1. Радгосп для годівлі тварин використовує два види корму. У денному раціоні
тварини повинно міститися не менше 6 одиниць поживної речовини А і не менше 12 одиниць живильного речовини В. Яка кількість корму треба витрачати щодня на одну тварину, щоб
витрати були мінімальними? Використовувати дані
таблиці:
Поживна речовина
| Кількість поживних речовин в 1 кг корму
|
1
| 2
|
А У
| 2 2
| 1 4
|
Ціна 1 кг корму, тис. руб.
| 0,2
| 0,3
|
Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на максимум, і чому?
Рішення:
Введемо позначення:
Х1 - кількість корму 1 виду;
Х2 - кількість корму 2 види.
Цільова
функція - F = 0,2 х1 + 0,3 х2
Обмеження: 2х1 +1 х2 ≥ 6
2х1 +4 х2 ≥ 12
х1, х2 ≥ 0
Вирішимо задачу графічним способом
Перше обмеження має вигляд 2х1 +1 х2 ≥ 6, знайдемо перетин з осями координат
Друге обмеження 2х1 +4 х2 ≥ 12, знайдемо перетину з осями координат
Для визначення напрямку руху до Оптиму побудуємо вектор - градієнта ЇС (з
1; с
2), координати якого є приватними похідними цільової
функції, тобто з (0,2; 0,3).
Цей вектор показує напрям якнайшвидше зміна функції.
Пряма f (х) = 0,2 х1 + 0,3 х2 = а1,
перпендикулярна вектору - градієнту, є лінією рівня цільової функції.
Для знаходження координат точки максимуму вирішуємо систему
2х1 + х2 = 6
2х1 + 4х2 = 12
-3х2 = -6
х2 = 2
2х1 +2 = 6
2х1 = 4
х1 = 2
Відповідь: (2, 2)
Fmin = 0,2 * 2 +0,3 * 2 = 0,4 +0,6 = 1
Графік:
Відповідь: щоб витрати були мінімальними необхідно витрачати 2ед. перший корми та 2 од. другий корму.
Якщо це завдання вирішувати на максимум, то завдання не має рішення, оскільки цільова функція не обмежена зверху, тобто Fmax = + ∞
2. Для виготовлення чотирьох видів продукції використовують три види сировини. Запаси сировини, норми його витрати і ціни реалізації одиниці кожного виду продукції наведені в таблиці.
тип сировини
| норма витрат сировини на один виріб
| запаси сировини
|
А
| Б
| У
| Г
|
1
| 1
| 0
| 2
| 1
| 180
|
2
| 0
| 1
| 3
| 2
| 210
|
3
| 4
| 2
| 0
| 4
| 800
|
ціна виробу
| 9
| 6
| 4
| 7
| |
Потрібно:
1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати
оптимальний план випуску продукції.
2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорії двоїстості.
3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
§ Проаналізувати використання
ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;
§ Визначити, як змінюється виручка і план випуску продукції при збільшенні запасів сировини 2 і 3 видів на 120 і 160 одиниць
відповідно і зменшення на 60 одиниць запасів сировини 1 виду;
§ Оцінити доцільність включення в план виробу Д ціною 12 одиниць, на виготовлення якої витрачається по дві одиниці кожного виду сировини.
Рішення:
1. Сформулюємо економіко -
математичну модель задачі.
Змінні:
х
1 - кількість одиниць продукції А,
х
2 - кількість одиниць продукції Б,
х
3 - кількість одиниць продукції В,
х
4 - кількість одиниць продукції Г.
Цільова функція: F = 9х
1 +6 х
2 +4 х
3 +7 х
4 → max,
Мета максимізувати виручку від реалізації готової продукції
Обмеження:
По 1 типу ресурсу: 1х
1 +0 х
2 +2 х
3 +1 х
4 ≤ 180,
По 2 типу ресурсу: 0х
1 +1 х
2 +3 х
3 +2 х
4 ≤ 210,
По 3 типу ресурсу: 4х
1 +2 х
2 +0 х
3 +4 х
4 ≤ 800,
За змістом х
1; х
2; х
3; х
4 ≥ 0.
Рішення завдання виконаємо за допомогою надбудови
Excel Пошук Рішення. Вибираємо результат пошуку рішення у формі
звіту Стійкості. Отримане рішення означає, що максимальну виручку 2115 ден. од., можемо отримає при випуски 95 од. продукції А та 210 од. продукції Б. При цьому
ресурси 2 і 3 типи будуть використовуватися повністю, а з 180 од. сировини 1 типу буде використовуватися 95 од. сировини.
Сформулюємо економіко-математичну модель двоїстої задачі
Змінні:
у1-двоїста
оцінка ресурсу 1 типу, або ціна 1 ресурсу,
у2-двоїста оцінка ресурсу 2 типу, або ціна 2 ресурсу,
у3-двоїста оцінка ресурсу 3 типи, або ціна 3 ресурсу.
Цільова функція двоїстої задачі: необхідно знайти такі «ціни» у на ресурси, щоб загальна вартість використовуваних ресурсів була мінімальною. G = b
1 * y
1 + b
2 * y
2 + ... → min
G = 180у
один +210 у
2 +800 у
3 → min
У вихідній задачі чотири змінних, отже в двоїстої задачі чотири обмежувальних.
по виду продукції А: 1у
1 +0 у
2 +4 у
3 ≥ 9,
по виду продукції Б: 0у
1 +1 у
2 +2 у
3 ≥ 6,
за видом продукції В: 2у
1 +3 у
2 +0 у
3 ≥ 4,
за видом продукції Г: 1у
1 +2 у
2 +4 у
3 ≥ 7
за змістом у
1; у
2; у
3 ≥ 0
2. Знайдемо оптимальний план двоїстої задачі, використовуючи теореми подвійності:
По 2 теоремі-y
i * (Σa
ij * x
j-b i) = 0
у
1 * (1х1 +0 х2 +2 х3 +1 х4-180) = 0
у2 * (0х1 +1 х2 +3 х3 +2 х4-210) = 0
у3 (4х1 +2 х2 +0 х3 +4 х4-800) = 0
Якщо х = (95; 210; 0; 0), то
у1 (95-180) = 0, тому 95 <180 => у1 = 0
у2 (210-210) = 0
у3 (4 * 95 +2 * 210-800) = 0
х
j (Σa
ij * у
i-c j) = 0, якщо х
j> 0, то Σa
ij у
i = c
j х1 = 95> 0 => у1 +4 у3 = 9 у3 = 9 / 4 = 2,25
х2 = 210 => у2 +2 у3 = 6 у2 = 6-2 * 9 / 4 = 1,5
у1 = 0 у1 = 0
Результат: Оптимальний план у = (0; 1,5; 2,25)
F (х) = 2115
G (y) = 180 * 0 +210 * 1,5 +800 * 2,25 = 315 +1800 = 2115 => перша теорема про подвійність f (х) = g (у) виконується.
3. Пояснимо нульові значення змінних х
i в оптимальному плані.
Якщо Σ a
ij у
i> з
j, то x
j = 0
У нас х3 = 0, х4 = 0 => витрати на вироби В і Г перевищують ціну (Див.
звіт по стійкості в стовпці нормована вартість).
4. а) Аналіз використання ресурсів в оптимальному плані
Якщо у
i> 0, то Σ a
ij x
j = B
i, i = 1, ...., M,
Якщо Σ a
ij x
j <B
, То у
i = 0, i = 1, ...., M.
У2 = 1,5; у3 = 2,25 => сировину 2 і 3 повністю використовуються в оптимальному плані і є дефіцитними, тобто стримують зростання цільової функції.
Сировина 1 використовується не повністю 95 з 180 це сировина не впливає на план випуску продукції, тобто не обмежує зростання цільової функції, загальна вартість використовуваних ресурсів g (0; 1,5; 2,25) = 2115.
б) Якщо запаси сировини змінити 1-120, 2-330, 3-920, то виручка складе 2565 при оптимальному плані (65; 330; 0; 0), залишок сировини 1 типу складе 120-65 = 55.
в) Якщо включити в план виріб Д ціною 12 одиниць, на виготовлення якого витрачається по 2 одиниці кожного сировини, то виручка складе 2268 при оптимальному плані (112; 142; 0; 0; 34), при цьому сировина буде повністю витрачено.
3. Промислова група підприємств (
холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожна з трьох підприємств групи спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду, друге підприємство - продукції другого виду, третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається
підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання) решта постачається за його
межі (зовнішнім споживачами, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані
економічні оцінки a
ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) елементів технологічної
матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих
матеріальних витрат) та елементів уi вектора кінцевої продукції У.
Потрібно:
1.Перевіряючи
продуктивність технологічної матриці А = (а
ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
2.Построіть баланс (заповнити таблицю) виробництва та розподілу продукції підприємств холдингу.
підприємства
| коефіцієнти прямих витрат
| кінцевий продукт
|
1
| 2
| 3
|
1
| 0,0
| 0,1
| 0,2
| 180
|
2
| 0,1
| 0,2
| 0,1
| 200
|
3
| 0,2
| 0,1
| 0,2
| 200
|
Таблиця матричного балансу
| | | | кінцевий
| валовий
|
підприємство
| | споживають
| | продукт
| продукт
|
виробляють
| 1
| 2
| 3
| | |
1
| 0
| 33,1
| 72,6
| 180
| 285,7
|
2
| 28,5
| 66,2
| 36,3
| 200
| 331
|
3
| 57,1
| 33,1
| 72,6
| 200
| 362,8
|
| | | | | |
ум чистий продукція
| 200
| 198,7
| 181,3
| 580
| |
валовий продукт
| 285,6
| 331,1
| 362,8
| | 979,5
|
Використовуємо співвідношення Х = (Е-А) '* У, отримане у відповідність моделі Леонтьєва для визначення валового випуску для цього знайдемо: (Е-А)' - матрицю повних витрат (Е - одинична матриця),
Знайдемо обернену матрицю (Е-А) 'використовуючи функцію в Excel (fx /
математична / МОБР),
| 1,0750853
| 0,1706485
| 0,2901024
|
В = (Е-А) -1
| 0,1706485
| 1,2969283
| 0,2047782
|
| 0,2901024
| 0,2047782
| 1,3481229
|
Знайдемо величини валової продукції, використовуючи в Excel (fx / математична / МУМНОЖ
| 1,0750853
| 0,1706485
| 0,2901024
| *
| 180
| | 285, 66553
| |
В = (Е-А) -1 * У
| 0,1706485
| 1,2969283
| 0,2047782
| | 200
| | = 331,05802
| |
| 0,2901024
| 0,2047782
| 1,3481229
| | 200
| | 362,79863
| |
Розрахуємо величини виробничих витрат за формулою
X
ij = a
ij * x
j aij-технологічна матриця
xj-рядок валового випуску,
Х11 = 0,0 * 285,66553 = 0
| Х12 = 0,1 * 331,05802 = 33,105802
| Х13 = 0,2 * 362,79863 = 72,559726
| Х21 = 0,1 * 285,66553 = 28,566553
| Х22 = 0,2 * 331,05802 = 66,211604
| Х23 = 0,1 * 362,79863 = 36,279863
| Х31 = 0,2 * 285,66553 = 57,133106
| Х32 = 0,1 * 331,05802 = 33,105802
| Х33 = 0,2 * 362,79863 = 72,559726
|
|
Для розрахунку величин умовно чистої продукції використовуємо співвідношення балансу для виробництва: Z = xj-Σxij
|
xij - за стовпцем Z1 = 285,66553 - (0 +28,566553 +57,133106) = 199,965871 Z2 = 331,05802 - (33,105802 +66,211604 +33,105802) = 198,634812 Z3 = 362,79863 - (72,559726 +36,279863 +72,559726) = 181,399315
|
Перевіримо баланс кінцевої і умовно чистої продукції
ΣY
I = ΣZ
J , ΣX
i = ΣX
j, Z = 199,965871 +198,634812 + 181,399315 = 580 = Y = 180 +200 +200 = 580
Xi = 285,66553 +331,05802 +362,79863 = 979,52218 = Xj = 285,66553 +331,05802 +
+ 362,79863 = 979,52218
Заповнюємо таблицю, підготовлену вище, матричного балансу отриманими даними.
4. Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит У (t) (млн. крб.) На
кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено в таблиці.
Тижня
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
|
Попит на кредитні ресурси
| 43
| 47
| 50
| 48
| 54
| 57
| 61
| 59
| 65
|
Потрібно:
1. Перевірити наявність аномальних спостережень.
2. Побудувати лінійну модель Y (t) = a
0 + a
1 t параметри якої оцінити МНК (Y (t) -
розрахункові, змодельовані значення часового ряду).
3. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості та відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R \ S-критерію взяти табульований кордону 2,7-3,7).
4. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
5. Фактичні значення показника, результати
моделювання і
прогнозування представити графічно.
Рішення:
Тижня
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
|
Попит на кредитні ресурси
| 43
| 47
| 50
| 48
| 54
| 57
| 61
| 59
| 65
|
Побудуємо графік:
Перевіримо на анормальность - 9 тиждень, у
9 = 65
Решта спостереження
Тижня
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
|
Попит на кредитні ресурси
| 43
| 47
| 50
| 48
| 54
| 57
| 61
| 59
|
Для решти розрахуємо: у
сер - середнє значення; S
y - середньо квадратичне відхилення, використовуючи функції Excel;
Обчислимо статистику Стьюдента - t
наб = | y *- y
ср | / S
y (Fx /
статистичні / СРЗНАЧ)
Sy = 6,3681686 (fx /
статистична / СТАНДОТКЛОН)
При L = 5%, K = n-2 = 9-2 = 7,
t
кр = 1,8945786 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР)
t
наб = | 65-52,375 | / 6,37 = 1,9819466
t
наб = 1,98> t
кр = 1,89
Отже, бачимо у
9 не є аномальною і не вимагає заміни.
За допомогою програми РЕГРЕСІЇ (в Excel сервіс / аналіз даних / регресу) розрахуємо і отримаємо:
Регресійна статистика
|
Множинний R
| 0,970013862
|
R-квадрат
| 0,940926893
|
Нормований R-квадрат
| 0,932487878
|
Стандартна помилка
| 1,895064601
|
Спостереження
| 9
|
Дисперсійний аналіз
| | | | | |
| df
| SS
| MS
| F
| Значимість F
|
Регресія
| 1
| 400,4166667
| 400,4166667
| 111,497238
| 1,4929 E-05
|
Залишок
| 7
| 25,13888889
| 3,591269841
| | |
Разом
| 8
| 425,5555556
| | | |
Коефіцієнти
| Стандартна помилка
| t-статистика
| P-Значення
| Нижні 95%
| Верхні 95%
| Нижні 95,0%
| Верхні 95,0%
|
Y-перетин
| 40,8611
| 1,3767325
| 29,6798
| 1,27 E-08
| 37,60566
| 44,1166
| 37,6057
| 44,11657
|
Тиждень t
| 2,58333
| 0,2446518
| 10,5592
| 1,493 E-05
| 2,004824
| 3,16184
| 2,00482
| 3,161843
|
ВИСНОВОК ЗАЛИШКУ
| |
| | |
Спостереження
| Передбачення Попит Y (t)
| Залишки
|
1
| 43,4444
| -0,4444444
|
2
| 46,0278
| 0,9722222
|
3
| 48,6111
| 1,3888889
|
4
| 51,1944
| -3,1944444
|
5
| 53,7778
| 0,2222222
|
6
| 56,3611
| 0,6388889
|
7
| 58,9444
| 2,0555556
|
8
| 61,5278
| -2,5277778
|
9
| 64,1111
| 0,8888889
|
Модель побудована, її рівняння у
t = a + b * t, t-момент часу, у
t - теоретичне моделювання значення У, а, b-коефіцієнти моделі
a = 40,8611, b = 2,6, отже у
t = 40,8611 +2,6 t
коефіцієнт регресії b = 2,6, тобто з кожним роком попит на кредитні ресурси фінансової компанії в середньому зростають на 2,6 млн. руб.
Розглянемо стовпець Залишки і побудуємо з допомогою «майстер діаграм» в Excel графік залишків:
1. Підрахуємо кількість поворотних точок р для рядів залишків - р = 5
2. Критична кількість визначимо формулою - р
кр = [2 * (n-2) / 3-1,96 * √ 16 * n-29/90]
[] - Ціла частина; n-кількість вихідних даних
р
кр = [2 * (9-2) / 3-1,96 * √ 16 * 9-29/90] = 2,451106 = 2
3 порівняємо фактичне р з р
кр р = 5> р
кр = 2 отже, властивість випадковості виконується.
Для перевірки незалежності рівнів ряду залишків:
1 обчислимо d-статистику (критерій Дарбіна - Уотсона)
2 обчислити перший коефіцієнт автокореляції r (1)
для
розрахунків підготуємо -
Σe
2 (t) = 25,14 - використовуємо Excel fx / математична / СУММКВ),
Σ (e (t)-e (t-1))
2 = 69,72
- Використовуємо Excel fx / математична / СУММКВРАЗН) - 1
масив крім 1-го, 2 масив крім останнього.
d = Σ (e (t)-e (t-1))
2 / Σe
2 (t) = 69,72 / 25,14 = 2,77327
По таблиці Значення d-критерію Дарбіна - Уотсона визначимо, що d
1 = 1,08 і d
2 = 1,36
Тобто наше d = 2,77327 € (1.08; 1,36), отже потрібна додаткова перевірка, знайдемо d '= 4-d = 4-2,77327 = 1,22673, тобто d' € (1,36; 2 )
отже, властивість незалежності рівнів ряду залишків виконуються, залишки незалежні.
Для перевірки нормального розподілу залишків обчислимо R / S - статистику
R / S = e
max-e min / S
e е
max - максимальний рівень ряду залишків,
е
min - мінімальний рівень ряду залишків,
S-середньоквадратичне відхилення.
е
max = 2,055555556 використовуємо Excel fx / статистична / МАКС),
е
min =- 3,194444444 використовуємо Excel fx / статистична / МІН),
Se = 1,895064601 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»
Отже, R / S = 2,770354107
Критичний інтервал (2,7; 3,7), тобто R / S = 2,770354107 € (2,7; 3,7), властивість нормального розподілу залишків виконується.
Підводячи підсумки перевірки можна зробити висновок, що модель поводиться адекватно.
Для оцінки точності моделі обчислимо середню відносну похибку апроксимації Е
отн = | e (t) / Y (t) | *
100% за отриманими значеннями визначити середнє значення (fx / математична / СРЗНАЧ)
відносить. погр-ти
| |
-1,033591731
| |
2,06855792
| |
2,777777778
| |
-6,655092593
| |
0,411522634
| |
1,1208577
| |
3,369763206
| |
-4,284369115
| |
1,367521368
| |
Е ср.отн =
| -0,095228093
|
Для обчислення точкового прогнозу в побудовану модель
підставимо відповідні значення t = 10 і t = 11:
у
10 = 40,8611 +2,6 *
10 = 66,8611
у
11 = 40,8611 +2,7 *
11 = 70,5611,
Очікуваний попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень повинен скласти близько 66,8611 млн. руб., А на 11 тиждень близько 70,5611 млн. руб.
При рівні значущості L = 30%, довірча ймовірність дорівнює 70%, а критерій Стьюдента при к = n-2 = 9-2 = 7, дорівнює
t
кр (30%; 7) = 1,119159128 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР),
S
e = 1,895064601 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»,
t
'ср = 5 (fx / математична / СРЗНАЧ)
- Середній рівень з даного моменту часу,
Σ (tt
'ср) = 60 (fx / статистична / КВАДРОТКЛ),
Ширину довірчого інтервалу обчислимо за формулою:
U
1 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ')
2 / Σ (tt'
ср) = 1,119159128 * 1,895064601 * √ 1 +1 / 9 + (10-5)
2 / 60 = = 2,621476416
U
2 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ')
2 / Σ (tt'
ср) = 1,119159128 * 1,895064601 * √ 1 +1 / 10 + + (11-5)
2 / 60 = = 2,765287696
Далі обчислимо верхню і нижню межі прогнозу u
ниж = y
10-u 1; u
верх = у
10 + u
1; u
ниж = y
11-u 1; u
верх = у
10 + u
1 u
ниж = 66,8611-2,621476416 = 64,239623584
u
верх = 66,8611 +2,621476416 = 69,482576416
u
ниж = 70,5611-2,765287696 = 67,795812304
u
ниж = 70,5611 +2,765287696 = 73,326387696
Попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень в межах від 64,239623584 млн. руб. до 69,482576416 млн. руб., а на 11 тиждень від 67,795812304 млн. руб. до 73,326387696 млн. руб.
Будуємо графік: