Міністерство вищої освіти Російської Федерації
Московський державний будівельний університет РЕФЕРАТ
На тему:
"Однополостной гіперболоїд"
Факультет: ПГС Група: № 15 Студент: Муравицький А.С. Викладач: Ситникова Є.Г. Москва 2003 Поверхні другого порядку - це
поверхні, які в прямокутній системі координат визначаються алгебраїчними рівняннями другого ступеня. До них відноситься односмуговою
гіперболоїд.
Односмугові гіперболоїд. Однополосним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням (1)
З рівняння (1) випливає, що координатні площини є площинами симетрії, а початок координат - центром симетрії однополостного
гіперболоїда.
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням однополосного гіперболоїда.
Якщо однополостной гіперболоїд заданий своїм канонічним рівнянням (1) те осі
Ох, Оу і
Oz називаються його головними осями.
Встановимо вид поверхні (1). Для цього розглянемо перетин її координатними площинами
Oxy (y = 0) і Oyx (x = 0). Отримуємо
відповідно рівняння
і
з яких випливає, що в перерізах виходять гіперболи.
Тепер розглянемо перетину даного гіперболоїда площинами z = h, паралельними координатної площини
Oxy. Лінія, що виходить в перетині, визначається рівняннями
або
з яких випливає, що площина z = h перетинає гіперболоїд по еліпсу з півосями
і
,
досягають своїх найменших значень при h = 0, тобто в перетині даного гіперболоїда координатною віссю Oxy виходить найменший еліпс з півосями a *= a і b *= b. При нескінченному зростанні
величини a * і b * зростають нескінченно.
Таким чином, розглянуті перерізи дають змогу зобразити односмуговою гіперболоїд у вигляді нескінченної трубки, нескінченно розширення в міру віддалення (по обидві сторони) від площини Oxy.
Величини a, b, c називаються півосями однополосного гіперболоїда.
Дослідження поверхні методом паралельних перерізів.
Суть методу полягає у з'ясуванні форми ліній перетину поверхні з площинами, паралельними координатним площинам.
Розглянемо лінії перетину з площинами, паралельними площині
OXY. Всі рівняння ліній перетинань будуть виходити з рівняння площини, в якому
z буде замінена на деяке число,
рівне відстані від перетинає площини до площини
OXY. Для більш наочного уявлення, я зобразив всі отримані криві у вигляді проекцій на площину
OXY. Зображення кривих представлені вище.
Величини a, b, c називаються півосями однополосного гіперболоїда. Якщо a = b, то гіперболоїд можна отримати обертанням гіперболи з півосями а і с навколо уявної осі 2с.
Одним із прикладів такої поверхні є конструкція радиобашни побудованої за принципом сітчастих конструкцій на Шаболовці (м. Москва), Володимиром Григоровичем Шуховим в 1919 - 1922 рр..
Минулого року виповнилося 80 років Шаболовському радиобашня -
символу радянського
телебачення 40-60-х років.
Список використаної літератури: 1.Шіпачев В.С.: «Вища математика» 2.В.А. Ільїн, Е.Г. Позняк: «Аналітична геометрія» 3.І.Н.Бронштейн, К. А. Семендяев «Довідник з математики для інженерів і учнів ВТУЗ»