" v:shapes="_x0000_i1175"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1175" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012514"> </o:OLEObject> </xml>. <br /> При відокремлені зміних втраченими могли бути розвязки <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><v:shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" style='width:27.75pt;height:14.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image209.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=37 height=19 src="dopb391124.zip" v:shapes="_x0000_i1176"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1176" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012515"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" style='width:26.25pt;height:12.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image211.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=35 height=17 src="dopb391125.zip" v:shapes="_x0000_i1177"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1177" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012516"> </o:OLEObject> </xml>. </b>Ці розв’язки не є втраченими, бо перший з них співпадає з першим рівнянням сукупності, а другий отримуємо з сімї <br /> <v:shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" style='width:56.25pt;height:33.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image213.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=75 height=45 src="dopb391126.zip" v:shapes="_x0000_i1178"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1178" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012517"> </o:OLEObject> </xml> при <v:shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" style='width:36.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image215.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=49 height=23 src="dopb391127.zip" v:shapes="_x0000_i1179"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1179" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012518"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Отже, множина всіх розв’язкв дискретного рівняння у змінних <i style='mso-bidi-font-style:normal'>y </i>i<i style='mso-bidi-font-style:normal'> z </i>записується сукупністю розв’язком: <br /> <v:shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" style='width:57pt;height:54pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image177.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=76 height=72 src="dopb391108.zip" v:shapes="_x0000_i1180"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1180" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012519"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Враховуючи, що <v:shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" style='width:39.75pt;height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image217.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=53 height=41 src="dopb391128.zip" v:shapes="_x0000_i1181"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1181" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012520"> </o:OLEObject> </xml> з одержаних розв’язків з яких отримуємо дві сукупності диференційних рівнянь: <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> <v:shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" style='width:279pt;height:68.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image219.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=372 height=91 src="dopb391129.zip" v:shapes="_x0000_i1182"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1182" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012521"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Одже множина розв’язків вихідного диференціального рівняння складається з двох цілей інтегральних кривих <v:shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" style='width:29.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image221.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=39 height=21 src="dopb391130.zip" v:shapes="_x0000_i1183"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1183" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012522"> </o:OLEObject> </xml> і <v:shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" style='width:99pt;height:20.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image223.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=132 height=27 src="dopb391131.zip" v:shapes="_x0000_i1184"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1184" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012523"> </o:OLEObject> </xml>. <br /> Розв’язок, який задовольняє початкові умови у(1)=1, у’(1)= -1 входить у другу сімю, яка виражається загальним інтегралом <v:shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" style='width:99pt;height:20.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image225.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=132 height=27 src="dopb391132.zip" v:shapes="_x0000_i1185"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1185" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012524"> </o:OLEObject> </xml>. З цього загального інтеграла вилучаємо розвязок, що задовольняє задані початкові умови. Для цього маємо систему рівнянь для визначення<v:shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" style='width:14.25pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image045.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=19 height=23 src="dopb391044.zip" v:shapes="_x0000_i1186"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1186" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012525"> </o:OLEObject> </xml>і <v:shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image047.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=21 height=23 src="dopb391045.zip" v:shapes="_x0000_i1187"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1187" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012526"> </o:OLEObject> </xml>: <br /> <v:shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" style='width:156.75pt;height:54pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image227.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=209 height=72 src="dopb391133.zip" v:shapes="_x0000_i1188"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1188" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012527"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Таким чином, шуканий розв’язок задачі Коші має вигляд: <br /> <v:shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" style='width:147.75pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image229.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=197 height=21 src="dopb391134.zip" v:shapes="_x0000_i1189"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1189" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012528"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Задача 3.</b> Проінтегрувати рівняння <v:shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" style='width:99pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image231.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=132 height=24 src="dopb391135.zip" v:shapes="_x0000_i1190"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1190" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012529"> </o:OLEObject> </xml>знаючи, що <v:shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" style='width:38.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image233.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=51 height=24 src="dopb391136.zip" v:shapes="_x0000_i1191"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1191" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012530"> </o:OLEObject> </xml>є розв’язком <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідного</a> однорідного рівняння. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Розв’язання.</b><i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i>Приймемо <v:shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" style='width:54pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image175.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=72 height=24 src="dopb391107.zip" v:shapes="_x0000_i1192"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1192" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012531"> </o:OLEObject> </xml> і обчислемо похожі <v:shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" style='width:75.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image235.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=101 height=24 src="dopb391137.zip" v:shapes="_x0000_i1193"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1193" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012532"> </o:OLEObject> </xml><v:shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" style='width:99pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image237.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=132 height=24 src="dopb391138.zip" v:shapes="_x0000_i1194"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1194" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012533"> </o:OLEObject> </xml>Підставимо вирази для <v:shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" style='width:39.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image239.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=53 height=24 src="dopb391139.zip" v:shapes="_x0000_i1195"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1195" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012534"> </o:OLEObject> </xml>у рівняння: <br /> <v:shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" style='width:237pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image241.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=316 height=24 src="dopb391140.zip" v:shapes="_x0000_i1196"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1196" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012535"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Після елементарних перетворень отримуємо рівняння: <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> <v:shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" style='width:78pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image243.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=104 height=24 src="dopb391141.zip" v:shapes="_x0000_i1197"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1197" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012536"> </o:OLEObject> </xml> <br /> або <br /> <v:shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" style='width:69.75pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image245.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=93 height=21 src="dopb391142.zip" v:shapes="_x0000_i1198"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1198" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012537"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Виконуємо заміну z’=u і маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку <br /> <v:shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" style='width:69pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image247.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=92 height=21 src="dopb391143.zip" v:shapes="_x0000_i1199"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1199" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012539"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Інтегруємо відповідне однорідне рівняння: <br /> <v:shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" style='width:387pt;height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image249.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=516 height=41 src="dopb391144.zip" v:shapes="_x0000_i1200"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1200" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012540"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння стосовно функції u шукаємо у вигляді <br /> <v:shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image251.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=41 src="dopb391145.zip" v:shapes="_x0000_i1201"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1201" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012541"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Підготовимо цю функцію в неоднорідне рівняння і знайдемоС(х): <br /> <v:shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" style='width:399pt;height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image253.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=532 height=41 src="dopb391146.zip" v:shapes="_x0000_i1202"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1202" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012542"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Отже, загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння стосовно функції u записується у вигляді <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> <v:shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" style='width:167.25pt;height:32.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image255.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=223 height=43 src="dopb391147.zip" v:shapes="_x0000_i1203"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1203" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012543"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Врахувавши, що <v:shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image257.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=24 src="dopb391148.zip" v:shapes="_x0000_i1204"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1204" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012544"> </o:OLEObject> </xml>, одержуємо загальний розв’язок <br /> <v:shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" style='width:122.25pt;height:20.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image259.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=163 height=27 src="dopb391149.zip" v:shapes="_x0000_i1205"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1205" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012545"> </o:OLEObject> </xml> <br /> вихідного рівняння. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Задача 4. </b>Розв’яжіть рівняння <v:shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" style='width:9pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image005.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=12 height=23 src="dopb391024.zip" v:shapes="_x0000_i1206"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1206" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012546"> </o:OLEObject> </xml><v:shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" style='width:60pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image261.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=80 height=24 src="dopb391150.zip" v:shapes="_x0000_i1207"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1207" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012547"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Задача 5.</b> Розв’язати рівняння <v:shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" style='width:107.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image263.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=143 height=24 src="dopb391151.zip" v:shapes="_x0000_i1208"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1208" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012548"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Відповіді на тестові завдання</b> <br /> 1. <v:shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" style='width:107.25pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image007.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=143 height=24 src="dopb391025.zip" v:shapes="_x0000_i1209"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1209" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012549"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 2. <i style='mso-bidi-font-style: normal'><v:shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" style='width:81.75pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image043.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=109 height=23 src="dopb391043.zip" v:shapes="_x0000_i1210"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1210" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012550"> </o:OLEObject> </xml></i> <br /> 3. загальним інтегралом <br /> 4. <v:shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" style='width:78.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image101.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=105 height=24 src="dopb391070.zip" v:shapes="_x0000_i1211"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1211" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012551"> </o:OLEObject> </xml> <br /> 5. числовим розв’язком <br /> 6. інтегральною кривою <br /> 7. <i style='mso-bidi-font-style: normal'><v:shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" style='width:156pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image161.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=208 height=24 src="dopb391100.zip" v:shapes="_x0000_i1212"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1212" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012552"> </o:OLEObject> </xml></i> <br /> 8. <b style='mso-bidi-font-weight: normal'><v:shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" style='width:93pt;height:17.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image173.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=124 height=23 src="dopb391106.zip" v:shapes="_x0000_i1213"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1213" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012553"> </o:OLEObject> </xml></b> <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> 9. <v:shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" style='width:93.75pt;height:39.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image078.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=125 height=53 src="dopb391059.zip" v:shapes="_x0000_i1214"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1214" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012554"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Розв’язок до задач </b><br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Розв’язання до задачі 4.</b><i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i>Дане рівняння не містить невідомої функції<v:shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" style='width:11.25pt;height:12.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image265.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=15 height=17 src="dopb391152.zip" v:shapes="_x0000_i1215"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1215" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012555"> </o:OLEObject> </xml>, тому приймаємо, що <v:shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" style='width:47.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image267.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=63 height=21 src="dopb391153.zip" v:shapes="_x0000_i1216"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1216" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012556"> </o:OLEObject> </xml> і отримуємо диференціальних рівнянь першого порятку <br /> <v:shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" style='width:56.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image269.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=75 height=21 src="dopb391154.zip" v:shapes="_x0000_i1217"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1217" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012557"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Інтнгруємо одержане рівняння з відокремлюваними змінними: <br /> <v:shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" style='width:255.75pt;height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image271.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=341 height=41 src="dopb391155.zip" v:shapes="_x0000_i1218"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1218" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012558"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Далі інтегруємо рівняння <br /> <v:shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" style='width:266.25pt;height:33pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image273.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=355 height=44 src="dopb391156.zip" v:shapes="_x0000_i1219"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1219" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012559"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Прийнявши <v:shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" style='width:45pt;height:32.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image275.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=60 height=43 src="dopb391157.zip" v:shapes="_x0000_i1220"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1220" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012560"> </o:OLEObject> </xml> отримаємо загальний розв’язок рівняння у вигляді <br /> <v:shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" style='width:69.75pt;height:18.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image277.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=93 height=25 src="dopb391158.zip" v:shapes="_x0000_i1221"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1221" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012561"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Розв’язання до задачі 5</b><i style='mso-bidi-font-style: normal'>. </i>Дане рівняння є однорідне відносно у,у’,у”, бо<i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i><br /> <v:shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" style='width:210pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image279.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=280 height=24 src="dopb391159.zip" v:shapes="_x0000_i1222"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1222" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012562"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> Приймемо, що <v:shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" style='width:39.75pt;height:18pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image281.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=53 height=24 src="dopb391160.zip" v:shapes="_x0000_i1223"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1223" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012563"> </o:OLEObject> </xml> одержуємо: <br /> <v:shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" style='width:372.75pt;height:21pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image283.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=497 height=28 src="dopb391161.zip" v:shapes="_x0000_i1224"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1224" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012564"> </o:OLEObject> </xml><i style='mso-bidi-font-style:normal'> </i><br /> Вихідне рівняння з точністю до <v:shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" style='width:29.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image145.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=39 height=21 src="dopb391092.zip" v:shapes="_x0000_i1225"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1225" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012565"> </o:OLEObject> </xml> зводити до рівняння <br /> <v:shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" style='width:430.5pt;height:19.5pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image285.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=574 height=26 src="dopb391162.zip" v:shapes="_x0000_i1226"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1226" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012566"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Одержали для знаходження z лінійне неоднорідне диференційне рівняння першого порядку <br /> <v:shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" style='width:68.25pt;height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image287.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=91 height=21 src="dopb391163.zip" v:shapes="_x0000_i1227"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1227" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012567"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Спочатку інтегруємо відповідне однорідне рівняння <br /> <v:shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" style='width:402pt;height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image289.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=536 height=41 src="dopb391164.zip" v:shapes="_x0000_i1228"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1228" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012568"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Загальний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо методом варіації сталої, тобто у вигляді <br /> <v:shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" style='width:48pt;height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image291.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=64 height=41 src="dopb391165.zip" v:shapes="_x0000_i1229"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1229" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012569"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Підготовимо цю функцію в неоднорідне рівняння і знайдемо функцію С(х): <br /> <v:shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" style='width:329.25pt;height:30.75pt'> <v:imagedata src="152866.files/image293.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=439 height=41 src="dopb391166.zip" v:shapes="_x0000_i1230"> <br /> <br clear=all style='page-break-before:always'> Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння розв’язком функції z має вигляд <br /> <v:shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" style='width:54pt;height:32.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image295.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=72 height=43 src="dopb391167.zip" v:shapes="_x0000_i1231"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1231" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012571"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Оскільки <v:shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" style='width:35.25pt;height:35.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image297.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=47 height=47 src="dopb391168.zip" v:shapes="_x0000_i1232"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1232" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012572"> </o:OLEObject> </xml>, то далі інтегруємо диференціюємо рівняння <br /> <v:shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" style='width:357.75pt;height:33.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image299.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=477 height=45 src="dopb391169.zip" v:shapes="_x0000_i1233"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1233" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012573"> </o:OLEObject> </xml> <br /> Після потенціювання отримуємо загальний розв’язок вихідного рівняння: <br /> <v:shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" style='width:66pt;height:29.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="152866.files/image301.wmz" o: ""/> </v:shape><img width=88 height=39 src="dopb391170.zip" v:shapes="_x0000_i1234"><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1234" DrawAspect="Content" ObjectID="_1350012574"> </o:OLEObject> </xml> <br /> <b>Охорона праці. <a href="Вентиляція" title="Вентиляція">Вентиляція</a> виробничих приміщень</b><b style='mso-bidi-font-weight:normal'> </b><br /> Одним з ефективних засобів нормалізації повітря у приміщенні є <a href="Вентиляція" title="Вентиляція">вентиляція</a>. <br /> <a href="Вентиляція" title="Вентиляція"> Вентиляція</a> - повітрообмін, завдяки якому забруднене повітря виводиться з приміщення, а замість нього вводиться свіже зовнішнє або очищене повітря. <br /> Задачі вентиляції - забезпечення чистоти повітря та заданих мікрокліматич-них умов. <br /> Вентиляція класифiкується: <br /> 1) по засособу переміщення повітря розрізнюють системи природньої, штучної (механічної) та змішаної вентиляції. <br /> 2) по напрямку руху повітря - підрозділяються на приточну (повітря подається у приміщення), витяжну (забруднений повітря удаляється з приміщення) та приточно - витяжну. <br /> В залежності від місця дії вентиляція може бути загальнообмінною (використовується коли шкідливі речовини рівномірно розміщуються у робочої зоні), місцевою (- шкідливі речовин виділяються на декількох робочих місцях), локалізованою (- шкідливі речовин виділяються на робочих місцях, розташованих одне біля іншого) та комбiнованою. <br /> Загальнообмінна вентиляція забезпечує створення необхідного мікроклімату та чистоти повітряного середовища у всьому об’ємі робочої зони. При місце-вій вентиляції шкідливі речовини виводяться (або розстворюються шляхом подачі чистого повітря) безпосередньо від місць їх створення. <br /> По призначенню вентиляція може бути робочою (використовується при нормальному режимі <a href="Роботи" title="Роботи">роботи</a> технологічних <a href="Процес" title="Процес">процесів</a>) та аварійною (викорис-товується у випадку, якщо стався викид шкідливих речовин у наслідку аварії). <br /> Вимоги до вентиляції: <br /> 1) кiлькiсть приточного повітря у одиницю часу повинне <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідати</a> кiлькості витяжного повітря. <br /> 2) правильне розташування приточних та витяжних завіс. Свіже повітря подається, де концентрація шкідливих речовин менше, а удаляється, де концентрація більше. <br /> 3) вентиляція не повинна створювати перегрівання або охолодження працюю-чих. <br /> 4) вентиляція має бути пожежовибухонебезпечною.<b style='mso-bidi-font-weight:normal'> </b><br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><br clear=all style='page-break-before: always'> </b> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Висновки </b><br /> Ознайомившись з <a href="Матеріали" title="Матеріали">матеріалом</a> ми можемо навчитися володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосування до розв’язання практичних задач. <br /> Виконавши головні завдання цього трейнінгу ми можемо досягти компетентності в практичні діяльності. <br /> Ми оволоділи уміннями та навичками, необхідними для розв’язання та обчислення диференціальних рівнянь вищих порядків. <b style='mso-bidi-font-weight:normal'> </b><br /> Ми вивчили класичні і сучасні методи розв’язання алгебраїчних, трансцендентних, диференціальних рівнянь та їх систем. <br /> Ми навчились використовувати методи розв’язання задач з початковими умовами та крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними при моделюванні систем. <br /> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'><br clear=all style='page-break-before: always'> </b> <b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Література </b><br /> 1. Ильин В.А., Позняк Э.Г., <a href="Аналитическая_геометрия" title="Аналитическая геометрия">Аналитическая геометрия</a>. <a href="Наука" title="Наука">Наука</a>. М. 1978.-302 с. <br /> 2. Панков О.А., Панкова Т.Е. <a href="Вища_математика" title="Вища математика">Вища математика</a>.ВІРЕУ. 1998.-120с. <br /> 3. Булига К.Б., Барановська Л.В. Практикум з теорії ймовірностей та <br /> <a href="Математика" title="Математика"> математичної</a> статистики. – К.: Видавництво Європейського університету, 2000 <br /> 4. Чубатюк В.М. Вища <a href="Математика" title="Математика">математика</a>. Навчальний посібник для <a href="Студент" title="Студент">студентів</a> економічних спеціальностей навчальних закладів III та IV рівнів акредитації.- К.: ВД «Професіонал», 2006.-432 с. <br /> 5. Барковський В.В., Барковська Н.В., <a href="Математика" title="Математика">Математика</a> для економістів. Вища математика.- К.: Н.А.У., 1999.- 428с. <br /> </div> </img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img></img> </div> </div>
Будь ласка, не зберігайте тестовий текст.
Ваш ip: 18.222.179.186 буде збережений.
категорії
за типом
за алфавітом
завантажені
© Усі права захищені
написати до нас
