Завдання 1 (5) Проводиться
контроль партії з 4 виробів. Імовірність вироби бути несправним дорівнює 0,1.
Контроль припиняється при виявленні першого несправного вироби. Х - число обстежених приладів. Знайти: а) ряд розподілу Х б) функцію розподілу F (X), у
відповідь ввести F (3.5). в) m (x) г) d (x) д) p (1.5 <X <3.5).
Рішення Нехай
подія А - полягає в тому, що виріб справно, і відповідно
- Несправне. За умовою, ймовірність
, Значить p (A) = 1 -
. Випадкова величина Х - число обстежених приладів - може приймати значення 0 (якщо перший же прилад несправний), 1,2,3,4.
Знайдемо
відповідні ймовірності:
Складемо ряд розподілу Х:
Х
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
|
р
| 0,1
| 0,09
| 0,081
| 0,0729
| 0,6561
|
Х - дискретна випадкова величина. Знайдемо функцію розподілу F (x) = P (X
Значення F (3.5) = 0.34391
Математичне сподівання дискретної випадкової величини
Дисперсія
Імовірність
Завдання 2 (2). Події А і В незалежні. Імовірність настання хоча б одного з них дорівнює 0,94. Знайти Р (А), якщо Р (В) = 0,7.
Відповідь записати у вигляді десяткового дробу.
Рішення. Імовірність настання суми подій Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ). Але так як події А і В незалежні, то Р (АВ) = Р (А) Р (В).
Маємо Р (А + В) = 0,94 (настає подія А чи подія В або обидва); Р (В) = 0,7
0,94 = Р (А) +0,7 - Р (А)
0,3 Р (А) = 0,94-0,7 = 0,24
Р (А) =
- Імовірність настання А.
Завдання 3 (6). Дана
щільність розподілу випадкової величини Х:
Знайти а) константу А б) функцію розподілу F (x), у
відповідь ввести F (0); F (0.5) в) m (x) г) d (x)
д) P (0 <X <0.5).
Рішення. Константу А знайдемо з умови для р (х):
Маємо
Звідси
.
Функція розподілу неперервної випадкової величини
Для
p (x) = 0, F (x) = 0
Для -
Для
Математичне сподівання неперервної випадкової величини
Маємо
Дисперсія неперервної випадкової величини
Маємо
Імовірність
Завдання 4 (2). Дана
щільність розподілу ймовірностей системи (X, Y).
Знайти а) константу С; б) р1 (х), р2 (у); в) mx; г) my; д) Dx; е) Dy; ж) cov (X, Y); з) rxy; і) F (-1,5); к) M (X | Y = 1)
Рішення. Щільність системи випадкових величин повинна задовольняти умові:
У нашому випадку
;
;
;
Y
B 4
-3 A 0 X
б) Густині р1 (х), р2 (у):
в)
Математичні очікування:
г) Дисперсії:
ж) Коваріація
з) Коефіцієнт кореляції
і) Значення F (-1,5)
Функція розподілу системи випадкових величин
. (1)
(-1,5) Y
5
B
D4 4
D1 D0
AX
-3 -1 O
D2 D3
В областях D1, D2, D3, D4 які не перетинаються з трикутником АВО значеніеP (x, y) = 0
Обчислюючи F (-1,5) представимо подвійний інтеграл у вигляді суми інтегралів:
к) Математичне сподівання M (x | y = 1)