Варіант 9
- Знайти векторні лінії у векторному полі
Рішення:
Векторні лінії - це лінії, в кожній точці яких вектор поля є дотичним
Для знаходження векторних ліній поля
вирішимо
диференціальне рівняння:
Маємо
-9xdx = 4ydy
Векторні лінії являють собою сімейство еліпсів
- Обчислити довжину дуги лінії ;
Рішення:
Знайдемо похідні
;
Довжина дуги кривої в параметричних координатах дорівнює:
- Обчислити потік векторного поля через поверхню
Рішення:
За определеніюпотока векторного поля П, маємо
, Де
- Одиничний нормальний вектор до поверхні.
Обчислимо
.
Як відомо, якщо рівняння поверхні
, То одиничний нормальний вектор
Тоді потік векторного поля
Де
частина кола радіуса R = 1 в площині Оху з центром у початку координат, обмежена умовами
Введемо полярні координати
;
Отримаємо
4. Знайти всі значення кореня
Рішення:
Нехай z = 1 = 1 +0 i
Arg z = 0; | z | = 1
За формулою коренів з комплексного числа, маємо
де k = 0,1,2,3
Отримаємо
Відповідь: 4 кореня - 1; i;-i; -1
5. Представити в алгебраїчній формі Ln (-1-i)
Рішення:
З визначення логарифма комплексного числа Lnz = ln | z | + i argz