Завдання 17. Визначте середню врожайність картоплі в регіоні за даними про:
а) посівної площі і валовий збір;
б) посівної площі і врожайності;
в) валовому зборі і врожайності.
Поясніть, як визначена форма середньої величини.
Область
| Посівна площа, тис.га
| Валовий збір, тис. т
| Урожайність, ц / га
|
А
| 139,80
| 2055
| 147
|
Б
| 102,34
| 1484
| 145
|
У
| 63,29
| 981
| 155
|
а) при визначенні середньої врожайності картоплі в регіоні за даними про посівної площі і валовий збір використовуємо формулу середньої арифметичної
w (x * f) - валовий збір;
fi - площа.
Х сер = (20550 +14840 +9810) / (139,80 +102,34 +63,29) = 148
б) за даними з посівної площі та урожайності використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:
xi-врожайність по області;
fi - посівна площа по області.
Х сер = (139,80 * 147 +102,34 * 145 +63,29 * 155) / (139,80 +102,34 +63,29) = 148
в) за даними про валовий збір і врожайності використовуємо середню гармонійну зважену:
хi - урожайність;
w - валовий збір.
Х сер = (20550 +14840 +9810) / (20550/147 +14840 / 145 +9810 / 155) = 148
Завдання 27. У цілях вивчення затрат часу на виготовлення одній деталі робочими заводу проведена 10%-ная випадкова бесповторного вибірка, внаслідок якої отримана наступний розподіл деталей по
витратах часу:
Витрати часу на одну деталь, хв.
| Число деталей, шт.
|
До 20
| 10
|
Від 20 до 24
| 20
|
Від 24 до 28
| 50
|
Від 28 до 32
| 15
|
Понад 32
| 5
|
Разом
| 100
|
1. На підставі цих даних обчисліть: середні
витрати часу на виготовлення однієї деталі, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації.
2.З ймовірністю 0,954 визначити:
а) граничну помилку вибіркової середньої і можливі
межі, в яких очікуються середні
витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі;
б) необхідну чисельність вибіркової сукупності, щоб гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не перевищувала 1 хвилини.
Рішення:
Для
розрахунків складемо таблицю.
Витрати часу на одну деталь, хв., Х i
| Середина інтервалу
| Число деталей, f i
| х i * f i
| (X i - x ср)
| (X i - x ср) 2
| (X i - x ср) 2 * f i
|
До 20
| 10
| 18
| 180
| -7,3
| 53,29
| 532,9
|
20 - 24
| 20
| 22
| 440
| -3,3
| 10,89
| 217,8
|
24 - 28
| 50
| 26
| 1300
| 0,7
| 0,49
| 24,5
|
28 - 32
| 15
| 30
| 450
| 4,7
| 22,09
| 331,35
|
Понад 32
| 5
| 32
| 160
| 6,7
| 44,89
| 224,45
|
Разом
| 100
| | 2530
| | 131,65
| 1331
|
1) середні витрати часу на виготовлення однієї деталі розрахуємо за формулою середньої арифметичної зваженої, попередньо обравши середину інтервалу ваги:
= 2530/100 ═ 25,3
Середні витрати часу на виготовлення однієї деталі склали 25,3 хв.
2) дисперсію і середнє квадратичне відхилення розрахуємо за формулами:
- Дисперсія
σ
2 = ((x
i - x
ср) 2 * f
i) / Σ f
i σ
2 = 1331/100 = 13,31
- Середнє квадратичне відхилення
σ
= √ σ
2 = √ 13,31 = 3,65
3) коефіцієнт варіації розрахуємо за формулою
ν = σ / х
ср *
100% ν = 3,65 / 25,3 * 100 = 14 (%)
ν = 14%
Коефіцієнт варіації показує однорідність вибірки. Якщо він нижчий 35%, вибірка однорідна, як і в даному випадку.
4)
Розрахуємо з ймовірністю 0,954 граничну помилку вибіркової середньої і можливі межі, в яких очікуються середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі. Використовуємо для розрахунку формулу середньої помилки вибіркової середньої
μ
х = √ σ
2 х / n (1-n / N),
де σ
2 х - дисперсія досліджуваного ознаки,
n - чисельність вибірки,
N - кількість одиниць у генеральній сукупності,
n / N = 0,1 (десятивідсоткове).
μ
х = √ σ
2 х / n (1-n / N) = √ 13,31 / (100 * (1-0,1)) = 0,3
Гранична помилка вибірки розраховується за формулою
Δ
х = t * μ
х, де t - коефіцієнт довіри, при ймовірності 0,954 дорівнює 2
Δ
х = t * μ
х = 2 * 0,3 = 0,6
Отже, середні витрати часу на виготовлення однієї деталі знаходиться в межах
х
ср ± Δ
х, або 25,3 ± 0,6 або від 24,7 до 25,9 хв.
б) необхідну чисельність вибіркової сукупності, щоб
гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не
перевищувала 1 хвилини,
розрахуємо за формулою:
n =
(2 2 * 13,31
2 * 1000) / (1
2 * 1000 +2
2 * 13,31
2) = = (2 * 2 * 13,31 * 13,31 * 1000) / (1000 +2 * 2 * 13,31 * 13,31) 414
Чисельність вибіркової сукупності, де гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не перевищує 1 хвилини складе 414 деталей.
Завдання 37. Є дані про середньодушових доходах населення області за 1993-2002 рр.. (Тис. крб.) У
порівнянних цінах:
Рік
| 1993
| 1994
| 1995
| 1996
| 1997
| 1998
| 1999
| 2000
| 2001
| 2002
|
Дохід и
| 100
| 117
| 128
| 154
| 163
| 150
| 132
| 144
| 158
| 164
|
Потрібно виявити основну тенденцію середньодушових доходів населення області 1993-2002 рр..:
1) методом згладжування рядів динаміки за допомогою ковзної триланкової середньої;
2) методом аналітичного вирівнювання ряду динаміки за рівнянням прямої;
3) Використовуючи результати п.2, дайте прогноз на 2003 рік.
4) Охарактеризуйте за 1993-2002 рр.. середньорічний абсолютний приріст і темп приросту доходів.
Рішення.
1) виявимо тенденцію методом згладжування рядів динаміки за допомогою ковзної середньої триланкової за формулою:
Рік
| 1993
| 1994
| 1995
| 1996
| 1997
| 1998
| 1999
| 2000
| 2001
| 2002
|
Доходи
| 100
| 117
| 128
| 154
| 163
| 150
| 132
| 144
| 158
| 164
|
| | 115
| 133
| 148
| 156
| 148
| 142
| 145
| 155
| |
2) виявимо тенденцію методом аналітичного вирівнювання ряду динаміки за рівнянням прямої види:
= А + b * t
Зробимо необхідні обчислення в
таблиці, позначивши час
t. | t
| У
| t * У
| t 2
|
|
| 1
| 100
| 100
| 1
| 91
|
| 2
| 117
| 234
| 4
| 100
|
| 3
| 18
| 54
| 9
| 109
|
| 4
| 154
| 616
| 16
| 117
|
| 5
| 163
| 815
| 25
| 126
|
| 6
| 150
| 900
| 36
| 134
|
| 7
| 132
| 924
| 49
| 143
|
| 8
| 144
| 1152
| 64
| 151
|
| 9
| 158
| 1422
| 81
| 160
|
| 10
| 164
| 1640
| 100
| 169
|
РАЗОМ
| 55
| 1300
| 7857
| 385
| 1300
|
середнє
| 5,5
| 130,0
| 785,7
| 38,5
| |
Вирішимо систему рівнянь виду:
а *
n + b Σ t = Σу
аΣ t + b Σ t
2 = Σу * t
Підставимо розраховані значення
10 * а + b * 55 = 1300
a * 55 + b * 385 = 7857
Розрахуємо параметри а, b за формулами
b =
а =
;
b = (10 * 7857-55 * 1300) / (10 * 385-55 * 55) = 8,5697
а = 130-8,5697 * 5,5 = 82,8667
Розраховане
рівняння регресії має вигляд
У
t = 82,8667 +8,5697 * t
Для перевірки його правильності розрахуємо вирівняні значення у.
Σ
= Σ у, отже, рівняння розраховано вірно.
Уявімо графічно отримані вище
розрахунки.
Прогноз на 2003 рік складе:
У
11 = 82,8667 +8,5697 *
11 = 177
4) Середньорічний абсолютний приріст за 1993-2002 рр..
розрахуємо за формулою:
Δср = (Уn-У
1) / (n-1)
Δср = (164-100) / 9 = 7
Середньорічний темп зростання розрахуємо за формулою
n-1________
Тр (ср) = √ Y
i / Y
1 * 100%
10-1________
Тр (ср) = √ 164 / 100 * 100% = 105,1
Завдання 47. Є такі дані:
Товар
| Ціна за 1 кг у базисному періоді, руб.
| Продано, т
| Індивідуальні індекси цін
|
| | Базисний період
| Звітний період
| |
А
| 0,50
| 1200
| 1500
| 1,01
|
Б
| 1,20
| 4200
| 6300
| 0,85
|
У
| 2,45
| 2000
| 2500
| 0.97
|
Розрахуйте:
а) індекс фізичного обсягу реалізації;
б) індекс цін і індекс
товарообігу.
Розкладіть загальну суму приросту товарообігу за факторами. Зробіть висновки.
Обчислимо:
а) індекс фізичного обсягу реалізації по формулі
= 1350/1312, 5 = 1,029, або 102,9%
Уpq = (0,5 * 1500 +6300 * 1,2 +2500 * 2,45) / (1200 * 0,5 +4200 * 1,2 +2000 * 2,45) =
= 14435/10540 = 1,3695
Фізичний обсяг реалізації збільшився на 36,95%.
б) Індекс цін розрахуємо за формулою
Y р = Σ р0q1 * iр / Σ р0q1
Y р = (0,5 * 1500 * 1,01 +6300 * 1,2 * 0,85 +2500 * 2,45 * 0,97) / (1500 * 0,5 +6300 * 1,2 +2500 * 2,45)
= 13125/14435 = 0,909, або 90,9%
У середньому ціни знизилися на 9,1%.
Індекс товарообігу розрахуємо за формулою
= (0,5 * 1500 * 1,01 +6300 * 1,2 * 0,85 +2500 * 2,45 * 0,97) / (1200 * 0,5 +4200 * 1,2 +2000 * 2, 45) =
= 13125/10540 = 1,245, або 124,5%
Товарообіг за трьома видами збільшився на 24,5%.
Приріст товарообігу найбільше склав:
13125-10540 = 2585
Зміна за рахунок збільшення фізичного обсягу:
14435-10540 = = 14435-10540 3895
Зміна за рахунок зниження цін:
13125-14435 = = 13125-14435 -1310
РАЗОМ: 3895-1310 = 2585
Завдання 57. Є такі дані про реалізацію сільськогосподарських продуктів на колгоспних ринках двох міст у вересні місяці:
Місто
| Товар
| Продано, т
| Середня ціна за 1 кг, д. е.
|
| | 1994
| 1995
| 1994
| 1995
|
А
| М'ясо
| 70
| 61
| 10,0
| 15,0
|
| Картопля
| 180
| 162
| 1,2
| 2,5
|
Б
| М'ясо
| 30
| 27
| 1,0
| 2,0
|
| Картопля
| 282
| 300
| 0,7
| 2,0
|
1. Для міста «А» визначте:
1) індекс товарообігу;
2) загальний індекс цін на продані
товари (середня зміна
цін);
3) загальний індекс фізичного обсягу
товарообігу (кількості
проданих товарів);
Покажіть взаємозв'язок обчислених
індексів.
2. Для двох міст разом (по картоплі) обчисліть:
індекс цін змінного складу (зміна середньої ціни);
індекс цін постійного складу (середня зміна цін);
індекс структурних зрушень.
Рішення:
Зробимо додаткові розрахунки і представимо в таблиці
Найменування товарів
| Продано, т
| Середня Ціна, Д.Є.
| Обсяг продажів у цінах базисного року
| Обсяг продажів у цінах звітного року
|
позначення
| q0
| q1
| р0
| р1
| р0 q0
| р0 q1
| q0 р1
| q1 р1
|
М'ясо
| 70
| 61
| 10,0
| 15,0
| 700
| 610
| 1050
| 915
|
Картопля
| 180
| 162
| 1,2
| 2,5
| 216
| 194,4
| 450
| 405
|
РАЗОМ
| | | | | 916
| 804,4
| 1500
| 1320
|
1.1) Індекс товарообігу для міста «А» розрахуємо за формулою
= 1320/916 = = 1320/916 \ # "0,000" 1,441, або 144,1%
Товарообіг з обох видів у зв'язку зі збільшенням цін збільшився на 44,1%.
2) загальний індекс цін на продані товари (середня зміна цін)
розрахуємо за формулою
Y р = Σ р1q1 / Σ р0q1
Y р = 1320 / 804,4 = = 1320/804, 4 \ # "0,000" 1,641, або 164,1%
У середньому ціни збільшилися на 64,1%.
3) загальний індекс фізичного обсягу товарообігу (кількості
проданих товарів) за формулою
= 804,4 / 916 = = 804,4 / 916 \ # "0,000" 0,878, або 87,8%
У середньому обсяг знизився на 12,2%.
Взаємозв'язок індексів обчислюється: Y РQ = Y р * Y q
Y РQ = 1,641 * 0,878 = = 1,641 * 0,878 \ # "0,000" 1,441
2. Для двох міст разом (по картоплі) обчислимо:
Індекс цін змінного складу (зміна середньої ціни) розрахуємо за формулою
Yпер.сост. = Σ
р1 q 1: Σ
р0 q 0 Σq1 Σq0
Yпер.сост. = ((2,5 * 162 +2 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 180 +0,7 * 282) / (180 +282)) = 2,431
Індекс цін постійного складу (середня зміна цін);
Yпост.сост. = Σ
р1 q 1: Σ
р0 q 1 Σq1 Σq1
Yпост.сост. = ((2,5 * 162 +2 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 162 +0,7 * 300) / (162 +300)) = 2,485
Індекс структурних зрушень розрахуємо за формулою
Y стр.сдв. = Σ
р0 q 1: Σ
р0 q 0 Σq1 Σq0
Yстр.сост. = ((1,2 * 162 +0,7 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 180 +0,7 * 282) / (180 +282)) = 0,978