Програми певного інтеграла до рішення деяких завдань механіки і фізики 1. Моменти та центри мас плоских кривих. Якщо дуга кривої задана рівнянням
y = f (x), a ≤ x ≤ b, і має
щільність 1) = (X), то статичні моменти цієї дуги
M x і
M y щодо координатних осей
Ox і
O y рівні
моменти інерції
I Х і
I у відносно тих же осей
Ох і
Оу обчислюються за формулами
а координати центру мас
і
- За формулами
де
l -
маса дуги, тобто
Приклад 1. Знайти статичні моменти і моменти інерції відносно осей
Ох і
Оу дуги ланцюгової лінії
y = chx при 0
≤ x ≤ 1.
1) Усюди в задачах, де щільність не вказана, передбачається, що крива однорідна і
= 1.
◄ Маємо:
Отже,
►
Приклад 2. Знайти координати центру мас дуги кола
x = acost, y = asint, розташованої в першій чверті.
◄ Маємо:
Звідси отримуємо:
►
У додатках часто виявляється корисною наступна
Теорема гульдена. Площа поверхні, утвореної обертанням дуги плоскої кривої навколо осі, що лежить в площині дуги і її не перетинає, дорівнює добутку довжини дуги на довжину кола, що описується її центром мас. Приклад 3. Знайти координати центру мас півкола
◄ Внаслідок симетрії
. При обертанні півкола навколо осі
Ох виходить сфера, площа поверхні якої дорівнює
, А довжина півкола дорівнює па. По теоремі гульдена маємо
Звідси
, Тобто центр мас
C має координати
C .
2. Фізичні задачі. Деякі застосування визначеного інтеграла при вирішенні фізичних завдань ілюструються нижче в прикладах 4-7.
Приклад 4. Швидкість прямолінійного руху тіла виражається формулою
(М / с). Знайти шлях, пройдений тілом за 5 секунд від початку руху.
◄ Так як шлях, пройдений тілом зі швидкістю
(T) за відрізок часу [t
1, t
2], виражається інтегралом
то маємо:
►
Приклад 5. Яку роботу необхідно
витратити для
того, щоб
тіло маси m підняти з поверхні Землі, радіус якої R, на висоту / i? Чому дорівнює
робота, якщо тіло віддаляється в нескінченність?
<4 |
Робота змінної сили / (#), яке діє вздовж осі Ох на відрізку [а, Ь], виражається інтегралом