Московський Державний Технічний Університет ім. Н.Е. Баумана
Курсова робота
ПО сітковий метод
Розрахунок стаціонарного
теплового поля у двовимірній пластині
Викладач: Станкевич І.В.
Група: ФН2-101
Студент: Смирнов А.В.
Москва 2002
Зміст
Постановка завдання ................................................ .................................................. .................................................. ................... 3
Рішення ................................................. .................................................. .................................................. ....................................... 4
Тріангуляція ................................................. .................................................. .................................................. ....................... 5
Метод кінцевих елементів ............................................... .................................................. ................................................. 6
Список літератури :............................................... .................................................. .................................................. ................ 12
Постановка завдання
Розрахувати усталене температурне поле в плоскій пластині, що має форму криволінійного трикутника з трьома отворами (див. малюнок).
До зовнішніх кордонів пластини підводиться тепловий потік густиною
. На внутрішніх кордонах конструкції відбувається теплообмін з середовищем, що характеризується коефіцієнтом теплообміну
і температурою середовища
. Коефіцієнт теплопровідності матеріалу пластини
Рис. 1
Рішення
Введемо декартову систему координат
, Вибравши початок координат і направимо осі
x і
y так, як показано на рис.2.
Рис. 2
Завдання теплопровідності в пластині запишеться у вигляді
(1)
(2)
(3)
де
- Напрямні косинуси вектора зовнішньої нормалі до граничної поверхні,
- Гранична поверхня, на якій відбувається теплообмін з коефіцієнтом теплообміну
,
- Гранична поверхня, на якій задано тепловий потік щільності
.
Рішення рівняння (1) з граничними умовами (2) і (3) можна замінити завданням пошуку мінімуму функціонала
. (4)
Вирішувати це завдання будемо з допомогою методу скінченних елементів. Для цього спочатку проведемо тріангуляцію нашої області.
Тріангуляція.
Результат тріангуляції представлений на рис.3.
Рис. 3
Всі вибрані вузли заносяться в список, який містить інформацію про координати вузлів. Номер вузла визначається його номером у списку. Крім списку вершин будемо вести ще список трикутників. У глобальному списку трикутників буде зберігатися
інформація про кожному побудованому трикутнику: номери
(Top1, Top2, Top3) трьох вузлів, що складають даний елемент і номер кордону. Номер трикутника визначається його номером у списку. Домовимося, що у кожного трикутника кордоні може належати тільки одна сторона і якщо така сторона є, то вершини, які вона єднає, будуть стояти на перших двох позиціях
(Top1 і
Top2). Обхід трикутника відбувається проти
годинникової стрілки.
Метод кінцевих елементів
Виберемо довільний трикутник (з номером
e). Позначимо його вершини
і
. Кожному вузлу трикутника поставимо у відповідність функцію форми
, (5)
де
,
A - площа трикутника. Тоді температуру в межах трикутника можна визначити за допомогою функцій форм і значень температури
у вузлових точках
. (6)
Функціонал (4) можна представити у вигляді суми функціоналів
, Кожен з яких відображає внесок у функціонал (4) елемента з номером
e . (7)
Мінімум функціонала (4) знаходимо з умови
(8)
Функціонал
можна представити у вигляді
(9)
Тут
, Глобальний вектор температур
,
- Матриця градієнтів, яка для функцій форми (5) набуде вигляду
,
. Локальний вектор температур
. Тут матриця
геометричних зв'язків
має розмірність
. Елементи цієї
матриці визначаються наступним чином:
; Всі інші елементи дорівнюють нулю.
Продиференціюємо функціонал (9):
З виразу (8) з урахуванням останнього співвідношення отримуємо
, Де матриця теплопровідності елемента
; Вектор навантаження елемента
.
У силу особливостей проведеної тріангуляції можна виділити три групи кінцевих елементів. У першу входять трикутники, у яких сторона
i - j належить одній із зовнішніх кордонів. У другу - ті, у яких та ж сторона належить одній з внутрішніх кордонів. І, нарешті, третю групу складають елементи, сторони яких лежать всередині розглянутій області.
У залежності від
того, до якої групи належить кінцевий елемент з номером
e, матриця
і вектор
будуть визначатися декілька різним чином.
Позначимо
.
Поверхневі інтеграли можна порахувати за допомогою відносних координат
. Відрізки, що сполучають будь-яку фіксовану точку
P трикутника
e c його вершинами, розбивають цей елемент на три трикутні частини площею
. Координати
визначаються з співвідношень
.
Використовуючи відносні координати, можна отримати такі співвідношення:
Якщо кінцевий елемент з номером
e належить до першої групи, то
. Якщо до другої, то
. Нарешті, якщо елемент належить до третьої групи, то
.
Вектор температур, що задовольняє умові (8) мінімуму функціонала (4), знаходимо рішенням
системи лінійних алгебраїчних рівнянь , (10)
де глобальна матриця теплопровідності
K і глобальний вектор навантаження
F визначаються за формулами
,
. (11)
Для вирішення завдання (10) застосовувався наступний алгоритм:
· Обчислення
розкладання матриці
(
).
·
Оцінка числа обумовленості. Якщо число обумовленості більше
(
визначається точністю обчислювальної машини), то видається попередження, так як
малі відхилення в коефіцієнтах матриці
можуть призвести до великих відхилень в рішенні.
·
.
.
Реалізація описаного вище методу проводилася на мові
програмування С + + і FORTRAN в середовищі інтегрованому середовищі розробки Microsoft Visual C + + 6.0. Кінцеві результати даної
роботи наведені на рис.4 - 7.
Список літератури:
1. Амосов А.А, Дубинський Ю.А, Копченова Н.В. Обчислювальні методи для інженерів: Учеб. посібник. - М.: Вищ. шк., 1994. - 544 с.
2. Сегерлінд Л. Застосування методу скінченних елементів. - М.: Світ, 1979. - 392 с.
3. Станкевич І. В. Сіткові методи (
лекції і семінари 2002 року).